Lista 1 EDO2

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Universidade Federal do Amazonas
Departamento de Matema´tica
Lista 1 - Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Professora: Dra. Ineˆs Padilha
1. Resolva os problemas de valor inicial:
a)
{
y′ + (1− 2x)y = xe−x
y(0) = 2
b)
{
y′ − costy = tet2+sent
y(0) = 2
c)
{
y′ + x4y = x4e
4x5
5
y(0) = 1
2. Resolva o problema de valor inicial:
a)
{
y′ + 5x4y = x4
y(0) = y0
b) Para quais valores de y0 a soluc¸a˜o e´ crescente e para quais valores de y0 a soluc¸a˜o
e´ decrescente.
c) Qual o limite de y(x) quando x tende a +∞. O limite depende de y0?
3. Resolva o prblema de valor inicial:{
(x2 − 9)y′ + xy = 0
y(5) = y0
b) Qual o intervalo de validade da soluc¸a˜o?
c) Qual o limite de y(x) quando x tende a +∞. O limite depende de y0?
4. Considere a equac¸a˜o
dy
dt
+ p(t)y = 0
a) Mostre que se y1(t) e y2(t) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o, enta˜o y(t) = y1(t) + y2(t)
tambe´m o e´.
b) Mostre que se y1(t) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o, enta˜o y(t) = cy1(t) tambe´m o e´, para
qualquer constante c.
1
e Dra. Karla Tribuzy
5. Considere as equac¸o˜es
dy
dt
+ p(t)y = 0 (1)
dy
dt
+ p(t)y = q(t) (2)
Mostre que se y1(t) e´ soluc¸a˜o de (1) e y2(t) e´ soluc¸a˜o de (2), enta˜o y(t) = cy1(t)+y2(t)
e´ soluc¸a˜o de (2), para qualquer constante c.
6. a) Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
dy
dx
=
2x+ 1
3y2 − 3
y(0) = 0
b) Determine o intervalo de validade da soluc¸a˜o.
c) Determine os pontos onde a soluc¸a˜o tem um ma´ximo local.
d) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da soluc¸a˜o.
7. Mostre que a equac¸a˜o linear y′+p(t)y = q(t) e´ equivalente a uma equac¸a˜o separa´vel
se:
a) p(t) = a e q(t) = b, a, b ∈ R;
b) p(t) = q(t);
c) q(t) = 0.
8. Resolva as equac¸o˜es:
a) 2xy − senx+ (x2 + ey)dy
dx
= 0
b) y2 + cosx+ (2xy + ey)
dy
dx
= 0
c) x+ y + xlnx dy
dx
= 0. Sugesta˜o: Multiplique a equac¸a˜o por
1
x
.
d) xy4 + (2x2y3 + 3y5 − 20y3)dy
dx
= 0
e) tgx.secxdx− tgy.secxdy = 0
f) (x2 − 1)√1− y2dx− x2dy = 0
g)
dy
dx
=
1 + y2
(1 + x2)xy
h) (x2 + a2)(y2 + b2)dx+ (x2 − a2)(y2 − b2)dy = 0
i) sec2x.tgydx+ sec2y.tgxdy = 0
j) (1 + x2)y3dx+ (1− y2)x3dy = 0
2
9. a) Encontre um fator de integrac¸a˜o λ(y) para as equac¸o˜es
a) xy + (2x2 + 3y2 − 20)dy
dx
= 0
b) x+ (x2y + 4y)
dy
dx
= 0
de forma a transforma´-las em equac¸o˜es exatas.
c) Verifique que a func¸a˜o λ(y) encontrada e´ realmente um fator integrante.
10. Considere a seguinte equac¸a˜o diferencial:
1
x3
+
ey
x
+
(
ey +
1
xy
)
y′ = 0
a) Mostre que esta equac¸a˜o diferencial na˜o e´ exata e que λ(x) = x e´ um fator
integrante da mesma.
b) Encontre a soluc¸a˜o geral desta equac¸a˜o diferencial. c) Encontre a soluc¸a˜o geral
que satisfaz y(1) = 1.
