Apostila SENAI - Distribuições

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Distribuição Binomial 
 A distribuição binomial se aplica a qualquer situação em que se realizem várias 
provas independentes, cada uma das quais comportando apenas um entre dois 
resultados possíveis. Esses dois resultados chamam-se sucesso (p) e fracasso (q = p 
- 1). 
 Suponha que um cientista realize um experimento n vezes. Seja x o número de 
sucessos; Se a probabilidade de sucesso em cada prova é “p”, então a probabilidade 
de “i” sucessos é: 
    11 






ni pp
i
n
iXP
 
 Essa é a fórmula da função de probabilidade para variável aleatória binomial. 
Formalmente diz-se que X é uma variável aleatória que tem distribuição binomial com 
parâmetros n e p. 
 Se n é muito grande, os cálculos podem tornar-se difíceis e é possível utilizar 
uma outra distribuição, chamada distribuição normal. 
 
Exemplo: Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual é a probabilidade de saírem 8 caras? 
8
20
2
1
20,...,3,2,1,0:
sucessos de número :



i
n
pX
X
 
  12013,0
2
1
1
2
1
8
20
8
128


















XP
 
 
Exercício 
Numa criação de coelhos, 40% são machos. Qual é a probabilidade de que nasçam 
pelo menos dois coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos? 
Solução: 
Para o cálculo deveremos somar as probabilidade de que nasçam 2, ou 3, ou 4, ou 5, 
..., ou 20. Mas isso nos daria um enorme trabalho. Então faremos: 
      
     
     
  99948,000049,000003,012 Logo,
00049,06,0.4,0.
1
20
1 e
00003,06,0.4,0.
0
20
0 Como
0112
191
200
















XP
XP
XP
XPXPXP
 
 
Distribuição Binomial – Adendo 
Se a probabilidade de sucesso é p, qual é a probabilidade de se ter X sucessos em 
uma prova? 
 
  assume aleatória variávela que valor :minúscula 
aleatória variável:maiúscula X
oexperiment do repetições de número :
falha de adeprobabilid :1
x
n
pq 
 
   
 
  xnxxnxxnx pp
xpn
n
pp
p
n
qp
x
n
xXP
 













 1..
!!
!
1.
 
 
Distribuição de Poisson 
 Esta distribuição representa a probabilidade de que um evento ocorra um 
número especificado de vezes um intervalo de tempo (espaço), quando a taxa de 
ocorrência é fixa. 
 
!
.
x
e
xP
x  

 
2,71828
eventos) de esperado (número evento do ocorrência de taxa:
intervalo) um em evento do socorrência de (número aleatória variávelda valor :
e
x
 
 
Exemplo: 
Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual é a 
probabilidade de não recerber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minuto? 
 
 chamadas de esperado n chamadas de ocorrência de taxa
 tempode intervalo um em chamadas den v.a.
0067,0
!0
.5
0
o
 o
5
50


 


x
e
e
XP
 
 
 A distribuição de Poisson exige que: 
 A variável aleatória x seja o número de ocorrências de um evento em um 
intervalo 
 As ocorrências sejam aleatórias; 
 As ocorrências sejam independentes; 
 As ocorrências tenham a mesma probabilidade sobre o intervalo considerado. 
 
 A distribuição de Poisson difere da distribuição binomial em dois aspectos: 
 A binomial é afetada pelo tamanho da amostra “n” e pela probabilidade “p”, 
enquanto a Poisson apenas pela taxa de ocorrência (média) λ. 
 Em uma binomial os valores possíveis da variável aleatória X são 0, 1, 2, 3, ..., 
n (limite máximo), enquanto que em uma Poisson os valores possíveis de X 
são 0, 1, 2, 3... (um limite superior). 
A distribuição de Poisson pode ser utilizada como distribuição binomial aproximada 
(ou aproximação da distribuição binomial), quando: 
 n é grande e p é muito pequeno (n ≥ 100 e np ≤ 10) – regra empírica. 
Ao utilizarmos Poisson como aproximação da binomial, podemos achar o valor 
de λ pela fórmula: λ = np. 
Podemos fazer uma aproximação da binomial pela distribuição de Poisson. 
Consideremos: 
1) n → ∞ (maior que o maior valor da tabela, n > 30) 
2) p → 0 (p < 0,1) 
3) 0 < µ ≤ 10, µ = E(x) é a média 
Quando isso ocorre, se queremos calcular 
     
!
1
1
i
e
iXPpp
i
n
iXP
i
ni  






 
Que é chamada Distribuição de Poisson. Logo, a binomial tem distribuição 
de Poisson como limite quando n → ∞ e p → 0. 
 
Exercício 
1) Uma moeda viciada tem probabilidade de cara 0,01. Após ser lançada 200 
vezes, calcule a probabilidade de dar 10 caras usando a distribuição binomial e 
a aproximação de Poisson. 
Solução: 
      000033,099,0.190,0
10
200
10
190190






XP
 
Resolução pela aproximação de Poisson: 
  000038,0
!10
2.
10
201,0.200
102


e
XP
np
 
Assim, a aproximação é bastante boa, pois o erro é 0,000005 apenas. 
2) A probabilidade de uma lâmpada queimar ao ser ligada é 
100
1
. Numa 
instalação de 100 lâmpadas, qual é a probabilidade de 2 lâmpadas queimarem 
ao serem ligadas? 
Solução: 
X: no de lâmpadas queimadas 
          1848,099,0.01,0
2
100
01,01.01,0
2
100
2
982982












XP
 
Usando a aproximação de Poisson: 
  18394,0
!2
1.
2
21

e
XP