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Ensino Superior
Geometria Analítica
Unidade 1 – Noções sobre Vetores
Amintas Paiva Afonso
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Noções sobre Vetores
Espaço Vetorial
# Um conjunto E ( ) onde são definidas as seguintes operações:
+ (x,y) := x + y 
composição interna
 (,x) :=  . x 
composição externa
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Noções sobre Vetores
Espaço Vetorial
Para x, y, z  E e ,   , temos as seguintes propriedades:
 
i)     x + y = y + x;
ii)    x + ( y + z ) = ( x + y ) + z;
iii)    0  E tal que: x + 0 = x x  E;
iv)   Dado x  E, existe (-x)  E tal que: x + (-x) = 0;
v)    (x) = ()x;
vi)   (x + y) = x + y;
vii)  (+)x = x + x;
viii) 1.x = x x  E;
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Noções sobre Vetores
Espaço Vetorial
Um conjunto que satisfaz essas propriedades é chamado de espaço vetorial real. 
(E, +, , ) é um quatérnio e E pode ser o próprio . 
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Noções sobre Vetores
Espaço Vetorial
Qualquer elemento de um espaço vetorial chama-se VETOR.
Exemplos de espaços vetoriais: 
o conjunto os números reais;
o conjunto dos números complexos;
o conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de segmentos orientados;
o conjunto das matrizes Mmxn (), o espaço n;
o espaço Cn, o conjunto dos polinômios reais de grau  n Pn();
o conjunto dos polinômios complexos Pn(C), etc. 
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Noções sobre Vetores
Espaço Vetorial
Para verificar que um determinado conjunto constitui um espaço vetorial devemos verificar se ele satisfaz cada uma das oito propriedades apresentadas.
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Noções sobre Vetores
Vetores
Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever “coisas” no mundo que têm direção e sentido.
Que coisas são essas? 
o vento;
o fluxo de H2O de um rio;
a emissão puntiforme de luz;
um campo elétrico;
a velocidade de um trem bala;
o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não explica por que os planetas se movem todos num mesmo sentido), etc.
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Noções sobre Vetores
Sistema de Coordenadas
 Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de um sistema de coordenadas.
Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas
	Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer.
		
.
P(x,y)
 O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y.
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Noções sobre Vetores
Sistema de coordenadas polares
	Um sistema de coordenadas polares é definido quando se dá um ponto O, chamado pólo, uma semi-reta OA que parte desse ponto O, chamado eixo polar, e um segmento arbitrário com unidade de comprimento. 
	Convém, nesse sistema, definir o sentido positivo de rotação em redor do ponto O. (Geralmente, é o sentido anti-horário).
		
P
Chama-se coordenadas polares de um ponto P qualquer aos números =OP e =ang AOP.
O símbolo P(, ) significa que o ponto P tem coordenadas polares  e .
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Noções sobre Vetores
Passagem das coordenas polares para as coordenadas cartesianas
	Sejam (x,y) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas e (, ) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas polares:
x = . cos 
y = . sen 
		
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Noções sobre Vetores
Representação gráfica
A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando para algum lugar. 
Propriedades 
-  direção;
-  sentido;
-  magnitude.
Grandezas vetoriais: a aceleração, a velocidade e o deslocamento, força, etc.
Grandezas escalares: a massa, o tempo e a temperatura, densidade, etc. 
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Noções sobre Vetores
Representação simbólica
Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra. 
Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por exemplo, um vetor no plano: 
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Noções sobre Vetores
Representação simbólica
A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos no plano xy. 
Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e seu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as coordenadas de B são (x2, y2). 
Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1)
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Noções sobre Vetores
Exemplo
Seja = [2,2]. 
Podemos associar a o segmento de reta orientado com ponto inicial A(1,2) e ponto final B(3,4). 
 = B – A = (3-1, 4-2)=(2,2)
(3,4)
(1,2)
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Noções sobre Vetores
Operações com vetores
Considere 2 vetores: e .
A resultante + é obtida pela chamada “lei do paralelogramo”.
Construímos um paralelogramo unindo a origem dos dois vetores e traçando retas paralelas a e a partir de suas extremidades.
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Noções sobre Vetores
Lei do paralelogramo
A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a composição de forças no caso particular do retângulo.
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Noções sobre Vetores
Variações
Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor à origem do segundo. 
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Noções sobre Vetores
Somando mais que dois vetores
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Noções sobre Vetores
Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a componente:
Definição:Sejam e dois vetores no plano. A soma dos vetores e é o vetor .
Exemplo:
Sejam e então, 
1.ª coordenada
2.ª coordenada
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Noções sobre Vetores
Exemplo: Interpretação geométrica
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Noções sobre Vetores
Diferença de vetores
 Representamos o vetor + (-1) por .
 Esse vetor é a diferença de e .
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Noções sobre Vetores
Produto de um vetor por um escalar
Considere que o vetor tem a magnitude de uma unidade. Se multiplicarmos esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o vetor tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é conservada se o escalar for 0, caso contrário, o vetor assume a direção oposta.
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Noções sobre Vetores
Exemplo
Se a = 2, b = -3 e = (1,-2), então:
e 
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Noções sobre Vetores
Produto escalar
O produto escalar dos vetores de dimensão n: 
a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por: 
a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn = 
 Exemplo
Calcule o produto escalar de = (1,-2,3,4) e = (2,3,-2,1). 
 . = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6
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Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por: 
onde  é o ângulo formado por e . 
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Noções sobre Vetores
Exemplo
Encontre o ângulo entre os vetores = (2,4) e = (-1,2).
 . = 2.(-1) + 4.2 = 6
Portanto,
Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º. 
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Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores
Se e
então, cosseno 
Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si. 
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Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares . 
Exemplo
Os vetores = (2,-4) e = (4,2) 
são ortogonais, já que:
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Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores
Mas, , logo 
=>
.
Temos
então que: 
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Noções sobre Vetores
Comprimento ou norma de um vetor
O comprimento, tamanho ou norma de um vetor = (x1,y1) é:
y1
Além disso, dado um escalar , pertencente a :
 
