Lista1cal.II

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Amapa´.
Coordenac¸a˜o de Matema´tica-1◦Semestre de 2014
Disciplina: Ca´lculo II. Turma 2013.
Prof. Dr. Guzma´n Isla Chamilco.
1◦Lista: Derivadas, Integrais e Integrais Improprias
1.- Calcular as derivadas das seguintes func¸o˜es:
i) f(x) = arccos(x2 + 1), ii) f(x) = arcsen(x2 + 1), iii) f(x) = ln(3x2 − 1),
iv) f(x) = xln(x+ 1), v) f(x) =
√
1 +
√
1 + x, vi) f(x) = xx + 2x
vii) f(x) =
√
1 +
√
1 +
√
1 + x, viii) f(x) = ln(1 + ln(1 + x)), ix) f(x) = e17xcosx,
x) f(x) = ln(1 + ln(ln(1 + x))), xi) f(x) = (x− 2)17cosx, xii) f(x) = cosx
ex
(x− 2)17
2.- Sabendo que y = y(x) calcular as derivadas das seguintes func¸o˜es:
i) x3y + 3x2y2 − y3 + 2 = 0, ii) xy3 + 3x2y2 − y + 2 = 0,
iii) xey + ln(xy) = 0, iv) xy2 + y + x = 1,
v) y3 + x2y − x = 4, vi) 5y + cosy − xy = 0
vii) 2y + seny = x, viii) y + ln(x2 + y2) = y
3.- Calcular as derivadas das func¸o˜es dadas:
i) f(x) = tg3x, ii) f(x) = sec4x, iii) f(x) = cotgx2,
iv) f(x) = sec(tgx), v) f(x) = secx3, vi) f(x) = tagx2,
vii) f(x) = cosec2x, viii) f(x) = x3tg4x, ix) f(x) = ln(sec3x+ tg3x),
x) f(x) = e−xsecx2, xi) f(x) = (x2 + cotgx2)3, xii) f(x) = x2tg2x
xiii) f(x) = arcsecx2, xiv) f(x) = xarctgx2, xv) f(x) = arcsen3x,
xvi) f(x) = x2arccosx, xvii) f(x) = xarccotg4x, xviii) f(x) = arctg(x+ 1)2
1
4.- Calcule:
i)
∫
(3x− 2)3dx, ii)
∫ √
3x− 2 dx, iii)
∫
dx
3x− 2
iv)
∫
x(senx2)dx, v)
∫
x2ex3 dx, vi)
∫
dx
(3x− 2)2
vii)
∫
(sen2x
√
5 + sen2x) dx, viii)
∫
xex2 dx, ix)
∫
(sen2x
√
1 + cos2x) dx
x)
∫
(tg3x)(cosx) dx, xi)
∫
cos5x dx, xii)
∫
(tgx)(sec2x) dx
5.- Calcule:
i)
∫
dx
x2 − 1 ii)
∫
(2x+ 3)dx
x(x− 2) iii)
∫
xdx
(x2 − 4)
iv)
∫
dx
(x2 − 4) v)
∫
(5x+ 3)dx
x2 − 3x+ 2 vi)
∫
2dx
x2 − 5x+ 6
vii)
∫
(x+ 1)dx
x2 − x− 2 , viii)
∫
(x− 3)dx
x2 + 3x+ 2
, ix)
∫
(x− 3)dx
x2 + 3x+ 2
6.- Calcule:
i)
∫
x3dx
(x4 + 16)3
ii)
∫
xdx
x4 + 16
iii)
∫
dx
x(lnx)
iv)
∫
dx
(x2 − 4) v)
∫
(5x+ 3)dx
x2 − 3x+ 2 vi)
∫
2dx
x2 − 5x+ 6
vii)
∫
(x+ 1)dx
x2 − x− 2 , viii)
∫
(x− 3)dx
x2 + 3x+ 2
, ix)
∫
(x− 3)dx
x2 + 3x+ 2
2
7.- Calcule as seguintes integrais impro´prias, caso sejam convergentes.
