EMA184 – Fundamentos da Teoria de Controle

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Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG 
Escola de Engenharia 
Departamento de Mecânica - DEMEC 
 
 
 
 
 
 
 
EMA184 – Fundamentos da Teoria de Controle 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Prof. Dr. Lázaro Valentim Donadon 
 
 
 
Versão 7 
 
 
 
Agosto de 2017 
 
 
2 
Sumário 
 
1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE .................................................................... 6 
1.1 MONITORAMENTO, AUTOMAÇÃO E CONTROLE DE SISTEMAS ......................................................... 6 
1.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS ...................................................................................................................... 8 
1.2 EXEMPLO DE UM SISTEMA DE CONTROLE TÍPICO ............................................................................. 9 
1.3 DEFINIÇÃO DE SISTEMA DE CONTROLE COM RELAÇÃO AOS SINAIS ............................................... 10 
1.4 EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLADOS E DE SISTEMAS AUTOMÁTICOS ....................................... 10 
2 MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS ........................................................................... 11 
2.1 SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAIS ..................................................................................... 11 
2.1.1 Sistema Massa-Mola-Amortecedor..................................................................................... 11 
2.1.2 Conjunto de Massas-Molas ................................................................................................ 13 
2.1.3 Suspensão Ativa de ¼ de veículo ........................................................................................ 16 
2.2 SISTEMAS DE RESERVATÓRIOS ...................................................................................................... 18 
2.2.1 Reservatório Simples .......................................................................................................... 18 
2.2.2 Exemplo de simulação do escoamento em reservatório simples ........................................ 20 
2.2.3 Reservatórios em Série ....................................................................................................... 20 
2.2.4 Sistema de Reservatório Composto .................................................................................... 21 
2.3 LINEARIZAÇÃO ............................................................................................................................. 23 
2.3.1 Uma Variável ...................................................................................................................... 24 
2.3.2 Multivariável ...................................................................................................................... 26 
2.4 SISTEMAS PENDULARES SIMPLES.................................................................................................. 28 
2.4.1 Pêndulo Simples ................................................................................................................. 28 
2.4.2 Pêndulo Invertido ............................................................................................................... 29 
2.5 REPRESENTAÇÃO EM ESPAÇO DE ESTADO .................................................................................... 32 
2.5.1 Representação quando não há derivadas da entrada ......................................................... 33 
2.5.2 Representação quando há derivadas da entrada ................................................................ 39 
2.5.3 Formulação Alternativa ..................................................................................................... 44 
2.5.4 Passagem de espaço de estado para função de transferência ............................................ 46 
2.5.5 Comentários sobre a Representação em Espaço de Estado ............................................... 49 
2.6 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS QUANTO AO NÚMERO DE ENTRADAS E SAÍDAS ............................ 49 
2.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 50 
2.7.1 Sistemas Translacionais ..................................................................................................... 50 
2.7.2 Sistemas de Reservatórios .................................................................................................. 50 
2.7.3 Linearização ....................................................................................................................... 51 
2.7.4 Espaço de Estado................................................................................................................ 51 
2.8 RESPOSTAS ................................................................................................................................... 53 
2.8.1 Sistemas Translacionais ..................................................................................................... 53 
2.8.2 Sistemas de Reservatórios .................................................................................................. 53 
2.8.3 Linearização ....................................................................................................................... 54 
2.8.4 Espaço de Estado................................................................................................................ 54 
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE .............................................................................................. 57 
3.1 DEFINIÇÃO .................................................................................................................................... 57 
3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE ...................................................................................................... 57 
3.2.1 Funções Simples ................................................................................................................. 57 
3.2.2 Propriedades ...................................................................................................................... 60 
3.2.3 Funções Especiais .............................................................................................................. 61 
3.2.4 Teoremas ............................................................................................................................ 63 
3.2.5 Resumo ............................................................................................................................... 67 
3.3 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ....................................................................................... 68 
3.3.1 Expansão em Frações Parciais .......................................................................................... 68 
3.4 APLICAÇÕES DE TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................................................ 75 
3.4.1 Solução de Equações Diferenciais ..................................................................................... 76 
3.4.2 Funções de Transferência................................................................................................... 79 
 
3 
3.4.3 Classificação das Funções de Transferência ..................................................................... 81 
3.5 EXEMPLOS UTILIZANDO MATLAB ................................................................................................. 82 
3.6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................................................. 84 
3.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 88 
3.8 RESPOSTAS ...................................................................................................................................90 
4 DIAGRAMA DE BLOCOS ........................................................................................................... 92 
4.1 REPRESENTAÇÕES BÁSICAS........................................................................................................... 92 
4.1.1 Sistemas em Série ............................................................................................................... 93 
4.1.2 Sistemas em Paralelo .......................................................................................................... 93 
4.1.3 Sistemas em Realimentação ................................................................................................ 94 
4.1.4 Exemplos............................................................................................................................. 94 
4.2 ÁLGEBRA DE BLOCOS .................................................................................................................... 95 
4.2.1 Sistemas em Paralelo .......................................................................................................... 96 
4.2.2 Sistemas em Realimentação ................................................................................................ 96 
4.2.3 Sistemas em Somatório ....................................................................................................... 97 
4.2.4 Resumo ............................................................................................................................... 99 
4.2.5 Exemplo de solução .......................................................................................................... 100 
4.3 EXEMPLOS RESOLVIDOS ............................................................................................................. 101 
4.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 120 
4.5 RESPOSTAS ................................................................................................................................. 124 
5 RESPOSTA DE SISTEMAS LTI ................................................................................................ 125 
5.1 RESPOSTA TRANSITÓRIA E RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE ............................................... 125 
5.1.1 Valor Final ....................................................................................................................... 126 
5.1.2 Erro de regime estacionário ............................................................................................. 126 
5.2 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 1ª ORDEM ......................................................................................... 127 
5.3 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM ......................................................................................... 130 
5.4 CURIOSIDADES DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM ................................................................................. 136 
5.5 RESPOSTA DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR ............................................................................ 139 
5.6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................... 141 
5.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 143 
5.8 RESPOSTAS ................................................................................................................................. 145 
6 AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE .......................................................................................... 147 
6.1 AÇÃO DE CONTROLE DE DUAS POSIÇÕES OU “LIGA-DESLIGA” .................................................... 148 
6.2 AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL (P) ................................................................................... 150 
6.3 AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL (I) ............................................................................................. 152 
6.4 AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI) ................................................................. 154 
6.5 AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVA (PD) ........................................................... 157 
6.6 AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVA (PID) ........................................ 160 
6.7 REJEIÇÃO A DISTÚRBIOS ............................................................................................................. 161 
6.8 POSSIBILIDADE DE ESCOLHA DOS POLOS ..................................................................................... 164 
6.9 VARIAÇÕES DO CONTROLADOR PID ........................................................................................... 166 
6.10 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ...................................................................................................... 170 
6.11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................ 183 
6.12 RESPOSTAS............................................................................................................................. 187 
7 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO .............................................................................................. 188 
7.1 TEMPO DE ACOMODAÇÃO ........................................................................................................... 189 
7.2 TEMPO DE PICO ........................................................................................................................... 194 
7.3 MÁXIMO SOBRESSINAL ............................................................................................................... 195 
7.4 TEMPO DE SUBIDA ....................................................................................................................... 196 
7.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................... 198 
7.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 200 
7.7 RESPOSTAS ................................................................................................................................. 203 
8 ESTABILIDADE .......................................................................................................................... 206 
 
4 
8.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS .................................................................................................................. 206 
8.1.1 Estabilidade segundo as entradas e saídas ...................................................................... 206 
8.1.2 Estabilidade segundo as respostas às condições iniciais ................................................. 207 
8.1.3 Estabilidade segundo os polos .......................................................................................... 207 
8.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH ...................................................................................... 210 
8.2.1 Casos Especiais ................................................................................................................ 211 
8.2.2 Aplicações em Sistema de Controle .................................................................................. 213 
8.3 ESTABILIDADE RELATIVA ........................................................................................................... 217 
8.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 218 
8.5 RESPOSTAS ................................................................................................................................. 221 
9 EXERCÍCIOS REVISIONAIS .................................................................................................... 2229.1 1ª PROVA ..................................................................................................................................... 222 
9.1.1 Modelagem de Sistemas Mecânicos Translacionais ......................................................... 222 
9.1.2 Transformada de Laplace ................................................................................................. 222 
9.1.3 Diagrama de Blocos ......................................................................................................... 222 
9.2 2ª PROVA ..................................................................................................................................... 223 
9.2.1 Resposta de sistemas de 1ª Ordem .................................................................................... 223 
9.2.2 Resposta de sistemas de 2ª Ordem .................................................................................... 223 
9.2.3 Ações Básicas de Controle ............................................................................................... 224 
9.3 3ª PROVA ..................................................................................................................................... 224 
9.3.1 Critérios de Desempenho ................................................................................................. 224 
9.3.2 Estabilidade ...................................................................................................................... 225 
9.3.3 Representação em Espaço de Estado ............................................................................... 226 
9.4 RESPOSTAS ................................................................................................................................. 227 
10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................ 230 
 
