Aula 39 Matrizes-1

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Aula 39
Matrizes
Utilidade
Equações/sistemas lineares; 
Descrever a mecânica quântica da estrutura dos átomos;
Desenvolvimento de modelos matemáticos computáveis;
Analisar e representar relações entre variáveis matemáticas.
Organizando e analisando dados
 Uma fábrica produz três tipos de peças: A, B e C. No início deste ano, a diretoria da fábrica queria ter uma síntese das vendas da fábrica no último bimestre. O gerente de produção preparou o seguinte quadro: 
 Vendas / milhões de peças
Profa Ellis Noro
Peça A
Peça B
Peça C
Agosto
3
5
8
Setembro
5
4
5,4
Quadros como esses ajudam a organizar dados. Fica mais fácil analisá-los, combiná-los com outros.
Representando matrizes
Profa Ellis Noro
Conceito e notação algébrica 
Tabelas com elementos dispostos segundo linhas e colunas 
aij
i indica a linha do elemento
j indica a coluna do elemento
Exemplos
Exemplo:
Exemplos
Construir a matriz A = (aij)3x2, em que aij = 3i – j.
Profa Ellis Noro
a32
a31
a22
a21
a12
a11
A =
aij = 3i – j
a11 = 
3.1 – 1
= 2
a12 = 
3.1 – 2
= 1
a21 = 
3.2 – 1
= 5
a22 = 
3.2 – 2
= 4
a31 = 
3.3 – 1
= 8
a32 = 
3.3 – 2
= 7
2
1
5
4
8
7
A =
Algumas matrizes especiais
Matriz linha 
 Matriz coluna
Matriz quadrada 
 Matriz nula 
 Matriz diagonal		 
 Matrizes opostas (- A): 
 Matriz identidade (In):
Exemplo:
Exemplo:
Matriz transposta (At)
	Matriz obtida a partir de outra, trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas ou vice-versa.
A = 				 At = 
Propriedades das matrizes transpostas:
 
 		 		 		 
 
Matriz simétrica
	Matriz quadrada de ordem n tal que A = At
 
A = 			 At = 
	Matriz cuja transposta é igual à oposta: 
A = At 
Matriz antissimétrica
Exemplo:
	Se a matriz A é simétrica, então x + y + z é igual a:
a) -2
b) -1
c) 1
d) 3
e) 5 
Igualdade de matrizes:
 Duas matrizes do mesmo tipo m x n são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais.
 Exemplo:
 Considere as matrizes:
 
 
 Sabendo que a igualdade A = B é verdadeira, então, qual deve ser o valor de cada uma das variáveis?
Exemplo:
Sejam as matrizes 		 e 		 . 
Para que elas sejam iguais, deve-se ter:
a) a = -3 e b = - c = 4
b) a = 3 e b = c = -4
c) a = 3 e b = -c = 4
d) a = -3 e b = c = -4 
e) a = -3 e b = c2 = 4
Aplicação
 Vejamos alguns exemplos de aplicação da ideia de matrizes:
1) Um técnico de basquete descreveu o desempenho dos titulares de sua equipe, em seis jogos, através da matriz:
 
18 		17	18	17	21	18	
15		16	18	18	22	21	
20		19	20	21	14	14	
18		22	20	20	18	22	
19		18	12	14	20	17	
 
		Cada elemento aij dessa matriz é o número de pontos marcados pelo jogador de número i no jogo j. Observe os dados da matriz pra responder aos questionamentos que seguem:
 
