Exercicios Calculo Vetorial (com Resposta)

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�B002 
CADER�O DE EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1A - SÉRIE DE EXERCÍCIOS: FU�ÇÃO 
 
1) Determine o domínio de cada função a duas variáveis. 
a) ( ) yxyxf +=, Resp: Reais. 
b) ( ) 632, +−= yxyxf Resp: Reais. 
c) ( ) 224, yxyxf −−= Resp: Real, .tal que 422 ≤+ yx . 
d) ( ) 22, yxyxf += Resp: Reais. 
e) ( ) 2293, yxyxf −−+= Resp: Real, .tal que 922 ≤+ yx . 
f) ( ) 221, yxyxf ++= Resp: Reais. 
 
2) Calcule cada expressão usando as funções f,g e h, definidas por: 
( ) ( ) ( )
222
2 2zy,x,h yx,g 75,
zyx
zxy
xyxyxyxf
−+
+
==+= 
a) ( )4,3 −f Resp: - 39. 
b) ( )kkg , Resp: k . 
c) ( )3,2,1h Resp: -7/4. 
d) ( )baf , Resp: baa 75 + . 
e) ( )0,cos,sen tth Resp: 2sent.cost. 
f) ( ) ( )yxgyxf ,, + Resp: xyxyx ++ 75 2 . 
g) ( )0,, yxh Resp: 
22
2
yx
xy
+
. 
h)
( ) ( )
k
yxgkyxg ,, −+
 
3) Especifique: 
3.1) Domínio da função. 
3.2) Calcular f(x,y) para os valores dados de x e y. 
a) ( ) 16y-4, x, 4, ==−+= yxyxf Resp: (a)Todos os pares ordenados tais que 
4≥+ yx .(b) 8 
b) ( )
4
1
y x, 1, 22 ==−−= yxxyxf Resp: (a)região limitada por uma 
circunferência de raio igual a 1.(b)0,23. 
c) ( ) -1y4,x, 
2
4
,
22
==
−
−
=
yx
yx
yxf Resp: (a)Todos os pares ordenados tais que 
xy 2≠ .(b)7. 
4) Desenhe o mapa de contorno do gráfico de z = f(x,y) mostrando as linhas de contorno 
correspondentes aos valores de z dados: 
a) ( ) 2z 1,z 0,z -1,z 123, ====−+= yxyxf 
b) ( ) 40z 30,z 20,z 10,z 0,z 0. xpara 20, 22 =====≥+−= yxyxf 
c) ( ) 3z 2,z 1,z 0,z 2,
22
====
+
=
yx
x
yxf 
d) ( ) 3z 2,z 1,z 0,z 9, 22 ====−−= yxyxf 
5) Encontre o domínio ou região de definição das seguintes funções: 
a) yxz −= 2 Resp :Todo o plano xy. 
b) 221 yxz −−= Resp: circunferência de raio igual a um. 
c) )ln( yxz += Resp: semi-plano além da linha y = - x. 
d) )sen(. xyz = Resp: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )pipi
pipi
22120sen
1220sen
+≤≤+≤
+≤≤≥
kxkparax
kxkparax
 
6) Determine nos exercícios o valor das funções nos pontos indicados: 
a) )0,2(),3,1(),1,3(;
2
),(
x
y
yxf
+
= Resp: 1,5,1. 
b) )1,0(),4,1(),3,2(;
2
),( −
−
=
vu
uv
vuf Resp: -3/2,4/9,0. 
c) )2,0,3(),2,2,1(;25),,( 222 −−−−−= zyxzyxf Resp: 4, 32 . 
d) ),
4
,1,3(;)ln(...4)(..),,,( 2 epvsvtgsrpvsrf
pi
−+= Resp: 3-pi. 
 
