Resoluções lista 03 IPE

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BC0406: Intr. à Prob. e à Estatística UFABC Resolução da Lista 03 v2 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 04/03/13 – pág. 1/11 
1. 
a) 
(15
3
)
(
26
3
)
=
15 · 14 · 13
3!
26 · 25 · 24
3!
=
7
2 · 5 · 4
=
7
40
 
b) 
1 −
(15
3
)
(
26
3
)
=
33
40
 
c) 
(11
2
) (15
1
)
(
26
3
)
=
11 · 10
2! ·
15
1!
26 · 25 · 24
3!
=
11 · 3
13 · 8
=
33
104
 
 
2. 
∑ 𝑖5𝑖=1
62
=
1+ 2 + 3 + 4 + 5
6 · 6
=
5
12
 
 
3. 
6 · 5 · 4 · 3
64
=
6 · 5 · 4 · 3
6 · 6 · 6 · 6
=
5
6 · 3
=
5
18
 
 
4. 
a) 
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑛𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑖𝑠
= 𝑝𝑛 = (
1
2
)
7
=
1
128
 
b) 
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 3 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠
𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑖𝑠
= (
𝑘
𝑛
)𝑝𝑛 = (
7
3
) (
1
2
)
7
=
35
128
 
c) 
∑(𝑘
𝑖
) 𝑝𝑛
7
𝑖=3
= ((
7
3
) + (
7
4
) + (
7
5
) + (
7
6
) + (
7
7
))(
1
2
)
7
=
99
128
 
 
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5. 
(10 − 2
5
)
(
10
5
)
=
(10 − 2
3
)
(
10
5
)
=
(8
3
)
(
10
5
)
 
 
6. 
a) 
ℙ[𝐴 ∪ 𝐵] = ℙ[𝐴] + ℙ[𝐵] = 0,3 + 0,5 = 0,8 
b) 
ℙ[𝐴 ∩ 𝐵𝐶] = ℙ[𝐴] = 0,3 
c) 
ℙ[𝐴 ∩ 𝐵] = 0 
 
7. Resolução errada: não consideram a chance de vir outra jogada em um jogada específica. 
8. 
𝑝 = 
=
82 · 72 · 62 · 52 · 42 · 32 · 22 · 12
82 · (82 − 1) · (82 − 2) · (82 − 3) · (82 − 4) · (82 − 5) · (82 − 6) · (82 − 7)
 
=
82 · 72 · 62 · 52 · 42 · 32 · 22 · 12
(8
2
8
) 8!
 
=
560
61474519
 
= 0,000911% 
 
9. 
𝑝 = 
=
(4
1
) (4 × 4
1
)
(52
2
)
 
=
32
663
 
= 4,83% 
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10. 
a) 𝑝(𝑖) =
𝑖
20
=
{
 
 
 
 
 
1 20⁄
2 20⁄
3 20⁄
4 20⁄
5 20⁄
 
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 1
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 2
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 3
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 4
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 5
 
 
b) 𝑝(𝑖) =
𝑖×𝑛𝑖
∑ 𝑖×𝑛𝑖
5
𝑖=1
=
{
 
 
 
 
 
4 × 1 48⁄
8 × 2 48⁄
5 × 3 48⁄
2 × 4 48⁄
1 × 5 48⁄
 
= 4 48⁄
= 16 48⁄
= 15 48⁄
= 8 48⁄
= 5 48⁄
 
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 1
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 2
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 3
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 4
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 5
; 𝑛𝑖 = 𝑛º 𝑓𝑎𝑚í𝑙𝑖𝑎𝑠 𝑐/ 𝑖 𝑓𝑖𝑙ℎ𝑜𝑠 
 
11. 
𝑝(𝑖) =
𝑛𝑖
62
=
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 36⁄
2 36⁄
3 36⁄
4 36⁄
5 36⁄
6 36⁄
5 36⁄
4 36⁄
3 36⁄
2 36⁄
1 36⁄
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 2
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 3
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 4
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 5
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 6
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 7
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 8
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 9
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 10
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 11
 ⁄ 𝑠𝑒 𝑖 = 12
 ; 𝑛𝑖 = 𝑛º 𝑓𝑎𝑚í𝑙𝑖𝑎𝑠 𝑐/ 𝑖 𝑓𝑖𝑙ℎ𝑜𝑠 
 
