aula2 (Heleno)

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Geometria anal´ıtica e a´lgebra linear
Francisco Dutenhefner
Departamento de Matematica – ICEx – UFMG
20/08/13
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Cap´ıtulo 2 - Matriz Inversa
Uma matriz quadrada An×n e´ invert´ıvel se existe uma matriz quadrada
Bn×n tal que
AB = BA = In
Neste caso, B e´ a matriz inversa de A, denotada por B = A−1.
Da´ı
AA−1 = A−1A = In
Sa˜o sinoˆnimos: A tem inversa; A e´ invert´ıvel; A e´ na˜o singular
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Matriz inversa
Dada uma matriz quadrada A, ela pode ou na˜o ter inversa.
Decidir sobre a existeˆncia da inversa de A, ou calcular a inversa de A e´
uma coisa.
Verificar se uma dada matriz B e´ a inversa de uma matriz A e´ outra coisa
....bem mais simples.
Exemplo 1: Seja A =
[
a b
c d
]
. Se ad − bc 6= 0, mostre que
B =
1
ad − bc
[
d −b
−c a
]
e´ a inversa de A.
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Matriz inversa
Exemplo 2: Mostre que se A =
 a 0 00 b 0
0 0 c
 e´ uma matriz diagonal,
enta˜o A e´ invert´ıvel se a 6= 0, b 6= 0 e c 6= 0. Neste caso
A−1 =
 1a 0 00 1b 0
0 0 1c
 .
Exemplo 3: Se A e´ matriz quadrada com A3 = 0, mostre que
(In − A)−1 = In + A + A2.
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Propriedades da matriz inversa
Se A tem inversa, enta˜o A−1 tem inversa e (A−1)−1 = A.
Se A e B sa˜o invert´ıveis, enta˜o o produto AB e´ invert´ıvel e
(AB)−1 = B−1A−1.
Se A e´ invert´ıvel, enta˜o a transposta At e´ invert´ıvel com
(At)−1 = (A−1)t .
Se A e B sa˜o matrizes quadradas, enta˜o AB = In implica BA = In.
Lembre-se (AB)t = BtAt e produto de matrizes na˜o e´ comutativo.
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Algoritmo para o ca´lculo da matriz inversa
Dada A =
[
a b
c d
]
, vamos calcular A−1 quando existir.
Procuramos uma matriz B =
[
x y
z w
]
tal que AB = I2.[
a b
c d
] [
x y
z w
]
=
[
1 0
0 1
]
Efetuando a multiplicac¸a˜o, obtemos as igualdades
S1
{
ax + bz = 1
cx + dz = 0
S2
{
ay + bw = 0
cy + dw = 1
S1 e S2 sa˜o sistemas lineares nas inco´gnitas x , y , z e w .
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Algoritmo para o ca´lculo da matriz inversa
S1
{
ax + bz = 1
cx + dz = 0
S2
{
ay + bw = 0
cy + dw = 1
Matrizes aumentadas:
S1 =
[
a b 1
c d 0
]
S2 =
[
a b 0
c d 1
]
Como os lados esquerdos destas matrizes sa˜o iguais, podemos fazer um
escalonamento simultaˆneo:
[
a b 1 0
c d 0 1
]
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Algoritmo para o ca´lculo da matriz inversa
Enta˜o, dada A =
[
a b
c d
]
, para calcular A−1 precisamos resolver os
sistemas lineares dados pela matriz duplamente aumentada
[
a b 1 0
c d 0 1
]
Escalonando...para chegar na soluc¸a˜o do sistema, o lado esquerdo deve ser
transformado na matriz identidade. Quando isso ocorre, do lado direito
aparece a soluc¸a˜o do sistema. Que e´ A−1.
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Como calcular a matriz inversa
Dada uma matriz quadrada A.
 A In
 escalonamento−−−−−−−−→
 In A−1

