Lista 1 - Cálculo Diferencial e Séries - 1º sem 2018

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lista de exerc´ıcios
sequeˆncias nume´ricas
Adilson E. Presoto
1. (a) O que e´ uma sequeˆncia?
(b) O que significa lim
n→∞xn = pi
e?
(c) O que significa lim
n→∞xn =∞?
(d) O que e´ uma sequeˆncia convergente? Deˆ dois exemplos.
(e) O que e´ uma sequeˆncia divergente? Deˆ dois exemplos.
2. Se r e´ um nu´mero real tal que |r| < 1, mostre que
lim
n→∞ r
n = 0.
O que acontece se r = 1 ou r = −1.
3. Encontre uma fo´rmula para o termo geral xn da sequeˆncia, supondo que o padra˜o dos primeiro termos
continue.
(a)
{
1,
1
3
,
1
5
,
1
7
,
1
9
, . . .
}
;
(b) {5, 8, 11, 14, 17, . . . , };
(c)
{
1
2
,−4
3
,
9
4
,−16
5
,
25
6
, . . .
}
;
(d) {1, 0,−1, 0, 1, 0,−1, 0, . . .}.
4. Determine se a sequeˆncia converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
a) xn =
3 + 5n2
n+ n2
e) xn =
sen2 n
3n
i) xn = ln (n+ 1)− ln (n)
b) xn =
n2√
n3 + 4n
f) xn =
(lnn)2
n
j) xn =
3n+2
5n
c) xn =
n
√
21+3n g) xn =
1
n
senn l) xn = n
2e−n
d) xn =
∫ n
1
1
x
dx h) xn = sen
1
n
m) xn =
n∑
k=1
(
1
k
− 1
k + 1
)
5. Calcule os seguintes limites
a) lim
n→∞n
[
1− cos 1
n
]
b) lim
n→∞n tan
1
n
c) lim
n→∞
[
n− n2sen 1
n
]
6. Determine se a sequeˆncia definida por
x1 = 1, xn+1 = 4− xn, n ≥ 1
e´ convergente ou divergente. O que acontece se o primeiro termo vale 2, x1 = 2.
1
7. Seja (xn)n∈N uma sequeˆncia nume´rica. Considere a sequeˆncia (yn)n∈N definida por yn = xn+1, para
todo n ≥ 1.
(a) Supondo que (xn)n∈N converge, mostre que
lim
n→∞xn = limn→∞ yn
(
lim
n→∞xn+1
)
(b) Se (xn)n∈N e´ definida recursivamente por x1 = 1 e xn+1 = 11+xn , supondo que (xn)n∈N converge,
encontre seu limite.
8. Determine se a sequeˆncia dada e´ crescente, decrescente ou na˜o mono´tona. A sequeˆncia e´ limitada?
a) xn = (−2)n+1 b) xn = 1
2n+ 3
c) xn =
n
n2 + 1
d) xn = ne
−n
9. Considere a sequeˆncia (xn)n∈N definida por
xn =
∫ n
1
sen2 x
x2
.
Mostre que a sequeˆncia converge.
10. A sequeˆncia (xn)n∈N e´ definida por
x1 =
√
2, xn+1 =
√
2 + xn, n ≥ 1
(a) Determine os treˆs primeiros termos da sequeˆncia.
(b) Mostre por induc¸a˜o que a sequeˆncia e´ mono´tona na˜o decrescente e limitada superiormente por 4.
(c) Conclua pelo Teorema da Convergeˆncia Mono´tona que (xn)n∈N converge.
(d) Encontre o limite da sequeˆncia (xn)n∈N.
11. Um piscicultor possui 5.000 bagres em sua lagoa. O nu´mero de bagres aumenta 8% ao meˆs e o agricultor
retira 300 bagres por meˆs.
(a) Mostre que a populac¸a˜o de bagres Pn depois de n meses e´ dada recursivamente por
Pn = 1, 08Pn−1 − 300, P0 = 5.000.
(b) Quantos bagres ha´ na lagoa depois de seis meses?
12. Sejam a e b nu´meros positivos com a > b. Seja a1 sua me´dia aritme´tica e b1 sua me´dia geome´trica,
a1 =
a+ b
2
, b1 =
√
ab
Indutivamente, defina
an+1 =
an + bn
2
, bn+1 =
√
anbn.
(a) Use induc¸a˜o matema´tica para mostrar que
an > an+1 > bn+1 > bn.
(b) Deduza que (an)n∈N e (bn)n∈N sa˜o convergentes.
(c) Mostre que
lim
n→∞ an = limn→∞ bn.
Gauss chamou o valor comum desses limites de me´dia aritme´tica-geome´trica dos nu´meros a
e b.
Obs.: A lista acima e´ o mı´nimo exigido, sempre deve-se realizar todos os exerc´ıcios bem como outros das
bibliografias usadas a fim de complementa´-la.
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