Derivada Teoria

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Ministério da Educação 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Câmpus Curitiba 
Diretoria de Graduação e Educação Profissional 
Departamento Acadêmico de Matemática 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1  Profª Silvana Heidemann Rocha 
 
DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL 
Exemplo de notação de função real de uma variável real: 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ, 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
 Derivada de uma função real de uma variável real é uma técnica matemática usada para: 
 
• estudar taxas de variação instantânea de grandezas físicas, por exemplo: 
o velocidade instantânea (variação do deslocamento em relação à variação do tempo); 
o aceleração instantânea (variação da velocidade em relação à variação do tempo); 
o inflação econômica (variação de preço em relação à variação do tempo); 
o número de bactérias numa cultura (taxas de crescimento ou de decrescimento); 
o intensidade dos tremores de um terremoto; 
o variação da tensão elétrica, dentre outros; 
• aproximar grandezas cujo cálculo exato é difícil (por meio de diferenciais); 
• resolver problemas de otimização (maximização, minimização); 
• cálculo do limite de função envolvendo indeterminações do tipo 
0
0
 e 
∞
∞
 (por meio da 
regra de L’Hospital); 
• determinar o coeficiente angular da reta tangente a uma curva; 
• determinar o gráfico de uma função (intervalos de crescimento e de decrescimento; 
pontos de máximo e de mínimo, intervalos onde a concavidade é voltada para cima 
ou para baixo, pontos de inflexão, assíntotas, dentre outros); 
• resolver equações diferenciais (equações cujo propósito, em geral, é determinar a 
função y=f(x), a partir do conhecimento da variação de y em relação à variação de x). 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
2 TAXA DE VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL 
 
2.1 TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA DE 
y
 EM RELAÇÃO A 
x
, NO INTERVALO [
x
,
x
+
x
] 
 
 Considere uma função real 
f
, definida por 
)(xfy 
. Quando a variável independente 
x
 varia de um valor 
x
 a 
x
+
x
, a correspondente variação de 
y
 será 
)()( xfxxfy 
. 
 O quociente 
x
xfxxf
x
y




 )()(
 
é denominado taxa de variação média de 
y
 em relação a 
x
. 
 
 Também é comum aparecer a notação 
h
afhaf
ym
)()( 

 para representar a 
variação média de 
)(xfy 
 quando 
x
 varia num intervalo [
haa  ,
]. 
 
 
2.1 TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA DE 
y
 EM RELAÇÃO A 
x
 EM 
ax 
 
 
 Para uma função real 
f
, definida por 
)(xfy 
, o quociente 
x
xfxxf
x
y
xx 





)()(
limlim
00
 
é denominado taxa de variação instantânea de 
y
 em relação a 
x
 ou, simplesmente, taxa 
de variação de 
y
 em relação a 
x
, desde que esse limite exista. 
 
 Também é comum aparecer a notação 
iy
h
afhaf
h
)()(
lim
0


 para representar a 
variação instantânea de 
)(xfy 
quando 
ax 
, desde que esse limite exista. 
 
3 INCREMENTOS DAS VARIÁVEIS 
x
 E 
y
, E RAZÃO INCREMENTAL 
 
 Seja a função real 
f
, definida por 
)(xfy 
. Se a variável independente 
x
 varia de 
1x
 
a 
2x
, define-se o acréscimo ou incremento de 
x
, denotado por 
x
, como 
x
 = 
2x
 - 
1x
 
em que 
1x
 é o valor inicial de 
x
 e 
2x
 é seu valor final. 
 A variação de 
x
 origina uma correspondente variação de 
y
, denominada acréscimo 
ou incremento de 
y
, denotado por 
y
, e definida como 
 
)()( 12 xfxfy 
 ou 
)()( 11 xfxxfy 
 
 
em que 
)( 1xf
 é o valor inicial de 
y
 e 
)( 2xf
é seu valor final. 
 
 O quociente 
x
xfxxf
x
y
xx
xfxf
x
y









 )()(
ou 
)()( 11
12
12
 é denominado 
razão incremental ou razão dos acréscimos, e significa que, a partir de 
1x
, 
y
 está 
variando em 
x
y


 por unidade de 
x
. 
 3 
4 DEFINIÇÃO DE DERIVADA 
 
 Seja 
f
 uma função real definida por 
)(xfy 
 e contínua em um intervalo I. 
 A derivada de 
f
, denotada por 
´f
, é uma função definida por 
x
xfxxf
x
y
xf
xx 






)()(
limlim)(
00
´
 quando esse limite existe. 
 
Observação: 
)(´ xf
 (lê-se: f linha de x) é a notação baseada em notações de Isaac Newton 
(século XVI). 
 Alguns autores usam a definição 
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(
0
´ 

, desde que o limite exista. 
 
 
5 OUTRAS NOTAÇÕES DE DERIVADA 
 
Dx 
)(xf
 ou 
)(xf
dx
d
 ou 
)(x
dx
df
 (lê-se: derivada de 
f
em relação a 
x
, no ponto 
x
); 
 
Dx 
y
 ou 
dx
dy
 (lê-se: derivada de 
y
 em relação a 
x
); 
 
 Essas notações acima são baseadas em notações de Leibniz (século XVI). 
 
 
6 INTERPRETAÇÃO DA DERIVADA 
 
 A derivada 
'f
 de uma função real 
f
 pode ser interpretada como uma função cujo valor 
em x é a inclinação da reta tangente ao gráfico 
)(xfy 
 em 
x
 (denominada interpretação 
geométrica de derivada) ou como uma função real 
f
 cujo valor em 
x
 é a taxa instantânea da 
variação de 
y
 em relação a 
x
 (denominada interpretação física de derivada). 
 No caso da taxa instantânea referir-se à variação do deslocamento em relação ao 
tempo, o que dá a velocidade instantânea, tem-se a interpretação cinemática de derivada. 
 
 
7 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO 
 
 Seja 
f
 uma função real definida por 
)(xfy 
e contínua em um intervalo I. 
A derivada de 
f
 no ponto 
0x
, denotada por 
)( 0
´ xf
, é definida por 
0
0
0
´ )()(lim)(
0 xx
xfxf
xf
xx 



 
ou por 
x
xfxxf
x
y
xf
x
xx
x 








)()(
limlim)( 00
00
0
´
0
, 
quando tal limite existe. 
 4 
8 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA DERIVADA (DERIVADAS LATERAIS) 
 
 Definição 1 
 
 Se a função real 
f
 está definida em 
0x
, então a derivada à direita de 
f
 em 
0x
, 
denotada por 
)( 0
´ xf
, é definida por 
 
)( 0
´ xf
 = 
0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx 



 
ou por 
)( 0
´ xf
 = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 00
0
 
desde que o limite exista. 
 