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Noções sobre Vetores
Desigualdade triangular
A norma da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à soma das normas de cada um dos vetores:
Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski
Essa desigualdade é conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz em homenagem a Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz. Na realidade é a desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, mas o pobre Bunyakovski foi sendo esquecido com o tempo. 
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Noções sobre Vetores
Eis o Bunyakowski, porque aqui todos merecem ser lembrados.
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Noções sobre Vetores
Distância entre dois pontos
Além disso, pelo teorema de Pitágoras, podemos obter comprimento do segmento orientado com ponto inicial P(x1,y1) e ponto final P(x2,y2):
x1
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Noções sobre Vetores
Exemplo-1
Se = (2,-5), então o comprimento de é dado por:
Exemplo-2
A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do segmento orientado é dado por:
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Noções sobre Vetores
Versor ou Vetor unitário
Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se é um vetor não-nulo, então o vetor:
é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que . 
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Noções sobre Vetores
Exemplo
Seja x = (-3,4). Então:
Logo, o vetor 
 
É um vetor unitário, pois:
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Noções sobre Vetores
Ponto médio de um segmento
O ponto médio do segmento de reta P1(x1,y1) a P2(x2,y2) é dado por:
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
M (x,y)
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Noções sobre Vetores
Exemplo
Determine o ponto médio M do segmento P1(-2,3) a P2(4,-2). 
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Noções sobre Vetores
Produto vetorial
Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o produto vetorial tem como resultado, um outro vetor. 
Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3. Seu produto vetorial é o vetor x definido por:
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Noções sobre Vetores
Produto vetorial
A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma:
Exemplo:
Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:
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Noções sobre Vetores
Produto vetorial
O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0
 Por outro lado,
 î x j = k;
 j x k = î;
 k x î = j. 
 
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Noções sobre Vetores
Norma do produto vetorial
Vimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do paralelogramo formado por esses vetores.
 
u x v
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Noções sobre Vetores
Norma do produto vetorial
Quando dois vetores forem paralelos no plano, então não há ângulo entre eles. Neste caso, em que = λ. , o produto vetorial x = 0.
Já que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor perpendicular aos vetores originais, como saber a orientação desse vetor? Em outras palavras: para onde ele aponta?!
  
 
Uma regra prática conhecida como “regra da mão direita” estabelece que se posicionarmos o indicador da mão direita na direção e sentido do vetor u e o dedo médio na direção e sentido de v , o polegar apontará o sentido do terceiro vetor. 
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Noções sobre Vetores
Exemplo-1
Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e AD=(2,1,4). 
	
Área = || AB x AD ||
 AB x AD = 
B
C
D
A
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Noções sobre Vetores
Exemplo-1) continuação
|| AB x AD || = 
Exemplo-2
A medida em radianos do ângulo entre e é . 
Sendo || ||=1 e || ||=7, calcule || x ||. 
 || x || = || ||.|| ||. sen
 = 1 . 7 . sen
 = 1 . 7 . 0,5
 = 3,5
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Noções sobre Vetores
Produto misto
 Considere os vetores , e . O produto misto é o número real obtido como resultado da seguinte operação:
	
  
O volume do paralelepípedo é dado por :
 
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Noções sobre Vetores
Exemplo
Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos seguintes vetores: 
 = (2,2,0); = (0,1,0) e = (-2,-1,-1)
 
 mas, h=||proj || 
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