02_O Ponto_2014.2

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
Campus Caraúbas 
Disciplina: Expressão Gráfica 
 
O Ponto 
Prof. Aécio Pereira 
2.1. Introdução: 
 A geometria descritiva (GD) é um ramo da geometria que tem 
como objetivo representar objetos de três dimensões em um plano 
bidimensional (épura); 
 Foi desenvolvida por Gaspard Monge sendo chamada de 
geometria mongeana ou método de monge; 
 A GD serve como base teórica para o desenho técnico, permitindo 
a construção de vistas auxiliares, cortes, rebatimentos e 
interseções de planos e sólidos; 
 Na GD estudam-se a representação das partes elementares de um 
objeto (ponto, reta e plano); 
 Onde há planejamento, projeto e representação gráfica, aí está a 
GD. 
 
2. O ponto 
2.2.1. As principais formas de projetar uma figura em um plano 
são: 
Utilizando um sistema de projeção central (cônica); 
Utilizando um sistema de projeção cilíndrica. 
2.2. Sistemas de Projeção 
2. O ponto 
2.2.2. Elementos de projeção: 
2.2. Sistemas de Projeção 
2. O ponto 
2.2.3. Projeção cônica: é obtida quando o centro de projeção está a 
uma distância finita do plano de projeção. 
2.2. Sistemas de Projeção 
2. O ponto 
2.2.4. Projeção cilíndrica ou paralela: é obtida quando o centro de 
projeção está a uma distância infinita do plano de projeção. 
2.2. Sistemas de Projeção 
2. O ponto 
a) oblíqua: quando a direção das projetantes forma um ângulo 
oblíquo com o plano de projeção. 
b) ortogonal: quando a direção das projetantes forma um ângulo de 
90º com o plano de projeção. 
2.2.4. Projeção cilíndrica 
2. O ponto 
Os objetos são diferentes, 
mas observe que quando 
são projetados no plano, 
suas projeções coincidem. 
2.3. Sistema mongeano de Projeção 
2. O ponto 
2.3. Sistema mongeano de Projeção 
As projeções no PLANO VERTICAL são diferentes das projeções no 
PLANO HORIZONTAL, isto faz com que os objetos fiquem melhor 
definidos. 
2. O ponto 
2.4. O Espaço: 
 a) Planos de projeção principais 
 Plano projeção horizontal (π); 
 Plano de projeção vertical (π’). 
2. O ponto 
2.4. O Espaço: 
 b) Semi-planos de projeções 
 Semi-plano horizontal anterior (πA); 
 Semi-plano horizontal posterior (πP); 
 Semi-plano vertical superior (π’S); 
 Semi-plano vertical inferior (π’I); 
 
2. O ponto 
2.4. O Espaço: 
c) Diedros: regiões compreendidas entre os semi-planos. 
 Primeiro diedro (1ºd): região entre SPHA e SPVS; 
 Segundo diedro (2ºd): região entre SPHP e SPVS; 
 Terceiro diedro (3ºd): região entre SPHP e SPVI; 
 Quarto diedro (4ºd): região entre SPHA e SPVI; 
 
2. O ponto 
2.5. Conceito de ponto: 
 Interseção entre duas retas; 
 Um pingo no “i”; 
 Um ponto do lápis; etc. 
 É uma entidade matemática sem dimensões; 
2. O ponto 
 Geometricamente, pode-se dizer que é uma entidade localizada 
no espaço definida através de suas coordenada descritivas. 
 