 
7) Para a expressão 
h
yxfyhxf ),(),( −+
 com 0≠h determinar: 
a) 22),( yxyxf += Resp: 2x+h. 
b) 1),( 22 −+= yxyxf Resp: 2x+h. 
c) xxyyxf 3),( 2 += Resp: y2+3. 
8) Determinar o domínio de f. 
a) 22),( yxyxf −= Resp: Reais 
b) )(cos),( yarcxyxf += Resp: 11 ≤≤− y . 
c) 22225),,( zyxzyxf −−−= Resp:circunferência de raio 5. 
d) 22 44),( yxyxf −+−= Resp : 
22,2
22,2
0
≤≤−≤
≤≤−≥
≥
yx
yx
z
 
9) Esboce as curvas de nível associada à função f. 
a) 22),( xyyxf −= 
b) yxyxf +=),( 
c) 22),( yxyxf += 
d) )sen(),( xyyxf −= 
10) Em cada um dos exercícios abaixo descreva as superfícies de níveis associada à função 
f. 
a) 222),,( zyxzyxf ++= 
b) zyxzyxf ++=),,( 
REFERÊ�CIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - 
Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 
2. B. Demidovitch, “Problemas e exercícios de análise matemática”, Editora Mir. 
3. Earl W. Swokowski, “Calculo com Geometria Analítica”, Editora McGraw-Hill. 
4. Mustafa A. Munem, David J. Foulis, “Cálculo”, Editora Guanabara dois. 
5. Matlab - www.Mathworks.com/books. 
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2A - SÉRIE DE EXERCÍCIOS – LIMITE / CO�TI�UIDADE 
1) Calcular os limites: 
a) ( ) ( )( )xyxyx 35lim 22,1, +−→ Resp: -1 
b)
( )
( )yx
yx
2sen2senlim
,
4
,
+






→ pi
pi
 Resp: 1 
c) ( ) ( )
( )( )xye yx
yx
5seclim 3cos
0,0,
++
→
 Resp: e+1 
d) ( ) ( )
( )






→ x
xy
yx
sen
lim
2,0,
 Resp: 2 
e) ( ) ( )
x
Kyx x
y






+
∞→
1lim
,,
 Resp: e
k
 
f) ( ) ( )
( )
yx
yx
yx
−
−+
→
1ln
lim
0,0,
 Resp: 1: Dica: fazer x - y = u 
g) 
4
lim
222
0
2
1
−++
−+−
→
→
−→ zyx
zyxxyz
z
y
x
 Resp: 3 
h) ( ) ( ) 



+
−→
3
2,1, 3
1
7lim yx
yx
 Resp: -13/3 
i) ( ) ( ) yx
yxyx
yx
−
+−
→
2
lim
2
1,1,
 Resp: 0 
j) ( ) ( ) yx
yx
yx
−
−
→
2
1,1,
lim Resp: 2 
k) ( ) ( ) 1
1
lim
3,4,
−−
+−
→ yx
yx
yx
 Resp: 1/4 
l) ( ) ( ) ( )xseny
y
yx
−
+
→
1)cos(
lim
0,2/, pi
 Resp: -2 
 
 
 
 
2) Calcule o limite de f(x,y), se existir, quando (x,y) tende a (0,0) ao longo de cada um dos 
caminhos indicados: 
a) ( )
22
25
,
yx
xy
yxf
+
= 
i) ao longo do eixo dos x. Resp: 0 
ii) ao longo do eixo dos y. Resp: 0 
iii) ao longo da reta y = 5x. Resp: 0 
iv) ao longo da parábola y = x
2
. Resp: 0 
Resposta: limite existe e vale zero. 
b) ( )
22
,
yx
xy
yxf
+
= 
i) ao longo do eixo dos x. Resp: 0 
ii) ao longo do eixo dos y. Resp: 0 
iii) ao longo da reta y = 5x. Resp: 5/6 
iv) ao longo da reta y = mx. Resp: m/(m
2
+1) 
Resposta: não existe limite, caminhos diferentes o valor do limite não é o mesmo. 
 