 
5 
Colaboradores: 
 
2016 Pedro Henrique Nogueira de Rezende 201217759 
2017 Matheus de Oliveira Moreira 2014016784 
 
 Esta parte é dedicada a todos os monitores que contribuiriam ao longo dos anos para a 
concretização desta apostila, melhorando a cada ano a didática e apresentando sugestões e novas 
metodologias. Assim, deixando registrados seus nomes para a história de Fundamentos da Teoria de 
Controle. 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1 Introdução aos Sistemas de Controle 
 
1.1 Monitoramento, Automação e Controle de Sistemas 
 
 O Monitoramento de Sistemas consiste na retirada de informação pertinente de um 
determinado sistema através de sensores. Estas informações podem ser utilizadas 
imediatamente para correções ou armazenadas para utilização posterior. Exemplos deste 
sistema podem ser representados pelo monitoramento de temperatura em caldeiras, pressão em 
autoclaves, etc. 
 
 
Figura 1-1: Sistema de Monitoração 
 
 A Automação de Sistemas visa tornar um processo automático, por exemplo, um 
sistema de embalagem de produtos, conhecido popularmente por embaladora, onde os produtos 
recebem um rótulo, depois são acondicionados em embalagens individuais e, finalmente, são 
colocados em caixas contendo vários produtos. Aquilo que antes era um processo manual torna-
se agora um processo automático feito por uma máquina. 
 
 
Figura 1-2: Sistema Automático sem sistema de monitoração 
 
 Este sistema automático sem monitoração é muito difícil de ser encontrado na prática. 
Em geral, os sistemas automáticos possuem um sistema de sensores para fornecer informação 
da situação atual do processo automático. Por exemplo, no caso da embaladora, haverá sensores 
que darão informação do posicionamento do produto, se há produto e qual a posição dele, etc. 
Outro exemplo é o portão automático em que sensores informam a posição do portão, se há a 
presença de um objeto na frente, etc. Portanto, um sistema automático é constituído por, 
 
 
7 
 
Figura 1-3: Sistema Automático com monitoração 
 
 Neste caso, o processamento digital colhe as informações e processa para uma tomada 
de decisão para aplicação da ação. São utilizados para isso a lógica combinatória, na qual a 
saída é formada por uma combinação da entrada, e a lógica sequencial, onde as saídas são 
formadas pela combinação das entradas e das saídas, ocorrendo um sequenciamento de 
atuações. O sistema automático não corrige o sistema. Exemplos deste caso podem ser as 
máquinas automáticas que possuem controle via CLP. 
 
 
Figura 1-4: Elementos básicos de um sistema automatizado 
 
 Já o Controle de Sistemas é atuar de uma forma satisfatória em um processo ou sistema 
físico com o intuito de melhorar o seu desempenho ou para corrigir o processo. Neste tipo de 
atividade está associada uma referência a ser seguida pelo sistema controlado. Exemplos deste 
caso são os controladores industriais como os utilizados em cilindros de laminação, onde se 
deseja que os rolos se mantenham a uma determinada distância, sendo esta a referencia a ser 
seguida, independentemente da entrada de material. Manter uma sala climatizada a uma 
determinada temperatura e umidade é a referência a ser seguida. Estas referências podem ser 
zero, como no caso de controle de vibração que há em helicópteros, onde se deseja que a 
vibração proveniente das pás do rotor não entre na cabine. 
 
 
Figura 1-5: Sistema de Controle 
 
 Uma forma conveniente de entender um processo de controle de sistemas é descrita 
abaixo, em que o ambiente computacional adquire os dados provenientes do sensor, compara 
 
8 
com uma resposta desejável, e calcula uma correção através do controlador, gerando assim a 
chamada lei de controle, que é implementada no sistema mecânico através do atuador. Note que 
neste tipo de estratégia ocorre rejeição a distúrbios, pois espera-se que a resposta obtida seja 
sempre igual à resposta desejada. 
 
 
Figura 1-6: Elementos básicos de um sistema controlado 
 
 Observe que, na prática, poderá haver sistemas automatizados e controlados ao mesmo 
tempo. Porém, tanto o controlado quanto o automatizado possuem um sistema de 
monitoramento associado. 
 
1.1 Definições básicas 
 
 Para entender o processo de controle, toma-se como exemplo o sistema Controle de 
Velocidade de um Carro. Nele, pretende-se manter a velocidade sempre constante (chamada de 
referência a ser seguida), independentemente de o carro estar em uma reta, uma subida ou uma 
descida (chamados de distúrbios). Distúrbio é um sinal que tende a afetar de maneira adversa 
o valor da resposta do sistema a ser controlado. 
 
 Para iniciar o procedimento, é necessário fazer o modelo matemático do veiculo. Para 
simplificar o equacionamento, assume-se que o veículo estará andando a certa velocidade e já 
em marcha adequada para isso ou que seja do tipo automático, chamado de condições de 
modelagem. Desta forma, o que controla a velocidade é simplesmente o acelerador. 
 
 Sistema sem controle ou com controle manual, geralmente na literatura é referenciado 
Sistema em Malha Aberta é aquele em que o operador é responsável por ajustar a resposta do 
sistema alterando manualmente a entrada. No caso do veículo, o motorista aciona o acelerador 
para alterar a velocidade do mesmo. 
 
 Sistema controlado é aquele em que o operador ajusta a referência a ser seguida e o 
sistema de controle altera a entrada do sistema para obter uma resposta em geral igual à 
referência a ser seguida, geralmente referenciado na literatura como Sistema em Malha 
Fechada. No caso do veículo, o operador informa a velocidade a ser mantida e quem o acelera 
ou desacelera é o sistema de controle, acionando automaticamente o acelerador. 
 
 
 
 
9 
1.2 Exemplo de um sistema de controle típicoUm sistema de controle típico possui a seguinte representação em diagrama de blocos 
com as funções e sinais escritas em Laplace, 
 
 
Figura 1-7: Sistema de controle típico 
 
 Sendo que os sinais são dados por, 
 
 R(s) é a referência a ser seguida definida pelo operador; 
 E(s) é o erro do sistema de controle; 
 U(s) é a lei de controle por ser a saída do controlador, mas ao mesmo tempo é a 
entrada da planta a ser controlada; 
 Y(s) é a resposta controlada real; 
 X(s) é a resposta medida pelo sensor de erro. 
 
 Sendo que os blocos representam as equações dinâmicas conforme, 
 
 G(s) é o processo a ser controlado; 
 H(s) é o sensor de erro ou de medida; 
 PID(s) é o sistema de controle. 
 
 Por exemplo, supondo o sistema de controle de velocidade de um veículo. Neste 
esquema o desejável é que a velocidade do veículo seja mantida sempre constante 
independentemente se ocorrem variações do terreno como subidas ou decidas, assim tem-se 
que, 
 
 Y(s) é a velocidade real ou verdadeira do veículo; 
 X(s) é a velocidade medida pelo velocímetro, em geral, espera-se que esta seja 
idêntica à velocidade do veículo Y(s); 
 R(s) é a velocidade desejada definida pelo motorista que o veículo deve manter; 
 E(s) é a diferença entre a velocidade medida e a velocidade desejada; 
 G(s) é a relação matemática ou equação dinâmica que correlaciona a posição do 
acelerador com a velocidade do veículo; 
 H(s) é a relação matemática que correlaciona a velocidade verdadeira do veículo 
com a velocidade medida (todo sensor de medida possui uma relação deste tipo); 
 PID(s) é a relação matemática que correlaciona a diferença E(s) com o que deve 
ser feito com o acelerador para que E(s) = 0; 
 U(s) é a posição do acelerador (note que se E(s) = 0, o acelerador deve 
permanecer na mesma posição). 
 
