Relatório - Dilatação linear

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE FÍSICA II
DILATAÇÃO LINEAR
 
MARINGÁ - PARANÁ
26/11/2013
1. RESUMO	
O objetivo deste experimento foi obter o coeficiente de dilatação linear de uma barra metálica e identificar o material que é feito a barra. O experimento baseava-se em esquentar a barra pela fonte de tensão DC e anotava-se a variação de comprimento da barra, dado pelo relógio comparador. Com os dados anotados, e com o gráfico de , foi possível determinar o coeficiente de dilatação linear do tubo metálico. A reprodução do experimento estava fundamentada nas equações a seguir:
 (Equação 1.1)
Para acharmos a temperatura em , utilizamos a equação 1.2:
 (Equação 1.2)
2. INTRODUÇÃO GERAL
	Um dos principais ramos da física e da engenharia é a termodinâmica, o estudo das leis que regem a relação entre calor, trabalho e outras formas de energia. A ciência da termodinâmica começou com uma análise, pelo grande engenheiro Sadi Carnot (1796-1832), do problema de como construir a melhor e mais eficiente máquina, e isto constitui um dos poucos casos famosos nos quais a engenharia contribuiu fundamentalmente para a teoria física.
	Os resultados da termodinâmica estão todos contidos implicitamente em certas afirmações aparentemente simples chamadas as leis termodinâmicas. No tempo em que viveu Carnot, a primeira lei da termodinâmica, a conservação de energia, não era conhecida. Os argumentos de Carnot foram tão cuidadosamente traçados que eles são válidos mesmo embora a primeira lei não fosse conhecida naquele tempo.
	A lei zero afirma que se dois corpos A e B estão separadamente em equilíbrio térmico com um terceiro corpo C, A e B estão em equilíbrio térmico entre si, a primeira lei é a lei de conservação de energia para os processos termodinâmicos e pode ser escrita na forma ΔEint = Q – W, a segunda lei trata da entropia e afirma que se um processo ocorre em um sistema fechado, a entropia do sistema aumenta para processos irreversíveis e permanece constante para processos reversíveis.
	Um dos conceitos que a termodinâmica engloba é a dilatação térmica dos materiais com o aumento de temperatura, que deve ser levada em conta em muitas situações da vida prática. Quando uma ponte está sujeita a grandes variações de temperatura ao longo do ano, por exemplo, é dividida em trechos separados por juntas de dilatação. O material usado nas obturações dentárias deve ter as mesmas propriedades de dilatação térmica que o dente, para que o paciente possa beber um café quente depois de um sorvete sem sofrer consequências desagradáveis.
	Em geral os corpos se dilatam quando aquecidos, como acontece com uma haste de ferro ou com o mercúrio no interior de um termômetro. Alguns materiais, ao contrário, se contraem quando aquecidos, como acontece com a borracha. A água quando aquecida, se dilata quando estiver acima de quatro graus Celsius e se contrai se estiver abaixo desta temperatura, é por isso, por exemplo, que a água de lagos e oceanos congelam primeiro na superfície, possibilitando que formas de vida sobrevivam sob a camada de gelo. São estes e outros fatores que tornam tão importante o estudo da dilatação térmica dos materiais.
3. OBJETIVOS
Determinar experimentalmente o coeficiente de dilatação linear de uma barra metálica.
Identificar de qual material a mesma é feita.
4. INTRODUÇÃO TEÓRICA
 
4.1 Medidas e Erros
	Sempre que se realiza um experimento, podem ocorrer erros de diversas espécies, que são classificados em:
	Erros Grosseiros: proveniente da falta de prática do experimentador; erros de leitura.
	Erros Sistemáticos: ocorrem sempre num mesmo sentido, como atraso ou antecipação ao acionar um cronômetro; erro de paralaxe ou erro de calibração.
	Erros de flutuação: decorrem de fatores imprevisíveis.