Teorema: Uma matriz quadrada A e´ invert´ıvel se, e somente se, A e´
equivalente por linhas a` matriz identidade.
Atrave´s de um escalonamento, e´ poss´ıvel transformar A na matriz identidade.
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Exemplo 4
Calcule a inversa de A =
[
3 7
2 5
]
.
Soluc¸a˜o: Devemos escalonar a matriz
A =
[
3 7 1 0
2 5 0 1
]
L1 ← L1 − L2
A =
[
1 2 1 −1
2 5 0 1
]
L2 ← L2 − 2L1
A =
[
1 2 1 −1
0 1 −2 3
]
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Exemplo 4
A =
[
1 2 1 −1
0 1 −2 3
]
L1 ← L1 − 2L2
A =
[
1 0 5 −7
0 1 −2 3
]
Portanto A−1 =
[
5 −7
−2 3
]
, coerente com
Exemplo 1: Seja A =
[
a b
c d
]
. Se ad − bc 6= 0, mostre que
B =
1
ad − bc
[
d −b
−c a
]
e´ a inversa de A.
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Exemplo 5
Calcule a inversa de A =
 1 1 22 3 4
1 −2 1

Soluc¸a˜o: Devemos escalonar a matriz
 1 1 2 1 0 02 3 4 0 1 0
1 −2 1 0 0 1

L2 ← L2 − 2L1 e L3 ← L3 − L1 1 1 2 1 0 00 1 0 −2 1 0
0 −3 −1 −1 0 1

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Exemplo 5
 1 1 2 1 0 00 1 0 −2 1 0
0 −3 −1 −1 0 1

L1 ← L1 − L2 e L3 ← L3 + 3L2 1 0 2 3 −1 00 1 0 −2 1 0
0 0 −1 −7 3 1

L3 ← −L3  1 0 2 3 −1 00 1 0 −2 1 0
0 0 1 7 −3 −1

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Exemplo 5  1 0 2 3 −1 00 1 0 −2 1 0
0 0 1 7 −3 −1

L1 ← L1 − 2L3  1 0 0 −11 5 20 1 0 −2 1 0
0 0 1 7 −3 −1

Apo´s este escalonamento, como obtemos a matriz identidade do lado
esquerdo, podemos concluir que do lado direito esta´ escrita a matriz A−1.
Portanto
A−1 =
 −11 5 2−2 1 0
7 −3 −1
 .
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Exemplo 6
Calcule a inversa de A =
 1 2 31 1 2
0 1 1

Soluc¸a˜o: Devemos escalonar a matriz
 1 2 3 1 0 01 1 2 0 1 0
0 1 1 0 0 1

L2 ← L2 − L1  1 2 3 1 0 00 −1 −1 −1 1 0
0 1 1 0 0 1

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Exemplo 6
 1 2 3 1 0 00 −1 −1 −1 1 0
0 1 1 0 0 1

L2 ← −L2  1 2 3 1 0 00 1 1 1 −1 0
0 1 1 0 0 1

L3 ← L3 − L2  1 2 3 1 0 00 1 1 1 −1 0
0 0 0 −1 1 1

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Exemplo 6
 1 2 3 1 0 00 1 1 1 −1 0
0 0 0 −1 1 1

Observe que o lado esquerdo na˜o pode ser transformado na matriz
identidade
A u´ltima linha de algum sistema linear representado pela matriz
aumentada acima e´ incoerente
0x + 0y + 0z = −1
Sistema imposs´ıvel. Portanto na˜o existe A−1.
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Sistemas quadrados versus matriz inversa
Teorema: Um sistema quadrado AX = B tem soluc¸a˜o u´nica se a matriz
A tem inversa.
Neste caso a soluc¸a˜o do sistema AX = B pode ser obtida assim.
Multiplicando por A−1 do lado esquerdo,
A−1AX = A−1B
InX = A
−1B
X = A−1B
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Sistemas homogeˆneos

2x − 6y + 4z = 0
−x + y + 2z = 0
2x + y − 10z = 0
Admite a soluc¸a˜o trivial x = y = z = 0. Mas sera´ que existem outras
soluc¸o˜es?
Um sistema homogeˆneo AX = 0 sempre admite a soluc¸a˜o trivial X = 0.
Mas podem existir outras soluc¸o˜es...
Se A e´ matriz quadrada, podem ocorrer duas possibilidades:
Se A tem inversa, o sistema homogeˆneo so´ admite a soluc¸a˜o trivial.
Se A na˜o tem inversa, o sistema homogeˆnio admite infinitas soluc¸o˜es.
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Sistemas homogeˆneos
Para casa: deˆ o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo do slide
anterior:

2x − 6y + 4z = 0
−x + y + 2z = 0
2x + y − 10z = 0
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