SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES aula 4

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Ref.: 201304042783 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como: 
2x+3y-z = -7 
x+y+z = 4 
-x-2y+3z = 15 
 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
 1 2 3 | 15 
 
 2 1 1 | -7 
 3 1 -2 | 4 
-1 1 3 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 1 0 0 | -7 
 0 1 0 | 4 
 0 0 1 | 15 
 2 3 -1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 
Explicação: 
A quarta opção , identificada como correta, é a única matriz cujos termos aij correspondem 
exatamente aos coeficientes numéricos de cada equação dada . 
 
 
 
 
Ref.: 201303289382 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. 
Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar 
que: 
 
 
não tem raízes reais 
 
nada pode ser afirmado 
 
tem três raízes 
 pode ter duas raízes 
 
tem uma raiz 
 
 
Explicação: 
g(x) = h(x) - 2. e h(-1) =4 , h(0) = 0; h(1) = 8 , então : 
g( -1) = h(-1) - 2 = 4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2 = 8 -2 = 6 . 
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre x =-
1 e x=+1 g(x) pode ter um número par de raízes , como por exemplo 2 raízes positivas. 
 
 
 
 
Ref.: 201304043511 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y: 
3x - 2y = - 12 
5x + 6y = 8 
 
 
 
x = 5 ; y = -7 
 
x = 9 ; y = 3 
 x = -2 ; y = 3 
 
x = - 2 ; y = -5 
 
x = 2 ; y = -3 
 
 
Explicação: 
Multiplicando toda a primeira equação por 3 resulta : 9x - 6y = -36 ... 
 Somada esta à segunda , elimina-se o termo com y , resultando a equação ; 14x = -28 , 
donde x = -2 . 
 Substituindo x = - 2 na primeira resulta : - 6 - 2y = -12 ... -2y = -6 ... y = 3 
 
 
 
 
Ref.: 201303645898 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de 
sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, 
econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método 
numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares. 
 
 
Método de Newton-Raphson. 
 Método de Gauss-Jordan. 
 
Método da bisseção. 
 
Método da falsa-posição. 
 
Método do ponto fixo. 
 
 
Explicação: 
O único método que se aplica à soluçõa de sistemas é o primeiro. Os demais são todos para 
determinação de raízes. 
 
 
 
 
Ref.: 201303289385 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com 
relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 
Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 
As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 Sempre são convergentes. 
 
 
Explicação: 
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são 
convergentes." Nem sempre a solução converge ou tende a um valor como resposta. 
 
 
 
 
Ref.: 201304043523 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2: 
5x1 + 4x2 = 180 
4x1 + 2x2 = 120 
 
 
 
x1 = -20 ; x2 = 15 
 
x1 = 18 ; x2 = 18 
 x1 = 20 ; x2 = 20 
 
x1 = -10 ; x2 = 10 
 
x1 = 10 ; x2 = -10 
 
 
Explicação: 
Multiplicando a segunda por ( -2 ) e somando com a primeira elimina-se o x2 e resulta : 
-3x1 = -60 ..donde x1 = 20 . 
Substituindo x1 na primeira ( ou na segunda) calcula-se x2 : 
5.20 + 4 x2 = 180 ... 4 x2 = 180 -100 = 80 ... x2 = 20. 
 
 
 
 
 
 
Ref.: 201304142908 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de 
funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como 
referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5). 
 
 
y=x3+1 
 
y=2x-1 
 
y=2x 
 y=2x+1 
 
y=x2+x+1 
 
 
Explicação: 
Substituindo nas funções questionadas os valores de x e de y dos pontos (x,y) dados , 
observamos que apenas a função y=2x+1 atende a todos os valores dos pares x e y . 
Por exemplo, para (1,3) temos x=1 , y =3 e substitundo nessa função , confirma-se a 
igualdade : 3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos (x=4, y =9 ) , ( x=3 , y =7) e (x=2, y =5) .. 
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os 
valores (x, y). 
 
 
 
 
 
Ref.: 201304035196 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss: 
 
 É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares. 
 
Nenhuma das Anteriores. 
 