 
 Definição 2 
 
 Se a função real 
f
 está definida em 
0x
, então a derivada à esquerda de 
f
 em 
0x
, 
denotada por 
)( 0
´ xf
, é definida por 
)( 0
´ xf
 = 
0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx 



 
ou por 
)( 0
´ xf
 = 
x
xfxxf
x 


)()(
lim 00
0
 
 desde que o limite exista. 
 
 
8.1 OUTRAS NOTAÇÕES PARA DERIVADAS LATERAIS 
 
)( 0
´ xf
 também pode ser denotada por 
)( 0
´ xf
 e 
)( 0
´ xf
 por 
)( 0
´ xf
. 
 
 Quando as derivadas à direita e à esquerda num ponto existem e são iguais, dizemos 
que a função é derivável nesse ponto. 
 
 
9 PONTO ANGULOSO 
 
 Quando as derivadas à direita e à esquerda em 
0x
 existem e são diferentes, dizemos 
que o ponto P(
0x
,
f
(
0x
)) é um ponto anguloso do gráfico da função real 
f
, ou seja, a 
função real 
f
 não é derivável em 
0x
 e, consequentemente, não admite reta tangente em P. 
 
 
10 DOMÍNIO DA DERIVADA 
 
 O domínio da derivada de uma função real 
f
, definida por 
)(xfy 
, é um conjuntoformado por todos os valores de 
x
 para os quais 
f
 é derivável. 
 5 
11 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS 
 
Teorema: Toda função real derivável num ponto é contínua nesse ponto. 
 
 
Demonstração (para o caso de uma função real de uma variável real): 
 
Deve-se mostrar que se 
f
 é derivável em 
0x
, então 
f
 é contínua em 
0x
. Isto equivale a: 
 Se 
0
0
0
)()(
limlim
0
0 xx
xfxf
x
y
xx
xx
x 







 existe 







)()(lim
; xem definida está seja,ou existe, )(
0
00
0
xfxf
f(x) xf
xx
. 
 Como, por hipótese, 
0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx 


 existe, então 
)( 0xf
 existe. 
 
Fazendo, 
      0)´(.0
)()(
lim.lim
)()(
.lim)()(limlim 0
0
0
0
0
0
00
00000













xf
xx
xfxf
xx
xx
xfxf
xxxfxfy
xxxxxxxxxx
vem: 
 
             0000
000000
limlimlim0limlim0)()(lim xfxfxfxfxfxfxfxf
xxxxxxxxxxxx


. 
 
 Portanto, 
Se 
0
0 )()(lim
0 xx
xfxf
xx 


 existe, temos: 






)()(lim
existe; )(
0
0
0
xfxf
xf
xx
. 
 Logo, 
f
 é contínua em 
0x
, como se queria demonstrar. 
 
 
Observação: A recíproca nem sempre é verdadeira, ou seja, se 
f
 é contínua em 
0x
 não 
implica que 
f
 seja derivável em 
0x
; por exemplo, 
f
 pode ter um ponto 
anguloso em P(
0x
,
f
(
0x
)). 
 
Exemplo: 
Esboce o gráfico da função real 
f
definida por 
)(xf
 = 






2ou 2 se ,4
22 se ,4
2
2
xxx
xx . 
Após, calcule as derivadas laterais em 
2x
 e 
2x
. 
 a) 
f
 é contínua em 
2x
 e 
2x
? Justifique. 
 b) 
f
 é derivável em 
2x
 e 
2x
? Justifique. 
 
12 FUNÇÃO DERIVÁVEL NUM INTERVALO ABERTO ]𝑎, 𝑏[ 
 
 Definição 
 
 Uma função real 
f
 é derivável em um intervalo aberto ]𝑎, 𝑏[ se 
)()(' x
dx
df
xf 
 existe 
para todo 
x
 pertencente a ]𝑎, 𝑏[ . 
 6 
13 FUNÇÃO DERIVÁVEL NUM INTERVALO FECHADO [𝑎, 𝑏] 
 
 Definição 
 
 Uma função real 
f
 é derivável em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏] se 
)()(' x
dx
df
xf 
 existe 
para todo 
x
 pertencente a ]𝑎, 𝑏[ e se os seguintes limites existem: 
 
)(´ af
 = 
ax
afxf
ax 


)()(
lim
 
e 
 
)(´ bf
 = 
bx
bfxf
bx 


)()(
lim
 
 
 
 
14 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA) 
 
 
 
15 DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA 
 
 
 
16 DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DEFINIDA 
 
16.1 IMPLICITAMENTE 
 
 
16.2 PARAMETRICAMENTE 
 
 
17 DERIVADAS SUCESSIVAS (OU DE ORDEM SUPERIOR) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
18 ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNÇÕES REAIS, POR MEIO DOS SINAIS DAS DERIVADAS 
 
18.1 EXTREMOS ABSOLUTOS DE UMA FUNÇÃO 
 
Definição: 
Seja a função real 
R
xfy
RD
x
f
)( 
 :

 

. Diz-se que 
0x
D
 é ponto de máximo 
absoluto ou global de 
f
 se para todo 
)()( , 0xfxfDx 
. Diz-se que 
f
(
0x
) é o valor máximo 
de 
f
. 
 
Definição: 
 Seja a função real 
R
xfy
RDf
x )(
 :
 
 

. Diz-se que 
0x D
 é ponto de mínimo 
absoluto ou global de 
f
 se para todo 
)()( , 0xfxfDx 
. Diz-se que 
f
(
0x
) é o valor mínimo 
de 
f
. 
 
Teorema de Weierstrass 
 
 Seja a função real 
R
xfy
ba
x
f
)(
],[
 
 :



uma função contínua em todo seu domínio. 
Então 
f
 assume máximo e mínimo absoluto em 
],[
 
ba
. 
 
 Esse teorema informa que se não houver pontos de máximo e mínimo absoluto no 
intervalo aberto 
[,] ba
então a função assumirá seus valores máximo e mínimo absolutos em 
ax 
 e em 
bx 
. 
 
18.2 EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO 
 
Definição 
 Seja a função real 
R
xfy
RDf
x )(
:
 
 

. Diz-se que: 
a) 
0x
 
D
 é ponto de máximo relativo ou local de 
f
 se existir um intervalo aberto I, 
contendo 
0x
, tal que 
)()( 0xfxf 
, para todo 
DIx 
. 
b) 
0x
 
D
 é ponto de mínimo relativo ou local de 
f
 se existir um intervalo aberto I, 
contendo 
0x
, tal que 
)()( 0xfxf 
, para todo 
DIx 
. 
 
