Torção em Barras

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18/03/2018
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CCE0330 – Resistência dos Materiais II
Aula 04 – Torção
(Adaptado do material do Prof. Iran Aragão)
Propriedades geométricas de superfícies planas;
- momento estático (ou de 1ª ordem);
- translação de eixos para momentos estáticos;
- determinação do baricentro;
- significado do momento do momento estático;
- momentos de inércia;
- momento de inércia (ou de 2ª ordem); 
- momento polar de inércia;
- produto de inércia;
- translação de eixos para momentos de inércia;
- rotação dos eixos de inércia;
- eixos e momentos principais de inércia.
CCE0330 – Resistência dos Materiais II
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Flexão 
- tipos de flexão;
- equações de equilíbrio entre momentos e cortantes;
- flexão pura reta;
- distribuição de tensões em função da curvatura;
- posição da linha neutra;
- distribuição de tensões em função do momento;
- determinação de tensões máximas e mínimas, 
módulo de resistência;
- material elasto-plástico perfeito;
- momento elástico máximo;
- momento último;
Cisalhamento na flexão
- tensões de cisalhamento obtidas pela variação de 
momento;
- fluxo de cisalhamento; 
- distribuição de tensões de cisalhamento para vigas 
com seções simples
- limitações para a formulação de cisalhamento 
- distribuição de tensões de cisalhamento para vigas 
seções com seções compostas
- centro de cisalhamento
Colunas
- estabilidade do equilíbrio
- formula de Euler para diferentes condições de 
extremidade
- Determinação de carga crítica de colunas
Torção
- momento torsor
- hipóteses básicas
- Formula de torção para seções circulares ou tubulares
- Dimensionamento de barras sujeitas a torção
- ângulo de torção
- Tensões de cisalhamento em regime inelástico
- Barras de seção não circular maciças
- Barras de paredes esbeltas
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Objetivos da Aula:
Ao final desta aula, você será capaz de:
• Explicar e discutir a configuração deformada de uma 
barra submetida à torção;
• Expressar matematicamente a deformação de uma 
barra sujeita a torção;
• Expressar matematicamente as tensões impostas a uma 
barra sob efeito de torção.
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Introdução
• Comportamento de elementos de barra
submetidos à torção.
• Consideração de um elemento de barra com
seção transversal circular.
• A análise da configuração deformada por torção
no domínio linear elástico deste elemento
possibilita o entendimento geométrico dos
efeitos da deformação por torção.
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Introdução
• Torção ?
• Situação de grandes deformações;
• Em uma estrutura, NÃO podemos
admitir deformações perceptíveis;
• Uma estrutura deve trabalhar em
regime de pequenas deformações.
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Deformação por Torção
• Suponha uma barra de seção circular, engastada
numa extremidade e livre na outra;
• São desenhadas linhas longitudinais paralelas ao seu
eixo e círculos transversais igualmente espaçados
conforme a figura.
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Deformação por Torção
• Giro em torno do eixo 
longitudinal;
• Seções transversais 
permanecem planas;
• Linhas longitudinais se 
deformam de acordo com o 
ângulo de giro. 
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Deformação por Torção
• Universo das pequenas 
deformações;
• O comprimento da barra 
também permanece 
inalterado;
• Ângulo de torção varia 
de zero ao valor máximo 
na superfície livre. 
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Deformação por Torção
• Considerando um elemento da 
barra em uma seção 
intermediária qualquer;
• onde a face anterior possui 
rotação φ(x) e;
• a posterior φ(x+Δx); 
• caracterizando uma 
deformação por cisalhamento:
9
!"#$ =
&. ∅
)
*
Deformação por Torção
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• A tensão máxima de cisalhamento ocorre em um ponto da borda a seção 
transversal mais próxima da linha central do eixo.
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Ângulo de Torção ∅
• " – ângulo de torção (radianos);
• T – momento torsor;
• G – Módulo de elasticidade transversal do material da barra;
• L – comprimento da barra;
• J
0
– Momento Polar de Inércia. 
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" =
$. &
'. ()
Momento Polar de Inércia (J0)
Barra Circular maciça:
Barra Circular vazada:
Unidades: !" #$ [!!"]
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'( =
p. r,
2
'( =
p.
2
./
, − .1
,
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Tensão de Cisalhamento
• t – Tensão de cisalhamento;
• T – momento torsor;
• r – raio da seção transversal;
• J0 – Momento Polar de Inércia. 
