Física do Calor: Gás Ideal e Calor Específico

Prévia do material em texto

4300159 – Física do Calor 
Gás Ideal: 
Calor Específico a 
Volume Constante 
 
velocidade escalar (m/s) 
nú
m
er
o 
de
 m
ol
éc
ul
as
 
hv2i = 1
N
NX
i=1
v2i ⇡
1
N
NhistX
↵=1
N↵v¯
2
↵
soma sobre partículas		 soma sobre histogramas	
Número de átomos com 
velocidades no α-ésimo histograma	
Velocidade no centro 
do α-ésimo histograma	
– Para um gás em equilíbrio (temperatura T) e constituído por uma grande coleção de 
átomos (~1023), é possível obter uma distribuição contínua e estacionária de 
velocidades escalares, denominada Distribuição de Maxwell, f(v). 
velocidade escalar (m/s) 
f(v
) hvi =
Z 1
0
v2 f(v) dv
Distribuição de Maxwell 
hKi = 1N
PN
i=1
1
2mv
2
i =
1
2m
1
N
PN
i=1 v
2
i
O valor médio <v2> pode ser 
obtido da distribuição f(v). 
hKi = 12mhv2i
PV = N 23 hKi = NkBT
2
3 hKi = kBT T = 23kB hKi = m3kB hv2i
A partir da energia cinética média, obtemos: 
A Energia Interna (U) de um sistema é dada por U = E – KCM, onde E é 
a energia mecânica do sistema (soma das energias cinéticas das 
partículas e da energia mecânica associada às suas interações), e KCM é 
a energia cinética de translação do centro de massa. 
 
No modelo do gás ideal não há interação (portanto a energia mecânica é 
apenas cinética). Se o gás estiver em equilíbrio, seu centro de massa 
estará em repouso. 
 
A energia interna será, portanto, dada por: 
Energia Interna: Gás Monoatômico 
U =
PN
i=1Ki = N
⇣
1
N
PN
i=1Ki
⌘
= NhKi
De acordo com o resultado anterior, a energia interna do gás ideal será 
uma função da temperatura: 
U(T ) = 32NkBT
Suponha que a quantidade de calor dQ seja transferida para um gás 
ideal monoatômico, cujo volume é mantido constante (não há trabalho), 
havendo variação de temperatura dT. Nessas condições, a variação de 
energia interna será dU = dQ. 
 
Calor específico molar a volume constante (CV): 
Calor Específico a Volume Constante 
Calor específico por molécula a volume 
constante (cV): 
dQ = dU ) nCV dT = 32nRdT
CV =
3
2R
NcV dT =
3
2NkBdT ) cV = 32kB
– Em um gás ideal monoatômico, as partículas (átomos) apenas 
apresentam movimento de translação. 
 
– Em um gás ideal diatômico, as moléculas apresentam movimento de 
translação do centro de massa, além de rotação e vibração em torno do 
CM. 
Moléculas Diatômicas 
– A energia interna do gás diatômico (U) 
se relaciona à energia média por molécula 
(ε) que resulta dos três movimentos: 
(3/2)kBT ?? 
U = Nh✏i = N ( hKtransi+ h✏roti+ h✏vibi )
– As contribuições rotacional e vibracional não são simples de discutir, 
pois envolvem a quantização da energia (assunto tratado no curso de 
Termoestatística). 
 
– Por hora, vamos nos limitar a observar que, em temperaturas da 
ordem de 102 K, tipicamente apenas a energia rotacional contribui de 
maneira significativa, <εrot> = kBT (por molécula). 
 
– Portanto: 
Moléculas Diatômicas 
U = 52NkBT =
5
2nRT
CV =
5
2R
cV =
5
2kB
(energia interna) 
(calor específico molar a volume constante) 
(calor específico por molécula a volume 
constante) 
Exemplo: Hidrogênio (H2) 
Abaixo de 50K, 
as moléculas de 
H2 apenas têm 
movimento 
translacional 
Acima de 50K, 
começa a haver 
movimento 
rotacional 
apreciável 
Acima de 600K, 
começa a haver 
movimento 
vibracional 
apreciável 
Translação 
Rotação 
Vibração 
Exercício: (a) Qual o calor necessário para elevar a temperatura de 1.00 
mol de gás hélio em 10.0 K, mantendo seu volume constante? 
 
(b) Qual o calor necessário para elevar a temperatura de 1.00 mol de 
gás nitrogênio em 10.0 K, mantendo seu volume constante? 
(a) Uma vez que não há trabalho (volume constante) todo o calor 
transferido resultará na variação de energia interna do gás, Q = ΔU. 
(b) Da mesma forma, para o gás diatômico (N2): 
Há dois aspectos importantes a ressaltar: (i) é necessário mais calor 
para elevar a temperatura da mesma quantidade (em mols) de gás 
diatômico. (ii) Em ambos os casos, podemos escrever a energia interna 
na forma 
Q = �U = 52nR�T = 208 J
Q = �U = 32nR�T = 125 J
U(T ) = NcV T = nCV T
Exercício: (a) Qual o calor necessário para elevar a temperatura de 1.00 
mol de gás hélio em 10.0 K, mantendo seu volume constante? 
 
(b) Qual o calor necessário para elevar a temperatura de 1.00 mol de 
gás nitrogênio em 10.0 K, mantendo seu volume constante? 
(a) Uma vez que não há trabalho (volume constante) todo o calor 
transferido resultará na variação de energia interna do gás, Q = ΔU. 
(b) Da mesma forma, para o gás diatômico (N2): 
Há dois aspectos importantes a ressaltar: (i) é necessário mais calor 
para elevar a temperatura da mesma quantidade (em mols) de gás 
diatômico. (ii) Em ambos os casos, podemos escrever a energia interna 
na forma 
Q = �U = 52nR�T = 208 J
Q = �U = 32nR�T = 125 J
U(T ) = NcV T = nCV T