10 
 
1.3 Definição de Sistema de Controle com relação aos sinais 
 
 Controlar um sistema pode ser entendido como ajustar a entrada U(s) automaticamente 
por um sistema de controle M(s), para que a resposta Y(s) seja igual à definida por R(s). Esta 
compreende o sistema de controle mais simples possível. 
 
 Variável Controlada Y(s) é a grandeza ou a condição que é medida e controlada. 
Variável Manipulada U(s) é a grandeza ou condição modificada pelo controlador M(s) de 
modo que afete o valor da variável controlada. Controlar significa medir o valor da variável 
controlada do sistema e utilizar a variável manipulada do sistema para corrigir ou limitar os 
desvios do valor médio a partir de um valor desejado. 
 
1.4 Exemplo de Sistemas Controlados e de Sistemas Automáticos 
 
 Supondo uma caixa d’água, o controle de nível de água pode ser feito de duas formas: 
por um sistema de controle ou por um sistema automático. A escolha vai depender do tipo de 
fornecimento de água. 
 
 Quando a água tem um fornecimento contínuo através do sistema de encanamento, 
como ocorre onde há água encanada, a melhor solução é o sistema de controle em que se tem 
uma boia; a boia é o sistema de controle e o medidor ao mesmo tempo. Ela é considerada um 
sistema de controle, pois, independentemente de qualquer distúrbio no nível, ela vai manter o 
nível de água sempre na mesma posição. 
 
 Quando a água é fornecida através de uma bomba, opta-se pelo sistema automático. Isto 
é, dentro da caixa d’água há dois sensores de nível: um para nível baixo, que liga a bomba; e 
outro para nível alto, que desliga a bomba. Neste caso não há rejeição a distúrbios, pois o 
sistema não mantém o nível de água constante. 
 
 
 
11 
 
2 Modelagem de Sistemas dinâmicos 
 
 A modelagem dinâmica de um sistema ou processo consiste em escrever sua equação 
dinâmica utilizando algum método matemático, como, por exemplo, 2ª Lei de Newton ou 
Lagrange. 
 
 Sempre que isso for feito, deve-se ter em mente que a passagem do modelo físico para 
o modelo matemático envolve uma série de restrições ou condições de modelagem impostas. 
Isto é feito para facilitar a modelagem ou para impor determinadas condições necessárias para 
a compreensão de um determinado fenômeno físico. 
 
 A modelagem sempre será feita baseada nos Graus de Liberdade do sistema. Os graus 
de liberdade são definidos pelo número de movimentos independentes que o modelo pode 
apresentar. 
 
 Em geral, toda modelagem envolve a definição do par dual que define o tipo de modelo 
a ser feito. Por exemplo, em sistemas mecânicos é o Deslocamento e Força e Rotação e 
Momento; em sistemas elétricos é a voltagem e corrente. 
 
2.1 Sistemas Mecânicos Translacionais 
 
 Para a modelagem dos sistemas translacionais será utilizada a 2ª Lei de Newton. 
 
2.1.1 Sistema Massa-Mola-Amortecedor 
 
 Considerando o sistema definido na figura abaixo. As condições para escrever o modelo 
matemático através do modelo físico são dadas por, 
 
1. Só pode ocorrer movimento de translação na direção horizontal. Isso significa que não 
pode haver movimento de rotação e o móvel não pode se descolar da base de apoio; 
2. Apesar de a mola e o amortecedor estarem deslocados, a aplicação das suas forças é 
feita no mesmo ponto, não causando momento. O mesmo acontece com a força externa 
f(t); 
3. A constante de rigidez K, o coeficiente de amortecimento C e a massa M são constantes 
ao longo do tempo; 
4. A mola e o amortecedor inicialmente não estão tensionados, o sistema está em repouso; 
5. As forças de inércia, da mola e do amortecedor são consideradas lineares; 
6. Não há restrição quanto ao estiramento da mola e do amortecedor. Isto significa que não 
há fim de curso; 
7. O eixo inercial y está colocado em cima do CG (Centro de Gravidade) da massa M. 
 
 
12 
 
Figura 2-1: Sistema Massa-Mola-Amortecedor 
 
 Das condições impostas, tem-se: 
 
1. Apenas uma coordenada independente, denominada de y, que será definida 
como positiva para a direita; 
2. A massa M fará movimentos em torno da sua posição inicial, que será 
considerada como marco zero ou y(0) = 0; 
3. Os movimentos serão realizados apenas na direção do deslocamento, portanto 
não é necessária a colocação da força peso. 
 
 A modelagem é feita através da construção do DCL (Diagrama de Corpo Livre). Para a 
colocação das forças correspondentes às forças da mola e do amortecedor, assume-se um 
deslocamento virtual na direção positiva de y. Neste caso, as reações são opostas ao movimento 
fictício, assim, 
 
 
Figura 2-2: Diagrama de Corpo Livre do Massa-Mola-Amortecedor. Direção direita 
 
 Aplicando somatória de forças no eixo y, 
 
)t(f)t(yC)t(Ky)t(yMmaF  
 
 
 Chegando a, 
 
 
)t(f)t(Ky)t(yC)t(yM  
 (2.1) 
 
 Agora, invertendo-se a direção do eixo coordenado inercial y, isto é, assumindo que o 
eixo é positivo para a esquerda conforme figura abaixo, 
 
 
Figura 2-3: Diagrama de Corpo Livre do Massa-Mola-Amortecedor. Direção esquerda 
 
13 
 Aplicando somatória de forças no eixo y, 
 
)t(f)t(yC)t(Ky)t(yMmaF  
 
 
 Chegando a, 
 
 
)t(f)t(Ky)t(yC)t(yM  
 (2.2) 
 
 Comparando-se a Eq. (2.1) com a Eq.(2.2), observa-se que a única diferença é a direção 
da força externa f(t) - deve ser lembrado que a direção positiva dos eixos coordenados é 
diferente. Como exemplo de resposta para o deslocamento da massa M, assumindo massa M = 
2 kg, C = 1 Ns/m e K = 5 N/m, a reposta y(t) para uma entrada f(t) = 10 N para as Eqs (2.1) e 
(2.2), a posição y(t) da massa M em função do tempo pode ser observada na figura abaixo. 
 
 Observa-se que a diferença ocorre no deslocamento da massa. Na Figura 2-4(a), o eixo 
coordenado e a força f(t) estão para a direita, significandoque a massa se desloca para a direita. 
Já na Figura 2-4(b) o eixo coordenado é positivo para a esquerda, estando a força f(t) para a 
direita, o que significa que a massa se desloca no sentido negativo. 
 
 
 (a) Eixo positivo DIREITA – Eq. (2.1) (b) Eixo positivo ESQUERDA – Eq. (2.2) 
Figura 2-4: Resposta do sistema Massa-Mola-Amortecedor para f(t) = 10N 
 
2.1.2 Conjunto de Massas-Molas 
 
Considera-se o conjunto de massas-molas-amortecedores da figura abaixo. Para escrever a 
equação de movimento, deve ser assumido que, 
 
1. Só pode ocorrer movimento de translação na direção horizontal. Isso significa que não 
pode haver movimento de rotação e o móvel não pode se descolar da base de apoio; 
2. Apesar de a mola e o amortecedor estarem deslocados, a aplicação das suas forças é 
feita no mesmo ponto, não causando momento. O mesmo acontece com as forças 
externas; 
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Resposta à força f(t) = 10 N
D
e
sl
o
ca
m
e
n
to
 y
(t
) 
[m
e
tr
o
s]
Tempo [Segundos]
0 5 10 15 20 25 30
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Resposta à força f(t) = 10 N
D
es
lo
ca
m
en
to
 y
(t)
 [m
et
ro
s]
Tempo [Segundos]
 
14 
3. As constantes de rigidez, os coeficientes de amortecimento e a massas são constantes ao 
longo do tempo; 
4. As molas e os amortecedores inicialmente não estão tensionados, o sistema está em 
repouso; 
5. As forças de inércia, das molas e dos amortecedores são consideradas lineares; 
6. Não há restrição quanto ao estiramento das molas e dos amortecedores. Isto significa 
que não há fim de curso; 
7. Os eixos inerciais estão colocados em cima do CG (Centro de Gravidade) das massas. 
 
