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Cálculo Numérico 
Tema: Interpolação
Professor: Nonato 
Fortaleza, 08 de Maio de 2017
Interpolação 
“Constitui de métodos matemáticos
que permite construir um novo
conjunto de dados a partir de um
conjunto discreto de dados
pontuais previamente conhecidos”
Interpolar 𝑓(𝑥)
“A interpolação permite aproximar-se 
𝑓(𝑥)através de uma classe de funções 
𝑔(𝑥)definidas a priori”
Interpolação Linear e Polinomial
Onde usar 𝑔(𝑥) em substituição a 𝑓(𝑥)
1. Quando se conhece só os valores 
numéricos da função para um 
conjunto de pontos e pretende-se 
calcular o valor da função em um 
ponto não conhecido;
2. Se a função é conhecida, porém a 
derivada e a integral são difíceis ou 
mesmo não tem solução fechada.
Interpolar Polinomial 
Sejam 
(𝑥0, 𝑓(𝑥0)), (𝑥1, 𝑓(𝑥1))… . . , (𝑥𝑛, 𝑓(𝑥𝑛)), 
dessa forma tem-se (𝑛 + 1)pontos, 
deseja- se aproximar𝑓(𝑥)por um 
polinômio𝑝𝑛(𝑥)de forma que o grau seja 
no máximo n
Interpolar Polinomial 
𝑓 𝑥𝑘 = 𝑝𝑛 𝑥𝑘 𝑘: 0,1, … , 𝑛. Assim 
I. ∃𝑝𝑛 𝑥 que satisfaz essas 
condições;
II. Se∃ é único representado da 
seguinte forma:
𝑝𝑛 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2+. . +𝑎𝑛𝑥
𝑛
Interpolar Polinomial 
Encontrar 
𝑝𝑛 𝑥 é determinar 𝑎0, 𝑎1, . . , 𝑎𝑛
Sabe-se que 𝑝𝑛 𝑥𝑘 = 𝑓 𝑥𝑘 para 
todo e qualquer k:0,1,..,n
Interpolar Polinomial 
Assim 
𝑎0 + 𝑎1𝑥0 + 𝑎2𝑥0
𝑛+. . +𝑎𝑛𝑥0
𝑛 = 𝑓(𝑥0)
𝑎1 + 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥1
𝑛+. . +𝑎𝑛𝑥1
𝑛 = 𝑓(𝑥1)
………………………………………… . .
𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑛 + 𝑎2𝑥𝑛
𝑛+. . +𝑎𝑛𝑥𝑛
𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛)
Obtenção de 𝑝𝑛(𝑥)
Teorema: Existe um único polinômio 
𝑝𝑛(𝑥) com grau menor ou igual a n, 
tal que, 𝑝𝑛 𝑥𝑘 = 𝑓(𝑥𝑘), k:0,1,..,n 
desde que 𝑥𝑘≠𝑥𝑗 , 𝑗≠𝑘
Obtenção de 𝑝𝑛(𝑥)
1- Sistemas Lineares ;
Ex: Encontrar o polinômio de grau 
menor ou igual a 2 que interpola os 
pontos da tabela:
x -1 0 2 
f(x) 4 1 -1
Obtenção de 𝑝𝑛(𝑥)
1- Sistemas Lineares ;
Ex: Encontrar o polinômio de grau menor 
ou igual a 3 que interpola os pontos da 
tabela, com erro de 0,0001
x 0,1 0,2 0,3 0,4 
f(x) 5 13 -4 -8 
Obtenção de 𝑝𝑛(𝑥)
Forma de Lagrange:
Sejam (𝑥0, 𝑓(𝑥0)), (𝑥1, 𝑓(𝑥1))… . . , (𝑥𝑛, 𝑓(𝑥𝑛)), (𝑛 +
1)pontos distintos e 𝑦𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑖: 0,1, . . , 𝑛
Seja𝑝𝑛(x)o polinômio de grau de menor ou 
igual a n que interpola 𝑓em 𝑥0,𝑥1, … , 𝑥𝑛. 
Podendo ser representado 𝑝𝑛(x)da 
seguinte maneira
Obtenção de 𝑝𝑛(𝑥)
Forma de Lagrange:
𝑝𝑛 x = 𝑦0𝐿0 𝑥 + 𝑦1𝐿1 𝑥 +⋯+
𝑦𝑛𝐿𝑛 𝑥 , sendo os polinômios 𝐿𝑘 𝑥 são de 
grau 𝑛. Para cada i, impondo a condição 
𝑃𝑛 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖dessa forma:
𝑝𝑛 x = 𝑦0𝐿0 𝑥 + 𝑦1𝐿1 𝑥 +⋯+ 𝑦𝑛𝐿𝑛 𝑥 = 𝑦𝑖
Obtenção de 𝑝𝑛(𝑥)
Forma de Lagrange:
𝑝𝑛 x = σ𝑘:0
𝑛 𝑦𝑘𝐿𝑘(𝑥), sendo:
𝐿𝑘(𝑥)
ς 𝑗:0
𝑗≠𝑘
𝑛 (𝑥 − 𝑥𝑗)
ς 𝑗:0
𝑗≠𝑘
𝑛 (𝑥𝑘 − 𝑥𝑗)