3) Verificar se a função é contínua no ponto indicado: 
a) ( ) ( )4,325, 22 −−−= emyxyxf Resp: contínua 
b) ( ) ( )




=
≠




+
=
00
0
1
,
xse
xse
x
senyx
yxf Resp: contínua 
 
4) Encontre os pontos de descontinuidade das funções: 
a)
yx
xy
z
−
+
=
2
1
 Resp: pontos sobre a parábola y=x
2
 
b) ( )22ln yxz += Resp: (0,0) 
c)
yx
z
−
=
1
 Resp: pontos sobre a reta y=x 
d) ( )
22
2
1
2
,
yx
yx
yxf
−−
−
= Resp: circunferência de raio unitário 
5) Esboce um diagrama representando o domínio de cada função no plano xy, especifique 
que pontos do domínio são interiores e determine em quais pontos interiores ao domínio a 
função é descontínua. 
a) ( ) xyyxf =, Resp: todos os pontos (x,y) tais que 
0,00,0 ≤≤≥≥ yxouyx , x>0,y>0 ou x<0,y<0 , nenhum. 
b) ( )
yx
yx
yxf
−
−
=
2
4
,
22
 Resp: todos os pontos (x,y) tais que xy 2≠ , todos os pontos 
do domínio , nenhum. 
c) ( ) ( )2ln, −= xyyxF Resp: todos os pontos (x,y) tais que xy /2> , nenhum. 
REFERÊ�CIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - 
Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 
2. B. Demidovitch, “Problemas e exercícios de análise matemática”, Editora Mir. 
3. Earl W. Swokowski, “Calculo com Geometria Analítica”, Editora McGraw-Hill. 
4. Mustafa A. Munem, David J. Foulis, “Cálculo”, Editora Guanabara dois. 
5. Matlab - www.Mathworks.com/books. 
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3A - SÉRIE DE EXERCÍCIOS: DERIVADA PARCIAL 
1) Resolva as derivadas parciais 
a) Se 32 .. zyx=ω calcule 
y∂
∂ω
 e 
x∂
∂ω
. 
b) Se ( ) ,,
22 yx
yx
yxf
+
+
= calcule f1(x,y) e f2(x,y). 
c) Se ( ) 32,, zezyxf xy= , calcule fz(x,y,z). 
d) Se 221 yxw −−= , calcule 
y
e
x ∂
∂
∂
∂ ωω
. 
e) Se ( ) ( )22tan, yxyxf −= , calcule fx(x,y) e fy(x,y). 
f) Se w = e
xy
, calculey
e
x ∂
∂
∂
∂ ωω
. 
 
2) Calcule a derivada parcial aplicando a definição formal. 
a) ( ) ( ) 1328,,, +−= yxyxfondeyxf x Resp: 8 
b) ( ) ( ) 221 87,,2,1 xyxyxfondef −−=− Resp: 46 
c) ( ) ( ) 1165,,1,1 232 ++=− xxyyxfondef Resp: 15 
 
3) Calcule a derivada parcial aplicando as regras de diferenciação. 
a) ( ) ( ) 257,, 22 ++=
∂
∂
yxxyxfondeyxf
x
 Resp: 14x+10xy 
b) 
22
22
xy
yx
wonde
x
w
−
+
=
∂
∂
 Resp: ( )22
24
xy
xy
−
 
c) ( ) ( ) θθθ 7cos,,, 21 rrfonderf = Resp: 2r.cos7θ 
d) ( )xyyxDx ln.sen. − Resp: 
e) ( ) ( ) zyxxyzzyxfondezyxf z 736,,,,, 2 ++= Resp: 6xy+7 
f) yxyzxywonde
x
w 222 ++=
∂
∂
 Resp: 2xy+y
2
 
g) 32zxywonde
y
w
=
∂
∂
 Resp: 2xyz
3
 
h) ( ) ( )
221
,,
yx
yx
yxfparayxf
+
+
= Resp: ( ) ( )222
22
1
2
,
yx
xxyy
yxf
+
−−
= . 
i) ( ) ( )
222
,,
yx
yx
yxfparayxf
+
+
= Resp: ( ) ( )222
22
2
2
,
yx
yxyx
yxf
+
−−
= . 
j) ( ) ( )zyxfcalculezezyxf zxy ,,,,, 32= Resp: 223 zexy 
 