Utiliza o conceito de matriz quadrada. 
 
É utilizado para encontrar a raiz de uma função. 
 
É utilizado para fazer a interpolação de dados. 
 
 
Explicação: 
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de 
equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não é usado para cálculo de raiz de 
função. nem para fazer interpolação de dados .Então só a opção correspondente está correta. 
 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. 
Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar 
que: 
 
 
tem uma raiz 
 
tem três raízes 
 
não tem raízes reais 
 
nada pode ser afirmado 
 pode ter duas raízes 
 
 
Explicação: 
g(x) = h(x) - 2. e h(-1) =4 , h(0) = 0; h(1) = 8 , então : 
g( -1) = h(-1) - 2 = 4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2 = 8 -2 = 6 . 
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre x =-
1 e x=+1 g(x) pode ter um número par de raízes , como por exemplo 2 raízes positivas. 
 
 
 
 
Ref.: 201304035196 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss: 
 
 
Nenhuma das Anteriores. 
 É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares. 
 
É utilizado para encontrar a raiz de uma função. 
 
É utilizado para fazer a interpolação de dados. 
 
Utiliza o conceito de matriz quadrada. 
 
 
Explicação: 
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de 
equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não é usado para cálculo de raiz de 
função. nem para fazer interpolação de dados .Então só a opção correspondente está correta. 
 
 
 
 
Ref.: 201303645898 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de 
sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, 
econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método 
numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares. 
 
 
Método da bisseção.Método do ponto fixo. 
 
Método de Newton-Raphson. 
 
Método da falsa-posição. 
 Método de Gauss-Jordan. 
 
 
Explicação: 
O único método que se aplica à soluçõa de sistemas é o primeiro. Os demais são todos para 
determinação de raízes. 
 
 
 
 
Ref.: 201304042774 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós 
representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela 
fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * 
representa um valor qualquer. 
 
 0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
 
1 0 0 | * 
1 1 0 | * 
1 1 1 | * 
 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
 1 0 0 | * 
0 1 0 | * 
0 0 1 | * 
 
1 1 1 | * 
0 1 1 | * 
0 0 1 | * 
 
 
Explicação: 
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal e o 
restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha, o valor solução para cada variável 
lido na última coluna. 
 
 
 
 
Ref.: 201304043511 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y: 
3x - 2y = - 12 
5x + 6y = 8 
 
 
 
x = - 2 ; y = -5 
 
x = 2 ; y = -3 
 
x = 9 ; y = 3 
 x = -2 ; y = 3 
 
x = 5 ; y = -7 
 
 
Explicação: 
Multiplicando toda a primeira equação por 3 resulta : 9x - 6y = -36 ... 
 Somada esta à segunda , elimina-se o termo com y , resultando a equação ; 14x = -28 , 
donde x = -2 . 
 Substituindo x = - 2 na primeira resulta : - 6 - 2y = -12 ... -2y = -6 ... y = 3 
 
 
 
 
Ref.: 201304043523 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2: 
5x1 + 4x2 = 180 
4x1 + 2x2 = 120 
 
 
 
x1 = 18 ; x2 = 18 
 
x1 = -20 ; x2 = 15 
 x1 = 20 ; x2 = 20 
 
x1 = -10 ; x2 = 10 
 
x1 = 10 ; x2 = -10 
 
 
Explicação: 
Multiplicando a segunda por ( -2 ) e somando com a primeira elimina-se o x2 e resulta : 
-3x1 = -60 ..donde x1 = 20 . 
Substituindo x1 na primeira ( ou na segunda) calcula-se x2 : 
5.20 + 4 x2 = 180 ... 4 x2 = 180 -100 = 80 ... x2 = 20. 
 
 
 
 
 
 
Ref.: 201303289385 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com 
relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 
As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 
Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 Sempre são convergentes. 
 
 
Explicação: 
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são 
convergentes." Nem sempre a solução converge ou tende a um valor como resposta. 
 