Observação: Os pontos de máximos ou mínimos de uma função real são também 
denominados pontos extremos da função. Os pontos de máximos ou 
mínimos relativos são denominados extremos relativos. 
 8 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Proposição 
 Suponha que 
)()(' x
dx
df
xf 
 existe para todos os valores de 
[,] bax
 e que 
f
 tem um 
extremo relativo em 
0x
, com 
bxa  0
. Se 
)(' 0xf
existe, então 
0)(' 0 xf
. 
 
 Geometricamente, essa proposição diz que se 
f
 tem um extremo relativo em 
0x
 e se 
)(' 0xf
 existe, então o gráfico de 
f
 tem uma reta tangente horizontal no ponto onde 
0xx 
 . 
 Essa proposição diz, ainda, que se 
)(' 0xf
 existe, a condição 
0)(' 0 xf
 é uma condição 
necessária para a existência de um extremo relativo em 
0x
 . No entanto, essa não é uma 
condição suficiente, pois se 
0)(' 0 xf
 a função 
f
 pode ter ou não um extremo relativo em 
0x
 . 
Exemplo: 
 
Observações: 
• No gráfico (i), anterior, 
0)0(' f
, porém 
0x
 não é extremo relativo em 
[,] ba
, pois 
0x
 
não atende a definição de extremo relativo. 
• No gráfico (ii), anterior, 
0x
 é um extremo relativo em 
[,] ba
, no entanto 
)(' 0xf
 não existe. 
• No gráfico (iii), anterior, 
0x
 não é um extremo relativo em 
[,] ba
, pois 
0x
 não atende a 
definição de extremo relativo. 
0 x0 x0 
(i) (ii) (iii) 
y 
x O 
y=f(x) No gráfico ao lado: 
• são os pontos extremos de f; 
• f( ) e f( ) são os máximos relativos; 
• f( ) e f( ) são os mínimos relativos. 
a b a b 
a 
b 
y y y 
x x x 
 9 
Conclusão: 
Dos gráficos (i), (ii) e (iii), e da proposição, anteriores, conclui-se que: 
• num ponto de extremo relativo a derivada primeira da função pode ser nula ou pode 
não existir; 
• a derivada primeira pode ser nula ou pode não existir num ponto do domínio da 
função, sem no entanto esse ponto ser extremo relativo. 
• para que 
)(0 fDx 
 seja extremo relativo é necessário que 
0x
 seja ponto crítico da 
função real 
f
, definindo-se ponto crítico como um ponto em que a derivada primeira 
é nula ou não existe. Aqui 
)( fD
 é o domínio de 
f
. 
 
 
19 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE EXTREMOS RELATIVOS DE UM FUNÇÃO 
 
Para que um ponto 
)(0 fDx 
 seja extremo relativo de 
f
 é necessário que 
0x
 seja 
ponto crítico, isto é, a derivada primeira é nula ou não existe em 
0x
 . 
 
 
20 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO 
 
Definição: 
 Uma função real 
f
 definida num intervalo aberto 
),( ba
 é crescente nesse intervalo 
se para todo 
),( 1 bax 
 e
 ),,( 2 bax 
 com 
21 xx 
, tem-se 
)()( 21 xfxf 
 . 
 
Definição: 
Uma função 
f
 definida num intervalo aberto 
),( ba
 é decrescente nesse intervalo se 
para todo 
),( 1 bax 
 e 
 ),,(2 bax 
 com 
21 xx 
, tem-se 
)()( 21 xfxf 
 . 
 
Observação: Se uma função é apenas crescente ou decrescente num intervalo, diz-se que 
é uma função monótona nesse intervalo. 
 
Proposição:Seja 
f
 uma função contínua no intervalo fechado 
],[ ba
e derivável no intervalo aberto 
),( ba
. 
• Se 
0)(' xf
 para todo 
),( bax
, então 
f
 é crescente em 
],[ ba
; 
• Se 
0)(' xf
para todo 
),( bax
, então 
f
 é decrescente em 
],[ ba
. 
 
 10 
21 DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO 
 
21.1 CRITÉRIO DA DERIVADA PRIMEIRA 
 
 Seja 
f
 uma função contínua em todo um intervalo fechado 
],[ ba
 e derivável no 
intervalo aberto 
),( ba
, exceto possivelmente num ponto 
),(0 bax 
. 
i) Se 
0)(' xf
 para todo 
0xx 
 e 
0)(' xf
 para todo 
0xx 
, então 
0x
 é ponto de 
máximo relativo ou local; 
ii) Se 
0)(' xf
para todo 
0xx 
 e 
0)(' xf
 para todo 
0xx 
, então 
0x
 é ponto de mínimo 
relativo ou local. 
 
 O item i) diz que se 
)(xf
 é crescente à esquerda de 
0x
 e decrescente à direita de 
0x
 , 
então 
0x
 é ponto de máximo relativo. 
 O item ii) diz que se 
)(xf
 é decrescente à esquerda de 
0x
 e crescente à direita de 
0x
 , então 
0x
 é ponto de mínimo relativo. 
 
21.2 CRITÉRIO DA DERIVADA SEGUNDA 
 
 Seja 
f
 uma função contínua e derivável até a segunda ordem num intervalo 
),( ba
, 
onde 
)(' xf
 e 
)('' xf
 são também contínuas em 
),( ba
 . Seja 
),(0 bax 
 tal que 
0)(' 0 xf
 . 
Então: 
i) Se 
0)('' 0 xf
, 
0x
 é ponto de máximo local de 
f
; 
ii) Se 
0)('' 0 xf
, 
0x
 é ponto de mínimo local de 
f
. 
 
Demonstração do item i) 
 
 Como a função 
''f
 é contínua e 
0)('' 0 xf
 em 
),( ba
, então existe um intervalo 
aberto I contendo 
0x
 no qual 
)('' xf
< 0 . 
 Como 
0)('' 0 xf
 tem-se que 
)(' xf
 é decrescente em I e como 
0)(' 0 xf
 conclui-se 
que em I, à esquerda de 
0x
 tem-se 
)(' xf
> 0 , e à direita de x0 tem-se 
)(' xf
< 0. Portanto 
0x
 é 
um ponto de máximo local. 
 De forma semelhante prova-se o item ii). 
 
