1.1 MMC e MDC

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MÚLTIPLOS E DIVISORES
Múltiplos: 
A palavra “múltiplo” vem de multiplicação. Em uma multiplicação, o produto (o resultado da 
multiplicação) é sempre múltiplo de cada um dos fatores. 
Por exemplo, 2 x 8 = 16, então 16 é múltiplo de 2 e de 8; 3 x 45 = 135, então 135 é múltiplo de 3 e 
de 45.
Para encontrarmos o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicá-lo pela sucessão de 
números naturais. O conjunto dos múltiplos de um número natural diferente de zero é infinito.
Então o conjunto dos múltiplos de 12 pode ser representado por M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 
84, 96, 108, 120, 132,...}. Como o conjunto dos números naturais é infinito, se você continuar 
multiplicando o número 12 por todos os elementos deste conjunto obterá um conjunto também 
infinito. 
Fatores: 
Em uma sala de aula há 20 alunos e deseja-se distribuí-los em grupos menores de forma que nenhum 
de fique sem grupo. As possibilidades de formar grupos em que todos tenham o mesmo número de 
elementos são mostradas na tabela:
Número de grupos Número de alunos
1 20
2 10
4 5
5 4
10 2
20 1
Outro exemplo: os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 são fatores do número natural 60, 
pois a divisão inteira de 60 por qualquer destes números apresenta resto zero, ou seja, é exata. Assim 
podemos afirmar que 12 é divisor de 60 e 60 é divisível por 12.
Dados dois números naturais a e b, dizemos que a é divisor de b se existir um número natural c tal 
que a.c = b. Nestas condições, podemos dizer ainda que a divide b e que b é múltiplo de a ou que b é 
divisível por a. Usando a linguagem matemática: 
a b c ⎢ ⇔ ∃ ∈ N | a.c = b
lê-se: “a divide b se e somente se existe c pertencente ao conjunto dos naturais tal que a.c = b”.
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Critérios de divisibilidade: 
Critérios de divisibilidade são regras simples que permitem verificar se determinado número inteiro 
A é múltiplo de um inteiro B, baseando-se em propriedades da sua representação decimal. A seguir 
estão apresentados alguns critérios de divisibilidade (regras práticas) para números inteiros de 2 até 
12. Outros números naturais também têm regras de divisibilidade. Obs.: todo número inteiro é
divisível por 1.
Divisibilidade por 2: um numero natural é divisível por 2 quando ele é par.
Divisibilidade por 3: um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é 
divisível por 3
Divisibilidade por 4: um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos 
formam um número divisível por 4.
Divisibilidade por 5: um número natural é divisível por 5 quando termina em zero ou 5.
Divisibilidade por 6: um número natural é divisível por 6 quando divisível por 2 e por 3 
simultaneamente.
Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último 
algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta um número 
divisível por 7.
Exemplo: 41909 é divisível por 7, pois:
9+9=18 4190-18=4172
2+2=4 417-4=413
3+3=6 41-6=35 que dividido por 7 é igual a 5.
Divisibilidade por 8: um número natural é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos 
formam um número divisível por 8.
Divisibilidade por 9: um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos é 
divisível por 9
Divisibilidade por 10: um número natural é divisível por 10 quando termina em zero.
Divisibilidade por 11: um número natural é divisível por 11 caso a diferença entre o último 
algarismo (unidades) e o número formado pelos demais algarismos resultar 
em um múltiplo de 11. Todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 55, etc.) são 
múltiplos de 11.
Exemplos: 
286 → 28 - 6 = 22 → 22 (por ser uma dezena dupla) é múltiplo de 11
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1331 → 133 - 1 = 132 → 13 - 2 = 11
14641 → 1464 - 1 = 1463 → 146 - 3 = 143 → 14 - 3 = 11
24350 → 2435 - 0 = 2435 → 243 - 5 = 238 → 23 - 8 = 15 → não é 
múltiplo de 11
Divisibilidade por 12: um número natural é divisível por 12 quando também divisível por 3 e por 4.
