AP2 MATEMÁTICA BÁSICA

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AP2 – Matemática Básica – 2017/1 – Gabarito e Critério 
 
Questão 1: [1,0 ponto] Em uma progressão aritmética o terceiro termo é 4 e o nono é 8. 
Defina o conjunto dos valores da PA que são maiores do que 41. 
Solução: Precisamos resolver a inequação, an > 41. Antes, vamos obter a1 e r. Sabemos 
que a3 = 4 e a9 = 8. Mas, a9 = a3 + 6r, donde 8 = 4 + 6r, donde 6r = 4, donde r = 2/3. 
Como a1 pode ser obtido por a1 = a3 – 2r, temos a1 = 4 – 4/3 = 8/3. 
 Assim, precisamos resolver, 8/3 + (n – 1)2/3 > 41. 
8/3 + (n – 1)2/3 > 41  [8 + 2(n – 1)]/3 > 41  2(n – 1) > 123 – 8  
  n – 1 > 115/2  n > 58,5  n  59. 
 Ainda precisamos determinar os termos cujos valores são maiores do que 41. 
Temos a59 = 8/3 + 58.2/3 = 124/3, a60 = 124/3 + 2/3 = 126/3, a61 = 128/3, a62 = 130/3, ... 
 Assim, o conjunto solução pode ser definido pela lista: 
Resposta: S = {124/3, 126/3, 128/3, 130/3, 132/3, ...}. 
Critério: Dar 0,3 se o aluno estabelecer o objetivo da questão, que é resolver a 
inequação an > 41. Dar 0,2 pela determinação de r e 0,2 pela determinação de a1. 
Dar 0,3 pela resposta final. 
 
Questão 2: [2,0 pontos] Determine o domínio da função dada pela relação f(x) = 
√(5𝑥 − 4)(3 − 𝑥). Apresente a resposta em termos de intervalo. 
Solução: A condição para a expressão estar bem definida é (5x – 4)(3 – x)  0. Para 
resolver a inequação faremos um estudo de sinais. 
Expressão de x  \Valores de x  4/5 3 
5x – 4 − + + 
3 − x + + − 
(5x – 4)(3 – x) 
 
− + − 
Assim, a desigualdade é válida para x tal 4/5  x  3. Em termos de intervalo, temos: 
Resposta: Dom(f) = [4/5, 3]. 
Critério: Dar 0,4 para cada ação, apresentar a inequação, o estudo de sinais e a 
resposta em termos de intervalo. 
 
Questão 3: [3,0 pontos] A reta no plano cartesiano da figura representa uma função 
afim, f : ℝ  ℝ. 
a) Resolva a inequação f(x) < 1. Defina o conjunto solução e represente-o na reta 
numérica. 
b) Defina o conjunto dos valores de f para os pontos x maiores do que 1. 
c) Determine a expressão de f. 
 
Questão: a) Podemos determinar a expressão de f(x) para então resolver a inequação 
f(x) < 1. Determinaremos a expressão para o item (c), mas podemos seguir pelo gráfico 
do problema. Pela figura, vemos que f(−3) = 1 e para todo x maior do que −3 temos f(x) 
< 1. Assim, o conjunto solução é S = (−3, +). E sua representação na reta numérica é 
dada por 
 
Critério: Dar 0,5 pelo conjunto e 0,5 pela representação na reta. Descontar 0,3 se o 
aluno definir o conjunto por listagem (respostas como {−2, −1, ...}). 
b) Precisamos determinar f(x) tal que x > 1. Temos que f(1) = −1 e que os valores f(x) 
diminuem indefinidamente à medida que x aumenta. Ou seja, f(x) assume todos os 
valores menores do que −1. Assim, o conjunto solução é S = (−, −1). 
Critério: Dar 1,0 pela resposta correta. Dar 0,5 se o aluno apenas indicar y < −1 ou 
se apenas listar alguns elementos, mas indicando que percebeu a relação para os 
valores de f. 
c) Sendo f uma função afim, sua expressão é da forma f(x) = ax + b. Uma estratégia para 
encontrar os coeficientes a, b é usar dois pares (x, f(x)) de valores conhecidos. Pelo 
gráfico, temos que f(−1) = 0 e f(1) = −1. Substituindo na expressão geral de f temos o 
sistema 
{
−1. 𝑎 + 𝑏 = 0
1. 𝑎 + 𝑏 = −1
. 
Somando as duas equações temos 2b = −1, donde b = −1/2, donde a = b = −1/2. 
 Logo, a expressão de f é f(x) = −x/2 – 1/2. 
Critério: Dar 0,5 para cada coeficiente encontrado. 
 
Questão 4: [1,5 pontos] Resolva a equação (𝑥7 − 4𝑥3)(𝑥2 − 2𝑥 + 1) = 0. 
Solução: (x
7
 – 4x3)(x2 – 2x + 1) = 0  x3(x4 – 4)(x2 – 2x + 1) = 0  x3 = 0 ou x4 – 4 = 0 
ou x
2
 – 2x + 1 = 0. 
 Temos 3 possibilidades para encontrar as raízes da equação. 
Primeira possibilidade: x
3
 = 0. 
Nesse caso é simples, x
3
 = 0  x = 0. 
Segunda possibilidade: x
4
 – 4 = 0. 
x
4
 – 4 = 0  x = −√4
4
 ou x = √4
4
. Se quiser simplificar, temos x = −√2 ou x = √2. 
Terceira possibilidade: x
2
 – 2x + 1 = 0. 
 = (−2)2 – 4.1.1 = 0. Assim, a única raiz é −(−2)/2 = 1. 
Resposta: As raízes da equação são 0, −√2, √2 e 1. 
Critério: Dar 0,5 para cada caso resolvido. 
 
Questão 5: [2,5 pontos] A figura a seguir representa dois triângulos retângulos. O cateto 
comum aos dois triângulos retângulos é oposto a ângulos que medem 30º e 60º e o 
cateto adjacente ao ângulo de 30º mede 300. (Observação: sen 30º = 1/2, cos 30º = 
√3/2) 
a) Indique na figura as seguintes referências do problema, 30º, 60º, 300, cateto 
comum aos dois triângulos retângulos, cateto adjacente ao ângulo de 60º. 
b) Determine a medida do cateto comum aos dois triângulos. 
c) Determine a medida do cateto adjacente ao ângulo de 60º. 
 
 
Solução: a) Veja a figura acima. 
b) O cateto oposto ao ângulo de 30º é dado por a = tg(30º).300 = √3/3.300 = 100√3. 
c) Se b é o cateto adjacente ao ângulo de 60º, temos b = 100√3/tg(60º) = 100√3/√3 = 
100. 
Critério: No item (a), dar 0,3 para cada uma das 5 referências. Para cada um dos 
itens (b) e (c), dar 0,2 pela fórmula correta e 0,3 pelo resultado correto.