 
 11 
22 CONCAVIDADE E PONTO DE INFLEXÃO DE UMA FUNÇÃO REAL 
 
 Definição : 
 
 Uma curva tem concavidade voltada para cima num intervalo aberto 
),( ba
 se todos os 
pontos da curva se encontram acima da reta tangente em qualquer ponto dessa curva no 
intervalo considerado. 
 
 Geometricamente, a medida que avança-se sobre a curva, da esquerda para a direita, 
a reta tangente gira no sentido anti-horário. Como, geometricamente, 
)(' xf
 é a inclinação da 
reta tangente à curva, constata-se que no intervalo 
),( ba
 a derivada 
)(' xf
 é crescente. 
Dessa forma também é possível definir uma função 
f
 como côncava para cima no 
intervalo 
),( ba
 se 
)(' xf
 é crescente neste intervalo 
 
Definição: 
 
Uma curva tem a concavidade voltada para baixo num intervalo 
),( ba
 se todos os 
pontos da curva se encontram abaixo da reta tangente em qualquer ponto desta curva no 
intervalo considerado. 
 
 Geometricamente, a medida que avança-se sobre a curva, da esquerda para a direita, 
a reta tangente gira no sentido horário. Como, geometricamente, 
)(' xf
 é a inclinação da reta 
tangente à curva, constata-se que no intervalo 
),( ba
 a derivada 
)(' xf
 é decrescente. 
Dessa forma também é possível definir uma função real 
f
 como côncava para baixo 
no intervalo 
),( ba
 se 
)(' xf
 é decrescente neste intervalo 
 
Proposição: 
Seja 
f
 uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável até segunda ordem no 
intervalo 
),( ba
. 
i) Se 
)('' xf
> 0 para todo 
),( bax
, então 
f
 é côncava para cima em 
),( ba
; 
ii) Se 
)('' xf
< 0 para todo 
),( bax
, então 
f
 é côncava para baixo em 
),( ba
. 
 
O item i) diz que, sendo 
)('' xf
 a declividade da reta tangente ao gráfico de 
'f
, nos 
intervalos em que 
)(' xf
 é crescente o ângulo de inclinação da reta tangente é agudo em 
qualquer ponto desse intervalo (ou seja, a declividade dada por 
)('' xf
 é positiva). 
Semelhantemente se explica o item ii). 
 12 
Definição: 
 
Um ponto P(
0x
,
f
(
0x
)) do gráfico de uma função contínua 
f
 é denominado ponto 
de inflexão, se existe um intervalo 
),( ba
 contendo 
0x
 , tal que uma das seguintes situações 
ocorra: 
i) 
f
 é côncava para cima em 
),( 0xa
 e côncava para baixo em 
),( 0 bx
 ; 
i) 
f
 é côncava para baixo em 
),( 0xa
 e côncava para cima em 
),( 0 bx
 . 
 
Observação: Para um ponto ser ponto de inflexão, a função real deve ser derivável até 
segunda ordem neste ponto. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No gráfico acima: 
• (
1x
,
f
(
1x
)) não é ponto de inflexão, pois a função real 
f
 não é derivável em 
1x
 ; 
• (
2x
,
f
(
2x
)) é ponto de inflexão e a reta tangente nesse ponto corta o gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
O 
 13 
23 ESBOÇO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL REAL 
 
 Para se esboçar o gráfico de uma função real 
f
, definida por 
)(xfy 
, siga os 
seguintes passos: 
 
1º) Determine o domínio de 
f
; 
 
2º) Calcule os pontos de interseção de 
f
 com os eixos coordenados (se não requerer muito 
cálculo) 
(isto é, os valores de 
x
 para os quais 
0y
, e os valores de 
y
 para os quais 
x
= 0 ) 
 
3º) Obtenha a derivada primeira e a derivada segunda de 
f
; 
 
4º) Encontre os pontos críticos de 
f
 
(isto é, os valores de 
x
 que tornam 
)(' xf
 nula ou para os quais não existe 
)(' xf
, sendo 
x
 no 
domínio de 
f
 - os pontos críticos são os candidatos a pontos de máximos ou mínimos locais) 
 
5º) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de 
f
 
(isto é, os valores de 
x
 que tornam 
)(' xf
> 0 e 
)(' xf
< 0, sendo 
x
 no domínio de 
f
) 
 
6º) Encontre os pontos de máximos e de mínimos relativos 
(ou seja, verifique se os pontos críticos são pontos de máximos ou mínimos locais, por meio do critério 
da primeira derivada ou do critério da segunda derivada - ver seção 21) 
 
7º) Determine os intervalos onde 
f
 tem concavidade voltada para cima e onde 
f
 tem 
concavidade voltada para baixo 
(isto é, os valores de 
x
 que tornam 
)('' xf
> 0 e 
)('' xf
< 0, sendo 
x
 no domínio de 
f
) 
 
8º) Encontre os pontos de inflexão de 
f
 
(ou seja, os valores de 
x
 que tornam 
)('' xf
= 0 ) 
 
9º) Encontre as assíntotas horizontais e verticais, se existirem 
 (ou seja, calcule lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) para ver se 
f
 tem assíntota horizontal; 
e, caso exista pontos 𝑥 = 𝑎 , no domínio de 
f
, candidatos a serem assíntotas verticais, calcule 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) para verificar se 𝑥 = 𝑎 é realmente uma assíntota vertical de 
f
) 
 
10º) Esboce o gráfico de 
f
. 
 
 14 
24 TEOREMAS FUNDAMENTAIS SOBRE DERIVADAS 
 
 
24.1 TEOREMA DE ROLLE (matemático francês, 1652-1719) 
 
 Seja uma função real 
f
, definida por 
)(xfy 
, contínua em 
],[ ba
 e derivável em 
[,] ba
. 
Se 
0)()(  bfaf
, então existe pelo menos um ponto 
c
 entre 
a
 e 
b
 tal que 
0)(' cf
. 
 
Demonstração: 
Se 
f
 é contínua em 
],[ ba
, 
0)()(  bfaf
 e, ainda, 
)(xf
 tem uma derivada finita 
)(' xf
 em cada ponto 
x
 do intervalo 
[,] ba
, tem-se dois casos a considerar: 
 
1º caso: 
0)(  xfy(ou seja, 
)(xf
 é constante em 
[,] ba
, uma vez que 
0)()(  bfaf
): 
 
 Se 
0)(  xfy
, então 
0)(' xf
 ∀ 
x
∈ 
[,] ba
. Consequentemente, qualquer 𝑥 ∈ 
[,] ba
 
pode ser tomado como o ponto 
c
. 
 
