Lista 2 de exercicios do prof sebastião

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO - BCMT - LISTA 2
Exercício 1. Escreva, sempre que possível, os seguintes números racionais como frações decimais.
Quando não for, escreva a fração irredutível correspondente e prove que não há fração decimal
equivalente.
a)
22258476
225
b)
769461
1848
c)
54600
3575
d)
1092
3952
e)
104329
80750
f)
47151
10478
g)
12584
983125
h)
3087
28812
i)
24453
173888
j)
60775
30056
(Sugestão: Para a prova pedida, use uma equação em N semelhante àquelas dos itens iniciais do exercício
9 da lista anterior.)
Exercício 2. Para cada item do exercício anterior que não corresponde a uma fração decimal,
encontre sua �representação decimal infinita� (isto é, como dízima.)
Exercício 3. Justifique a igualdade
0, 999999 · · · = 1
(Sugestão: É o mesmo que provar que o único número x que satisfaz a 0, 99 · · · 9︸ ︷︷ ︸ ≤ x ≤ 1
ndı´gitos
, para todo n
natural, é o número 1.)
Exercício 4. Justifique a igualdade
0, 1111111 · · · = 1
9
(Sugestão: Uma possibilidade é dividir por 9 cada desigualdade da sugestão do exercício anterior. Outro
modo é seguir como foi feito em aula.)
Exercício 5. Justifique a igualdade
0, 01010101 · · · = 1
99
(Sugestão: Uma possibilidade é partir da prova do exercício 3, para depois dividir por 99 cada desigualdade.
Outro modo é seguir como foi feito em aula.)
Exercício 6. Justifique a igualdade
0, 0 · · · 01 · · · 0 · · · 01︸ ︷︷ ︸
k dı´gitos
· · · 0 · · · 010 · · · 01 · · · = 1
99 · · · 9︸ ︷︷ ︸
k dı´gitos
Exercício 7. Considerando que a seja um número de um só dígito, isto é, que 0 ≤ a ≤ 9, usando
o exercício 4 justifique a igualdade
0, aaaaaaa · · · = a
9
Exercício 8. Considerando que ab seja um número de dois dígitos, isto é, que ab = a × 10 + b,
onde 0 ≤ a ≤ 9 e 0 ≤ b ≤ 9, usando o exercício 5 justifique a igualdade
0, ababababababab · · · = ab
99
Exercício 9. Para cada dízima dada a seguir, encontre uma fração geratriz.
a) 0, 311311311311 · · · b) 0, 20400040004000 · · · c) 0, 003333333 · · · d) 65, 666666666 · · ·
e) 201, 04981818181 · · · f) 0, 00999999999999 · · · g) 29, 99999999 · · · h) 7, 9899999999 · · ·
Exercício 10. Mostre que
1209
990
= 1, 2 21 (o período é 21) de dois modos. Primeiro, partindo de
que 1, 2 21 representa um número racional. Depois, partindo da divisão euclidiana para encontrar
a seqüência de desigualdades apropriada, conforme fizemos em nossas aulas.
Exercício 11. Idem para
111111
900
= 123, 45 6 (o período é 6).
Exercício 12. Mostre que todo número natural q primo com 10, isto é, tal que mdc (q, 10) = 1,
tem um múltiplo da forma 99 · · · 9, isto é, um número cuja representação na base 10 é formada
apenas por noves.
(Sugestão: Considere o seguinte teorema a respeito de números naturais: �Se q é um divisor do pro-
duto a · b e mdc (q, a) = 1, então q é divisor de b�. Considere também a seqüência infinita 9, 99, 999,
9999 , . . . , 99 · · · 9, . . . . Quantos são os restos possíveis das divisões desses números por q ? É verdade
que há dois restos iguais? Use estes fatos. Você pode também considerar as potências de 10 e seus restos
na divisão por q e o exercício 15. Se não conseguir, consulte as páginas 165 e 171 do livro �Meu Professor
de Matemática�, que faz parte do material eletrônico que dei a você. Porém, somente recorra a isso depois
de tentar bastante!)