 
4) Encontre cada derivada usando a regra da cadeia. 
a) 223 yxueuwonde
x
w
+==
∂
∂
 Resp: ( ) 2/12233 −+ yxx 
b) 32 47ln yxueuwonde
x
w
+==
∂
∂
 Resp: 
32 47
14
yx
x
+
 
c) ( ) ( ) ( )xyyxhondeyxh 11 tan,,, −= Resp: 221 yx
y
+
 
d) 2/3222 )( −++=
∂
∂
zyxwonde
x
w
 Resp: ( ) 2/52223 −++− zyxx 
e) ( )yx
y
/ln 2
∂
∂
 Resp: 
f) ( ) ( )[ ]xyxzz
y
cos.sen.
∂
∂
 Resp: ( ) ( )xysenxzsenxz ..− 
g) 221 yxwonde
x
w
−−=
∂
∂
 Resp: 
221 yx
x
−−
−
 
h) 221 yxwonde
y
w
−−=
∂
∂
 Resp: 
221 yx
y
−−
−
 
 
 
 
 
 
 
5) Dado que 32423 32 yxxyyxw +−= , verifique se a expressão é verdadeira: 
w
y
w
y
x
w
x 5=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
6) Calcule o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a superfície e o 
plano nos pontos dados: 
a) A superfície 753 +−= yxz e o plano y = 2 no ponto (1,2,0) Resp: 3 
b) A superfície 22 3231 yxz −−= e o plano y = 2 no ponto (3,2,1) Resp: -6 
c) A superfície yez x 3sen
2
−
= e o plano x = 1 no ponto (1,0,0) Resp: e/3 
d) A superfície 
22
2
yx
xy
z
+
= e o plano y = 4 no ponto (3,4,24/25) Resp: 56/625 
 
7) Use a aproximação linear para estimar ( )yyxxf ∆+∆+ 00 , para cada função f e para os 
valores indicados de yxyx ∆∆ ,,0,0 . 
a) ( ) 02.0,07.0,2,1;65, 0023 =∆=∆−==+−= yxyxxyxxyxf Resp: -17,21 
b) ( ) 02.0,01.0,1,1;lnln, 00 =∆=∆==−= yxyxxyyxyxf Resp: 0.01 
 
8) Verifique se a função a seguir é diferencial. 
a) ( ) yxeyxf 43, += Resp: diferencial 
b) ( ) ( )yxemxeyxf x ,,, −= Resp: diferencial 
c) ( ) ( )2,1,3,
33
em
yx
xy
yxf
+
= Resp: diferencial 
 
9) Calcule as derivadas parciais da função 22 yxz −= : 
a) Aplicando a regra da derivação: Resp: 2x, -2y 
b) Aplicando a definição Resp: 2x, -2y 
 
 
 
10) Encontre cada diferencial total. 
a) ( ) 323 245, yyxxyxfsedf −+= Resp: ( ) ( )dyyxdxxyxdf 222 64815 −++= 
b) dT se T = PV/R, onde R é constante e P, V são variáveis. Resp: dV
R
P
dP
R
V
df += 
c) df se ( ) 222 32,, xyzzxxyzyxf +−= . 
Resp: ( ) ( ) ( )dzxxyzdyxzxydxyzxzy 2222 263234 −++++− 
 
11) A potência P consumida por uma resistência elétrica é dada por REP /2= watts, onde 
E é a força eletromotriz em volts e R é a resistência em ohms. Se, um dado instante, E = 
100 volts e R = 5 ohms, aproximadamente de quanto irá variar a potência se E decrescer de 
2 volts e R decrescer de 0.3 ohms? Resp: 40 Watts 
 
12) Três resistências de x ohms, y ohms, z ohms, são conectadas em paralelo para dar uma 
resistência equivalente de ω dada por 
yzxzxy
xyz
++
=ω . 
Cada resistência é de 300 ohms, mas está sujeita a 1 por cento de erro. Qual é o erro 
máximo aproximado no valor de ω ? Resp: 1 % 
 
13) O volume V de um cone circular reto de altura h e raio da base r é dado por 
hrV 23/1 pi= . Se a altura é aumentada de 5 cm para 5,01 cm, enquanto o raio da base é 
diminuído de 4 cm para 3,98 cm, encontre uma aproximação da variação V∆ no volume. 
 