2º caso: 
0)(  xfy
 ( ou seja, 
)(xf
 não é constante em 
),( ba
, uma vez que 
0)()(  bfaf
): 
 
 Como 
)(xfy 
 é contínua em 
],[ ba
, pelo teorema de Weierstrass, existem valores 
máximo e mínimo de 
)(xf
 em 
],[ ba
. 
 Como 
)(xfy 
 não é constante em 
],[ ba
 e 
0)()(  bfaf
, 
)(xf
apresentará 
intervalos de crescimento e decrescimento em 
[,] ba
. 
x 
b 
O 
[ 
a 
y 
P 
x 
y 
a b 
P 
] [ ] 
ou 
c 
c 
[ 
a b 
x 
y 
y=f(x)=0 
] 
 15 
Se 
)(xf
 começa crescendo, 
)(xf
 não pode crescer sempre, pois 
0)( bf
. Logo, 
há um ponto 
cx 
 onde a função começa a decrescer, sendo esse um ponto de máximo. 
Como 
)(xf
 é derivável em todo o intervalo 
[,] ba
, então 
0)(' cf
. 
Se 
)(xf
 começa decrescendo, 
)(xf
não pode decrescer sempre, pois é nula em 
b
. 
Logo, há um ponto 
c
 onde a função começa a crescer, sendo esse um ponto de mínimo. 
Como 
)(xf
 é derivável em todo o intervalo 
[,] ba
, então 
0)(' cf
. 
Se 
)(xf
 começa constante, num determinado ponto 
)(xf
 crescerá e decrescerá ou 
decrescerá e crescerá, pois 
0)( bf
. De qualquer forma, como a derivada primeira existe 
em todo o intervalo 
[,] ba
, há sempre um ponto 
c
 onde a função assumirá ponto de máximo 
ou mínimo. Assim, 
0)(' cf
 . 
 
Observação: No caso abaixo, não vale o teorema de Rolle, pois em 
cx 
 a função não é 
derivável. Nesse caso, 
c
 é a abscissa de um ponto anguloso. 
 
 
 
Exemplo: 
 
 Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle são satisfeitas para a função 
3/13/4 3)( xxxf 
 no intervalo [0,3]. Após, determine o valor de 
c
 no intervalo ]0, 3[ tal que 
0)(' cf
. Na sequência, faça o gráfico dessa função. (Resp.: 
c
=3/4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c a b x 
y 
 16 
24.2 TEOREMA DO VALOR MÉDIO (OU TEOREMA DE LAGRANGE – matemático italiano, 
1736-1813) 
 
 Seja uma função real 
f
, definida por 
)(xfy 
, contínua em 
],[ ba
 e derivável em 
[,] ba
. 
Então existe pelo menos um 
cx 
 em 
[,] ba
 tal que 
)(' cf
ab
afbf

 )()(
. 
 
 Interpretação geométrica do teorema: 
 
 
 
 A declividade da reta PQ é 
ab
afbf

 )()(
. 
 O teorema do valor médio estabelece que se a função real 
f
 é contínua em 
],[ ba
 e 
derivável em 
[,] ba
, então existe pelo menos um ponto 
c
 entre 
a
 e 
b
tal que a reta tangente 
à curva de 
f
 em 
c
 é paralela à corda que une os pontos P
))(,( afa
 e Q
))(,( bfb
, isto é, à 
reta secante à 
f
 nos pontos 
))(,( afa
 e 
))(,( bfb
 . 
 Assim, dada uma reta secante ao gráfico de uma curva derivável, é sempre possível 
encontrar pelo menos um ponto situado entre os dois pontos de interseção da secante com 
a curva tal que a reta tangente nesse ponto seja paralela à secante. 
 
 Demonstração: 
 Sejam os pontos P
))(,( afa
 e Q
))(,( bfb
. A equação da reta PQ que passa por 
P
))(,( afa
 e tem declividade 
ab
afbf

 )()(
 é dada por: 



ab
afbf )()(
ax
afy

 )(  y
)(
)()(
)( ax
ab
afbf
af 



 
y 
x O 
 y=h(x) 
a b 
f(a) 
f(b) 
c 
h(c) 
f(c) 
 
P 
Q 
R 
g(c) 
y=f(x) 
 17 
 Fazendo 
)(xhy 
, tem-se uma função real 
h
 definida por 
)(
)()(
)()( ax
ab
afbf
afxh 



 
que é uma função polinomial de grau um, e, portanto, contínua e derivável em todos o seu 
domínio. 
 Seja 
g
 uma função real definida por 
)()()( xhxfxg 
, 
],[ bax
, em que 
g
 determina 
a distância vertical entre um ponto 
))(,( xfx
 do gráfico de 
f
 e o ponto correspondente na 
reta secante PQ. Então: 
)()()( xhxfxg 

 )()()( afxfxg
)(
)()(
ax
ab
afbf



 
 Como 
g
 é contínua em 
],[ ba
, derivável em 
[,] ba
, pois 
f
 e 
h
 são contínuas em 
],[ ba
 
e deriváveis em 
[,] ba
, e, ainda, 
0)()(  bgag
, uma vez que 
0)()()(  ahafag
 e 
0)()()(  bhbfbg
, então a função 
g
 satisfaz o teorema de Rolle. Assim, existe 
c
 em 
[,] ba
tal que 
0)(' cg
 . 
 Como 
)()()( xhxfxg 
 e 
)(
)()(
)()( ax
ab
afbf
afxh 



, então derivando 
g
 em 
relação a 
x
, vem: 
 )´()´()(')´()´( xfxgxhxfxg
ab
afbf

 )()(
 
Em 
c
 tem-se: 
 )(´)(´ cfcg
0
)()(



ab
afbf
ab
afbf
cf



)()(
)´(
 
ou, ainda, 
)( )(´)()( abcfafbf 
 
 
Observação: Pode existir mais de um valor 
),( bac
 tal que 
ab
afbf
cf



)()(
)´(
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
Exemplo 1: 
 
 Verifique se a função real definida por 
3 xy 
 satisfaz a hipótese do Teorema do 
Valor Médio entre os pontos A(0,0) e B(8,2). Caso satisfaça, determine o valor de 
c
, com 
)8 ,0(c
, onde a reta tangente ao gráfico de 
y
 é paralela à secante que passa por A e B. Na 
sequência, esboce o gráfico da função dada e as referidas retas tangente e secante. 
(Resp.: c= 1,5396...). 
Exemplo 2 
 
 Equação da reta tangente à curva de uma função dada na forma paramétrica 
 
 Seja a função paramétrica 





)(
)(
tfy
tgx
, com 
It
, cujo gráfico está representado a 
seguir, sendo 
I
um intervalo. A cada 
t
 pertencente ao intervalo 
I
, a função paramétrica 
associa um ponto 
))(),(( tftg
 em R2 , onde 
f
 e 
g
 são funções reais definidas em 
I
. 
 
