Relatório 4 MEC FLU (UFU)

Prévia do material em texto

1 
 
Sumário 
 
 
 
 
1 Desenvolvimento teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 
 
 
2 Equipamento experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 
 
 
3 Procedimento experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 
 
 
4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
1) Desenvolvimento teórico 
 
1.1 - Condições de contorno para as equações básicas 
 Existem três equações diferenciais básicas da mecânica dos fluidos, recém-deduzidas. 
Vamos resumi-las: 
Continuidade: 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝛁. (𝜌𝐕) = 0 
Quantidade de movimento: 𝜌
𝜕𝑽
𝜕𝑡
= 𝜌𝒈 − 𝛁𝑝 + 𝛁. 𝜏𝑖𝑗 
Energia: 𝜌
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑝(𝛁. 𝐕) = 𝛁. (𝑘𝛁𝑇) + 𝜱 
 Em geral, a massa específica é variável, de modo que essas três equações contêm cinco 
incógnitas, 𝜌, 𝑉, 𝑝, �̂� 𝑒 𝑇. Logo, precisamos de duas relações adicionais para completar o 
sistema de equações. Essas são fornecidas através de dados ou expressões algébricas para as 
relações de estado das propriedades termodinâmicas 
𝜌 = 𝜌(𝑝, 𝑇) �̂� = �̂�(𝑝, 𝑇) 
Por exemplo, para um gás perfeito com calores específicos constantes, completamos o sistema 
com 
𝜌 = 
𝑝
𝑅𝑇
 �̂� = ∫ 𝑐𝑣𝑑𝑇 ≈ 𝑐𝑣𝑇 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
Quais são as condições de contorno apropriadas? Primeiro, se o escoamento é não-
permanente, deve haver uma condição inicial, ou distribuição espacial inicial conhecida para 
cada variável: 
Em t=0: 𝜌, 𝑉, 𝑝, �̂�, 𝑇 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) conhecida 
Depois disso, para todos os instantes t a serem analisados devemos conhecer algo sobre as 
variáveis em cada fronteira que delimita o escoamento. 
A figura 2 ilustra os três tipos mais comuns de fronteiras encontradas em análises de 
escoamento de fluidos: uma parede sólida, uma entrada ou saída, uma interface entre líquido 
e gás. 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Condições de contorno típicas em uma análise de escoamento de um fluido viscoso e 
condutivo. 
 Primeiro, para uma parede sólida e impermeável, não há escorregamento e nem salto 
de temperatura em um fluido viscoso e condutivo 
𝑽𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑽𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 𝑇𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑇𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 parede sólida 
 A única exceção à equação acima ocorre em um escoamento de gás extremamente 
rarefeito, no qual o escorregamento pode estar presente. 
 Segundo, em qualquer seção de entrada ou de saída do escoamento, a distribuição 
completa de velocidades, pressões e temperaturas deve ser conhecida em todos os instantes: 
Entrada ou saída: 𝑉, 𝑝 , 𝑇 conhecidas 
 Essas seções de entrada e saída podem estar, e não raro estarão, no infinito, 
simulando um corpo imerso em uma extensão infinita do fluido. 
 Finalmente, as condições mais complexas ocorrem em uma interface entre líquido e 
gás, ou superfície livre, conforme o esquema da figura 6. Denotemos a interface por 
Interface: 𝑧 = 𝜂(𝑥, 𝑦, 𝑡) 
 Logo, deve haver igualdade da velocidade vertical através a interface, de modo a não 
aparecerem buracos entre o líquido e o gás: 
𝑤𝑙í𝑞. = 𝑤𝑔á𝑠 = 
𝑑𝜂
𝑑𝑡
= 
𝜕𝜂
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝜂
𝜕𝑥
 + 𝑣
𝜕𝜂
𝜕𝑦
 