14) Calcular as derivadas parciais em relação a variável x e y. 
a) 
yx
xy
z
+
= Resp: ( ) ( )2
2
2
2
,
yx
x
yx
y
++
 
b) xyxez = Resp: ( ) xyxy exxye 2,1+ 
c) ( )xyez sen= Resp: xyxy exyxexyy sensen .cos,.cos 
 
 
15) Use a primeira regra da cadeia para calcular cada derivada a seguir: 
a) 2223 6,2,3, tytxyxyyxzonde
dt
dz
==+−= 
Resp: ( ) ( )yxyxtyyx 23212332 322 +−+− 
b) 32 ,),cos(sen, xvxuvuvuwonde
dx
dw
==−+= 
Resp: ( )[ ] ( )[ ]vuvuxvuvx −++−− sencos3sensen2 2 
c) 





=
3
22
4
ln
z
yx
ω , ( ) ( )tztyex t cot,sec, === , encontre 
dt
dω
 
 
16) Use a segunda regrada cadeia para calcular cada derivada parcial a seguir: 
a) vuyeuvxyxzonde
v
z
e
u
z
sencos,,43, 22 +==−=
∂
∂
∂
∂
 
Resp: vyxuuyxv cos86;sen86 −+ 
b) uvyevuxyxxzonde
v
z
e
u
z
sen,cos,34, 223 ==−=
∂
∂
∂
∂
 
Resp: ( ) uyvxvxyx cos6cos612 222 −− 
 
17) Calcule as seguintes derivadas parciais: 
a) ,
y
e
x ∂
∂
∂
∂ ωω
 para a função yxe=ω 
b) Calcule a derivada no ponto: ( )2,11 −f , ( ) 22 87, xyxyxf −−= 
c) 
x∂
∂ω
 para a função 
22
22
xy
yx
−
+
=ω 
 
18) Considere que y seja dada implicitamente como uma função diferenciável das demais 
variáveis das equações. Calcule o valor das derivadas parciais indicadas quando às 
variáveis tem os valores dados: 
a) Se 2,1,1,0
2
3 222 =−==
∂
∂
∂
∂
=−+− yzxquando
z
y
e
x
y
achez
y
xz
yzxzxy Resp: 14; 2 
b) Se 1,1,7253 4223 ==+=++ yxquando
dx
dy
acheyxxyyx Resp: -13/3 
c) Se 2,0,1,01447 23233 ===
∂
∂
∂
∂
=−−+− yzxquando
z
y
e
x
y
achezzyxxyzyx Resp -6; 1/7 
 
19) Seja a função 32 .vu=ω , onde 22 3yxu += , 222 yxv −= calcule 
yx∂∂
∂ ω2
. 
 
20) Seja a função 222 zxyzxy ++=ω , onde ( ) ( )φθ senrx .cos.= e ( ) ( )φθ sensenry ..= 
( )φcos.rz = , calcule: 
a) 
r∂
∂ω
 b) 
θ
ω
∂
∂
 c) φ
ω
∂
∂
 
 
21) Seja a função ( )xysenzyx += 24ω faça o cálculo para verificar se: 
xyzzyx ∂∂∂
∂
=
∂∂∂
∂ ωω 33
 
 
22) Se ( ) 22 18.137, yyxxyxf +−= calcule: 
a) 1f b) 2f c) 11f d) 12f e) 21f f) 22f 
REFERÊ�CIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - 
Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 
2. B. Demidovitch, “Problemas e exercícios de análise matemática”, Editora Mir. 
3. Earl W. Swokowski, “Calculo com Geometria Analítica”, Editora McGraw-Hill. 
4. Mustafa A. Munem, David J. Foulis, “Cálculo”, Editora Guanabara dois. 
5. Matlab - www.Mathworks.com/books. 
_________________________________________________________________________
4A - SÉRIE DE EXERCÍCIOS – I�TEGRAL 
 
