Movimento em 2 dimensoes

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Laboratório de Mecânica.
Gian Hoflinger, Nicolas Konig, Vinicius Reis.
Curso de Engenharia Física – Universidade Federal de Integração Latino-Americana. 
PTI – Jardim Itaipu – 85867-900 – Foz do Iguaçu – PR – Brasil 
e-mail: ehv.6226@hotmail.com 
Movimento de Projéteis
	Este trabalho foi realizado com o objetivo de estudar a cinemática de um projétil disparado por um lançador experimental. Pudemos analisar a independência entre os movimentos horizontal e vertical, calcular o alcance em função da velocidade inicial e do tempo e também estudamos a relação do alcance com o ângulo de lançamento.
Introdução
O movimento de um projétil é um caso especial de movimento bidimensional onde uma partícula se move em um plano vertical com uma velocidade inicial v0 e com aceleração constante igual a –g.
Figura 1: Análise bidimensional do movimento de um projétil.
Nessa situação podemos analisar independentemente os movimentos horizontal e vertical. O vetor v0 pode ser decomposto em v0x e v0y:
Podemos obter então as equações de posição para os dois movimentos:
O tempo que o projétil leva para atingir o solo (tempo de alcance) pode ser encontrado através da relação:
Substituindo tA na equação do movimento horizontal, podemos encontrar o Alcance da partícula em x:
Usando a relação: 2 sen θ.cos θ = sen 2θ:
Procedimento experimental
Para realizar o experimento, foi utilizado um lançador com seu funcionamento baseado na compressão de uma mola e para realizar a leitura dos dados de velocidade inicial e tempo, utilizamos o software Pasco Capstone.
Primeiramente, o lançador foi colocado a uma altura de 40 cm em relação ao sensor que para a contagem do tempo de voo do projétil. O lançador foi ajustado para atirar horizontalmente, em um ângulo de exatamente zero graus.
O projétil foi então encaixado no orifício de lançamento e a mola comprimida em sua deformação máxima (a mola possui três estágios de compressão). O projétil foi disparado e a distancia do alcance foi medida, nesse local foi colocado o sensor que para a contagem de tempo.
Após medir o alcance, foi realizado um novo disparo, com os sensores ligados e com o software gravando os dados do movimento. Pudemos então fazer a leitura dos valores de velocidade inicial e tempo de voo. O procedimento foi repetido três vezes e os dados obtidos registrados em uma tabela.
No segundo procedimento, o lançador foi colocado na mesma altura do sensor, de forma com que o movimento do projétil fosse semelhante ao que é representado na Figura 1. Os disparos foram feitos utilizando o primeiro estágio de compressão e com ângulos de 25, 45 e 65 graus. Os valores de alcance, tempo de voo e velocidade inicial (v0x) foram anotados em uma tabela.
Resultados e discussão
No primeiro procedimento, onde o projétil foi lançado horizontalmente, a altura inicial do lançador foi de 0,4 m e o alcance medido foi de 1,65 m. Podemos calcular o tempo de voo com os valores de altura e aceleração da gravidade (pois os movimentos horizontal e vertical são independentes):
A Tabela 1 mostra os valores de tempo de voo e velocidade inicial (v0x) obtidos através do software, e o valor do alcance, obtido através da relação x – x0 = v0x.t.
	Δx (m)
	t (s)
	v0x (m/s)
	1,658
	0,283
	5,84
	1,647
	0,283
	5,82
	1,655
	0,283
	5,83
Tabela 1: Dados do procedimento 1.
A partir da Tabela 1, podemos observar que os valores experimentais de tempo de voo e alcance concordam com os valores esperados.
No procedimento 2, os valores de alcance e de tempo de voo variam junto com o valor do ângulo de lançamento, a Tabela 2 apresenta os valores de tempo de voo e velocidade inicial (v0x) obtidos através do software, e os valores do ângulo de lançamento e alcance (medido experimentalmente)
	θ 
	Δx (m)
	t (s)
	v0 (m/s)
	25
	0,82
	0,273
	3,28
	45
	1,07
	0,472
	3,21
	65
	0,83
	0,616
	3,17
Tabela 2: Dados do procedimento 2.
Com os dados da velocidade inicial e com o valor do ângulo de lançamento apresentados na Tabela 2, podemos calcular o alcance teórico a partir da equação: 
A Tabela 3 apresenta os valores teóricos calculados com a relação anterior:
	θ 
	v0 (m/s)
	Δx (m)
	25
	3,28
	0,80
	45
	3,21
	1,05
	65
	3,17
	0,80
Tabela 3: Valores teóricos de alcance.
A partir da Tabela 3, vemos que os valores de alcance calculados teoricamente concordam com os valores medidos experimentalmente.
Podemos ainda construir um gráfico com os valores da Tabela 2 para constatar o comportamento parabólico do alcance em função do ângulo de lançamento:
Gráfico 1: Comportamento parabólico do alcance em função do ângulo de lançamento.
Conclusões
 Com o auxílio do lançador experimental e do software Pasco Capstone, pudemos estudar a cinemática de um projétil lançado em duas situações diferentes. 
 Primeiramente, pudemos analisar a independência entre os movimentos horizontal e vertical e calculamos o alcance do projétil a partir das relações estudadas. 
 Na segunda parte do experimento, analisamos como o alcance varia com o ângulo de lançamento e pudemos identificar um comportamento parabólico no gráfico construído com os dados obtidos.
Referências
1. Alaor Chaves, Física básica, Vol. 1: Mecânica. LTC, 2007.
2. H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica, Vol. 1: Mecânica. Edgard Blücher, 1996.
3. Halliday, Resnick Walker; Fundamentos da Física, Vol. 1. LTC, 2009.