 
Figura 2-5: Conjunto de Massas-Molas-Amortecedores – Variação #1 
 
 Das condições impostas, tem-se: 
 
1. Três coordenadas independentes, x, y e z, pois cada bloco pode se mover 
independentemente uma da outra; 
2. As massas farão movimentos em torno de suas posições iniciais, que serão 
consideradas como marco zero, x(0) = 0, y(0) = 0 e z(0) = 0; 
3. Os movimentos serão realizados apenas na direção do deslocamento, portanto 
não é necessária a colocação da força peso. 
 
 Neste caso, o DCL precisa ser feito para cada massa. As forças de reação de cada 
amortecedor e mola são colocadas assumindo um deslocamento positivo fictício para a massa 
em analise enquanto as outras massas estão paradas. Assim, observam-se as reações das molas 
e amortecedores em sentidos opostos ao eixo coordenado considerado. Como regra geral, os 
deslocamentos ou velocidades são colocados assumindo a coordenada atual subtraída da 
coordenada à qual a força está conectada se as direções das duas coordenadas são iguais. Então, 
tem-se para as massas os DCLs apresentados na figura abaixo. 
 
 
Figura 2-6: DCL do conjunto de massas-molas-amortecedores – Variação #1 
 
 
15 
 Observe que, apesar de as forças possuírem os mesmos sentidos, as coordenadas estão 
em oposição, significando que no somatório as forças estão em oposição. Aplicando o 
somatório de forças em cada bloco encontra-se: 
 
Para a massa M1: 
        1uzx5Kzx5Cyx3Kyx3Cx1Kx1Cx1M  
 
Para a massa M2: 
        2uzy4Kzy4Cxy3Kxy3Cy2Ky2Cy2M  
 
Para a massa M3: 
        3uxz5Kxz5Cyz4Kyz4Cz3M  
 
 
 Escrevendo a Equação de Movimento na forma matricial encontra-se, 
 


























































































3u
2u
1u
100
010
001
z
y
x
5K4K4K5K
4K4K3K2K3K
5K3K5K3K1K
z
y
x
5C4C4C5C
4C4C3C2C3C
5C3C5C3C1C
z
y
x
3M00
02M0
001M






 (2.3) 
 
 Uma forma de verificar se as equações estão corretas é averiguar se a matriz de massa 
é diagonal, se a matriz de amortecimento e rigidez possui a diagonal principal positiva, se os 
termos fora da diagonal principal são todos negativos e se a matriz é simétrica. Estas 
verificações são válidas para conjuntos de massas-molas-amortecedores quando todos os eixos 
inerciais possuem a mesma direção positiva. 
 
 Agora, resolve-se o mesmo problema, mas invertendo a direção positiva do eixo inercial 
da massa M2, conforme a figura abaixo. 
 
 
Figura 2-7: Conjunto de Massas-Molas-Amortecedores – Variação #2 
 
 Com a mudança de direção do eixo inercial y, devem-se verificar as novas direções das 
forças do móvel ao qual ele está referenciado, neste caso a massa M2. Além disso, quando as 
coordenadas possuírem sentidos opostos, elas deverão ser somadas nas forças. Desta forma, a 
nova configuração das forças fica como apresentado na figura abaixo. 
 
Samuel
Highlight
 
16 
 
Figura 2-8: DCL do conjunto de massas-molas-amortecedores – Variação #2 
 
 Aplicando Somatório de Forças, encontra-se, 
 
Para a massa M1: 
        1uzx5Kzx5Cyx3Kyx3Cx1Kx1Cx1M  
 
Para a massa M2: 
        2uzy4Kzy4Cxy3Kxy3Cy2Ky2Cy2M  
 
Para a massa M3: 
        3uxz5Kxz5Cyz4Kyz4Cz3M  
 
 
 Escrevendo a Equação de Movimento na forma matricial encontra-se, 
 


























































































3u
2u
1u
100
010
001
z
y
x
5K4K4K5K
4K4K3K2K3K
5K3K5K3K1K
z
y
x
5C4C4C5C
4C4C3C2C3C
5C3C5C3C1C
z
y
x
3M00
02M0
001M






 (2.4) 
 
 Como verificação das matrizes, observa-se que a simetria e os valores positivos da 
diagonal principal das matrizes de amortecimento e rigidez se mantiveram, a única alteração 
foi em relação aos termos fora da diagonal principal, que quando relacionados ao eixo que 
possui direção positiva invertida apresentaram termos positivos. 
 
2.1.3 Suspensão Ativa de ¼ de veículo 
 
 A suspensão ativa que será apresentada se refere ao modelo padrão de ¼ de veículo ou 
modelo de 2 graus de liberdade. Para passar do modelo físico para o modelo matemático, as 
seguintes considerações devem ser feitas, 
 
1. Os deslocamentos são todos na direção vertical; 
2. Não ocorre rotação das massas; 
3. Todos os movimentos são feitos no plano vertical; 
4. As forças de reação do amortecedor e da mola não geram momento; 
5. As forças da mola e do amortecedor são lineares; 
6. O pneu será modelado como uma rigidez pura; 
7. Não ocorre fim de curso para o amortecedor e mola; 
8. O pneu se mantém sempre em contato com o solo; 
9. O modelo será feito a partir do repouso; 
10. A força de controle será feita por um cilindro de dupla ação. 
 
17 
 
 As considerações feitas acima são todas aceitas e utilizadas em modelos mais 
avançados. As condições mais difíceis de serem cumpridas são a n°7 e n°8. Na prática a força 
da mola só é linear na região central de deslocamento; quando chega próximo ao fim de curso, 
a rigidez se torna cúbica, aumentando a força da mola. Assim, a principal restrição acaba sendo 
ocontato do pneu com o solo para uma situação real. 
 
 
Figura 2-9: Suspensão Ativa de ¼ de veiculo 
 
 Sendo que, 
 
 Ms é a massa suspensa de ¼ de veículo; 
 Mn é a massa não suspensa representada pelo conjunto roda, pneu e suspensão; 
 Ys é o deslocamento da massa Ms; 
 Yn é o deslocamento da massa Mn; 
 K é a rigidez da suspensão; 
 C é o amortecimento da suspensão; 
 Kp é a rigidez do pneu; 
 w(t) é o deslocamento da via ou perturbação; 
 u(t) é a força de controle. 
 
 O objetivo da suspensão ativa é evitar que os distúrbios indesejáveis da via afetem a 
massa suspensa. A suspensão ativa pode minimizar o deslocamento ou a aceleração da massa 
suspensa. A minimização do deslocamento é feita para suspensões com caráter esportivo e a 
minimização da aceleração é feita para efeitos de conforto. Desta forma, esportividade e 
conforto são parâmetros conflitantes no desenvolvimento de suspensões veiculares. 
 
 Construindo o DCL para as duas massas e assumindo que a força de controle u(t) será 
positiva quando afasta as massas e negativa quando as aproxima, e que o distúrbio da via é 
positivo no mesmo sentido dos deslocamentos das massas, encontra-se a figura abaixo. 
 
 
18 
 
 
 (a) Massa Suspensa (b) Massa não suspensa 
Figura 2-10: DCL da Suspensão Ativa de ¼ de veiculo 
 
Para a massa Ms: 
    )t(u)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM nsnsss  
 
Para a massa Mn: 
      )t(u)t(w)t(yK)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM npsnsnnn  
 
 
 Escrevendo a Equação de Movimento na forma matricial encontra-se, 
 
























































)t(w
)t(u
K1
01
)t(y
)t(y
KKK
KK
)t(y
)t(y
CC
CC
)t(y
)t(y
M0
0M
pn
s
pn
s
n
s
n
s



 (2.5) 
 
2.2 Sistemas de reservatórios 
 
 Para a modelagem de reservatórios, será assumido que todos os sistemas apresentados 
partem do pressuposto de que já havia fluxo Q entrando e saindo, e de que as alturas H dos 
reservatórios já estavam constantes. Portanto, é considerado que a modelagem apresentada a 
seguir não contempla o reservatório vazio. Além disso, será considerado escoamento laminar. 
 
2.2.1 Reservatório Simples 
 
 Considere o reservatório apresentado abaixo. Nele, inicialmente entra Q(t) e sai Q(t), o 
líquido permanece em uma altura H dentro do reservatório devido à resistência R. A modelagem 
será feita supondo a variação em torno desta condição inicial. 
 