 
 
 
Ref.: 201304050916 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Dado o seguinte sistema linear: 
x + y + 2z = 9 
2x + 4y -3z = 1 
3x + 6y - 5z = 0 
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z. 
 
 
x=-2, y=4, z=-6. 
 x=1, y=2, z=3. 
 
x=-3, y=1, z=-2. 
 
x=2, y=4, z=6. 
 x=3, y=1, z=2. 
 
 
Explicação: 
Matriz Aumentada 
1 1 2 ] 9 já tem pivô (1) na 1ª linha ; 
2 4 -3 ] 1 zerar 1ª coluna : 1ª linha x(-2) + 2ª linha 
3 6 -5 ] 0 1ª linha x(-3) + 3ª linha 
1 1 2 ] 9 
0 2 -7 ] -17 
0 3 -11 ] -27 colocar pivô (1) na 2ª linha : 3ª linha + 2ª linha x (-1) 
1 1 2 ] 9 
0 1 -4 ] -10 zerar 2ª coluna : 2ª linha x(-3) + 3ª linha ..já surge o pivô (1) na 3ª linha 
0 3 -11 ] -27 2ª linha x(-1) + 1ª linha 
1 0 6 ] 19 
0 1 -4 ] -10 zerar 3ª coluna : 3ª linha x(-6) + 1ª linha 
0 0 1 ] 3 3ª linha x(+4) + 2ª linha 
1 0 0 ] 1 ... x =1 
0 1 0 ] 2 ... y=2 
0 0 1 ] 3 ... z=3 
 
 
 
 
Ref.: 201304142908 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de 
funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como 
referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5). 
 
 
y=2x 
 y=2x+1 
 
y=2x-1 
 
y=x2+x+1 
 
y=x3+1 
 
 
Explicação: 
Substituindo nas funções questionadas os valores de x e de y dos pontos (x,y) dados , 
observamos que apenas a função y=2x+1 atende a todos os valores dos pares x e y . 
Por exemplo, para (1,3) temos x=1 , y =3 e substitundo nessa função , confirma-se a 
igualdade : 3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos (x=4, y =9 ) , ( x=3 , y =7) e (x=2, y =5) .. 
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os 
valores (x, y). 
 
 
 
 
 
Ref.: 201304042783 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como: 
2x+3y-z = -7 
x+y+z = 4 
-x-2y+3z = 15 
 
 
 1 0 0 | -7 
 0 1 0 | 4 
 0 0 1 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
 1 2 3 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 2 1 1 | -7 
 3 1 -2 | 4 
-1 1 3 | 15 
 2 3 -1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 
Explicação: 
A quarta opção , identificada como correta, é a única matriz cujos termos aij correspondem 
exatamente aos coeficientes numéricos de cada equação dada . 
 
 
 
 
Ref.: 201304035196 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss: 
 
 
É utilizado para encontrar a raiz de uma função. 
 
Utiliza o conceito de matriz quadrada. 
 
Nenhuma das Anteriores. 
 
É utilizado para fazer a interpolação de dados. 
 É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares. 
 
 
Explicação: 
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de 
equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não é usado para cálculo de raiz de 
função. nem para fazer interpolação de dados .Então só a opção correspondente está correta. 
 
 
 
 
Ref.: 201304043511 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y: 
3x - 2y = - 12 
5x + 6y = 8 
 
 
 
x = 9 ; y = 3 
 x = -2 ; y = 3 
 
x = 5 ; y = -7 
 
x = 2 ; y = -3 
 
x = - 2 ; y = -5 
 
 
Explicação: 
Multiplicando toda a primeira equação por 3 resulta : 9x - 6y = -36 ... 
 Somada esta à segunda , elimina-se o termo com y , resultando a equação ; 14x = -28 , 
donde x = -2 . 
 Substituindo x = - 2 na primeira resulta : - 6 - 2y = -12 ... -2y = -6 ... y = 3 
 
 
 
 
Ref.: 201303645898 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de 
sistemas lineares para "modelar"uma determinado contexto em que temos um problema físico, 
econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método 
numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares. 
 
 
Método do ponto fixo. 
 Método de Gauss-Jordan. 
 
Método da bisseção. 
 
Método da falsa-posição. 
 