 (P) = [ x; y; z] 
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Numericamente: 
(A) [x; y; z] 
2. O ponto 
a) Afastamento: é a posição da projeção horizontal em relação a linha 
de terra. Se for medido no SPHA (πA) é positivo [y > 0]; se for 
medido no SPHP (πP) é negativo [y < 0]. 
2. O ponto 
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
b) Cota: é a posição da projeção vertical em relação a linha de terra. 
Se for medida no SPVS (π’S) é positiva [z > 0]; se for medida no 
SPVI (π’I) é negativa [z < 0]. 
2. O ponto 
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
c) Abcissa: é a posição da projeção do ponto na linha de terra. Se for 
medida à direita da origem é positiva, [x > 0]; se for medida à 
esquerda da origem é negativa [x < 0]. 
2. O ponto 
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
 Um ponto localizado no 1º diedro: 
Coordenadas: 
(A) [x(A); y(A) > 0; z(A) > 0] 
2. O ponto 
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas: 
(B) [x(B); y(B) < 0; z(B) > 0] 
2. O ponto 
 Um ponto localizado no 2º diedro: 
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas: 
(C) [x(C); y(C) < 0; z(C) < 0] 
2. O ponto 
 Um ponto localizado no 3º diedro: 
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas: 
(D) [x(D); y(D) > 0; z(D) < 0] 
2. O ponto 
 Um ponto localizado no 4º diedro: 
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas: 
(E) [x(E); y(E) > 0; z(E) = 0] 
2. O ponto 
 Um ponto situado no (πA): 
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas: 
(F) [x(F); y(F) < 0; z(F) = 0] 
2. O ponto 
 Um ponto situado no (πP): 
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas: 
(G) [x(G); y(G) = 0; z(G) > 0] 
2. O ponto 
 Um ponto situado no (π’S): 
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
Coordenadas descritivas: 
(H) [x(H); y(H) = 0; z(H) = 0] 
2. O ponto 
 Um ponto situado em π’π (Linha de terra): 
2.6. Coordenadas descritivas de um ponto: 
2.7. Épura: 
 Figura plana obtida a partir da superposição dos planos de 
projeção horizontal e vertical. 
 Gira-se o plano horizontal para cima do vertical no sentido 
horário. 
2. O ponto 
2.8. Coordenadas descritivas de um ponto em épura: 
2. O ponto 
 Abcissa: Escolhe-se uma origem qualquer, O, e mede-se a 
abcissa a partir dela; 
 Afastamento: medido acima, abaixo ou coincidindo com a linha 
de terra; 
 Cota: medida acima, abaixo ou coincidindo com a linha de terra. 
2.9. Representação de um ponto em épura: 
Coordenada 1º d 2º d 3º d 4º d 
Abcissa 
Afastamento 
Cota 
2. O ponto 
2.9. Representação de um ponto em épura: 
Coordenada (πA) (πp) (π’s) (π’I) 
Abcissa 
Afastamento 
Cota 
2. O ponto 
2.10. Planos bissetores: 
 São planos de projeção auxiliares, dispostos de uma 
forma tal que divide o ângulo formado por dois semi-planos ao 
meio (45º). 
a) Bissetor impar (βI): plano que passa pelos 1º e 3º diedros 
dividindo-os em duas regiões exatamente iguais. 
b) Bissetor par (βP): plano que passa pelos 2º e 4º diedros dividindo-
os em duas regiões exatamente iguais. 
2. O ponto 
2.10. Planos bissetores 
2. O ponto 
2.11. Coordenadas de pontos nos bissetores e suas 
representações em épura. 
a) Bissetor impar (βI): 
 Afastamento e cota iguais (y = z); 
 Em épura as projeções horizontal e vertical são simétricas em 
relação a linha de terra. 
2. O ponto 
b) Bissetor par (βP): 
 Afastamento e cota são simétricos (y = -z); 
 Em épura as projeções horizontal e vertical são coincidentes. 
2. O ponto 
2.11. Coordenadas de pontos nos bissetores e suas 
representações em épura. 
2.12. Simetria de dois pontos 
a) Conceito: 
 Dois pontos são simétricos em relação a um plano, quando o 
segmento de reta que os une é ortogonal ao plano (pontos com 
mesma abcissa) e os pontos equidistam deste plano. 
2. O ponto 
b) Simetria em relação a (π): 
 
 Mesmas abcissas (x(A) = x(B)) 
 Mesmos afastamentos (y(A) = y(B)) 
 Cotas simétricas (z(A) = - z(B)) 
2. O ponto 
2.12. Simetria de dois pontos 
b) Simetria em relação a (π’): 
 Mesmas abcissas (x(A) = x(B)) 
 Afastamentos simétricos (y(A) = - y(B)) 
 Mesmas cotas (z(A) = z(B)) 
2. O ponto 
2.12. Simetria de dois pontos 
c) Simetria em relação a (π’ π): 
 Mesmas abcissas (x(A) = x(C)) 
 Afastamentos simétricos (y(A) = - y(C)) 
 Cotas simétricas (z(A) = - z(C)) 
2. O ponto 
2.12. Simetria de dois pontos 
d) Simetria em relaçãoao (βI): 
 
Obs.: as projeções de nomes 
contrário são simétricas. 
 Mesmas abcissas (x(A) = x(B)) 
 Afastamentos e cotas trocados 
 y(A) = z(B) e z(A) = y(B)) 
2. O ponto 
2.12. Simetria de dois pontos 
e) Simetria em relação ao (βP): 
 
 Mesmas abcissas (x(A) = x(B)) 
 Afastamentos e cotas trocados e de sinais contrários 
 y(A) = - z(B) e z(A) = - y(B) 
Obs.: as projeções 
de nomes contrário 
são coincidentes. 
2. O ponto 
2.12. Simetria de dois pontos 
2. O ponto 
2.10. Exercícios pag.’ 32( Responder os itens 1 – 5) 
1) Representar por suas projeções os seguintes pontos: 
(A) [2;3;1] (B) [4;-2;5] (C) [6;-4;-2,5] (D) [8;3;-1] 
(M) [10;4;?] situado em (p) (N) [12;?;3,5] situado em (p’) 
(X) [18; ?;?] situado em p’p (Y) [20;4;?] situado em (bI) 
(Z) [22; ?;-4] situado em (bP) 
(obs.; todos os pontos) 
 
 
 
 
 
2. O ponto 
2.10. Exercícios pag.’ 32( Responder os itens 1 – 5) 
 
 
2) Construir a épura dos pontos (A), (B), (C), (D) e (E) sabendo-se que: 
(A) é simétrico de (M) [4;2;4] em relação ao (p); 
(B) é simétrico de (N) [8;-3;-2] em relação ao (p’); 
(C) é simétrico de (P) [12;5;-3] em relação a p’p; 
(D) é simétrico de (Q) [16;4;2] em relação ao (bP); 
(E) é simétrico de (R) [20;-4;-6] em relação ao (bI); 
 
 
 
 
 
 
2. O ponto 
2.13. Exercícios 
 
3) O ponto (C) [4;2;-5] é simétrico de (B) em relação a (p), e este ponto é 
simétrico de (A), em relação ao (bI). Das as coordenadas do ponto (A) 
 
4) Ler as épuras dos pontos de 1 a 11 do exercício 1. 
 
5) Construir e ler as épuras dos seguintes pontos: 
(A) [4;4;0] (B) [6;0;-5] (C) [8;0;0] (D) [10;-5;0] 
(E) [12;4;-4] (F) [14;3;3] (G) [16;-5;5] (H) [18;-2;-2] 
(I) [20; 0;5] 
OBSERVAÇÃO: Utilizar uma só linha de terra