 
Figura 2-11: Reservatório simples 
 
19 
 A resistência R ao fluxo de líquido em uma tubulação ou restrição é definida como a 
variação na diferença de nível (a diferença entre o nível dos líquidos nos dois reservatórios) 
necessária para causar a variação unitária na vazão, assim, 
 
R = (Variação na diferença de nível, m)/(Variação na vazão em volume, m3/s) 
 
 Considerando que o fluxo seja laminar, então, 
 
Q
H
dQ
dH
R 
 
 
 A Capacitância C de um reservatório é definida como a variação na quantidade de 
líquido armazenado necessário para causar uma mudança unitária no potencial (altura). O 
potencial é a grandeza que indica o nível de energia do sistema. Assim, 
 
C = (Variação na quantidade de líquido armazenado, m3)/(Variação na altura, m) 
 
 Notar que capacidade (m3) e capacitância (m2) são diferentes. A capacitância do 
reservatório é igual à sua secção transversal. Se esta for constante, a capacitância será constante 
para qualquer altura do nível. 
 
 Sendo assim, tem-se, 
 
 Q é a vazão em regime permanente, m3/s; 
 qi(t) é um pequeno desvio de entrada em relação ao seu regime permanente, m
3/s; 
 qo(t) é um pequeno desvio de saída em relação ao seu regime permanente, m
3/s; 
 H é a altura do nível de líquido em regime permanente, m; 
 h(t) é um pequeno desvio de nível a partir do seu valor de regime permanente, m; 
 
 Aplicando a conservação de massa: “A variação na quantidade que entra menos a 
variação na quantidade que sai é a variação da quantidade armazenada”. Assim, 
 
 Cdh(t) = ( qi(t) – qo(t) ) dt (2.6) 
 
 A partir da definição de resistência, a relação entre qo(t) e h(t) é dada por, 
 
 
R
)t(h
)t(q
)t(q
)t(h
R o
o

 (2.7) 
 
 Portanto, substituindo Eq(2.7) na Eq(2.6), 
 
)t(q
R
)t(h
dt
)t(dh
C i
 
 
 A equação acima relaciona a variação na entrada qi(t) com a variação da altura h(t). 
Aplicando a transformada de Laplace para encontrar a função de transferência, 
 
 
20 
1RCs
R
)s(Q
)s(H
i 

 
 
 Para a relação entre a entrada Qi(s) e a saída Qo(s) é substituída a transformada de 
Laplace da Eq(2.7), assim, 
 
1RCs
1
)s(Q
)s(Q
i
o


 
Onde foi substituída a relação, 
 
)s(H
R
1
)s(Qo 
 
 
2.2.2 Exemplo de simulação do escoamento em reservatório simples 
 
Assume-se um reservatório simples com área A = 6 m2 resistência R = 75 m/(m3/s). As 
funções de transferência que correlacionam uma variação no fluxo de entrada com as 
variações na altura e no fluxo de saída são dada por, 
 
1s450
75
)s(Q
)s(H
i 

 e 
1s450
1
)s(Q
)s(Q
i
o


 
 
 Observa-se que a constante de tempo é de 450 segundos e que uma variação unitária na 
entrada acarreta um aumento na altura em 75 metros. Parece muito, mas uma entrada unitária é 
um aumento de 1 m3/s em um tanque de 6 m2 de área. 
 
 Do ponto de vista físico, um aumento de vazão correspondente a 1 m3/s em um tanque 
de área de 6 m2 parece não ser possível ou improvável de ser realizado. Contudo, um aumento 
de 10 litros/segundo acarretaria um aumento de 0,75 metros do nível armazenado. 
 
2.2.3 Reservatórios em Série 
 
 Quando os reservatórios estão conforme apresentados na figura abaixo, verifica-se que 
a entrada de um reservatório é saída do outro. Esta configuração caracteriza que os tanques 
estão em série. 
 
 
21 
 
Figura 2-12: Reservatório em série 
 
 Portanto, as funções de transferência que regem o sistema são dadas por, 
 
1sCR
1
)s(Q
)s(Q
111
2


 e 
1sCR
1
)s(Q
)s(Q
222
3


 
 
 Então, 
 
  1sCRCRsCRCR
1
1sCR
1
1sCR
1
)s(Q
)s(Q
2211
2
221122111
3




 
 
 Observe que neste caso o resultante é um sistema de 2ª ordem com raízes reais distintas, 
com frequência natural dada por, 
 
2211
n
CRCR
1

 rad/s 
 
2.2.4 Sistema de Reservatório Composto 
 
 Na modelagem do sistema de tanques apresentado abaixo, o princípio é o mesmo 
utilizado acima, isto é, inicialmente em regime permanente os escoamentos eram Q e as alturas 
H1 e H2. 
 
 
Figura 2-13: Acoplamento de reservatórios 
 
22 
 Resistência R1, 
 
 
1
21
12
12
21
1
R
)t(h)t(h
)t(q
)t(q
)t(h)t(h
R




 (2.8) 
 
 Resistência R2, 
 
 
2
2
o
o
2
2
R
)t(h
)t(q
)t(q
)t(h
R 
 (2.9) 
 
 Conservação de massa para o reservatório 1, 
 
 
)t(q)t(q
dt
)t(dh
C 12i
1
1 
 (2.10) 
 
 Conservação de massa para o reservatório 2, 
 
 
)t(q)t(q
dt
)t(dh
C o12
2
2 
 (2.11) 
 
 As equações (2.8) a (2.11) formam o conjunto de equações diferenciais para o conjunto 
de reservatório. 
 
 Para se encontrar a função de transferência Qo(s)/ Qi(s), aplica-se a transformada de 
Laplace nas Equações (2.8) a (2.11);mas aqui será utilizado o procedimento de diagrama de 
blocos. 
 
 
Figura 2-14: Diagrama de blocos das equações do reservatório - separados 
 
 Montando os blocos, encontra-se, 
 
 
Figura 2-15: Diagrama de blocos das equações do reservatório – juntas - a 
 
23 
 Aplicando álgebra de blocos, movendo H2(s) e incluindo 1/C1s, encontra-se, 
 
 
Figura 2-16: Diagrama de blocos das equações do reservatório – juntas - b 
 
 Resolvendo as realimentações internas, 
 
 
Figura 2-17: Diagrama de blocos das equações do reservatório – juntas - c 
 
 Desta forma, 
 
  
  
  1sCRCRCRsCRCR
1
sCR
1sCR1sCR
1
1
1sCR1sCR
1
)s(Q
)s(Q
122211
2
2211
12
2211
2211
i
o





 
 
 Observe que o sistema resultante é um sistema de 2ª ordem com frequência natural dada 
por, 
2211
n
CRCR
1

 rad/s 
 
 A frequência natural é exatamente a mesma para o sistema em série; contudo, o fator de 
amortecimento é maior, pois o termo com “s” possui um fator a mais, “R2C1”. Sendo assim, um 
sistema mais amortecido. 
 
2.3 Linearização 
 
 Para a aplicação da transformada de Laplace, as equações de movimento precisam estar 
na forma linear. Um sistema linear obedece aos princípios da superposição de resultados e da 
multiplicação por constante, isto é, 
 
 
 
 
 
 
24 
Entrada Saída 
X1(t) Y1(t) 
X2(t) Y2(t) 
X1(t) + X2(t) Y1(t) + Y2(t) 
αX1(t) + β X2(t) αY1(t) + β Y2(t) 
 
 Uma forma de realizar a linearização é a expansão do termo não linear em Série de 
Taylor tomando apenas os termos lineares, isto é, os termos não lineares são desconsiderados. 
Mas para isso é necessário assumir um ponto entorno do qual a expansão será válida. 
 
2.3.1 Uma Variável 
 
 A Série de Taylor para uma variável, supondo a função f(x) em torno da posição x = a, 
é dada por, 
   ax)x(f
dx
d
)a(fxf
ax
L 

 
Onde fL(x) é a função linearizada de f(x) em torno do ponto x =a. 
 