	Dessa maneira, quando se expressa uma medida qualquer, coletada de um experimento, ela não tem sentido se não for expressa juntamente com o seu possível erro, uma vez que não é totalmente seguro que a medida seja exatamente a que se obteve.
	Existem diferentes maneiras de representar esse erro, dependendo do tipo de medida que se têm:
	Medida direta: É a medida obtida diretamente do instrumento de medida (leitura). Ex: Altura, tempo.
	Medida direta de uma única medida: Quando somente uma leitura é suficiente. Ex: Altura de uma mesa.
	Medida direta de várias medidas: Quando se quer diminuir a imprecisão de uma medida e realizam-se várias medidas da mesma grandeza. Ex: tempo de queda de um corpo.
	Medida Indireta: É quando uma medida é obtida com o auxílio de uma equação, uma operação matemática. Ex: determinação da velocidade, que é obtida com uma divisão entre duas grandezas: espaço percorrido e tempo.
	De acordo com a Teoria dos Erros a variável estatística para uma única medida denomina-se incerteza, e corresponde ao desvio fornecido pelo próprio fabricante do instrumento. Se esse desvio não for informado deve-se utilizar como parâmetro a metade da menor subdivisão que o equipamento propicia. Quando se tem várias medidas é necessário realizar a média entre elas (que será o valor mais provável da medida) pela equação 
 (Equação 4.1.1)
e calcular a variável estatística que denomina-se desvio. Existem várias formas de representar esse desvio (absoluto, médio, relativo, quadrático), mas os desvios mais comumente utilizados e nesses experimentos são o desvio padrão, dado pela equação:
 (Equação 4.1.2)
	Válida apenas para quando se tem menos de 100 medidas.
	E também o desvio percentual dado por:
 (Equação 4.1.3)
	Finalmente, depois de obter a variável estatística para cada tipo de medida podemos expressá-la como:
X = ( ± σx) unidade (Equação 4.1.4)
	No caso de medidas indiretas precisamos levar em conta a Teoria de propagação de erros que diz, em síntese, que um erro sempre tende a se propagar, nunca diminuindo. 
	Para obter o desvio de medidas indiretas, aplicamos logaritmo neperiano (ln) em toda a equação e consideramos que:
 (Equação 4.1.5)
	Na aplicação das propriedades de ln teremos uma peculiaridade no caso de uma divisão. Originalmente a propriedade consiste em 
ln v = ln ln v = ln x – ln t (Equação 4.1.6)
	O sinal negativo (-) passa a ser positivo (+), uma vez que o erro nunca diminui, segundo a teoria acima citada.
	Ainda quando se trata de representar a medida, deve-se levar em conta a utilização de algarismos significativos, utilizando sempre a representação com o menor número de casas decimais possível, sendo que a medida deve ter a mesma quantidade de casas decimais do seu respectivo desvio, mesmo que para isso seja necessário o arredondamento (no qual para números menores do que 5, arredonda-se para baixo e maiores ou iguais a 5, arredonda-se para cima).
4.2. Gráficos
	Um gráfico representa a relação entre duas ou mais grandezas físicas, onde uma delas é a causa e a outra o efeito. Na construção do gráfico devemos colocar a variável dependente no eixo das ordenadas e a variável independente no eixo das abscissas, além disso, as grandezas correspondentes devem estar devidamente expressas nos eixos com suas respectivas unidades. Para uma boa confecção de gráfico, que permita que o mesmo fique organizado no papel, existem alguns artifícios que devem ser utilizados, um desses é ó módulo de escala, que ajuda a distribuir melhor o gráfico sobre o papel milimetrado. O módulo de escala consiste na seguinte relação:
	Logo, multiplicamos o valor obtido por cada valor experimental obtido e aplicamos ao gráfico. (o módulo de escala não é necessário quando se usa o papel dilog)
	Outro artifício muito importante é o chamado ajuste de reta, que é utilizado nos casos em que os pontos do gráfico não ficam completamente alinhados, ainda que o gráfico seja linear. Assim para realizar esse ajuste utiliza-se do “método dos mínimos quadrados”, nesse método consideramos umaequação do formato y = a +bx 
	E podemos encontrar os coeficientes a e b pelas equações:
 
 
	Onde n = é o número de medidas coletadas. 
