Lista 5 geometria analitica com Gabarito

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matemática - Geometria Analítica 1
Prof. Rodrigo Cavalcante
Quinta Lista de Exercícios
Produto misto
1. Sejam A, B e C pontos não colineares. Exprima a distância entre um ponto D qualquer do espaço e o plano
ABC em função de
−−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD.
2. Seja B uma base ortonormal positiva. Nesta base temos →u= (1, 1, 1), →v= (a, 0, 2) e →w= (b, 4, 1). Determine os
valores de a e b de forma que o volume do tetraedo definido por
→
u ,
→
v e
→
w seja 1 e a área da face definida por
→
u
e
→
v seja
√
2.
3. Seja ABCD um tetraedro de volume 3. Determine o volume do prisma triângular obtido pela justaposição de
três tetraedos de mesmo volume tais que, para o tetraedro A1B1C1D1 temos
−−−→
A1B1 = 2
−−→
AB,
−−−→
A1C1 =
1
3
−→
AC e−−−→
A1D1 = 4
−−→
AD.
4. Em relação a uma base ortonormal positiva, são dados os vetores
→
u= (1, 2,−1) , →v= (0, 3,−4)
→
w= (1, 0,
√
3) ,
→
t= (0, 0, 2)
Calcule o volume do tetraedro ABCD, sabendo que
−−→
AB = Proj
→
u
→
v
que
−→
AC é o vetor oposto do versor de
→
w e que
−−→
DC = Proj→
t
(−−→
AB ∧ −→AC
)
.
5. Considere a seguinte identidade vetorial
→
A ∧
(→
B ∧
→
C
)
=
→
B (
→
A ·
→
C)+
→
C (
→
A ·
→
B)
conhecida como regra do BAC − CAB. Use esta identidade para mostrar que
[
→
u ∧ →v ,→a ∧ →b ,→x ∧ →y ] =
∣∣∣∣∣∣
[→
u,
→
a ,
→
b
] [→
u,
→
x,
→
y
][→
v ,
→
a ,
→
b
] [→
v ,
→
x,
→
y
] ∣∣∣∣∣∣
Segundo Semestre de 2017 1
Propostas de Respostas
1. Se A, B e C são não colineares, então os vetores
−−→
AB
e
−→
AC são LI, e portanto definem o plano ABC. Se
além disso (
−−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD) for LD então o ponto D
pertence ao plano ABC e, consequentemente a dis-
tância é zero. Entretanto, se (
−−→
AB,
−→
AC,
−−→
AD) for LI,
então
−−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD definem um paralelepípedo e
a distância entre D e o plano ABC é a altura deste
em relação à face definida por
−−→
AB e
−→
AC. Pode-
mos calcular o volume através do produto da área
da face definida por ABC, que é igual à norma do
produto vetorial entre
−−→
AB e
−→
AC, e a altura, que é
a distância entre D e o plano ABC. Algebricamente
temos:
VABCD = Sbase · h
=‖ −−→AB ∧ −→AC ‖ · dist (D, ABC)
Usando o produto misto temos
VABCD =
∣∣∣(−−→AB ∧ −→AC) · −−→AD∣∣∣
Igualando os resultados
‖ −−→AB ∧ −→AC ‖ · dist (D, ABC) =
∣∣∣(−−→AB ∧ −→AC) · −−→AD∣∣∣
Logo
dist (D, ABC) =
∣∣∣(−−→AB ∧ −→AC) · −−→AD∣∣∣
‖ −−→AB ∧ −→AC ‖
2. Sabemos que
V = 16
∣∣∣(→u ∧ →v )· →w∣∣∣ = 1
⇒ (→u ∧ →v )· →w= ±6
S = 12 ‖
→
u ∧ →v ‖= √2
⇒ ‖ →u ∧ →v ‖2= 8
Calculando o produto vetorial temos
→
u ∧ →v =
∣∣∣∣∣∣∣
→
i
→
j
→
k
1 1 1
a 0 2
∣∣∣∣∣∣∣
= (2, a− 2,−a)
cuja norma é
‖ (2, a− 2,−a) ‖2= 2a2 − 4a+ 8
Calculando o produto misto temos
(
→
u ∧ →v )· →w = (2, a− 2,−a) · (b, 4, 1)
= 2b+ 3a− 8
Usando os resultados obtidos de V e S obtemos o
seguinte sistema{
2a2 − 4a+ 8 = 8
2b+ 3a− 8 = ±6
Da primeira equação obtemos a = 0 ou a = 2. Subs-
tituindo a = 0 na segunda equação obtemos
2b− 8 = ±6 ⇒
{
2b− 8 = 6 ⇒ b = 7
2b− 8 = −6 ⇒ b = 1
Substituindo a = 2 na segunda equação obtemos
2b+ 6− 8 = ±6 ⇒
{
2b+ 6 = 6 ⇒ b = 0
2b+ 6 = −6 ⇒ b = −6
Há 4 pares possíveis:
a = 0 e b = 1;
a = 0 e b = 7;
a = 2 e b = −6;
a = 2 e b = 0.