a) Quantos pontos marcou o jogador de número 3 no jogo 5?
b) Quantos pontos marcou a equipe no jogo 4?
c) No total, quantos pontos marcou o jogador de número 2?
d) Que tipo de matriz descreve essa situação?
2) Um conglomerado composto por três lojas (numeradas de 1 a 3) fez o registro do controle de seu faturamento nos três primeiros dias de janeiro, segundo o quadro a seguir: 
		Cada elemento aij dessa matriz é o faturamento, em dólares, no dia i, da loja j. Pensando nisso, responda:
Qual foi o faturamento da loja 3 no segundo dia? 
Qual foi o faturamento desse grupo de lojas no terceiro dia?
c) Qual foi o faturamento total da loja 1 nos dias considerados?
d) Em que dia cada loja vendeu mais?
LOJA 1
LOJA 2
LOJA 3
1950
2030
1800
1500
1820
1740
3010
2800
2700
Operações com matrizes
Adição de Matrizes
A
B
E1
2
3
E2
3
4
E3
4
6
Profa Ellis Noro
Uma empresa fabrica dois produtos A e B, que podem ser acondicionados nas embalagens E1, E2 e E3, com 12, 24 ou 30 unidades, respectivamente. Os quadros abaixo mostram os custos de fabricação do produto e da embalagem, em cada caso.
A
B
E1
60
80
E2
100
130
E3
120
160
Custo do produto (R$)
Custo da embalagem (R$)
Adição de Matrizes
O fabricante quer vender o produto com lucro de 50% sobre o custo do produto, mas não quer obter lucro no custo da embalagem. Qual será o preço de venda dos produtos A e B.
Profa Ellis Noro
60
80
100
130
120
160
P = 
2
3
3
4
4
6
E = 
O preço de venda é obtido efetuando-se a operação: 1,5 . P + E
Adição de Matrizes
V = 1,5 . P + E
Profa Ellis Noro
60
80
100
130
120
160
P = 
2
3
3
4
4
6
E = 
1,5 . P =
1,5.160
1,5.120
1,5.100
1,5.60
1,5.130
1,5.80
=
240
180
150
90
195
120
1,5 . P + E =
90
120
150
195
180
240
+
2
3
3
4
4
6
=
246
184
153
92
199
123
Adição de Matrizes
Veja como seriam os preços de venda dos dois produtos nas três possíveis embalagens.
Profa Ellis Noro
A
B
E1
92
123
E2
153
199
E3
184
246
Preço de venda (R$)
Adição de Matrizes
Sendo A e B matrizes de mesmo tipo e k uma constante real, definem-se as seguintes operações:
Profa Ellis Noro
 Adição de matrizes: A + B é a matriz em que cada 	elemento é a soma dos elementos de mesma 	posição em A e B.
 Subtração de matrizes: A – B = A + (–B), é a 	soma 	de A com a oposta de B.
 Multiplicação de um número por uma matriz: kA é 	a matriz obtida multiplicando-se, por k, cada um 	dos elementos de A.
Propriedades da adição com matrizes:
Multiplicação de Matrizes
O colégio Tales e o colégio Platão distribuem em cada bimestre letivo, um total de 10 pontos por matéria. No entanto, os pesos em cada bimestre diferem nos dois colégios. Veja o quadro a seguir
Profa Ellis Noro
1º B
2º B
3º B
4º B
Tales
1
2
3
4
Platão
2
2
3
3
Peso por bimestre em cada colégio
Multiplicação de Matrizes
Dois alunos das duas escolas, que eram amigos, resolveram comparar a soma dos pontos obtidos em Matemática no seu colégio com a que teriam obtido, caso estudasse no outro colégio.
Profa Ellis Noro
André
Pedro
1º B
6
9
2º B
5
8
3º B
7
6
4º B
8
5
Nota de cada aluno por bimestre
31
Multiplicação de Matrizes
Veja o total de pontos que cada um teria feito, estudando no colégio Tales.
Profa Ellis Noro
André
Pedro
1º B
6
9
2º B
5
8
3º B
7
6
4º B
8
5
1º B
2º B
3º B
4º B
Tales
1
2
3
4
Platão
2
2
3
3
André: 
1.6 + 2.5 + 3.7 + 4.8 
= 6 + 10 + 21 + 32 
= 69 
Pedro: 
1.9 + 2.8 + 3.6 + 4.5 
= 9 + 16 + 18 + 20 
= 63 
Multiplicação de Matrizes
Veja o total de pontos que cada um teria feito, estudando no colégio Platão.
Profa Ellis Noro
André
Pedro
1º B
6
9
2º B
5
8
3º B
7
6
4º B
8
5
1º B
2º B
3º B
4º B
Tales
1
2
3
4
Platão
2
2
3
3
André: 
2.6 + 2.5 + 3.7 + 3.8 
= 12 + 10 + 21 + 24 
= 67 
Pedro: 
2.9 + 2.8 + 3.6 + 3.5 
= 18 + 16 + 18 + 15 
= 67 
Multiplicação de Matrizes
O quadro a seguir sintetiza os resultados.
Profa Ellis Noro
André
Pedro
Tales
69
63
Platão
67
67
Pontos de cada aluno por colégio
1
2
3
4
2
2
3
3
6
9
5
8
7
6
8
5
Multiplicação de Matrizes
Vamos escrever, agora, as matrizes A, B e C, associadas aos três quadros anteriores.
Profa Ellis Noro
Matriz dos pesos: A = 
Matriz das notas: B = 
Matriz dos pontos: C = 
69
63
67
67
c12 = 1.9 + 2.8 + 3.6 + 4.5 
c12 = 9 + 16 + 18 + 20
c12 = 63
C = A.B 
Multiplicação de Matrizes - Definição
Sob certas condições, definem-se a multiplicação de matrizes. Dadas duas matrizes A e B
Profa Ellis Noro
Existe o produto AB (ou A.B) se, e somente se, o número de colunas de A (1ª matriz) é igual ao número de linhas de B (2ª matriz);
Existindo a matriz AB, ela tem o número de linhas de A (1ª matriz) e o número de colunas de B (2ª matriz).
Propriedades
 Associativa
 (A .
B) . C = A .(B . C)
 Distributiva
 (A + B) . C = A. C + B . C 
 e C . (A + B) = C . A + C . B
 Comutativa não é válida na multiplicação de matrizes, pois geralmente A . B  B . A
 Seja Am x n , A . In = Im . A
 (AB)t = Bt . At
A é matriz m x n 
Multiplicação de Matrizes - Definição
Observe o esquema.
Profa Ellis Noro
B é matriz n x p 
iguais ⇒ existe AB 
AB é do tipo ⇒ m x p 
Exemplos
Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB.
Profa Ellis Noro
–3
1
0
2
4
–2
–1
2
3
5
–2
6
B =
A =
A é matriz 2 x 3 
B é matriz 3 x 2 
iguais ⇒ existe AB 
AB é do tipo ⇒ 2 x 2 
x11
x12
x21
x22
AB =
Exemplo
Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB.
Profa Ellis Noro
–3
1
0
2
4
–2
–1
2
3
5
–2
6
B =
A =
Cálculo de x11: 
x11 = –3.(–1) + 1.3 + 0.(–2)
= 3 + 3 + 0
= 6
Cálculo de x12: 
x12 = –3.2 + 1.5 + 0.6
= –6 + 5 + 0
= –1
Exemplo
Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB.
Profa Ellis Noro
–3
1
0
2
4
–2
–1
2
3
5
–2
6
B =
A =
Cálculo de x21: 
x21 = 2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2)
= –2 + 12 + 4
= 14
Cálculo de x22: 
x22 = 2.2 + 4.5 + –2 .6
= 4 + 20 – 12
= 12
Exemplo
Dado as matrizes A e B abaixo, mostrar que é definido e obter o produto AB.
Profa Ellis Noro
–3
1
0
2
4
–2
–1
2
3
5
–2
6
B =
A =
Conclusão: 
x11
x12
x21
x22
AB =
6
–1
14
12
=
Observação
Profa Ellis Noro
Observe que no caso das matrizes A2x3 e B3x2 do exemplo anterior, existe o produto BA que é do tipo 3 x 3.
Ainda que, em certos casos, tanto AB como BA sejam definidos, em geral AB ≠ BA.
Se existirem tanto AB quanto BA e, além disso, AB = BA, dizemos que A e B comutam.
Se A é uma matriz quadrada, existe o produto AA, que também pode ser indicado por A2.
Praticando
Dadas as matrizes 
Determine:
3B
A + B + C
-2 C
C - A
Temos:
Questões
(UFMT) Um projeto de pesquisa sobre dietas envolve adultos e crianças de ambos os sexos. A composição dos participantes do projeto é dada pela matriz:
O número diário de gramas de proteínas, de gorduras e de carboidratos consumidos por cada criança e cada adulto é dado pela matriz:
Continuação da questão 1:
	A partir dessas informações, julgue os itens:
a) 6000 g de proteínas são Consumidas diariamente por adultos e crianças do sexo masculino.
b) A quantidade de gordura consumida diariamente por adultos e crianças do sexo masculino é 50% menor do que a consumida por adultos e crianças do sexo feminino.
c) As pessoas envolvidas no projeto consomem diariamente um total de 13200 g de carboidratos.
Questões
2) (UEL-PR) Sabendo-se que a matriz abaixo é igual à sua transposta, o valor de x + 2y é:
a)– 20
b) – 1
c) 1
d) 13
e) 20
 