Método de Newton-Raphson. 
 
 
Explicação: 
O único método que se aplica à soluçõa de sistemas é o primeiro. Os demais são todos para 
determinação de raízes. 
 
 
 
 
Ref.: 201303289385 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com 
relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 
As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 
Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 Sempre são convergentes. 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 
 
Explicação: 
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são 
convergentes." Nem sempre a solução converge ou tende a um valor como resposta. 
 
 
 
 
Ref.: 201304043523 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2: 
5x1 + 4x2 = 180 
4x1 + 2x2 = 120 
 
 
 
x1 = -10 ; x2 = 10 
 
x1 = 10 ; x2 = -10 
 x1 = 20 ; x2 = 20 
 
x1 = 18 ; x2 = 18 
 
x1 = -20 ; x2 = 15 
 
 
Explicação: 
Multiplicando a segunda por ( -2 ) e somando com a primeira elimina-se o x2 e resulta : 
-3x1 = -60 ..donde x1 = 20 . 
Substituindo x1 na primeira ( ou na segunda) calcula-se x2 : 
5.20 + 4 x2 = 180 ... 4 x2 = 180 -100 = 80 ... x2 = 20. 
 
 
 
 
 
 
Ref.: 201304042774 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós 
representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela 
fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * 
representa um valor qualquer. 
 
 1 0 0 | * 
0 1 0 | * 
0 0 1 | * 
 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
 
1 0 0 | * 
1 1 0 | * 
1 1 1 | * 
 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
 
1 1 1 | * 
0 1 1 | * 
0 0 1 | * 
 
 
Explicação: 
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal e o 
restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha, o valor solução para cada variável 
lido na última coluna. 
 
 
 
 
Ref.: 201303289382 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. 
Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar 
que: 
 
 
tem uma raiz 
 
tem três raízes 
 
não tem raízes reais 
 pode ter duas raízes 
 
nada pode ser afirmado 
 
 
Explicação: 
g(x) = h(x) - 2. e h(-1) =4 , h(0) = 0; h(1) = 8 , então : 
g( -1) = h(-1) - 2 = 4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2 = 8 -2 = 6 . 
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre x =-
1 e x=+1 g(x) pode ter um número par de raízes , como por exemplo 2 raízes positivas. 
 
 
 
 
Ref.: 201304050916 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Dado o seguinte sistema linear: 
x + y + 2z = 9 
2x + 4y -3z = 1 
3x + 6y - 5z = 0 
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z. 
 
 
x=3, y=1, z=2. 
 x=1, y=2, z=3. 
 
x=2, y=4, z=6. 
 
x=-3, y=1, z=-2. 
 
x=-2, y=4, z=-6. 
 
 
Explicação: 
Matriz Aumentada 
1 1 2 ] 9 já tem pivô (1) na 1ª linha ; 
2 4 -3 ] 1 zerar 1ª coluna : 1ª linha x(-2) + 2ª linha 
3 6 -5 ] 0 1ª linha x(-3) + 3ª linha 
1 1 2 ] 9 
0 2 -7 ] -17 
0 3 -11 ] -27 colocar pivô (1) na 2ª linha : 3ª linha + 2ª linha x (-1) 
1 1 2 ] 9 
0 1 -4 ] -10 zerar 2ª coluna : 2ª linha x(-3) + 3ª linha ..já surge o pivô (1) na 3ª linha 
0 3 -11 ] -27 2ª linha x(-1) + 1ª linha 
1 0 6 ] 19 
0 1 -4 ] -10 zerar 3ª coluna : 3ª linha x(-6) + 1ª linha 
0 0 1 ] 3 3ª linha x(+4) + 2ª linha 
1 0 0 ] 1 ... x =1 
0 1 0 ] 2 ... y=2 
0 0 1 ] 3 ... z=3 
 
 
 
 
Ref.: 201304035196 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss: 
 
 
Nenhuma das Anteriores. 
 É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares. 
 
É utilizado para encontrar a raiz de uma função. 
 
Utiliza o conceito de matriz quadrada. 
 
É utilizado para fazer a interpolação de dados. 
 