1) Calcule as integrais a seguir: 
a) ( )∫ dxxysen Resp: 
( ) ( )yc
y
xy
+
− cos
 
b) ( )∫
=
=
3
2
2
sen
yx
x
dxxy
pi
 Resp: 





−
32
cos yy 
c) ∫∫
2
0
24
1
0
dydxyx Resp: 
15
8
 
d) ∫∫
1
0
3
0
dydxex
yx
 Resp: 4
3
−e 
e) ∫∫ 
1
0
2
2/
0
cos dxdyxyxy
pi
 Resp: 
2
1
 
f) ∫∫
y
dxdyx
0
3
2
0
 Resp: 
3
2
 
 
g) ∫∫
x
x
dxdy
x
3
5
1
1
 Resp: 8701,1 
h) ∫∫
−
2
0
32
2
1
dydxyxResp: 12 
i) ∫∫ −
2/3
0
2
4
0
16
x
dydxx Resp: 
j) ∫
2
ln
y
y
xydxey Resp: yy ye −
3
 
k) ∫∫
3
2
2
1
96
1
dydxyx Resp: 
128
5
 
l) Calcule o valor de C: ∫∫
∞
−−
∞
=
00
1dydxeeC yx Resp: C = 1 
 
m) 
( )
dxeyx
yx
∫
∞
+
−
0
2
22
 Resp: 2
2y
ey
−
 
 
n) ∫∫
y
dxdy
y
2/1
1
2/1
1
 Resp: ( )( )2ln1
2
1
− 
 
2) Calcular as integrais duplas: 
a) ∫∫
+
u
u
vu
dvdue
6
4
1
0
 Resp: 
35
1
57
57
+−
ee
 
b) ( )
( )
θφθφ
θpi
dd∫∫
cos2
0
2/
0
cos Resp: 
3
4
 
c) ∫∫
2
0
/
2
1
x
xy
dxdye Resp: 
2
32
2
−e
 
d) ( )∫∫
−
x
y
dxdyxe
sen
0
4/
0
cos4
pi
 Resp: 4224
22
−+
−
e 
 
3) Seja o disco circular 1
22
≤+ yx , seja R1 a metade superior de R, e seja R2 a metade 
inferior de R. Suponha que ( )∫∫ =
1
7,
R
dxdyyxf , ( )∫∫ −=
2
5,
R
dxdyyxf , 
( )∫∫ −=
1
2,
R
dxdyyxg , ( )∫∫ =
2
4,
R
dxdyyxg . Calcule a integral dupla dada usando as 
propriedades: 
a) ( )∫∫
R
dxdyyxf , Resp: 2 
 
b) ( )∫∫
R
dxdyyxg , Resp: 2 
c) ( ) ( )[ ]∫∫ −
R
dxdyyxfyxg ,6,4 Resp: 4− 
d) ∫∫
R
dxdy8 Resp: pi8 
e) ( ) ( )[ ]∫∫ −
1
,,
R
dxdyyxfyxg Resp: 9− 
 
4) (a) Desenhe a região R; (b) decida se R é do tipo I ou do tipo II (ou de ambos os tipos) e 
(c) calcule cada integral dupla utilizando o método de iteração: 
4.1) ( )∫∫ ≤≤≤≤
R
yxRdxdyxyx 10,0:,sen pi Resp: pi 
4.2) ( )∫∫ ≤≤≤≤
R
xyxRdxdyyx 0,0:,sen pi Resp: 
2
4
2
+pi
 
4.3) ( )∫∫ ≤+−
R
yxRdxdyyx 1:,32
22
 Resp: 0 
 
5) Calcule cada integral iterada pela reversão da ordem de integração: 
a) ∫∫
−
1
2
3
1
0 y
x
dydxe Resp: 