Se 
f
 e 
g
 são deriváveis em 
I
, 
It 0
 e 
0)(' 0 tg
, a declividade da reta 
s
, 
secante à curva de 





)(
)(
tfy
tgx
 nos pontos 
))(),(( 00 tftg
 e 
))(),(( tftg
 é dada por 
)()(
)()(
0
0
tgtg
tftf


 
. 
Assim, o coeficiente angular da reta tangente à curva de 





)(
)(
tfy
tgx
 no ponto 
))(),(( 00 tftg
 é dado por: 
)()(
)()(
lim
0
0
0 tgtg
tftf
tt 


=
)(´
)(´
)()(
)()(
lim
0
0
0
0
0
0
0 tg
tf
tt
tgtg
tt
tftf
tt






 
e a equação da reta tangente em 
))(),(( 00 tftg
 é dada por: 
))((
)(´
)(´
)(
)(
)(
)(´
)(´
0
0
0
0
0
0
0
0 tgx
tg
tf
tfy
tgx
tfy
tg
tf




 
x 
y 
g(t0) 
f(t0) 
g(t) 
f(t) 
 
s 
 19 
24.3 TEOREMA DE CAUCHY (matemático francês, 1789-1857) 
 
Se 
f
 e 
g
 são duas funções reais contínuas em 
],[ ba
, deriváveis em 
[,] ba
 e 
0)(' xg
 
para todo 
[,] bax
, então existe um número real 
[,] baz
 tal que 
.
)(´
)(´
)()(
)()(
zg
zf
agbg
afbf



 
 
Interpretação geométrica do teorema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Geometricamente, esse teorema estabelece que para uma função paramétrica dada 
por 





)(
)(
tfy
tgx
, 
][a,bt
, a declividade da reta 
s
, secante à curva de 





)(
)(
tfy
tgx
 nos pontos 
))(),(( afag
 e 
))(),(( bfbg
 é dada por 
)()()()(
agbg
afbf


 . 
Como em 
[,] ba
 existe um ponto 
))(),(( zfzg
 tal que a reta 
t
, tangente nesse ponto, é 
paralela à reta 
s
, o coeficiente angular da reta 
t
 é 
)(´
)(´
zg
zf
. Assim, para esse 
z
, tem-se: 



)()(
)()(
agbg
afbf
)(´
)(´
zg
zf
 
 
Demonstração: 
 
 i) As hipóteses 
f
 e 
g
são contínuas em 
],[ ba
, deriváveis em 
[,] ba
 e 
0)(' xg
 para 
todo 
[,] bax
, implicam em 
)()( bgag 
 . 
De fato, pelo Teorema do Valor Médio existe um 
c
 em 
[,] ba
 tal que 
ab
agbg
cg



)()(
)('
 . 
Como 
0)(' xg
 para todo 
[,] bax
, então 
0)(' cg
)()(0)()(0
)()(
bgagagbg
ab
agbg




 
 
f(a) 
f(b) 
x 
y 
g(a) g(b) 
 
s 
t 
g(z) 
f(z) 
 20 
ii) Seja a função real 
h
, definida por 
)]()([
)()(
)()(
)()()( agxg
agbg
afbf
afxfxh 



 , 
com 
[,] bax
, onde 
0)()(  bhah
 . 
A função 
h
 satisfaz o Teorema de Rolle, pois 
h
 é contínua em 
],[ ba
 e derivável em 
[,] ba
 , uma vez que 
f
 e 
g
 são contínuas em 
],[ ba
 e deriváveis em 
[,] ba
 e, ainda, 
).()( bgag 
 Além disso, 
0)()(  bhah
. Portanto, existe 
[,] baz
 tal que 
0)(' zh
 . 
Derivando 
)]()([
)()(
)()(
)()()( agxg
agbg
afbf
afxfxh 



 em relação a 
x
, vem: 
)('
)()(
)()(
)(')(' xg
agbg
afbf
xfxh



 
 Em 
zx 
, tem-se: 
0)('
)()(
)()(
)(')(' 


 zg
agbg
afbf
zfzh




)()(
)()(
agbg
afbf
)´(
)´(
zg
zf
, pois 
)´(zg
0
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
24.4 TEOREMA DE L´HOSPITAL (OU REGRA DE L’HOSPITAL – Marquês de l’Hospital, 
França, 1712) 
 
 Sejam as funções reais 
f
 e 
g
 deriváveis num intervalo aberto 
I
, exceto 
possivelmente, em um ponto 
a
, 
Ia 
, com 
0)(' xg
 para todo 
ax 
 em 
I
 . 
i) Se 
0)(lim)(lim 

xgxf
axax
 e 
,
)(´
)(´
lim L
xg
xf
ax


 então 
L
xg
xf
xg
xf
axax

 )(´
)(´
lim
)(
)(
lim
 
 (seja L finito ou infinito) 
 
ii) Se 


)(lim)(lim xgxf
axax
 e 
,
)(´
)(´
lim L
xg
xf
ax


 então 
L
xg
xf
xg
xf
axax

 )(´
)(´
lim
)(
)(
lim
 
(seja L finito ou infinito) 
 
Demonstração do item i) 
 Se 
0
0
)(
)(
lim 
 xg
xf
ax
 (indeterminação) e 
L
xg
xf
ax

 )(´
)(´
lim
 (ou seja, 
)(´
)(´
lim
xg
xf
ax
 existe, seja ele 
finito ou infinito), deve-se provar que 
L
xg
xf
ax

 )(
)(
lim
 . 
 Se 
f
 e 
g
 forem contínuas em 
ax 
, então 
0)()(  agaf
 . 
 Se 
f
 e 
g
não forem contínuas em 
ax 
, considera-se, então, duas funções reais 
F
 
e 
G
, definidas por 






a se ,0
a se ),(
)(
x
xxf
xF
 e 






a se ,0
a se ),(
)(
x
xxg
xG
, que são contínuas em 
ax 
 e em todo o intervalo 
I
, pois 
)(0)(lim)(lim aFxfxF
axax


 
e 
)(0)(lim)(lim aGxgxG
axax


 . 
 Nesse segundo caso, seja 
axIx  ,
. Como para todo
ax  
 em 
I
, 
f
 e 
g
 são 
deriváveis e 
0)(' xg
 as funções 
F
 e 
G
satisfazem as hipóteses do Teorema de Cauchy no 
intervalo 
],[ ax
 ou 
],[ xa
. Segue, então, que existe um número real 
z
 entre 
a
 e 
x
, tal que 