Questões
Questões:
5) Se uma matriz quadrada A é tal que At = - A, ela é chamada matriz antissimétrica. Sabe-se que M é antissimétrica e: 				.
	
	Os termos a12 , a13 e a23 de M valem respectivamente:
a) -4, -2 e 4
b) 4, 2 e -4 
c) 4, -2 e -4
d) 2, -4 e 2
e) nda
Questões
6) (FGV - SP) Dadas as matrizes a seguir e sendo 3A = B + C, então:
a) x + y + z + w = 11
b) x + y + z + w = 10 
c) x + y - z - w = 0
d) x + y - y - w = -1
e) x + y + z + w > 11
Questões
7) (FGV - SP) Dadas as matrizes e sabendo-se que AB = C, podemos concluir que:
a) m + n = 10
b) m - n = 8
c) m . n = -48 
d) m/n = 3
e) mn = 144
Questões
8) (ITA - SP) Dadas as matrizes reais A e B, análise as afirmações:
I) A = B < -- > x = 3 e y = 0
II) A + B = 	< -- > x = 2 e y = 1
III) 
E conclua:
a) Apenas a afirmação II é verdadeira 
b) Apenas a afirmação I é verdadeira
c) As afirmações I e II são verdadeiras
d) Todas as afirmações são falsas
e) Apenas a afirmação I é falsa.