Exemplo 1: Linearizar a equação abaixo em torno do ponto θ = 0. 
 
g(θ) = cos(θ) 
 
    1)0)(0sin()0cos(0)(g
d
d
)0(gg
0
L 



 
 
 
Figura 2-18: Linearização de cos(θ) em torno de θ = 0 
 
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
Co
s(
)
 [Graus]
 
 
Cos()
linear
Valor Exato
5% de erro
 
25 
Exemplo 2: Linearizar a equação abaixo em torno do ponto θ = 0. 
 
g(θ) = sen(θ) 
 
    



)0)(0cos()0sin(0)(g
d
d
)0(gg
0
L
 
 
 
Figura 2-19: Linearização de sen(θ) em torno de θ = 0 
 
Exemplo 3: Linearizar a equação abaixo em torno do ponto x = π/4, 
 
 xsinx)x(g 2
 
 
 Então, 
 
   




 





 





 






 





 





4
xxcosx)xsin(x2
4
sin
4
)x(g
4
x)x(g
dx
d
4
gxg
4
x
2
2
L
4
x
L
 
 Chegando a, 





 














 














 





 







 





 

4
x
32
2
4
2
32
2
4
x
4
cos
4
)
4
sin(
4
2
4
sin
4
)x(g
22
22
L
 
 
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Si
n(
)
 [Graus]
 
 
Sin()
linear
Exato
Erro 5%
 
26 
 
Figura 2-20: Linearização de 
 xsinx)x(g 2
 em torno de x = π/4 
 
2.3.2 Multivariável 
 
 A Série de Taylor para funções multivariáveis. Supondo a função f(x,y,z) em torno da 
posição (x,y,z) = (a,b,c), é dada por, 
 
   
   cz)z,y,x(f
z
by)z,y,x(f
y
ax)z,y,x(f
x
)c,b,a(fz,y,xf
)c,b,a()z,y,x()c,b,a()z,y,x(
)c,b,a()z,y,x(
L













 
 
Onde fL(x,y,z) é a função linearizada de f(x,y,z) em torno do ponto (x,y,z) =(a,b,c). 
 
 No caso de linearização de um sistema com 3 variáveis, tem-se que o sistema não linear 
será representado por uma superfície na qual a sistema linearizado representado por um plano 
irá tocar no ponto escolhido para a linarização. 
 
Exemplo: Obter a linearização para o ponto (x,θ) = (1,π/4). 
 
   
  umgLexcosx3
0mLsinxcosx
x22
2



 
 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Função G(x)
Va
lor
es
 d
e 
g(
x)
x
 
 
não-linear
linearizada
Ponto exato
5% de diferença
 
27 
 A linearização pode ser feita por partes. Para isso, devem ser observados quais são os 
termos não lineares. Iniciando pela 1ª equação, o termo não linear é dado por 
    sinxcos
. Assim, aplicando a linearização de 
  )sin(x)cos(,xf 
 para (x,θ) = (1,π/4), 
 
    




 












 4
),x(f1x),x(f
x
)
4
,1(f,xf
)
4
,1(),x()
4
,1(),x(
L
 
 
 As derivadas parciais, 
 
      
        





cosxsinsinxcos
sinsinxcos
x 
 
 Resultando em, 
 
    




 











 





 





 





 





 

44
cos
4
sin1x
4
sin
4
sin
4
cos,xfL
 
       1x
2
2
1x
2
2
2sinxcos 
 
 
 Para a segunda equação, o termo não-linear é 
  x22 excosx3 
. Mas, deve ser 
observado que há a derivada em relação ao tempo, que é um termo linear; então, deve-se separar 
este termo, fazendo 
    cosx3,xf 2
, 
 
   
   





sinx3cosx3
cosx6cosx3
x
22
2
 
 Então, 
    




 





 





 





 

44
sin31x
4
cos6
4
cos3,xfL
 
    




 

42
23
1x
2
26
2
23
cosx3 2
 
 
 Para o termo restante 
  x2exxf 
, aplicando a expansão em série de Taylor, 
   ax)x(f
x
)a(fxf
ax
L 




 
 Para a derivada, 
  1xx2x2
1x
x2 e2xe'xex
x











 
 
28 
 Significando que quando for multiplicado pelo termo (x-1) observa-se que aparecerá 
termos não-lineares novamente, assim, para este caso deve se apenas utilizado o termo 
constante da Série de Taylor, isto é, 
    2LL exxf)a(fxf 
 
 
 Juntando as soluções para compor as novas equações, 
   
  umgLexcosx3
0mLsinxcosx
x22
2



 → 
 
  umgLex
42
23
1x
2
26
2
23
0mL1x
2
2
x
2
2





 




 
 
2.4 Sistemas Pendulares Simples 
 
 Os sistemas pendulares são utilizados como exemplos de sistemas não-lineares que 
podem ser controlados em torno de uma posição de equilíbrio. 
 
2.4.1 Pêndulo Simples 
 
 Considerando o sistema apresentado na figura abaixo, encontrar a equação de 
movimento na forma linear para uma entrada nula, isto é, equação linear homogênea. 
 
 
Figura 2-21: Pêndulo simples 
 
 Aplicando somatório dos momentos no ponto de apoio da haste, 
 
  Mh IIsin
2
L
mgsinMgLIM
 
 
 Como curiosidade,os momentos de inércia são dados por, 
 
 
2
M MLI 
 Massa pontual girando a uma distância L; 
 
3
mL
I
2
h 
 Haste de comprimento L girando pela base; 
 
 Assim, a equação de movimento não-linear fica, 
 
29 
 
0singM
2
m
LM
3
m












 
 
 
 Aplicando a linearização para o ponto θ = 0, 
 
0gM
2
m
LM
3
m












 
 
 
 Neste modelo foi desprezado o efeito da fricção entre a haste e o apoio. Observa-se, pela 
equação de movimento, que não aparece o termo da derivada de θ que caracterizaria a presença 
de amortecimento se considerado um modelo de 2ª ordem. 
 
2.4.2 Pêndulo Invertido 
 
 O objetivo do sistema é manter a haste na posição vertical, escolhendo-se a posição de 
parada do carro M através da ação de controle u(t). 
 
 
Figura 2-22: Pêndulo invertido 
 
 Para se fazer o equacionamento, os objetos devem ser separados através do DCL 
(Diagrama de Corpo Livre). Além disso, como o objetivo é posicionar o carro M no espaço, 
será dotado um sistema de coordenadas inercial. 
 
 
Figura 2-23: Pêndulo invertido - DCL 
 
 Aplicando somatório de forças na direção horizontal do carro, 
 
 
)t(xMH)t(umaFx C 
 (2.12) 
 
30 
 
 Aplicando somatório de forças e momentos na haste com a massa, 
 
 
)t(xM)t(xmHmaFx CGMCGh  
 (2.13) 
 
  )t(yM)t(ymgMmVmaFy CGMCGh  
 (2.14) 
 
  )t(IIsin
2
L
Mgcos
2
L
Hsin
2
L
VIM MhCGh  
 (2.15) 
 
 Como se observa, é necessário encontrar a relação do centro de gravidade para a haste 
e para a massa M. Abaixo a relação para a haste, cujo centro de massa está posicionado em L/2. 
Não será feita a dedução para o centro de massa da massa M, que está posicionado em L, pois 
a diferença será apenas a presença do “2”. 
 
  
 )t(sin)t()t(cos)t(L)t(x)t(x
)t(sin)t()t(cos)t(
2
L
)t(x)t(x
)t(cos)t(
2
L
)t(x)t(x
)t(sin
2
L
)t(x)t(x
2
CGM
2
CGh
CGh
CGh







 (2.16) 
 
  
 )t(cos)t()t(sin)t(L)t(y
)t(cos)t()t(sin)t(
2
L
)t(y
)t(sin)t(
2
L
)t(y
)t(cos
2
L
)t(y
2
CGM
2
CGh
CGh
CGh







 (2.17) 
 
 As equações de movimento são encontradas substituindo (2.16) em (2.13) e então em 
(2.12). Assim, 
 
  
   )t(u)t(sin)t()t(cos)t(L)t(xM
)t(sin)t()t(cos)t(
2
L
)t(xm)t(xM
2
2
C









 
 
 Reagrupando, 
 
 
      )t(u)t(sin)t()t(cos)t(
2
L
M2m)t(xMMm 2C 

 (2.18) 
 
 Agora, substituindo (2.13) e (2.14) em (2.15), 
 
 
31 
    
  0sin
2
L
Mgcos
2
L
)t(xM)t(xm
sin
2
L
Mm)t(yM)t(ym)t(II
CGMCGh
CGMCGhMh




 
 
 
 Reagrupando, 
 
   
    0sin
2
L
gM2mcos
2
L
)t(xM)t(xm
sin
2
L
)t(yM)t(ym)t(II
CGMCGh
CGMCGhMh




 
 
 Agora, substituindo (2.16) e (2.17) na equação acima, 
 
 
     
      
  0sin
2
L
gM2m
)t(sin)t()t(cos)t(cos
4
L
M2mcos
2
L
)t(xMm
)t(cos)t()t(sin)t(
4
L
sinM2m)t(II
2
2
2
2
Mh