Essa é a chamada condição de contorno cinemática. 
4 
 
Condições simplificadas de superfície livre 
 Um conjunto mais simples e linear de condições na superfície é dado por: 
𝑝𝑙í𝑞. ≈ 𝑝𝑔á𝑠 − Υ (
𝜕2𝜂
𝜕𝑥2
+ 
𝜕2𝜂
𝜕𝑦2
) 
𝑤𝑙í𝑞. ≈ 
𝜕𝜂
𝜕𝑡
 (
𝜕𝑉
𝜕𝑧
)
𝑙í𝑞.
≈ 0 (
𝜕𝑇
𝜕𝑧
)
𝑙í𝑞.
≈ 0 
 
 Em muitos casos, tais como no escoamento em canais abertos, podemos desprezar 
também a tensão superficial, de modo que 
𝑝𝑙í𝑞. ≈ 𝑝𝑎𝑡𝑚 
Escoamento incompressível com propriedades constantes 
 As equações básicas do movimento se reduzem a: 
Continuidade: 𝛁. 𝐕 = 0 
Quantidade de movimento: 𝜌
𝑑𝑽
𝑑𝑡
= 𝜌𝒈 − 𝛁𝑝 + 𝜇∇2𝑽 
Energia: 𝜌𝑐𝑣
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘∇2𝑽 + 𝜱 
Aproximações de escoamento não-viscoso 
 A equação da quantidade de movimento se reduz a 
𝜌
𝑑𝑽
𝑑𝑡
= 𝜌𝒈 − 𝛁𝑝 
 Essa é a equação de Euler, ela pode ser integrada ao longo de uma linha de corrente 
para se obter a equação de Bernoulli. A única condição matematicamente sensível e que deve 
sair é a condição de não-escorregamento na parede. Deixamos o escoamento deslizar sobre a 
parece, mas não permitimos que ele penetre na parede. A condição não-viscosa adequada é 
que a velocidade normal do fluido deve ser igual à da parede: 
Escoamento não-viscoso: (𝑽𝑛)𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 = (𝑽𝑛)𝑝𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 
 Em muitos casos, a parede é fixa; portanto, a condição adequada para escoamento 
não-viscoso é 
𝑽𝑛 = 0 
 Nenhuma condição é imposta sobre o componente tangencial da velocidade na 
parece, em um escoamento não-viscoso. A velocidade tangencial fará parte da solução, e seu 
valor correto surgirá no final da análise. 
5 
 
1.2 – Determinação da vazão na vena contracta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Venturi. 
 
 Pelas equações básicas do movimento, temos a equação da continuidade: 
𝛁. 𝐕 = 0 
 Logo: 
𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴𝑣𝑐 
 Que nos diz que a velocidade do fluido no ramo do tubo que tem menor secção é 
maior que a velocidade do fluido no ramo que tem maior secção. Se 𝑆1 > 𝑆2, concluímos que 
𝑣1 < 𝑣2. 
 Utilizando as equações de Bernoulli e considerando 𝑦1 = 𝑦2 temos que: 
𝑝1 +
1
2
𝜌𝑣12 = 𝑝2 + 
1
2
𝜌𝑣22 
 Como a velocidade no ramo de menor secção é maior, a pressão neste ramo é menor. 
 Se 𝑣1 < 𝑣2 concluímos que 𝑝1 > 𝑝2 O líquido manométrico desce pelo lado esquerdo 
e sobe pelo direito 
 Podemos obter as velocidades 𝑣1 e 𝑣2 em cada ramo do tubo a partir do cálculo da 
diferença de pressão nas seções 1 e 2 obtidos pela coluna de água. 
6 
 
𝑣2 = 𝐴1√
2(𝑝1 + 𝑝2)
𝜌(𝐴1
2 − 𝐴𝑣𝑐
2)
 
 De posse da equação da velocidade podemos determinar a vazão usando 
𝑄 = 𝑣2𝐴𝑣𝑐 
 Substituindo a equação de velocidade na equação de vazão e rearranjando a equação 
final temos: 
𝑄 =
𝐴1
√(
𝐴1
𝐴𝑣𝑐
)
2
− 1
√
2(𝑝1 − 𝑝2)
𝜌
 