−
−3
1
6
1
e 
b) ∫∫ 





6
3
2
2
0
6
sen
y
dxdy
xpi
 Resp: 0 
c) ∫∫
y
y
dxdy
x
xsen
1
0
 Resp: ( )1sen1− 
 
6) Utilize as coordenadas polares para calcular cada integral dupla sobre a região indicada: 
a) 00,4:;4 2222 ≥≥≤+−−∫∫ yexyxRdxdyyx
R
 Resp: 
3
4pi
 
b) θpiθ senrRdxdyx
R
20,
4
0:;2 ≤≤≤≤∫∫ Resp: 2
1
 
c) 20,
2
0:;3 ≤≤≤≤∫∫ rRdxdyxy
R
piθ Resp: 6 
 
7) Calcule cada integral pela mudança para coordenadas polares: 
a) ∫∫
−
−−
−−
−
2
2
22
9
9
3
3
x
x
yx dxdye Resp: ( )91 −− epi 
b) ∫∫
−
−−
−
2
2
4
4
2
0
2
y
y
dydxx Resp: pi2 
c) ∫∫
−
2923
0
y
y
dydxx Resp: 
2
29
 
 
8) Calcular cada uma das as integrais triplas: 
a) ∫∫ ∫
+1
0
3
0
2
0
x yx
dxdydzy Resp: 
2
9
 
b) ( )∫∫∫ +
1
0 0 0
x z
dxdzdyyx Resp: 
24
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Mudança para coordenadas esféricas e cilíndricas: 
 
a) Calcular ( )∫∫∫ +
S
dzdydxyx 22 , onde S é a região interior ao cilindro 122 =+ yx e à 
esfera 4222 =++ zyx . Res: 







−
5
344
15
256
.pi 
b) Calcular ∫∫∫  +
S
dzdydxyx 22 , onde S é a região limitada por 422 −+= yxz e 
224 yxz −−= . Resp: 





15
256pi
 
 
c) Calcular ∫∫∫
S
dzdydx , onde S é a região limitada por 422 =+ yx e 422 =+ zy . 
 Resp: 





3
128
 
 
d) Calcular ∫∫∫
S
dzdydx , onde S é a região interior ao cilindro 022 =+− yxx e a esfera 
1222 =++ zyx . Resp: 
9
)43(2 −pi
 
 
e) Calcular ∫∫∫
S
dzdydxx , onde S é a região interior as superfícies )(
4
1 22 yxz += e 
5222 =++ zyx . Resp: 0 
 
f) Calcular ∫∫∫
S
dzdydxz , onde S é a região interior as superfícies )(
4
1 22 yxz +
−
= e 
5222 =++ zyx . Resp: 0 
 
g) Calcular ∫∫∫
S
dzdydxy , onde S é a região interior as superfícies )(
4
1 22 yxz += e 
5222 =++ zyx . Resp: 0 
 
h) Calcular ( )∫∫∫ ++
S
dzdydxzyx 222 , onde S é a esfera 9222 ≤++ zyx . 
Resp: 





5
972pi
 
 
i) Calcular ( )∫∫∫ ++
S
dzdydxzyx 222 , onde S é a região interior a esfera 9222 =++ zyx 
e exterior ao cone 22 yxz += . Resp: 
5
)22(243 pi+
 
 
j) Calcular ( )∫∫∫ ++
S
dzdydxzyx 222 , onde S é a região interior a esfera 9222 =++ zyx 
e ao cone 22 yxz += . Resp: 
5
)22(243 pi−
 
 
k) Calcular ( )∫∫∫ +
S
dzdydxyx 22 , onde S a casca esférica delimitada por 
9222 =++ zyx e 16222 =++ zyx . Resp: 
3
148pi
 
 
l) Calcular ∫∫∫ ++
S
dzdydxzyx 222 , onde S é a região delimitada por 1222 =++ zyx 
e 4222 =++ zyx . Resp: pi15 
 