)()(
)()(
aGxG
aFxF
)´(
)´(
zG
zF
 
 Como 
)(')(' ,0)( ,0)( ),()( ),()( zfzFaGaFxgxGxfxF 
 e 
)(')(' zgzG 
, vem 

)(
)(
xg
xf
)´(
)´(
zg
zf
 
 22 
Como 
z
 está entre 
a
 e 
x
, quando 
ax 
 tem-se que 
az 
 . Logo: 
L
zg
zf
zg
zf
xg
xf
azaxax

 )(´
)(´
lim
)(´
)(´
lim
)(
)(
lim
 
 
Observações: 
• Se 
f
 e 
g
 forem contínuas em 
ax 
, então 
0)()(  agaf
, e a demonstração é 
semelhante. 
• A condição 
0)( xg
 para todo 
ax 
 em 
I
 é necessária para a regra de L´Hospital, 
pois se 
)(xg
 fosse nulo para algum 
x
 em 
I
, 
ax 
, e como 
0)( ag
 , pelo Teorema 
de Rolle, segue que existe um número real 
c
 entre 
x
 e 
a
 tal que 
0)(' cg
; o que 
geraria uma contradição. 
• A regra de L´Hospital também é válida para os limites laterais (se 
 ax
 ou 
 ax
), 
bem como para os limites no infinito (
x
 ou 
x
). 
• A regra de L’Hospital só é válida se as indeterminações forem do tipo 0/0 ou 

/

 . 
Para as demais indeterminações, a função dada deve ser trabalhada algebricamente, 
a fim de surgir 0/0 ou 

/

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
24.5 POLINÔMIO DE TAYLOR (Inglaterra, 1685-1731) 
POLINÔMIO DE MAC-LAURIN (Escócia, 1698-1746) 
 
 O polinômio de Taylor consiste num método de aproximação local de uma função real 
por um polinômio, com um erro possível de ser estimado. 
 
Definição: 
 Seja uma função real 
If :
R que admite derivadas até ordem 
n
 num ponto 
0x
pertencente ao intervalo 
I
 . O polinômio de Taylor, de ordem 
n
, de 
f
 no ponto 
0x
 , 
denotado por 
)(xPn
, é definido como: 
n
n
n xx
n
xf
xx
xf
xx
xfxf
xP )(
!
)(
...)(
!2
)´´ (
)(
!1
)(´
!0
)(
)( 0
0
)(
2
0
0
0
00 
 
 
Se 
00 x
, o polinômio de Taylor é denominado polinômio de Mac-Laurin , de ordem 
n
, de 
f
, e é definido por: 
n
n
n x
n
f
x
f
xffxP
!
)0(
...
!2
)0´´ (
)0(´)0()(
)(
2 
 
 
Observação: O polinômio de Taylor, de ordem 
n
, de 
f
 em torno de 
0x
, tem em comum 
com a função 
f
 o valor em 
0x
, o valor da primeira derivada em 
0x
 , o valor da 
segunda derivada em 
0x
 e, assim, sucessivamente, o valor da derivada 
n
-
ésima em 
0x
 . 
 
Assim, a ideia é aproximar a função 
f
 por um polinômio 
)(xP
 tal que: 
 
)()( ),...,´´ ()´´ ( ),(´)(´ ),()( 0
)(
0
)(
000000 xPxfxPxfxPxfxPxf
nn 
 
 
onde 
)(xP
 terá a forma 
n
n xxaxxaxxaaxP )(...)()()( 0
2
02010 
, com coeficientes 
reais 
naaaa ,...,,, 210
 . 
 
Como 
00 )( axP 
 e 
 ),()( 00 xfxP 
, então 
)( 00 xfa 
 . Derivando 
)(xP
 em relação a 
x
, 
vem: 
)(' xP
1
0
2
03021 )(...)(3)(2
 nn xxnaxxaxxaa
 
10 )(´ axP 
 
 
Como 
 ),(´)(´ 00 xfxP 
então 
)(´ 01 xfa 
 . Derivando 
)(' xP
 em relação a 
x
, vem: 
2
0
2
04032 )()1(..).(3.4)(2.32)(''
 nn xxannxxaxxaaxP
 
20 2)´´ ( axP 
 
 24 
Como 
 ),´´ ()´´ ( 00 xfxP 
então 
2
)´´(
 2)´´( 0220
xf
aaxf 
 . Derivando 
)('' xP
 em 
relação a 
x
 e calculando 
),´´ (´ 0xP
 obtém-se 
!3
)´´´(
6
)´´´(
 6)´´´()´´´( 003300
xfxf
aaxfxP 
 
Procedendo assim, sucessivamente, obtém-se: 
!
)(
 !)()( 0
)(
n0
)(
0
)(
n
xf
aanxfxP
n
n
nn 
 
Portanto, 
n
n xxaxxaxxaaxP )(...)()()( 0
2
02010 
 

 
nn
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP )(
!
)(
...)(
!2
)´´(
))(´()()( 0
0
)(
2
0
0
000 
 
 
Observações: 
• 
f
 e 
P
 admitem a mesma reta tangente em 
))(,( 00 xfx
 com declividade 
 ,)´()´( 00 xfxP 
ou seja, o polinômio de Taylor de ordem 1 é a reta tangente à curva 
)(xf
 no ponto 
))(,( 00 xfx
 . 
• Como 
 )('')('' 00 xfxP 
, segue que, se 
0 )('' 0 xf
 e 
 )('' 0xf
contínua em 
0x
 , para 
x
 
próximo de 
0x
, os gráficos de 
f
 e 
P
 apresentam concavidades com mesmo sentido. 
Dessa forma, é razoável esperar que para 
x
 suficientemente próximo de 
0x
 , o 
polinômio de Taylor de ordem 2 aproxime melhor 
f
 do que o polinômio de Taylor de 
ordem 1. 
• Como 
)()( 0
)(
0
)( xfxP nn 
, analogamente ao item anterior, é de se esperar que se 
)( 0
)( xf n
0
 e as derivadas 
)(,...,''','',' nffff
 forem contínuas em 
0x
 , para 
x
 próximo 
de 
0x
 , o polinômio de Taylor de ordem 
n
 aproxime melhor 
f
 do que o polinômio de 
Taylor de ordem 
1n
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
24.6 RESTO (OU ERRO) DO POLINÔMIO DE TAYLOR 
 
 Definição: 
 Dado o polinômio de Taylor de grau 
n
 de uma função real 
f
, a diferença entre 
)(xf
 
e 
)(xPn
, denominada resto e denotada por 
)(xRn
, é definida como 
 )()( xfxRn )(xPn
 . 
 