Exercício 13. �Todo número natural q possui um múltiplo cuja representação na base 10 é formada
por uma série de noves seguida por uma série de zeros, sendo que o menor múltiplo de q dessa
forma termina com um número de zeros igual ao maior expoente de uma potência de 2 ou 5 pela
qual q é divisível.�
Em cada item a seguir, encontre uma fração equivalente com denominador da forma 99 · · · 9︸ ︷︷ ︸
mdı´gitos
00 · · · 0︸ ︷︷ ︸
k dı´gitos
(números formado de m noves seguidos de k zeros, podendo ser k = 0).
a)
364
21
b)
50
27
c)
52
21
d)
9
825
e)
71
1375
f)
27
104
(Sugestão: Escreva o denominador na forma 2m · 5n · a, sendo mdc (a, 2) = mdc (a, 5) = 1. O teorema do
exercício 16 garante que existe k tal que a · k = 99 · · · 9︸ ︷︷ ︸
t dı´gitos
. Para encontrar os números k e 99 · · · 9︸ ︷︷ ︸
t dı´gitos
, efetue a
divisão prolongada de 9 por a, acrescentado noves ao dividendo até que o resto seja igual a zero! Então
basta multiplicar os termos da fração dada pelo número 5m−n · k, caso seja m ≥ n, ou por 2n−m · k, em
caso contrário, pois desse modo obteremos o denominador 2m · 5n · a · 5m−n · k ou 2m · 5n · a · 2n−m · k,
respectivamente, e, portanto, igual a a ·k · 2p · 5p = 99 · · · 900 · · · 0︸ ︷︷ ︸
p dı´gitos
, onde p é o maior entre m e n, conforme
queríamos.)
Exercício 14. Mostre que: �Toda fração irredutível p/q é equivalente a uma fração cujo denomi-
nador tem uma das formas 100 · · · 0, ou 99 · · · 9, ou 99 · · · 900 · · · 0, ocorrendo os seguintes casos:
1. Se q = 2a · 5b, então p
q
= n
10···0 ;
2. Se q é primo com 10, então p
q
= n
99···9 ;
3. Se q = 2a · 5b · q′, onde q′ é primo com 10, então p
q
= n
99···90···0 .
Nos casos 1 e 3, se o numerador n não terminar em zeros, o número de zeros do denominador
99 · · · 90 · · · 0 é igual ao maior dos expoentes a ou b.�
(Sugestão: Basta usar os teoremas dos exercícios 16 e 17.)
Exercício 15. Considere as frações do exercício 1 que não possuem equivalente decimal. Encontre
as dízimas por elas geradas sem usar divisão prolongada (usando apenas aquela divisão que
pára quando chegamos no resto).
(Sugestão: Primeiro encontre a fração equivalente com denominador na forma 99 · · · 90 · · · 0. Então a fração
encontrada será da forma
p
q
= n
99···9 ou
p
q
= n
99···90···0 . No segundo caso ponha
n
99···90···0 =
n
99···9 · 110···0 e
então divida n pelo denominador 99 · · · 9 para extrair a parte inteira. Digamos que seja n = 99 · · · 9 ·k+r ,
onde r < 99 · · · 9 (ou seja, r é o resto da divisão de n por 99 · · · 9). Então, n
99···9 · 110···0 =
(
k + r
99···9
) · 1
10···0 .
Qual é o período da dízima? E a parte inteira? E a parte não periódica? Por quê?)
Exercício 16. Qual é o único número real que pertence a todos os intervalos da seqüência infinita e
decrescente de intervalos fechados e encaixados definida por In =
[
2, 325325 · · · 325︸ ︷︷ ︸
3n
; 2, 325325 · · · 325326︸ ︷︷ ︸
3n
]
?
Exercício 17. Quando escrevemos a expressão
(0, 5)−2 · 20,333··· · 3√16
125−3
como potência de base 2,
qual é o expoente?