12. 
ℙ(𝐸𝑛) = 
= 𝑝 × 𝑞𝑛−1 
=
𝑆5
62
 (1 −
𝑆5 + 𝑆7
62
)
𝑛−1
 
=
4
36
 (1 −
4 + 6
36
)
𝑛−1
 
=
1
9
 (
13
18
)
𝑛−1
 
 
ℙ(𝐸∞) = 
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= ∑ℙ(𝐸𝑛)
∞
𝑛=1
 
= ∑
1
9
 (
13
18
)
𝑛−1∞
𝑛=1
 
=
1
9
∑(
13
18
)
𝑛−1∞
𝑛=1
 
=
1
9
∑(
13
18
)
𝑥∞
𝑥=0
 ; 𝑥 = 𝑛 − 1 
Σn = 𝑞 + 𝑞
2 +⋯+ 𝑞𝑛 
𝑞Σn = 𝑞
2 + 𝑞3 +⋯+ 𝑞𝑛+1 
Σn − 𝑞Σn = 𝑞 − 𝑞
𝑛+1 
Σn =
𝑞 − 𝑞𝑛+1
1 − 𝑞
 
Σn =
1− 𝑞𝑛
1 𝑞⁄ − 1
 
𝑞 < 1 
𝑛 → ∞ ⇒ 𝑞𝑛 → 0 
Σ∞ =
1
1 𝑞⁄ − 1
 
=
1
9
×
1
1 (
13
18
)⁄ − 1
 
=
1
9
×
18
18 − 13
 
=
2
18 − 13
 
=
𝟐
𝟓
 
 
13. 
ℙ(𝐴 𝑝𝑒𝑔𝑎𝑟 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝐵) = 
=
1
10!
(∑ℕ(𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖) × ℕ(𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠)
7
𝑖=0
× ℕ(𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠)) 
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=
1
10!
(∑𝑖! (
7 − 𝑖
𝑖
) × (
3
1
) × (10 − (2𝑖 + 1))!
7
𝑖=0
) 
=
1
10!
(3 × (10 − 1)! + 7 · 6 × 3 × (10 − (2 + 1))! + 7 · 6 · 5 · 4 × 3
× (10 − (4 + 1))! + 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 × 3 × (10 − (6 + 1))! + 7 · 6
· 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 0 × 3 × (10 − (8 + 1))!) 
=
1
10!
(3 × 9! + 7 · 6 × 3 × 7! + 7 · 6 · 5 · 4 × 3 × 5! + 7! × 3 × 3!) 
=
1
10!
(3 × 9! + 7 · 6 × 3 × 7! + 7 · 6 · 5 · 4 × 3 × 5! + 7! × 3 × 3!) 
=
𝟕
𝟏𝟐
 
 
14. 
a) ℙ(2 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜) = 
=
ℕ(2 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜) + ℕ(2 𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜)
ℕ(2 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑠𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜)
 
=
𝑛(𝑛 − 1) + 𝑚(𝑚 − 1)
(𝑛 +𝑚)(𝑛 +𝑚 − 1)
 
 
b) ℙ(2 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜) = 
=
ℕ(2 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜) + ℕ(2 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜)
ℕ(2 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜)
 
=
𝑛2 +𝑚2
(𝑛 +𝑚)2
 
 
c) ⊢ : ℙ(2 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜) > ℙ(2 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑠𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜) 
𝑛2 +𝑚2
(𝑛 +𝑚)2
>
𝑛(𝑛 − 1) +𝑚(𝑚 − 1)
(𝑛 +𝑚)(𝑛 +𝑚 − 1)
 