 (2.19) 
 
 Assim, as equações (2.18) e (2.19) são as equações não-lineares do pêndulo invertido. 
Para que as equações na forma linear sejam encontradas, considera-se o ponto em torno de θ = 
0. Assim, 
 
 
    )t(u)t(
2
L
M2m)t(xMMm C 

 (2.20) 
 
      0
2
L
gM2m)t(x
2
L
Mm)t(
4
L
M2mII
2
Mh 





 
 (2.21) 
 
 Como os momentos de inércia são dados por, 
 
 
2
M MLI 
 Massa pontual girando a uma distância L; 
 
12
mL
I
2
h 
 Haste de comprimento L girando pelo Centro de Gravidade; 
 
 Assim, o a equação de movimento linear na forma de matriz é dada por, 
 
 
 
 



















































0
)t(u
)t(
)t(x
2
gLM2m
0
00
)t(
)t(x
L
4
M3
3
m
2
L
Mm
2
L
MmMMm
2
C

 
 
 
32 
Comentário sobre linearização: Em geral, a linearização é feita durante o processo de 
modelagem e não aplicada diretamente na equação não-linear final. Como o objetivo é obter a 
equação linear do pêndulo invertido, os termos não lineares dos centros de gravidade poderiam 
ser encontrados conforme, 
 
 )t(sin)t()t(cos)t(
2
L
)t(x)t(x
)t(cos)t(
2
L
)t(x)t(x
)t(sin
2
L
)t(x)t(x
2
CGh
CGh
CGh





 → 
)t(
2
L
)t(x)t(x
)t(
2
L
)t(x)t(x
)t(
2
L
)t(x)t(x
CGh
CGh
CGh





 
 
 Para a outra parte, 
 
 )t(cos)t()t(sin)t(
2
L
)t(y
)t(sin)t(
2
L
)t(y
)t(cos
2
L
)t(y
2
CGh
CGh
CGh





→ 
0)t(y
0)t(y
2
L
)t(y
CGh
CGh
CGh




 
 
2.5 Representação em Espaço de Estado 
 
 A representação em espaço de estado é uma alternativa para a representação em função 
de transferência. Ela é extremamente útil quando o sistema a ser representado possui múltiplas 
entradas e saídas. Além disso, ela é utilizada pelo método de controle de alocação de polos por 
necessitar de uma realimentação de estado. 
 
 O Estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (chamada variáveis 
de estado), tais que o conhecimento dessas variáveis em t = t0, junto ao conhecimento da entrada 
para t ≥ t0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t0. 
 
 As Variáveis de Estado de um sistema dinâmico são aquelas que constituem o menor 
conjunto de variáveis capaz de determinar o estado desse sistema dinâmico. 
 
 A representação em espaço de estado é definida por, 
 
         
         
1rrm1nnm1m
1rrn1nnn1n
)t(uD)t(xC)t(y
)t(uB)t(xA)t(x



 
 
 Vetor de estado x(t) é o vetor de ordem n que contém todos os estados. 
 Vetor de saída y(t) é o vetor de ordem m que contém todas as respostas. 
 Vetor de entrada u(t) é o vetor de ordem r que contém todas as entradas. 
 Matriz de estado A é a matriz de ordem n×n que contém os autovalores e os autovetores 
do sistema. Os autovalores são os polos do sistema. 
 
33 
 Matriz de entrada B é a matriz de ordem n×r da entrada. 
 Matriz de saída C é a matriz de ordem m×n da saída. 
 Matriz de transmissão direta D é matriz de ordem m×r que correlaciona diretamente a 
entrada com a saída. 
 A representação em diagramas de bloco do sistema acima é dada por, 
 
 
Figura 2-24: Representação em diagrama de blocos do espaço de estado. 
 
 Basicamente a representação em Espaço de Estado consiste em escrever dois conjuntos 
de equações, geralmente nas formas matriciais, sendo dadas pelas equações de estado e pelas 
equações de saída, respectivamente. Na transformação para Espaço de estado deve-se observar 
que as equações de estado são equações de 1ª ordem, assim pode-se dizer que o objetivo será 
sempre escrever as equações diferenciais em equações de 1ª ordem. 
 
 Ao contrário darepresentação em Função de Transferência, a representação de espaço 
de estado não é única. Dependendo da escolha dos estados, gera-se uma representação diferente. 
Como curiosidade, veja o capítulo 9 do Ogata, onde há a representação em espaço de estado 
nas formas canônicas controlável, observável e de Jordan. 
 
2.5.1 Representação quando não há derivadas da entrada 
 
 Para a representação em espaço de estado quando não há derivadas da entrada, 
considera-se a seguinte equação diferencial de ordem 4 como exemplo. Observando que as 
condições iniciais são nulas. 
 
)t(u)t(ya)t(ya)t(ya)t(ya)t(y 4321  
 
 
 O processo para passar de equação diferencial para Espaço de Estado é iniciado pela 
equação de estado, para isso é necessário se definir o número de estados n e o número de 
entradas r conforme, 
 
 Número de estados n: 1 equação de 4ª ordem, então n = 4 estados; 
 Número de entradas r: 1 entrada representada por u(t). 
 
Samuel
Highlight
 
34 
 A partir das definições acima, tem-se que, 
 
 















)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
4
3
2
1
14 e 
   )t(u)t(u 11 
 
 
 O próximo passo é a definição dos estados e a sua correlação com as variáveis da 
equação, definindo os estados conforme, 
 
 






























)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
4
3
2
1
14



 
 
 Uma vez que os estados estão definidos, as equações de estado são encontradas 
derivando os estados, 
 





























)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
4
3
2
1








 
 
 As derivadas dos estados precisam ser escritas apenas com os estados definidos na fase 
anterior para formar as equações de estado, 
 
































)t(x
)t(x
)t(x
)t(y
)t(y
)t(y
)t(x
)t(x
)t(x
4
3
2
3
2
1






 
 
 A última derivada dos estados vem da própria equação reescrita da seguinte forma, 
 
)t(u)t(xa)t(xa)t(xa)t(xa)t(y)t(x 413223144 

 
 
 Finalmente, agrupando as equações de estado na forma matricial formando a chamada 
“Equação de Estados”, encontra-se, 
 
 
1x1
1x41x44
3
2
1
4x412341x44
3
2
1
)t(u
1
0
0
0
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
aaaa
1000
0100
0010
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x



























































 
 
 
35 
 Para escrever as equações de saída, deve-se observar o que se deseja medir, se for 
considerado que o objetivo é medir a resposta y(t), 
 
 Número de saídas m: 1 saída representada por y(t). 
 
 Como saída y(t) é representada pelo estado x1(t), então, 
 
        1x11x4
1x44
3
2
1
4x11x1
)t(u0
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
0001)t(y 














 
 
 Observe que a representação da equação diferencial em função de transferência é dada 
por, 
 
n1n
1n
1
n asasas
1
)s(U
)s(Y



 
 
 
 Observe que para a transformação e comparação deve-se perceber que a maior derivada 
de y(t) é igual à unidade assim como u(t). 
 
Exemplo 1: Apenas uma equação. Representação em espaço de estado de, 
 
)t(f)t(Ky)t(yC)t(yM  
 
 
 Número de estados n: 1 equação de 2ª ordem n = 2; 
 
 Número de entradas r: 1 entrada f(t) r = 1; 
 Então, 
   )t(f)t(u 11 
 
 
 Número de saídas m: medir y(t), 
)t(y
, 
)t(y
 e 
)t(y3)t(y2 
 m = 4; 
 Então,  
















)t(y3)t(y2
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y 14



 
 
 Vetor de estados, 
 







)t(x
)t(x
)t(x
2
1
12
 
 
 Relação do vetor de estado com as variáveis do problema, 
 
 














)t(y
)t(y
)t(x
)t(x
)t(x
2
1
12 
 
 
36 
 
 Equações de estado devem ser definidas de tal forma que do lado esquerdo seja a 
derivada dos estados e do lado direito apenas os estados, isto é, não pode haver derivadas dos 
estados do lado direito das equações de estado. Assim, 
 
)t(x)t(y)t(x 21  
 
 
 A segunda equação de estado vem da equação diferencial, pois 
)t(y)t(x2  
, 
 
My(t)+Cy(t)+Ky(t)=f(t)
C K 1
y(t)=- y(t)- y(t)+ f(t)
M M M
 
 
 Substituindo os estados, encontra-se, 
 
)t(f
M
1
)t(x
M
K
)t(x
M
C
)t(x 122 
 
 
 Escrevendo as Equações de Estado, 
 
 
 