REFERÊ�CIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - 
Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 
2. B. Demidovitch, “Problemas e exercícios de análise matemática”, Editora Mir. 
3. Earl W. Swokowski, “Calculo com Geometria Analítica”, Editora McGraw-Hill. 
4. Mustafa A. Munem, David J. Foulis, “Cálculo”, Editora Guanabara dois. 
5. Matlab - www.Mathworks.com/books. 
_________________________________________________________________________
5A SÉRIE DE EXERCÍCIOS – FU�ÇÕES VETORIAIS – VETORES 
Exercícios 9.2 – Pg: 123 
1, 3, 7, 9. 
Exercícios 9.3 – Pg: 133 
1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 12, 15, 17, 19, 21. 
Exercícios 10.2 – Pg: 188 
1, 3, 5, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 33, 35, 37. 
REFERÊ�CIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - 
Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 
_________________________________________________________________________
6A SÉRIE DE EXERCÍCIOS – FU�ÇÕES VETORIAIS 
Exercícios 10.5 – Pg: 217 
1, 2, 3, 11, 13, 15, 19, 21, 23. 
REFERÊ�CIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - 
Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 
_________________________________________________________________________
7A SÉRIE DE EXERCÍCIOS – GRADIE�TE / DIVERGE�TE / ROTACIO�AL 
 
1) Calcule o gradiente das seguintes funções no ponto dado. Depois esboce o 
gradiente junto com a curva de nível que passa pelo ponto. 
a) ( ) ( )1,2,, Pxyyxf −= 
b) ( ) ( )0,1,, 2 −−= Pxyyxg 
 
2) Calcule o gradiente das seguintes funções no ponto dado. 
a) ( ) ( )1,1,1,ln2, 222 Pxzzyxyxf +−+= 
b) ( ) ( ) ( ) ( )2,2,1,ln, 2/1222 −−+++= − Pzyxzyxyxf 
 
3) Calcule o Divergente das seguintes funções vetoriais: 
a) kzjyxizxF
rrrr
−−= 2 
b) ( ) ( ) ( )kxyjyzixyF rrrr −+−+−= 
c) kzjyixF
rrrr
222 ++= 
d) kzjzxixF
rrrr
32 ++= 
e) kzjyixF
rrrr
333 ++= 
 
4) Calcule o Rotacional das seguintes funções vetoriais: 
a) kzxjyxizxF
rrrr
3++= 
b) ( ) kxjziyxF rrrr 22 4 ++−= 
c) kzjxixF
rrrr
22 2 ++= 
d) kyjxizF
rrrr
532 ++= 
e) ( ) ( ) ( )kxzjzyiyxF rrrr −+−+−= 
 
REFERÊ�CIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - 
Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 
2. B. Demidovitch, “Problemas e exercícios de análise matemática”, Editora Mir. 
3. Earl W. Swokowski, “Calculo com Geometria Analítica”, Editora McGraw-Hill. 
4. Mustafa A. Munem, David J. Foulis, “Cálculo”, Editora Guanabara dois. 
5. Matlab - www.Mathworks.com/books. 
_________________________________________________________________________8A SÉRIE DE EXERCÍCIOS – I�TEGRAÇÃO VETORIAL 
 
Exercícios 13.1 – pg 434 
3, 5, 9, 11, 19, 21. 
Exercícios 13.2 – pg 444 
1, 3, 7, 9, 13, 17, 21, 25, 37, 39. 
Exercícios 13.3 – pg 453 
1, 3, 7, 9. 
Exercícios 13.4 – pg 464 
5, 7, 9, 17, 19. 
Exercícios 13.5 – pg 475 
1, 3, 19, 21, 31. 
Exercícios 13.7 – pg 494 
1, 3, 5, 13, 15, 22. 
Exercícios 13.8 – pg 505 
5, 7, 8, 12. 
 
REFERÊ�CIAS BIBLIOGRÁFICAS 
1. Thomas, George B., Weir, Maurice D., Giordano, Frank R., Finney, Ross L. - 
Cálculo - Vol. 2, 10a Edição, Editora Addison Wesley - Pearson, São Paulo - 2003. 
________________________________________________________________________