	A Linearização deve ser utilizada no caso dos gráficos cujo comportamento não é linear, ou seja, naqueles em que o gráfico não é uma reta. Existem duas formas de linearizar um gráfico, sendo via papel milimetrado e via papel dilog. Após linearizar uma determinada curva é necessário saber qual a equação da reta que a representa, uma vez que essa equação nos fornece parâmetros físicos, e nos permite traçar a melhor reta experimental, não sendo uma reta a mão livre. O método mais utilizado para encontrar essa equação é utilizando-se da regressão linear. 
	Consideramos que existe uma proporcionalidade entre os dados da ordenada e os dados das abscissas, sendo essa representada por y ∝ xn 
	Este símbolo pode ser substituído por um sinal de igualdade e uma constante de proporcionalidade (C), ficando com a seguinte equação:
 y = C xn 
	Pelo papel milimetrado a potência n na equação acima será obtido observando o comportamento do gráfico. E independentemente do seu valor, o gráfico deve se tornar uma reta, para isso devem se utilizar dos artifícios necessários. A constante de proporcionalidade (C ) corresponde ao coeficiente b que pode ser encontrado a partir da equação 11.
	Pelo papel dilog a potência n da equação 12 pode ser encontrada pela expressão
 n = 
e a constante de proporcionalidade (C) corresponde a y, quando x= 1
4.3. DILATAÇÃO LINEAR
	A dilatação corresponde a um aumento do espaçamento interatômico médio. Assim, num corpo sólido, se dois de seus pontos estão inicialmente à distância L, a variação ΔL dessa distância é proporcional a L. Para uma variação de temperatura ΔT suficientemente pequena, é também proporcional a ΔT. Logo:
ΔL = LαΔT (Equação 4.3.1)
Onde α é uma constante chamada coeficiente de dilatação linear. A unidade do coeficiente α é o ºC-1 ou K-1. Vemos que α = (ΔL/L)/ΔT representa a variação percentual de comprimento (ΔL/L) por unidade de variação de temperatura. Embora α varie em geral com a temperatura, podemos, para fins práticos, desprezar esta variação (enquanto não nos aproximamos demasiado do ponto de fusão do sólido). 
	Para sólidos anisotrópicos, ou seja, aqueles cujas propriedades variam com a direção, como acontece com cristais, o coeficiente de dilatação linear assume valores diferentes em direções diferentes. Para um corpo isotrópico, α é independente da direção.
A Tabela 4.3.1 mostra os coeficientes de dilatação linear de alguns materiais.
Tabela 4.3.1 – Alguns coeficientes de dilatação linear.
	Substância
	α (10-6 ºC-1)
	Gelo (a 0ºC)
	51,0
	Chumbo
	29,0
	Alumínio
	23,0
	Latão
	19,0
	Cobre
	17,0
	Concreto
	12,0
	Aço
	11,0
	Vidro (comum)
	9,0
	Vidro (Pyrex)
	3,2,0
	Diamante
	1,2
	Quartzo fundido
	0,5
	A dilatação térmica de um sólido é como a ampliação de uma fotografia, exceto pelo fato de que ocorre em três dimensões.