1x1
1x2
1x22
1
2x2
1x22
1
)t(f
M
1
0
)t(x
)t(x
M
C
M
K
10
)t(x
)t(x
































 (2.22) 
 
 A equação de saída é sempre escrita com uma combinação dos estados e da entrada, 
 
     1x1
1x4
1x22
1
2x41x4
1x4 )t(f
0
M
1
0
0
)t(x
)t(x
32
M
C
M
K
10
01
)t(y3)t(y2
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
























































 (2.23) 
 
Exemplo 2: Múltiplas Equações. Suspensão Ativa, equação de movimento, 
 
























































)t(w
)t(u
K1
01
)t(y
)t(y
KKK
KK
)t(y
)t(y
CC
CC
)t(y
)t(y
M0
0M
pn
s
pn
s
n
s
n
s



 
 
 Número de estados: 2 equações de 2ª ordem n = 4; 
 
 Número de entradas: 2 entradas u(t) e w(t) r = 2; 
 Então 
 







)t(w
)t(u
)t(u
1x2
 
 
 Número de saídas: 2 saídas ys(t) e yn(t) m =2; 
 
37 
 Então 
 







)t(y
)t(y
)t(y
n
s
1x2
 
 
 Vetor de estados e relação com as variáveis, 
 
 






























)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
n
s
n
s
4
3
2
1
14


 
 
 Equações de estado, 
 
)t(x)t(y)t(x
)t(x)t(y)t(x
4n2
3s1



 
 
 As outras duas equações vêm das equações de movimento, pois, 
 













)t(y
)t(y
x
x
n
s
4
3



 
 
 Como, 
 
    )t(u)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM nsnsss  
 
 Então, 
 
    )t(u
M
1
)t(x)t(x
M
C
)t(x)t(x
M
K
)t(x
s
43
s
21
s
3 
 
 E, 
 
      )t(u)t(w)t(yK)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM npsnsnnn 
 
 Então, 
 
      )t(u
M
1
)t(w)t(x
M
K
)t(x)t(x
M
C
)t(x)t(x
M
K
)t(x
n
2
n
p
34
n
12
n
4 
 
 
 Escrevendo na forma matricial, 
 
1x2
2x4n
p
n
s
1x44
3
2
1
4x4nnn
p
n
ssss
1x44
3
2
1
)t(w
)t(u
M
K
M
1
0
M
1
00
00
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
M
C
M
C
M
KK
M
K
M
C
M
C
M
K
M
K
1000
0100
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
















































































 
 
38 
 Para a equação de saída, 
 
1x22x2
1x44
3
2
1
4x21x2n
s
)t(w
)t(u
00
00
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
0010
0001
)t(y
)t(y








































 
 
 A matriz D é uma matriz nula, foi indicada apenas por conveniência para ser observado 
a sua dimensão. 
 
 Para demostrar o potencial da modelagem de estado, será feita uma saída na qual são 
apresentados os deslocamentos, velocidades e acelerações tal que, 
 
 










































)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
n
s
n
s
n
s
6
5
4
3
2
1
16




 
 
 Neste caso, as acelerações são dadas pelas próprias equações de estado, sendo escritas 
nas saídas como, 
 
1x2
2x6n
p
n
s
1x64
3
2
1
4x6nnn
p
n
ssss
1x66
5
4
3
2
1
)t(w
)t(u
M
K
M
1
0
M
1
00
00
00
00
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
M
C
M
C
M
KK
M
K
M
C
M
C
M
K
M
K
1000
0100
0010
0001
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y































































































 
 
 Assim, a saída é sempre composta por uma combinação linear das variáveis de estado e 
das entradas aplicadas. 
 
Curiosidade: Observe que se as variáveis de estado estiverem ordenadas como sendo as 
variáveis lineares e depois suas derivadas, ou como neste caso, deslocamento e velocidade, 
assim como foram escolhidas originalmente, isto é, 
 
 
 
 




































v
d
n
s
n
s
4
3
2
1
14
x
x
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x


 
 
39 
 
 Partindo da Equação original, que pode ser escrita na forma compacta como, 
 
          )t(f)t(xK)t(xC)t(xM  
 
 
 Dividindo pela massa, 
 
               )t(fM)t(xCM)t(xKM)t(x 111   
 
 
 Observe que as equações de estado na forma matricial podem ser escritas como, 
 
 )t(u
)t(fM
]0[
}x{
}x{
CMKM
]I[]0[
}x{
}x{
1
v
d
11
v
d




























 
 
Onde, 
     





















)t(w
)t(u
)t(u;
)t(y
)t(y
x;
)t(y
)t(y
x
n
s
v
n
s
d 
 
 






























ppn
s
K1
01
)]t(f[;
KKK
KK
]K[;
CC
CC
]C[;
M0
0M
]M[
 
 
2.5.2 Representação quando há derivadas da entrada 
 
 Quando há derivadas da entrada, há a necessidade de dividir em duas equações conforme 
apresentado abaixo. Supondo a seguinte equação de movimento, 
 
)t(rb)t(rb)t(rb)t(rb)t(ca)t(ca)t(ca)t(c 1210321  
 
 
 Cuja função de transferência é dada por, 
 
32
2
1
3
32
2
1
3
0
asasas
bsbsbsb
)s(R
)s(C



 
 
 Dividindo em duas funções de transferência entre o denominador e o numerador 
formando dois sistemas em série tal que a entrada de um é saída do outro conforme, 
 
32
2
1
3 asasas
1
)s(R
)s(Z


 e 
32
2
1
3
0 bsbsbsb
)s(Z
)s(C

 
 
 Como já foi visto antes a representação em Espaço de Estado para a Função de 
Transferência definida por Z(s)/R(s) é feita conforme a aplicação da transformada inversa para 
voltar para equação diferencial, 
 
  )s(R)s(Zasasas 32213 
 
 
40 
 Chegando a, 
 
)t(r)t(za)t(za)t(za)t(z 321  
 
 
 Número de estados: 1 equação de 3ª ordem n = 3; 
 Número de entradas: 1 entrada r(t) r = 1; 
 
 Vetor de estados e a sua relação com as variáveis do problema, 
 
 






















z
z
z
x
x
x
)t(x
3
2
1
13

 
 
 Equações de estado, 
 
)t(x)t(z)t(x
)t(x)t(z)t(x
32
21



 
 
 A última equação de estado é dada por, 
 
)t(r)t(xa)t(xa)t(xa)t(z)t(x 1322313  
, 
 
 Então, escrevendo as equações de estado na forma matricial, 
 
 
1x1
1x31x33
2
1
3x31231x33
2
1
)t(r
1
0
0
)t(x
)t(x
)t(x
aaa
100
010
)t(x
)t(x
)t(x














































 
 
 Agora pegando a segunda função de transferência C(s)/Z(s) e passando para equação 
diferencial, 
 
  )z(Zbsbsbsb)s(C 322130 
 
 
 Aplicando a transformada de Laplace inversa, 
 
)t(zb)t(zb)t(zb)t(zb)t(c 3210  
 
 
 Substituindo os estados definidos anteriormente para as derivadas de z(t), 
 
 
      )t(rb)t(xabb)t(xabb)t(xabb
)t(xb)t(xb)t(xb)t(r)t(xa)t(xa)t(xab
)t(xb)t(xb)t(xb)t(xb)t(c
0310122021303
1322311322310
13223130


 
 
 
 
 
41 
Desta forma a resposta será dada por, 
 
            
1x11x10
1x33
2
1
3x11012023031x1
)t(rb
)t(x
)t(x
)t(x
abbabbabb)t(c 











 
 
Exemplo: Sistema com apenas uma entrada e uma saída: Passar para Espaço de Estado a 
seguinte função de transferência, 
 
24s26s9s2
20s3s2s
)s(R
)s(C
23
23



 
 
 Realizando a divisão para o maior grau do denominador seja unitário, 
 
12s13s
2
9
s
10s
2
3
ss
2
1
)s(R
)s(C
23
23


 
 
 Separando em duas funções de transferências em série, 
 
12s13s
2
9
s
1
)s(R
)s(Z
23 

 e 
10s
2
3
ss
2
1
)s(Z
)s(C 23 
 
 
 Aplicando a transformação para Z(s)/R(s), 
 
)s(R)s(Z12s13s