 Observar que a pressão 𝑝2 é determinada pela área da vena contracta a qual é 
desconhecida e não se pode determiná-la com precisão. Neste caso, ela será substituída por 
𝐴2 e introduz-se uma correção através do chamado coeficiente de descarga 𝐶𝑑. Logo, 
𝑄 = 𝐶𝑑
𝐴1
√(
𝐴1
𝐴2
)
2
− 1
√
2(𝑝1 − 𝑝2)
𝜌
 
 
 Este coeficiente de descarga também é conhecido como coeficiente de calibração. Sua 
determinação deve ser forçosamente experimental. Para obtê-lo vamos considerar a relação 
entre vazão teórica (𝑄𝑡) e vazão experimental (𝑄𝑒) como sendo dada por: 
𝑄𝑒 = 𝐶𝑑𝑄𝑡 
 
2) Equipamento Experimental 
No experimento foram usados: 
 Bancada hidráulica de base, representada na figura 3, composta por uma bomba e 
chaves de comando, com a função de regular o fluxo de água no sistema. 
 Bancada para medição de vazão,representada na figura 4, composta por uma bomba 
que alimenta o fluxo de água na bancada, um tubo de Venturi, um rotâmetro e uma 
placa de orifício, localizados ao logo da bancada onde irá passar o escoamento, e 4 
tomadas de pressão estática, duas no tubo de Venturi e duas na placa de orifício. Seus 
respectivos dados geométricos serão apresentados logo abaixo. 
7 
 
 
Figura 3 - Bancada Hidráulica de Base. 
 
 
 
 
Figura 4 - Bancada para medição de vazão. 
 Dados geométricos: 
𝐷𝑡𝑢𝑏𝑜 = 31,75 𝑚𝑚 
𝐷𝑣𝑒𝑛𝑡 = 15,00 𝑚𝑚 
𝐷𝑝𝑜𝑟𝑓 = 20,00 𝑚𝑚 
 
 
8 
 
3) Procedimento Experimental 
 
Para iniciar o experimento a bomba foi ligada e esperou-se estabilizar o escoamento a 
fim de garantir que não houvesse formação de bolhas de ar nas colunas do manômetro 
oriundas da turbulência do escoamento. Feito isso mediu-se o volume de água e o tempo para 
diferentes aberturas da válvula de entrada a fim de calcular a vazão de água na mesma (�̅�(𝑒)) 
e adotou-se uma vazão de referência no rotâmetro (𝑄(𝑒)), como mostra a tabela 1. Logo após 
foi medido a pressão em 4 pontos diferentes, um a jusante do escoamento e outro a montante 
do escoamento no tubo de Venturi, e outros dois pontos localizados um de cada lado da placa 
de orifício, a fim de calcular a vazão teórica (𝑄(𝑡)) no tubo de Venturi e na placa de orifício, 
como mostra a tabela 2. 
Com os valores das vazões teóricas e experimentais em mãos, confeccionou-se os 
gráficos de vazão experimental (no tubo de Venturi e no rotâmetro) em função da vazão 
teórica (no tubo de Venturi e na placa de orifício) e depois determinou-se o 𝐶𝑑. 
 
 Tabela 1 – Vazões experimentais. 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 (𝒍) 𝑽𝟏 (𝒔) 𝒕𝟏 (𝒍) 𝑽𝟐 (𝒔) 𝒕𝟐 (𝒍) 𝑽𝟑 (𝒔) 𝒕𝟑 �̅�(𝒆) 
(𝒍/𝒔) 
𝑸(𝒆) 
(𝒍/𝒎𝒊𝒏) 
1 0.795 2.22 0.800 2.25 0.805 2.16 0.3620 22 
2 0.540 1.57 0.460 1.28 0.625 1.91 0.3414 20 
3 0.570 2.00 0.635 2.22 0.450 1.56 0.2863 18 
4 0.400 1.56 0.430 1.62 0.560 2.16 0.2603 16 
5 0.450 1.78 0.495 2.13 0.730 3.06 0.2403 14 
6 0.330 1.69 0.745 3.72 0.755 3.78 0.1991 12 
7 0.475 2.81 0.580 3.57 0.610 3.68 0.1655 10 
8 0.455 3.78 0.545 4.06 0.550 4.13 0.1295 8 
9 0.330 3.16 0.400 3.85 0.340 3.31 0.1037 6 
10 0.220 3.06 0.250 3.53 0.290 4.19 0.0705 4 
 