3. Sabemos que
VABCD =
1
6
∣∣∣(−−→AB ∧ −→AC) · −−→AD∣∣∣ = 3
Devido a forma como o prisma é construído temos
que
Vprisma = 3 · VA1B1C1D1
em que
VA1B1C1D1 =
1
6
∣∣∣(−−−→A1B1 ∧ −−−→A1C1) · −−−→A1D1∣∣∣
Usando as informações dadas temos
VA1B1C1D1 =
1
6
∣∣∣∣((2−−→AB) ∧ (13−→AC
))
·
(
4
−−→
AD
)∣∣∣∣
=
8
3
1
6
∣∣∣(−−→AB ∧ −→AC) · −−→AD∣∣∣︸ ︷︷ ︸
3
⇒ VA1B1C1D1 = 8
Logo
Vprisma = 3 · 8 = 24
4. Novamente calculamos através de uma aplicação do
produto misto. Por exemplo,
VABCD =
1
6
∣∣∣(−−→AB ∧ −→AC) · −−→AD∣∣∣
De acordo com os dados temos:
•
−−→
AB
−−→
AB = Proj
→
u
→
v
=
(1, 2,−1) · (0, 3,−4)
(0, 3,−4) · (0, 3,−4) (0, 3,−4)
=
10
25
(0, 3,−4)
=
(
0,
6
5
,−8
5
)
Segundo Semestre de 2017 2
•
−→
AC O versor de
→
w é
→
wu =
1
‖ →w ‖
→
w
=
1
2
(1, 0,
√
3)
=
(
1
2
, 0,
√
3
2
)
Logo
−→
AC = −
(
1
2
, 0,
√
3
2
)
=
(
−1
2
, 0,−
√
3
2
)
•
−−→
AD
Podemos escrever
−−→
AD =
−→
AC +
−−→
CD
=
−→
AC −−−→DC
Em que
−−→
DC = Proj→
t
(−−→
AB ∧ −→AC
)
Usando
−−→
AB ∧ −→AC =
∣∣∣∣∣∣∣
→
i
→
j
→
k
0 65 − 85
− 12 0 −
√
3
2
∣∣∣∣∣∣∣
=
(
−3
√
3
5
,
4
5
,
3
5
)
temos
−−→
DC =
(
− 3
√
3
5 ,
4
5 ,
3
5
)
· (0, 0, 2)
(0, 0, 2) · (0, 0, 2) (0, 0, 2)
=
3
10
(0, 0, 2)
=
(
0, 0,
3
5
)
De onde vem
−−→
AD =
−→
AC −−−→DC
= (−1, 0,
√
3)−
(
0, 0,
3
5
)
=
(
−1, 0,
√
3− 3
5
)
Logo1
VABCD =
1
6
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
0 65 − 85
−1 0 −√3
−1 0 √3− 35
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
=
1
6
∣∣∣∣−65
(
3
5
− 2
√
3
)∣∣∣∣
=
1
5
(
3
5
− 2
√
3
)
5. Desejamos calcular ((→
u ∧ →v
)
∧
(→
a ∧ →b
))
·
(→
x ∧ →y
)
Considere em separado o produto vetorial(→
u ∧ →v
)
∧
(→
a ∧ →b
)
= −
(→
a ∧ →b
)
︸ ︷︷ ︸∧
( →
u︸︷︷︸∧ →v︸︷︷︸)
→
A
→
B
→
C
Usando a identidade dada temos(→
a ∧ →b
)
∧
(→
u ∧ →v
)
=
→
u
((→
a ∧ →b
)
· →v
)
− →v
((→
a ∧ →b
)
· →u
)
Inserindo esse resultado no produto misto original temos(→
u ∧ →v
)
∧
(→
a ∧ →b
)
·
(→
x ∧ →y
)
=
(→
v
((→
a ∧ →b
)
· →u
)
− →u
((→
a ∧ →b
)
· →v
))
·
(→
x ∧ →y
)
=
((→
a ∧ →b
)
· →u
)((→
x ∧ →y
)
· →v
)
−
((→
a ∧ →b
)
· →v
)((→
x ∧ →y
)
· →u
)
=
[→
u,
→
a ,
→
b
] [→
v ,
→
x,
→
y
]
−
[→
v ,
→
a ,
→
b
] [→
u,
→
x,
→
y
]
Comparando esse resultado com o determinante de uma matriz 2× 2 concluímos que
[
→
u ∧ →v ,→a ∧ →b ,→x ∧ →y ] =
∣∣∣∣∣∣
[→
u,
→
a ,
→
b
] [→
u,
→
x,
→
y
][→
v ,
→
a ,
→
b
] [→
v ,
→
x,
→
y
] ∣∣∣∣∣∣
1Tá ai um ótimo exemplo de como escolher os valores pra uma questão :/
Segundo Semestre de 2017 3