 Graficamente, tem-se: 
 
 Como 
 )()( xfxRn )(xPn
, então 
 )()( xPxf n )(xRn
 
 Quanto menor for 
)(xRn
, melhor o polinômio 
)(xPn
 aproximará 
)(xf
. 
 Caso se utilize o polinômio de Taylor de ordem 1 para aproximar a função 
f
 em torno 
de 
0x
 , tem-se: 
)())(´()()( 000 xRxxxfxfxf 
, para todo 
)( fDx
 
em que 
)( fD
é o domínio de 
f
. 
 Daí, para 
0xx 
, o resto médio ou erro médio é dado por 
)(´
)()()(
0
0
0
0
xf
xx
xfxf
xx
xR





 
e o erro instantâneo quando 
x
 se aproxima de 
0x
é dado por 
 
0)]´(
)()(
[lim
)(
lim 0
0
0
0
00




 
xf
xx
xfxf
xx
xR
xxxx
 
 
 Se utilizarmos o polinômio de Taylor de ordem 2 para aproximar a função 
f
 em torno 
de 
0x
 , teremos: 
)()(
2
)´´(
))(´()()( 20
0
000 xRxx
xf
xxxfxfxf 
, para todo 
)( fDx
 . 
 
 
f(x) 
 
y=f(x) 
y= 
x O x0 x 
 
f(x0)= 
y 
 26 
24.7 FÓRMULA DE TAYLOR COM RESTO DE LAGRANGE 
 
 Seja uma função real 
],[: baf
R uma função derivável até a ordem n+1 no 
intervalo 
[,] ba
 , com as derivadas 
)(,...,''','',' nffff
 contínuas em 
],[ ba
. Se 
0x ],[ ba
, então 
para cada 
x
],[ ba
, 
0xx 
, existe um ponto 
z
 entre 
0x
 e 
x
 tal que 
1
0
)1(
)(
)!1(
)(
)()( 



 n
n
xx
n
zf
xPxf
 
ou, explicitamente, 
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf )(
!
)(
...)(
!2
)´´(
))(´()()( 0
0
)(
2
0
0
000 
1
0
)1(
)(
)!1(
)( 



 n
n
xx
n
zf
 
em que a fórmula para o resto, dada por
)(xRn
=
1
0
)1(
)(
)!1(
)( 



n
n
xx
n
zf
 , é denominada fórmula de 
Lagrange do resto. 
 
Demonstração: 
 Seja 
)(xP
 o polinômio de Taylor, de ordem 
n
, de 
f
 em torno de 
0x
. Para cada 
],[ bax
, seja 
)(xR
 o erro (ou resto) que se comete na aproximação de 
)(xf
 por 
)(xP
. 
Assim, para todo 
],[ bax
, vem: 
])(
!
)(
...)(
!2
)´´(
))(´()([)()()()()(
)(
2 n
o
o
n
o
o
ooo xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxfxRxPxfxR 
 
Derivando 
)(xR
 sucessivamente em relação a 
x
, vem: 
])(
!
)(
...)(
!2
)´´(
2)´([)(')(' 1
)(
 no
o
n
o
o
o xx
n
xf
nxx
xf
xfxfxR
 
])(
!
)(
)1(...)´´([)('')('' 2
)(
 no
o
n
o xx
n
xf
nnxfxfxR
 

 
)()()( )()()( o
nnn xfxfxR 
 
)()( )1()1( xfxR nn  
 
em que 
0)(...)´´ ()(´)( 0
)(
000  xRxRxRxR
n
 
e 
)()( )1()1( xfxR nn  
 
 
 27 
 Sendo 
1
0 )(
 nxxh
, tem-se 
0)(...)´´ ()(´)( 0
)(
000  xhxhxhxh
n
 e 
)!1()()1(  nxh n
 . 
Daí, vem: 
)()(
)()(
)(
)(
0
0
xhxh
xRxR
xh
xR



 (1) 
 Pelo Teorema de Cauchy, existe o número real 
1z
 entre 
0x
 e 
x
 tal que 
)()(
)()(
0
0
xhxh
xRxR


)´(
)´(
)(
)(
1
1
zh
zR
xh
xR

 (2) 
Por (1) e (2), vem: 
)(´)(´
)(´)(´
)(´
)(´
)(
)(
01
01
1
1
xhzh
xRzR
zh
zR
xh
xR



 
 Pelo Teorema de Cauchy, existe 
2z
 entre 
0x
 e 
1z
 tal que 
)(´)(´
)(´)(´
)(´
)(´
)(
)(
01
01
1
1
xhzh
xRzR
zh
zR
xh
xR



=
)´´ (
)´´ (
2
2
zh
zR
 
Fazendo 

)´´(
)´´(
2
2
zh
zR
)´´ ()´´ (
)´´ ()´´ (
02
02
xhzh
xRzR


, pelo Teorema de Cauchy existe 
3z
 entre 
0x
 e 
2z
 tal que 

)(
)(
xh
xR
)´´ (
)´´ (
2
2
zh
zR
= 
)´´ ()´´ (
)´´ ()´´ (
02
02
xhzh
xRzR


= 
)´´ (´
)´´ (´
3
3
zh
zR
 
 Aplicando o Teorema de Cauchy, sucessivamente, tem-se: 

)(
)(
xh
xR
)(
)(
)1(
)1(
zh
zR
n
n

 =
)!1(
)()1(


n
zf n
 
 Portanto, 
)(
)!1(
)(
)(
)1(
xh
n
zf
xR
n



 )(xR 1
0
)1(
)(
)!1(
)( 



n
n
xx
n
zf
 
 
 
 
25 DIFERENCIAL E REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. V. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000. 
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 5. ed. São Paulo: 
Makron, 1992. 
GRANVILLE, W. A.; LONGLEY, W. R.; SMITH, P. F. Elementos de cálculo diferencial e integral. Rio de 
Janeiro: Científica, 1961. 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. V. 1.Rio de Janeiro: LTC, 1985. 
MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo. V. 1, 2 ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1983. 
RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Cálculo diferencial e integral. V. 1. São Paulo: Instituto Brasileiro de 
Edições Científicas, 1981. 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. V. 1. São Paulo: Makron Books, 1994.