Prova Resolvida Cálculo Diferencial e Integral II Resolução da 2a prova UFMG

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Resoluc¸a˜o da 2a prova - 12/08/2002 - 7:30hs
1. Determine o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia da se´rie
∞∑
n=1
(−2)n√
n
(x+ 2)n
Soluc¸a˜o. ρ = lim
n→∞
|an+1|
|an| = limn→∞
2n+1|x+ 2|n+1√
n+ 1
.
√
n
2n|x+ 2|n = limn→∞ 2|x+ 2|
√
n
n+ 1
= 2|x+ 2| lim
n→∞
√
1
1 + 1
n
= 2|x+ 2| < 1
⇒ a se´rie converge absolutamente para |x+ 2| < 1
2
⇒ −1
2
< x+ 2 <
1
2
⇒ −5
2
< x < −3
2
Examinando as extremidades do intervalo, se x = −5
2
, a se´rie e´
∞∑
n=1
(−2)n√
n
(−1
2
)n
∞∑
n=1
1√
n
que diverge, p-se´rie, p = 1
2
< 1.
E se x = −3
2
a se´rie e´
∞∑
n=1
(−2)n√
n
(
1
2
)n
∞∑
n=1
(−1)n√
n
que converge,
pelo teste das se´ries alternadas, pois os mo´dulos dos termos gerais an =
1√
n
formam
uma sequeˆncia decrescente que tende para 0, n→∞.
O intervalo de convergeˆncia da se´rie e´ −5
2
< x ≤ −3
2
2. Usando que
1
1− x =
∞∑
n=0
xn para −1 < x < 1
(a) Ache uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para f(x) = ln(1 + x2)x
2
.
(b) Determine o intervalo de convergeˆncia da se´rie obtida no item (a).
Soluc¸a˜o. (a) 1
1−x =
∞∑
n=0
xn, −1 < x < 1
Integrando,
− ln(1− x) =
∞∑
n=1
xn+1
n+ 1
, −1 < x < 1
Fazendo x = −x2 e multiplicando por −1,
ln(1 + x2) =
∞∑
n=1
(−1)n+1x2n+2
n+ 1
, −1 < x < 1
Por uma propriedade do logaritmo,
ln(1 + x2)x
2
= x2 ln(1 + x2) =
∞∑
n=0
(−1)n+1x2n+4
n+ 1
, − 1 < x < 1
(b) Para x = −1 ou x = 1, a se´rie
∞∑
n=0
(−1)n+1x2n+4
n+ 1
converge, pelo teste da se´rie
alternada. Portanto, o intervalo de convergeˆncia da se´rie do ı´tem (a) e´ −1 ≤ x ≤ 1.
3. Considere as curvas c1 dada por r = 6 cos θ e c2 dada por r = 2 + 2 cos θ.
(a) Esboce as curvas c1 e c2.
(b) Encontre a a´rea interior a c1 e exterior a c2.
(dica: sen2β = 1
2
(1− cos 2β); cos2 β = 1
2
(1 + cos 2β))
Soluc¸a˜o. ((a),(b)) Pontos de intersec¸a˜o:
6 cos θ = 2 + 2 cos θ ⇒ 4 cos θ = 2 ⇒ cos θ = 1
2
⇒ θ = ±pi
3
Como o integrando e´ par, basta integrar de 0 a pi
3
e depois multiplicar por 2.
A = 2.1
2
∫ pi
3
0
[(6 cos θ)2 − (2 + 2 cos θ)2] dθ
A =
∫ pi
3
0
(32 cos2 θ − 8 cos θ − 4) dθ
A = 1
2
∫ pi
3
0
(32 + 32 cos 2θ − 16 cos θ − 8) dθ
A = 1
2
(32 θ + 16 sen 2θ − 16 sen θ − 8 θ)
]pi
3
0
A =
1
2
(32
pi
3
+ 8
√
3− 8
√
3− 8pi
3
) = 4pi
4. Determine os pontos P e Q da cardio´ide r = 1−cos θ onde a reta tangente e´ horizontal
e que esta˜o fora da origem. Se P e Q esta˜o no 2o e no 3ro quadrantes, respectivamente,
ache o comprimento do segmento da cardio´ide que comec¸a no ponto P e termina no
ponto Q, no sentido crescente do aˆngulo θ.
Soluc¸a˜o. Pontos de tangente horizontal: y′ = 0, x′ 6= 0
y′ = 0 = (rsen θ)′ = r′sen θ + r cos θ, onde r = 1− cos θ, r′ = sen θ
y′ = sen2θ + (1− cos θ) cos θ = −2 cos2 θ + cos θ + 1 = 0⇒ cos θ = −1
2
θ =
2pi
3
ou θ =
4pi
3
.
E, por simetria, para calcular o comprimento L, basta integrar de 2pi/3 a pi de depois
multiplicar por 2.
L = 2
∫ pi
2pi/3
√
r2 + (dr
dθ
)2 dθ = 2
∫ pi
2pi/3
√
(1− 2 cos θ + cos2 θ + sen2 θ dθ =
2
∫ pi
2pi/3
√
(2(1− cos θ) dθ = 2 ∫ pi
2pi/3
√
4 sen2 θ
2
dθ = 4
∫ pi
2pi/3
sen θ
2
dθ =
8(cos
pi
3
− cos pi
2
) = 4