4.3.1. PT-100
 O termômetro de resistência utilizado para a medição de temperatura, foi feito a partir do metal platina, que apresenta uma ampla escala de temperatura, uma alta resistividade, alto coeficiente de variação de resistência com a temperatura. O PT-100 apresenta uma resistência a e é a resistência a , o coeficiente de temperatura é , obtido pela equação a seguir:
 (Equação 4.3.1.1)
4.3.2. RESISTENCIA ELETRICA DE METAIS
Neste experimento, a barra na qual utilizaremos possui resistência elétrica que se refere no grau de dificuldade que um metal possui quando nesta é passada a corrente elétrica. A resistência elétrica e a temperatura se relacionam pela equação de Callendar – Van Dunsen:
 (Equação 4.3.2.1)
Com a faixa de temperatura de e para faixa de ,
 (Equação 4.3.2.2)
Como as resistências elétricas de metais variam quase de uma forma linear, escrevemos a equação da seguinte forma:
 (Equação 4.3.2.4)
Isolando T, obtemos:
 (Equação 4.3.2.5)
Sabendo que, é a resistência a e , é o valor obtido a partir do experimento. Utilizamos esta equação para transformar os valores em Ω para .
5. DESENVOLVIMENTO EXPERIMENTAL
5.1. MATERIAIS UTILIZADOS
Dilatômetro linear;
Fonte de tensão CC;
Multímetro;
Trena;
5.2. MONTAGEM EXPERIMENTAL
5.3. DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO
	Posicionou-se o tubo metálico até que o mesmo entrasse em contato com o relógio comparador, regulando o parafuso situado na parte superior do suporte. Logo após zerou-se o relógio comparador, liberando o parafuso lateral e girando a parte superior externa do relógio.
	Mediu-se com a trena o comprimento inicial (L0) da barra. Conectaram-se então, os fios do PT100 no multímetro, selecionando a escala de ohms (Ω) e anotou-se o valor da resistência fornecida pelo multímetro.
	Conectou-se o fio do tubo metálico a fonte de tensão DC, tomando o cuidado de zerá-la previamente. Já com todos os equipamentos conectados, aumentou-se a tensão na fonte geradora até 10 V, observou-se o multímetro até que atingisse 112 Ω, anotando o valor da dilatação indicada no relógio comparador, procedendo da mesma forma para o valor de 114 Ω, aumentou-se então a tensão para 15 V. Aferiram-se os valores de ΔL para o intervalo entre 116 Ω e 120 Ω. Ajustou-se a tensão para 25 V anotando-se os valores para as demais medidas.
	Feitas as medidas, zerou-se e desligaram-se os equipamentos.
5.4. DADOS OBTIDOS EXPERIMENTALMENTE
Tabela 5.4.1 – Valores obtidos durante o aquecimento do tubo metálico que compõe o dilatômetro.
	Medida
	V(V)
	Resistência R (Ω)
	ΔL (µm)
	1
	0,0±0,1
	109,2±0,1
	0±5
	2
	10,0±0,1
	112±0,1
	80±5
	3
	10,0±0,1
	114±0,1
	140±5
	4
	15,0±0,1
	116±0,1
	210±5
	5
	15,0±0,1
	117±0,1
	240±5
	6
	15,0±0,1
	118±0,1
	260±5
	7
	15,0±0,1
	120±0,1
	330±5
	8
	20,0±0,1
	122±0,1
	400±5
	9
	20,0±0,1
	124±0,1
	460±5
	10
	20,0±0,1
	126±0,1
	530±5
	11
	20,0±0,1
	128±0,1
	590±5
	12
	25,0±0,1
	130±0,1
	660±5
	13
	25,0±0,1
	132±0,1
	750±5
	L0 = (55,50±0,05) cm
5.5. INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS
Tabela 5.5.1 – Dados da temperatura para cada valor obtido no ohmimetro.
	Medida
	ΔL (µm)
	T (ºC)
	1
	0±5
	23,40±0,38
	2
	80±5
	31,20±0,40
	3
	140±5
	36,40±0,40
	4
	210±5
	41,50±0,40
	5
	240±5
	44,10±0,40
	6
	260±5
	46,70±0,41
	7
	330±5
	51,90±0,41
	8
	400±5
	57,10±0,41
	9
	460±5
	62,30±0,42
	10
	530±5
	67,50±0,42
	11
	590±5
	72,70±0,42
	12
	660±5
	77,90±0,43
	13
	750±5
	83,10±0,43
Figura 5.5.1 – Gráfico ΔL (µm) x T (ºC), obtido com os dados da tabela 5.5.1.