11. Resolva as equac¸o˜es seguintes fazendo a mudanc¸a de varia´veis sugeridas:
a)
dy
dx
=
3y + x
3x+ y
b)
dy
dx
=
2x2 + 5y2
2xy
c) y′ +
2
x
y =
y3
x3
, v = y−2
d) y′ +
4
x
y = −x5exy2, v = y−1
e) y′ = (y − x)2, v = y − x
f) xy′ = e−xy − y, v = xy
g) eyy′ = x(x+ ey)− 1, v = x+ ey
12. Um tanque conte´m 100 litros de uma soluc¸a˜o a uma concentrac¸a˜o de 1 grama por
litro. Uma soluc¸a˜o com uma concentrac¸a˜o de 2te−
1
100
t gramas por litro entra no
tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a soluc¸a˜o bem
misturada sai a` mesma taxa.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e´ contado a
partir do in´ıcio do processo.
b) Calcule a concentrac¸a˜o de sal no tanque t = 10 minutos apo´s o in´ıcio do processo.
3
13. A taxa com que uma gota esfe´rica se evapora
(
dV
dt
)
e´ proporcional a sua a´rea.
Determine o raio da gota em func¸a˜o do tempo, supondo que no instante t = 0 o seu
raio e´ r0 e que em uma hora o seu raio seja a metade.
14. Suponha que um tanque contenha uma mistura de a´gua e sal com um volume inicial
100 litros e 10 gramas de sal e que a´gua pura seja bombeada para dentro do tanque
a uma taxa de de 1 litro por minuto. Suponha que a soluc¸a˜o bem misturada sai a
uma taxa de 2 litros por minuto.
a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t e´ contado a
partir do in´ıcio do processo.
b) De qual valor se aproxima a concentrac¸a˜o quando o tanque se aproxima de ficar
vazio?
15. Num processo qu´ımico, uma substaˆncia se transforma em outra, a uma taxa pro-
porcional a` quantidade de substaˆncia na˜o transformada. Se esta quantidade e´ 48 ao
fim de 1 hora, e 27, ao fim de 3 horas, qual a quantidade inicial da substaˆncia?
16. A populac¸a˜o de bacte´rias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao nu´mero
de bacte´rias no instante t. Apo´s 3 horas, observou-se a existeˆncia de 400 bacte´rias.
Apo´s 9 horas, 2500 bacte´rias. Qual era o nu´mero inicial de bacte´rias?
17. Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas, inicialmente apenas uma pessoa
seja portadora de um v´ırus e que a taxa com que o v´ırus se espalha na comunidade
seja proporcional tanto ao nu´mero de pessoas infectadas como tambe´m ao nu´mero de
pessoas na˜o infectadas. Foi observado que apo´s 4 semanas 5 pessoas esta˜o infectadas.
Determine o nu´mero de pessoas infectadas em func¸a˜o do tempo.
18. Um tambor coˆnico com ve´rtice para baixo, de 2 metros de altura e base circular de
raio 1 metro esta´ cheio de a´gua. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos
a altura da coluna de a´gua cair pela metade determinar a altura h em func¸a˜o do
tempo e em quanto tempo o tanque esvazia. A lei de Torricelli diz que a taxa com
que um l´ıquido escoa por um orif´ıcio situado a uma profundidade h e´ proporcional
a
√
h.
4
19. Um termoˆmetro e´ levado de uma sala onde a temperatura e´ de 20◦C para fora onde
a temperatura e´ de 5◦C. Apo´s 1/2 minuto o termoˆmetro marca 15◦C.
a) Determine a temperatura marcada no termoˆmetro como func¸a˜o do tempo.
b) Qual sera´ a leitura do termoˆmetro apo´s 1 minuto?
c) Em quanto tempo o termoˆmetro ira´ marcar 10◦C?
20. Com o objetivo de fazer uma prevideˆncia particular uma pessoa deposita uma quan-
tia de 100 reais por meˆs durante 20 anos (suponha que o depo´sito e´ feito continua-
mente a uma taxa de 100 reais por meˆs).
a) Supondo que neste per´ıodo a taxa de juros seja de 1% ao meˆs (cont´ınua), qual o
valor que esta pessoa iria ter ao fim deste per´ıodo.
b) Se apo´s o per´ıodo anterior esta pessoa quisesse fazer retiradas mensais, qual
deveria ser o valor destas retiradas para que em 20 anos tenha desaparecido o capital,
se a taxa de juros continuasse em 1% (cont´ınua)?
21. Considere o circuito ele´trico abaixo por um resistor, um indutor e uma fonte de
tensa˜o externa ligados em se´rie. A bateria gera uma diferenc¸a de potencial de
V (t) = 10 volts, enquanto a resiteˆncia R e´ de 100 ohms e a indutaˆncia L e´ de 0, 5
henrys. Sabendo que a queda de potencial em um indutor e´ igual a L
dL
dt
encontre
a corrente I(t) em cada instante t, se I(0) = 0.
Bom estudo!!!