Tabela 2 – Pressões nas seções 1 e 2, para o tubo de Venturi, e nas seções 6 e 7 para a placa de 
orifício. 
𝑽𝒆𝒏𝒕𝒖𝒓𝒊 (𝒎𝒎𝑪𝑨) 𝑷𝒍𝒂𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒐𝒓𝒊𝒇𝒊𝒄𝒊𝒐 (𝒎𝒎𝑪𝑨) 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝑷𝟏 𝑷𝟐 𝑷𝟔 𝑷𝟕 
1 347.5 135.0 200.0 50.0 
2 322.5 152.5 190.0 67.5 
3 302.5 162.5 180.0 82.5 
4 285.0 172.5 172.5 95.0 
5 267.5 180.0 167.5 105.0 
6 252.5 187.5 160.0 115.0 
7 237.5 190.0 177.5 125.0 
8 225.0 195.0 155.0 130.0 
9 215.0 195.0 150.0 135.0 
10 207.5 195.0 150.0 142.5 
9 
 
4) Resultados 
No experimento mediu-se a quantidade de volume de água (V) para um certo intervalo 
de tempo (t) para diferentes aberturas da válvula. Com estes valores foi possível calcular a 
vazão experimental no tubo de Venturi através da fórmula: 
𝑄(𝑒) =
𝑉
𝑡
 
Logo mais mediu-se as pressões nos pontos 1, 2, 4 e 6, onde 1 e 2 estavam no tubo de 
Venturi e 6 e 7 estavam na placa de orifício, para que pudesse ser calculado as vazão teórica 
(no tubo de Venturi e na placa de orifício) a partir das equações: 
𝑄(𝑡) =
𝐴1
√(
𝐴1
𝐴2
)
2
− 1
√
2(𝑝1 − 𝑝2)
𝜌
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑢𝑟𝑖 
𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐴1 = 𝐴𝑡𝑢𝑏𝑜 = 𝜋 ×
𝐷𝑡𝑢𝑏𝑜
2
4
 𝑒 𝐴2 = 𝐴𝑣𝑒𝑛𝑡 = 𝜋 ×
𝐷𝑣𝑒𝑛𝑡
2
4
 
 
𝑄(𝑡) =
𝐴1
√(
𝐴1
𝐴3
)
2
− 1
√
2(𝑝6 − 𝑝7)
𝜌
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜 
𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐴1 = 𝐴𝑡𝑢𝑏𝑜 = 𝜋 ×
𝐷𝑡𝑢𝑏𝑜
2
4
 𝑒 𝐴3 = 𝐴𝑝𝑜𝑟𝑓 = 𝜋 ×
𝐷𝑝𝑜𝑟𝑓
2
4
 
Em seguida calculou-se também erro da vazão experimental com relação à vazão 
teórica através da fórmula: 
𝑒𝑟𝑟𝑜 =
|𝑄(𝑡) − 𝑄(𝑒) |
𝑄(𝑡)
× 100 
Todos os valores calculados serão mostrados nas tabelas 3 e 4 abaixo: 
 
 
 
 
 