 
Explicação: 
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de 
equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não é usado para cálculo de raiz de 
função. nem para fazer interpolação de dados .Então só a opção correspondente está correta. 
 
 
 
 
Ref.: 201304043511 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y: 
3x - 2y = - 12 
5x + 6y = 8 
 
 
 
x = 9 ; y = 3 
 
x = 5 ; y = -7 
 x = -2 ; y = 3 
 
x = - 2 ; y = -5 
 
x = 2 ; y = -3 
 
 
Explicação: 
Multiplicando toda a primeira equação por 3 resulta : 9x - 6y = -36 ... 
 Somada esta à segunda , elimina-se o termo com y , resultando a equação ; 14x = -28 , 
donde x = -2 . 
 Substituindo x = - 2 na primeira resulta : - 6 - 2y = -12 ... -2y = -6 ... y = 3 
 
 
 
 
Ref.: 201303645898 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de 
sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, 
econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método 
numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares. 
 
 Método de Gauss-Jordan. 
 
Método da falsa-posição. 
 
Método de Newton-Raphson. 
 
Método da bisseção. 
 
Método do ponto fixo. 
 
 
Explicação: 
O único método que se aplica à soluçõa de sistemas é o primeiro. Os demais são todos para 
determinação de raízes. 
 
 
 
 
Ref.: 201303289385 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com 
relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 
As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 
Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 Sempre são convergentes. 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 
 
Explicação: 
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são 
convergentes." Nem sempre a solução converge ou tende a um valor como resposta. 
 
 
 
 
Ref.: 201304042783 
 
 
 
 7a QuestãoO sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como: 
2x+3y-z = -7 
x+y+z = 4 
-x-2y+3z = 15 
 
 
 2 1 1 | -7 
 3 1 -2 | 4 
-1 1 3 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
 1 2 3 | 15 
 1 0 0 | -7 
 0 1 0 | 4 
 0 0 1 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 2 3 -1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 
Explicação: 
A quarta opção , identificada como correta, é a única matriz cujos termos aij correspondem 
exatamente aos coeficientes numéricos de cada equação dada . 
 
 
 
 
Ref.: 201304043523 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2: 
5x1 + 4x2 = 180 
4x1 + 2x2 = 120 
 
 
 
x1 = 18 ; x2 = 18 
 
x1 = -20 ; x2 = 15 
 
x1 = 10 ; x2 = -10 
 
x1 = -10 ; x2 = 10 
 x1 = 20 ; x2 = 20 
 
 
Explicação: 
Multiplicando a segunda por ( -2 ) e somando com a primeira elimina-se o x2 e resulta : 
-3x1 = -60 ..donde x1 = 20 . 
Substituindo x1 na primeira ( ou na segunda) calcula-se x2 : 
5.20 + 4 x2 = 180 ... 4 x2 = 180 -100 = 80 ... x2 = 20. 
 
 
 
 
Ref.: 201304142908 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
 Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de 
funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como 
referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5). 
 
 
y=2x-1 
 
y=2x 
 
y=x2+x+1 
 y=2x+1 
 
y=x3+1 
 
 
Explicação: 
Substituindo nas funções questionadas os valores de x e de y dos pontos (x,y) dados , 
observamos que apenas a função y=2x+1 atende a todos os valores dos pares x e y . 
Por exemplo, para (1,3) temos x=1 , y =3 e substitundo nessa função , confirma-se a 
igualdade : 3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos (x=4, y =9 ) , ( x=3 , y =7) e (x=2, y =5) .. 
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os 
valores (x, y). 
 
 
 
 
 
Ref.: 201304042774 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós 
representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela 
fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * 
representa um valor qualquer. 
 
 1 0 0 | * 
0 1 0 | * 
0 0 1 | * 
 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
 
1 1 1 | * 
0 1 1 | * 
0 0 1 | * 
 
1 0 0 | * 
1 1 0 | * 
1 1 1 | * 
 
 
Explicação: 
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal e o 
restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha, o valor solução para cada variável 
lido na última coluna. 
 