	
	Para o gráfico da Figura 5.5.1, temos que:
T α ΔL (Equação 5.5.1)
	Portanto:
T = C ΔL (Equação 5.5.2)
	Comparando a equação 5.5.2 com a equação apresentada na Figura 5.5.1, nota-se que:
C = 0,08002 ºC/µm = 80020 ºC/m
	O outro termo da equação na Figura 5.5.1 (24,9 ºC), refere-se à temperatura inicial da barra.
	Fazendo uma análise dimensional na equação 5.5.2, a dimensão de C é [T][L]-1. Então:
 (Equação 5.5.3)
	Observando a equação 4.3.2, fica claro que o termo ΔL/ΔT é igual a 1/C, e a equação (4.3.2) fica:
 (Equação 5.5.4)
	A equação de propagação de erro para a equação 4.3.2 é:
 (Equação 5.5.5)
	Utilizando-se a equação 5.5.4 obtém-se que o coeficiente de dilatação linear da barra metálica, e com a equação 5.5.5 calcula-se a incerteza na medida:
α = (22,52±0,06)10-6 ºC-1
	Comparando este resultado com a Tabela 4.3.1, conclui-se que o material de que é feita a barra metálica é o alumínio.
6. ANÁLISE DOS RESULTADOS
	O desvio percentual de α com relação ao valor teórico é de 2%, e o seu desvio relativo é 0,27%. Como o desvio relativo é pequeno e comparando com a Tabela 4.3.1 é plausível afirmar que o material de que é feita a barra metálica é o alumínio, os fatores que podem ter influenciado α são possíveis impurezase/ou outros metais misturados ao alumínio e, como a fonte DC não gera uma corrente constante, a resistência não varia uniformemente, então o aquecimento e, consequentemente, a dilatação não são totalmente uniformes, influenciando as medidas.
	Com relação à equação da Figura 5.5.1, o valor (24,9±0,4) ºC é o valor correspondente à temperatura inicial da barra, com um desvio de 6% em relação à temperatura inicial medida.
7. CONCLUSÃO
 Diante do que foi exposto neste relatório, podemos concluir que o coeficiente de dilatação linear encontrado na barra metálica foi de . Comparando-o, com os valores aferidos na tabela(), temos como coeficiente de ‘dilatação linear mais próximo ao encontrado o coeficiente do alumínio, que é de . Ou seja, a barra metálica que utilizamos no experimento é feita de alumínio.
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] HALLIDAY, D.; RESNICK, J. W. Fundamentos de Física: Gravitação, Ondas e Termodinâmica. Vol. 2. 8ª edição. Rio de Janeiro, RJ. Editora LTC, 2009.
[2] NUSSENZVEIG, H. M.. Curso de Física Básica 2. Vol. 2. 4ª edição. São Paulo, SP. Editora Edgard Blücher, 2002.
[3] Mukai H.; Fernandes P. R. G.. Manual de laboratório de física I – Departamento de Física – Universidade Estadual de Maringá, 129-141, (2013).
[4] FEYNMAN R. P; LEIGHTON R. B.; SANDS M. Lições de física de Feynman. Vol 1. Edição definitiva. Porto Alegre, RS. Editora Bookman, 2008.
[5] OLIVEIRA M. J. Termodinâmica. Vol 1. 1ª Edição. São Paulo, SP. Editora Livraria da Física, 2005. Disponível em: http://books.google.com.br/books?id=sneRJDSuC-QC&printsec=frontcover&dq=termodin%C3%A2mica&hl=pt-BR&sa=X&ei=3beYUuCMLsS2kQe4uIC4Ag&ved=0CDEQ6AEwAA#v=onepage&q=termodin%C3%A2mica&f=false. Acesso em: 20/11/2013.