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τ"#$ =
&. r
)*
Exemplo 1
Em um eixo de aço (G = 50 Gpa) com seção circular com raio de 10 cm e 
comprimento de 10 m é aplicado um momento torsor de 1 kN.m. Determine:
a) Qual a rotação entre os dois extremos do eixo?
b) Qual a tensão cisalhante máxima?
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Ângulo de Torção:
! =
#. %
&. '(
Momento Polar de Inércia:
'( =
p. )*
2
Tensão cisalhante máxima:
,-./ =
#. )
'(
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Exemplo 1 – Solução
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Dados:
• ! = 10 %& = 0,1 &
• ( = 1 )*.& = 1000 *.&
• , = 50 ,./ = 50×101 ./
Logo:
2345 =
(. 6
78
=
1000×0,1
0,000157
= 63661978,32
*
&?
./
@ABC ≅ EF, EE GHB
• Momento Polar de Inércia: 78 =
p.IJ
?
• Ângulo de Torção: K =
L.M
N.OP
• Tensão cisalhante máxima: 2345 =
L.I
OP
78 =
p. 6Q
2
=
p . 0,1 Q
2
= 0,000157 &Q
K =
(. R
,. 78
=
1000×10
50×101×0,000157
= 1,2732×10ST 6/U ≅ 0,0012732 6/U
V → 180°
0,0012732 6/U → Y°
Z = [, [\]^°
Exemplo 2
Determine o ângulo de torção de um tubo de aço vazado de
diâmetro externo 14 cm, espessura 3 cm e 3 m de
comprimento, sujeito a um torque de 25 kN.m, de modo que
a tensão máxima de cisalhamento seja 84 MPa. (G = 84 Gpa).
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Ângulo de Torção: 
! =
#. %
&. '(
Momento Polar de Inércia:
'( =
p.
2
*+
, − *.
,
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Exemplo 2 – Solução
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Momento Polar de Inércia:
!" =
p
2
%&
' − %)
' =
p
2
0,07' − 0,04' = 3,3693.1034 5'
Ângulo de Torção: 
6 =
7. 8
9. !"
=
25000×3
84.10=×3,3693.1034
= 2,6499.103> %?@ ≅ 0,026499 %?@
B → 180°
0,026499 %?@ → E°
F ≅ G, HI°
Dados:
• J& = 14 K5 = 0,14 5 → %& = 0,07 5
• L = 3 K5 = 0,03 5
• J) = 0,14 − 2× 0,03 = 0,08 5 → %) = 0,04 5
• 7 = 25 MN.5 = 25000 N.5
• 9 = 84 9O? = 84.10= O?
Exemplo 3
Especifique os diâmetros externo e interno de um eixo de aço sujeito a um 
torque de 25N.m, de modo que a tensão máxima de cisalhamento seja 84kPa e 
o ângulo de torção seja de 2,5 graus para um comprimento de 3m. (G=84 Mpa)
• Ângulo de Torção: 
! =
#. %
&. '(
• Momento Polar de Inércia:
'( =
p.
2
*+
, − *.
,
• Tensão cisalhante máxima:
/012 =
#. *
'(
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Exemplo 3 – Solução
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Ângulo de Torção: ! =
#.%
&.'(
0,04363 =
25×3
84×103×45
45 =
25×3
84×103×0,04363
= 2,0462×1067 89
Tensão cisalhante máxima: :;<= =
#.>?
'(
84×10@ =
25×AB
2,0462×1067
AB =
84×10@×2,0462×1067
25
= 0,06875 8
AB = 0,06875 8
Diâmetro externo:
DE=F = ?×>? = (, GHI;
Diâmetro interno: '( =
p
?
>?
J − >G
J
2,0462×1067 =
p
2
0,068759 − AL
9
2,0462×1067 =
p ×0,068759
2
−
p ×AL
9
2
p ×AL
9
2
=
p ×0,068759
2
− 2,0462×1067
p ×AL
9
2
= 3,5091×1067 − 2,0462×1067
AL
9 = 1,4629×1067×
2
p
AL
9 = 9,3154×1063
AL =
N
9,3154×1063
AL = 0,0552 8
DOPF = ?×>G = (, GG(;
Dados:
• Q = 25 R.8
• STUV = 84 WXY = 84×10
@ XY
• Z = 2,5° =
B,7×\
L]5
= 0,04363 AY^
• _ = 3 8
• ` = 84 aXY = 84×103 XY