a)
∫ ∞
1
dx
x
√
x
, b)
∫ ∞
3
dx
x2 + 9
, c)
∫ ∞
0
dx
(x+ 2)(1 + x)
,
d)
∫ ∞
0
xe−x
2
dx, e)
∫ ∞
−∞
| x | e−x2 dx, f)
∫ ∞
2
dx
xlnx
,
g)
∫ ∞
0
coshx
1 + senhx
dx, h)
∫ 0
−∞
x5−x
2
dx, i)
∫ 0
−∞
xcoshx dx,
j)
∫ ∞
1
lnx
x
dx, k)
∫ ∞
−∞
dx
x2 + 1
, l)
∫ ∞
0
sen(pix)e−x dx,
m)
∫ 1
−∞
dx
(2x− 3)2 , n)
∫ ∞
−∞
x
x2 + 1
dx, o)
∫ ∞
−∞
dx
x2 + 2x+ 5
,
p)
∫ ∞
1
dx
x3 + x
, q)
∫ ∞
0
e−xsenx dx, r)
∫ ∞
1
xdx
(x2 + 1)2
,
s)
∫ −∞
0
x3dx
1 + x4
, t)
∫ ∞
e2
dx
x(ln3x)
, u)
∫ ∞
0
xsenx dx,
v)
∫ 0
−∞
dx
x2 + 1
dx, w)
∫ ∞
1
dx
3
√
x2
dx, x)
∫ ∞
2
dx
xln2x
8.- Estude a convergeˆncia das integrais impro´prias.
i)
∫ ∞
−∞
senx dx, ii)
∫ ∞
1
dx
x
√
x2 − 1 dx, iii)
∫ ∞
0
dx
(x+ 2)(x+ 1)
,
iv)
∫ ∞
0
coshx
x2
dx, v)
∫ ∞
1
x2
(16 + x2)2
dx, vi)
∫ ∞
0
xdx
16 + x4
3
9.- Calcule as seguintes integrais impro´prias, caso sejam convergentes.
a)
∫ 4
0
dx√
x
, b)
∫ 1
0
cos 3
√
x
3
√
x2
dx, c)
∫ 4
0
dx√
16− x2 ,
d)
∫ 4
0
e−
√
x
√
x
dx, e)
∫ 1
0,5
dx
x 7
√
(lnx)2
, f)
∫ 1
−1
dx
x3
,
g)
∫ pi
−pi
dx
1− cosx, h)
∫ 2
0
dx√
2x− x2 , i)
∫ 5
4
dx
5
√
(5− x)2 ,
j)
∫ 2
1
dx
x2
√
4− x2 , k)
∫ 1
0
dx√
1− x2 , l)
∫ 3
0
dx
(x− 1)2 ,
m)
∫ pi
2
0
dx
cosx
, n)
∫ 3
1
dx√
4x− x2 − 3 , o)
∫ 1
0
3x2 + 2
3
√
x2
dx,
p)
∫ −1
−2
dx
x
√
x2 − 1 , q)
∫ 2
1
dx
xln2x
, r)
∫ 2
1
dx
x
√
lnx
,
s)
∫ 2
0
√
2 + x
2− x dx, t)
∫ 2
pi
0
1
x2
sen
1
x
dx, u)
∫ 1
0
dx
1− x3 ,
v)
∫ 1
2
0
dx
x 3
√
lnx
dx, w)
∫ ∞
1
dx
3
√
x2
dx, x)
∫ ∞
2
dx
xln2x
10.- Determine o valor de s tal que as seguintes integrais improprias sejam
convergentes.
a)
∫ +∞
0
e−sx dx, b)
∫ +∞
0
e−sxsenx dx, c)
∫ +∞
0
e−sxex dx,
d)
∫ +∞
0
x2e−sx dx, e)
∫ +∞
0
e−sxsenhx dx, f)
∫ +∞
0
e−sxcoshx dx,
g)
∫ pi
2
0
1− cosx
xs
dx, h)
∫ pi
0
dx
sen5x
,
Unifap 10 de abril de 2014.
4