⇒
(𝑛2 +𝑚2)
(𝑛 + 𝑚)(𝑛 + 𝑚)
−
𝑛(𝑛 − 1) +𝑚(𝑚 − 1)
(𝑛 +𝑚)(𝑛 +𝑚 − 1)
> 0 
⇒
(𝑛2 +𝑚2)(𝑛 +𝑚 − 1)
(𝑛 + 𝑚)(𝑛 + 𝑚)(𝑛 + 𝑚 − 1)
−
(𝑛(𝑛 − 1) +𝑚(𝑚 − 1))(𝑛 + 𝑚)
(𝑛 + 𝑚)(𝑛 + 𝑚)(𝑛 +𝑚 − 1)
> 0 
⇒ (𝑛2 +𝑚2)(𝑛 +𝑚 − 1) − (𝑛2 − 𝑛 + 𝑚2 −𝑚)(𝑛 + 𝑚) > 0 
⇒ [(𝑛3 + 𝑛2𝑚 − 𝑛2) + (𝑛𝑚2 +𝑚3 −𝑚2)]
− [(𝑛3 + 𝑛2𝑚) − (𝑛2 + 𝑛𝑚) + (𝑛𝑚2 +𝑚3) − (𝑛𝑚 +𝑚2)] > 0 
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⇒ −[−𝑛𝑚 − 𝑛𝑚] > 0 
⇒ 2𝑛𝑚 > 0 
⇒ 𝑛𝑚 > 0 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑛 > 0 𝑒 𝑚 > 0, 𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑑𝑜 𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐í𝑐𝑖𝑜.∎ 
 
15. 
a) ℙ(𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟 5) = 
=
ℕ(𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑒𝑟 5 𝑑𝑜𝑠 7 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟)
ℕ(𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑒𝑟 5 𝑑𝑜𝑠 10 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑖𝑠)
 
=
(7
5
)
(
10
5
)
 
=
7! 2!⁄
10! 5!⁄
 
=
𝟏
𝟏𝟐
 
 
b) ℙ(𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 4) = 
=
ℕ(𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑒𝑟 5 𝑑𝑜𝑠 7 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟) + ℕ(𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑒𝑟 4 𝑑𝑜𝑠 7)
ℕ(𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑒𝑟 5 𝑑𝑜𝑠 10 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑖𝑠)
 
=
(
7
5
) + (
7
4
) (10 − 7
5 − 4
)
(
10
5
)
 
=
𝟏
𝟐
 
 
16. 
ℙ(𝐼𝑛: {𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 6 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒ç𝑎𝑚 𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝/ 𝑛 𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠}) = 
= 1− ℙ(𝐼𝑛
𝐶: {𝑛ã𝑜 𝑠𝑎𝑖𝑟 𝑑𝑜𝑖𝑠 6 𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑙𝑎𝑛ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠}) 
= 1− (
36 − 1
36
)
𝑛
 
= 1− (
35
36
)
𝑛
 
 
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ℙ(𝑖𝑛) ≥
1
2
 
⇒ 1 − (
35
36
)
𝑛
≥
1
2
 
⇒ (
35
36
)
𝑛
≤
1
2
 
⇒ log35
36
(
35
36
)
𝑛
≥ log35
36
1
2
 
⇒ 𝑛 ≥ log35
36
1
2
 
⇒ 𝑛 ≥
ln
1
2
ln
35
36
 
⇒ 𝑛 ≥ 24,61 
∴ 𝒏 ≥ 𝟐𝟓 
 
17. 
a) ℙ(𝑎) = 
=
𝟐! (𝑵 − 𝟏)!
𝑵!
 
 
b) ℙ(𝑏) = 
=
ℙ(𝑎)
𝑁
 
=
𝟐! (𝑵 − 𝟏)!
𝑵!𝑵
 
 
18.
a) ℙ(𝑎) = 
=
1
15!
( ∑ ℕ(𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖)
7−ℕ(𝑐ℎ𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑒𝑚)
𝑖=0
× ℕ(𝑐ℎ𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑒𝑚)
× ℕ(𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑖)) 
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=
1
15!
(∑(15 − (𝑖 + 1)) × 1 × (15 − (𝑖 + 2))!
7−1
𝑖=0
) 
=
1
15!
∑14!
7−1
𝑖=0
 
=
6 × 14!
15!
 
=
6
15
 
=
𝟐
𝟓
 
 
b) ℙ(𝑏) = 
=∑
14𝑖−1
15𝑖 
7−1
𝑖=0
 
=
1
15
∑(
14
15 
)
𝑖−16
𝑖=1
 
=
1
15
(
 
 1− (
14
15
)
6
1
(
14
15
)
⁄ − 1
)
 
 
 
=
14
15
(
1 − (
14
15
)
6
15 − 14
) 
=
𝟏𝟒
𝟏𝟓
(𝟏 − (
𝟏𝟒
𝟏𝟓
)
𝟔
) 
 
c) ℙ(𝑐) = 
=
1
15!
(∑(15 − (𝑖 + 1)) × 1 × (15 − (𝑖 + 2))!
𝑘−1
𝑖=0
) 
=
1
15!
∑ 14!
𝑘−1
𝑖=0
 
=
(𝑘 − 1) × 14!
15!
 