 
 
 
Ref.: 201304050916 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 Dado o seguinte sistema linear: 
x + y + 2z = 9 
2x + 4y -3z = 1 
3x + 6y - 5z = 0 
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z. 
 
 
x=-3, y=1, z=-2. 
 
x=-2, y=4, z=-6. 
 
x=3, y=1, z=2. 
 
x=2, y=4, z=6. 
 x=1, y=2, z=3. 
 
 
Explicação: 
Matriz Aumentada 
1 1 2 ] 9 já tem pivô (1) na 1ª linha ; 
2 4 -3 ] 1 zerar 1ª coluna : 1ª linha x(-2) + 2ª linha 
3 6 -5 ] 0 1ª linha x(-3) + 3ª linha 
1 1 2 ] 9 
0 2 -7 ] -17 
0 3 -11 ] -27 colocar pivô (1) na 2ª linha : 3ª linha + 2ª linha x (-1) 
1 1 2 ] 9 
0 1 -4 ] -10 zerar 2ª coluna : 2ª linha x(-3) + 3ª linha ..já surge o pivô (1) na 3ª linha 
0 3 -11 ] -27 2ª linha x(-1) + 1ª linha 
1 0 6 ] 19 
0 1 -4 ] -10 zerar 3ª coluna : 3ª linha x(-6) + 1ª linha 
0 0 1 ] 3 3ª linha x(+4) + 2ª linha 
1 0 0 ] 1 ... x =1 
0 1 0 ] 2 ... y=2 
0 0 1 ] 3 ... z=3 
 
 
 
 
Ref.: 201303645898 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de 
sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, 
econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método 
numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares. 
 
 
Método de Newton-Raphson. 
 Método de Gauss-Jordan. 
 
Método do ponto fixo. 
 
Método da bisseção. 
 
Método da falsa-posição. 
 
 
Explicação: 
O único método que se aplica à soluçõa de sistemas é o primeiro. Os demais são todos para 
determinação de raízes. 
 
 
 
 
Ref.: 201304043511 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y: 
3x - 2y = - 12 
5x + 6y = 8 
 
 
 x = -2 ; y = 3 
 
x = - 2 ; y = -5 
 
x = 5 ; y = -7 
 
x = 9 ; y = 3 
 x = 2 ; y = -3 
 
 
Explicação: 
Multiplicando toda a primeira equação por 3 resulta : 9x - 6y = -36 ... 
 Somada esta à segunda , elimina-se o termo com y , resultando a equação ; 14x = -28 , 
donde x = -2 . 
 Substituindo x = - 2 na primeira resulta : - 6 - 2y = -12 ... -2y = -6 ... y = 3 
 
 
 
 
Ref.: 201304043523 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2: 
5x1 + 4x2 = 180 
4x1 + 2x2 = 120 
 
 
 
x1 = 10 ; x2 = -10 
 x1 = 20 ; x2 = 20 
 
x1 = -20 ; x2 = 15 
 
x1 = -10 ; x2 = 10 
 
x1 = 18 ; x2 = 18 
 
 
Explicação: 
Multiplicando a segunda por ( -2 ) e somando com a primeira elimina-se o x2 e resulta : 
-3x1 = -60 ..donde x1 = 20 . 
Substituindo x1 na primeira ( ou na segunda) calcula-se x2 : 
5.20 + 4 x2 = 180 ... 4 x2 = 180 -100 = 80 ... x2 = 20. 
 
 
 
 
 
 
Ref.: 201303289385 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com 
relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 
Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 Sempre são convergentes. 
 
As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 
 
Explicação: 
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são 
convergentes." Nem sempre a solução converge ou tende a um valor como resposta. 
 
 
 
 
Ref.: 201304035196 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss: 
 
 É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares. 
 
Nenhuma das Anteriores. 
 
É utilizado para encontrar a raiz de uma função. 
 
Utiliza o conceito de matriz quadrada. 
 
É utilizado para fazer a interpolação de dados. 
 
 
Explicação: 
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de 
equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não é usado para cálculo deraiz de 
função. nem para fazer interpolação de dados .Então só a opção correspondente está correta.