10 
 
Tabela 3 – Venturi. 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝑸(𝒕) 
 (𝒎𝟑/𝒔) 
�̅�(𝒆) 
 (𝒎𝟑/𝒔) 
𝑸(𝒆) 
(𝒎𝟑/𝒔) 
𝑬𝒓𝒓𝒐 
(%) 
𝑬𝒓𝒓𝒐 
 (%) 
1 0.3705 × 10−3 0.3620 × 10−3 0.3667 × 10−3 2.2887 1.0265 
2[ori 0.3314 × 10−3 0.3414 × 10−3 0.3333 × 10−3 3.0264 0.5961 
3 0.3007 × 10−3 0.2863 × 10−3 0.3000 × 10−3 4.7790 0.2337 
4 0.2696 × 10−3 0.2603 × 10−3 0.2667 × 10−3 3.4340 1.0720 
5 0.2377 × 10−3 0.2403 × 10−3 0.2333 × 10−3 1.0892 1.8479 
6 0.2049 × 10−3 0.1991 × 10−3 0.2000 × 10−3 2.8136 2.3887 
7 0.1752 × 10−3 0.1655 × 10−3 0.1667 × 10−3 5.5077 4.8456 
8 0.1392 × 10−3 0.1295 × 10−3 0.1333 × 10−3 6.9741 4.2134 
9 0.1137 × 10−3 0.1037 × 10−3 0.1000 × 10−3 8.7746 12.0144 
10 0.0899 × 10−3 0.0705 × 10−3 0.0667 × 10−3 21.5367 25.8040 
 
Tabela 4 - Placa de orifício. 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝑸(𝒕) 
 (𝒎𝟑/𝒔) 
�̅�(𝒆) 
 (𝒎𝟑/𝒔) 
𝑸(𝒆) 
(𝒎𝟑/𝒔) 
𝑬𝒓𝒓𝒐 
(%) 
𝑬𝒓𝒓𝒐 
 (%) 
1 0.5876 × 10−3 0.3620 × 10−3 0.3667 × 10−3 38.3979 37.6022 
2 0.5310 × 10−3 0.3414 × 10−3 0.3333 × 10−3 35.7132 37.2297 
3 0.4738 × 10−3 0.2863 × 10−3 0.3000 × 10−3 39.5618 36.6768 
4 0.4224 × 10−3 0.2603 × 10−3 0.2667 × 10−3 38.3737 36.8663 
5 0.3793 × 10−3 0.2403 × 10−3 0.2333 × 10−3 36.6443 38.4851 
6 0.3219 × 10−3 0.1991 × 10−3 0.2000 × 10−3 38.1310 37.8606 
7 0.3476 × 10−3 0.1655 × 10−3 0.1667 × 10−3 52.3920 52.0584 
8 0.2399 × 10−3 0.1295 × 10−3 0.1333 × 10−3 46.0227 44.4208 
9 0.1858 × 10−3 0.1037 × 10−3 0.1000 × 10−3 44.2041 46.1857 
10 0.1314 × 10−3 0.0705 × 10−3 0.0667 × 10−3 46.3453 49.2634 
 
 
Com estes valores construiu-se o gráfico da vazão experimental em função da vazão 
teórica para os dois casos, representados nas figuras 5, 6, 7 e 8, e através do método dos 
quadrados mínimos obteve-se uma reta da forma: 
𝑄(𝑒) = 𝐶𝑑𝑄(𝑡) 
Uma vez obtida a equação da reta determinou-se o 𝐶𝑑 como sendo o coeficiente 
angular da reta. 
11 
 
 
Figura 5: Gráfico da Vazão teórica vs. Vazão experimental no medidor de tipo Venturi. 
 
 
Figura 6: Gráfico da Vazão teórica vs. Vazão experimental no rotâmetro no medidor de tipo 
Venturi. 
 
12 
 
 
Figura 7 Gráfico da Vazão teórica vs. Vazão experimental na placa de orifício. 
 
 
Figura 8: Gráfico da Vazão teórica vs. Vazão experimental no rotâmetro na placa de orifício. 
 
 
13 
 
Tabela 5: Coeficientes de descarga 
 𝑪𝒅 𝑪𝒅 𝑹𝒐𝒕â𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 
Venturi 1.0418 1.0613 
Placa de orifício 0.6624 0.6751