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=
𝒌 − 𝟏
𝟏𝟓
 
 
d) ℙ(𝑑) = 
= ∑
14𝑖−1
15𝑖 
𝑘−1
𝑖=0
 
=
1
15
∑(
14
15 
)
𝑖−1𝑘−1
𝑖=1
 
=
1
15
(
 
 1− (
14
15
)
𝑘−1
1
(
14
15
)
⁄ − 1
)
 
 
 
=
14
15
(
1 − (
14
15
)
𝑘−1
15 − 14
) 
=
𝟏𝟒
𝟏𝟓
(𝟏 − (
𝟏𝟒
𝟏𝟓
)
𝒌−𝟏
) 
 
e) ℙ(𝑒) = 
=
𝑘 − 1
15
 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘 = 8 
=
7
15
 
 
f) ℙ(𝑓) = 
=
14
15
(1 − (
14
15
)
𝑘−1
) 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘 = 8 
=
14
15
(1 − (
14
15
)
7
) 
 
19. 
a) ℙ(𝑎) = 
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=
1
𝑛!
(∑(𝑛 − (𝑖 + 1)) × 1 × (𝑛 − (𝑖 + 2))!
𝑘−1
𝑖=0
) 
=
1
𝑛!
∑(𝑛 − 1)!
𝑘−1
𝑖=0
 
=
(𝑘 − 1) × (𝑛 − 1)!
𝑛!
 
=
𝒌 − 𝟏
𝒏
 
 
 
b) ℙ(𝑏) = 
= ∑
(𝑛 − 1)𝑖−1
𝑛𝑖 
𝑘−1
𝑖=0
 
=
1
𝑛
∑(
𝑛 − 1
𝑛
)
𝑖−1𝑘−1
𝑖=1
 
=
1
𝑛
∑(1 −
1
𝑛
)
𝑖−1𝑘−1
𝑖=1
 
=
1
𝑛
(
 
 1 − (1 −
1
𝑛
)
𝑘−1
1
(1 −
1
𝑛
)
⁄ − 1
)
 
 
 
=
𝑛 − 1
𝑛
(
1 − (1 −
1
𝑛
)
𝑘−1
1
) 
= (1 −
1
𝑛
) (1 − (1 −
1
𝑛
)
𝑘−1
) 
= (𝟏 −
𝟏
𝒏
) − (𝟏 −
𝟏
𝒏
)
𝒌
 
 
20. 
ℙ(𝐴: {2 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑧𝑒 𝑎𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠á𝑟𝑖𝑜 𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑑𝑖𝑎}) = 
= 1− ℙ(𝐴𝐶) 
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= 𝟏 −
𝟏𝟐!
𝟏𝟐𝟏𝟐
 
 
21. 
ℙ(𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠) = 
=
(6
3
)((
6
6
) + (
6
5
) + (
6
4
) + (
6
2
) + (
6
1
) + (
6
0
))
(
12
3 + 6
) + (
12
3 + 5
) + (
12
3 + 4
) + (
12
3 + 3
) + (
12
3 + 2
) + (
12
3 + 1
) + (
12
3 + 0
)
 
=
(6
3
)((
6
6
) + (
6
5
) + (
6
4
) + (
6
2
) + (
6
1
) + (
6
0
))
(
12
9
) + (
12
8
) + (
12
7
) + (
12
6
) + (
12
5
) + (
12
4
) + (
12
3
)
 
=
880
3938
 
=
𝟒𝟎
𝟏𝟕𝟗
 
 
22. 
a) ℙ(𝑎) = 
=
(4
4
) (4
4
) × (52 − 8
13 − 8
)
(52
13
)
 
=
𝟏𝟏
𝟔𝟒𝟑𝟏𝟗𝟓𝟎
 
 
b) ℙ(𝑏) = 
=
(13
1
) (4
4
) × (52 − 4
13 − 4
)
(52
13
)
 
=
𝟏𝟒𝟑
𝟒𝟏𝟔𝟓
 
	Resolução errada: não consideram a chance de vir outra jogada em um jogada específica.