Números primos: A palavra de origem latina primus significa “primeiro e único” e designa o grupo 
de números naturais maiores que um que não podem ser decompostos em fatores, a não ser pelo 
número um e por ele mesmo. Estes números, entretanto, são fatores dos demais números inteiros. 
Os números naturais podem portanto ser classificados em:
• Primos: números diferentes de zero e um, que possuem apenas dois divisores, 1 e ele mesmo.
• Compostos: números que possuem mais de dois divisores.
Observação: o número 2 é o único natural primo que é par.
Teorema Fundamental da Aritmética:
Todo número natural maior que 1 ou é primo ou pode ser escrito de forma única (a menos da ordem 
dos fatores) como um produto de números primos.
Máximo Divisor Comum (MDC):
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se máximo divisor comum, MDC, desses 
números ao maior dos seus divisores comuns.
Por exemplo, o conjunto dos divisores de 12 e 54 é respectivamente:
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} 
Selecionando os divisores em comum, de 12 e 54, tem-se: 1, 2, 3 e 6. O maior destes divisores 
comuns é o número 6. Então, 6 é o máximo divisor comum, o que podemos indicar por MDC (12, 
54) = 6.
O MDC pode ser determinado pelo produto entre os fatores primos comuns, com os menores 
expoentes encontrados.
Exemplo: determinar o MDC de 12 e 54.
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Decompõe-se cada um dos números em fatores primos:
12 = 2 x 2 x 3
54 = 2 x 3 x 3 x 3
Os fatores comuns de menor expoente são 2 e 3. Assim, MDC (12, 54) = 2 x 3 = 6
Existem outras técnicas para se encontrar o máximo divisor comum de dois números, tal como o 
algoritmo de Euclides, um dos algoritmos mais antigos, conhecido desde que surgiu nos Livros VII e
X da obra Elementos de Euclides, por volta de 300 a.C. Entretanto, não iremos estudá-lo aqui. 
Obs.: no cálculo do MDC valem as propriedades comutativa e associativa.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC):
Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se mínimo múltiplo comum, MMC, 
desses números o menor dos múltiplos comuns, excetuando-se o zero.
Exemplo: múltiplos de 24 e 6.
M(24) = {0, 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216,...}
M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ...}
Os múltiplos que são comuns são { 0, 24, 72, ...}. Observando este conjunto, verificamos com 
exceção do zero, que o menor múltiplo comum é o 24. Desta forma, o mínimo múltiplo comum de 
24 e 6 pode ser indicado da seguinte maneira: 
MMC (6, 24) = 24
Técnica para determinação do mínimo múltiplo comum: 
O MMC pode ser determinado pelo produto entre os fatores primos comuns, com os maiores 
expoentes encontrados, e os não comuns.
Exemplo: determinar o MMC de 135 e 42.
Decompõe-se cada um dos números em fatores primos:
135 = 3 x 3 x 3 x 5
42 = 2 x 3 x 7
MMC (135, 42) = 2 x 3³ x 5 x 7 = 2 x 27 x 5 x 7 = 1890
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Outra técnica para determinação do mínimo múltiplo comum: 
O MMC pode ser determinado pelo resultado do produto entre os dois números dividido pelo seu 
máximo divisor comum (MDC).
MMC (a, b) = (a.b) / MDC (a, b)
Exemplo: determinar o MMC de 135 e 42, sabendo-se que MDC (135, 42) = 3.
MMC (135, 42) = (135 . 42) / MDC (135, 42) = 5670 / 3 = 1890.
No caso de calcular o MMC entre três números, calcule inicialmente o MMC entre dois e em 
sequência calcule o MMC entre este resultado e o terceiro.
MMC (a, b, c) = MMC (MMC (a, b) , c) = MMC (a, MMC (b, c))
Obs.: no cálculo do MMC valem as propriedades comutativa e associativa.
EXEMPLOS E EXERCÍCIOS:
1. Calcule, seguindo o exemplo ou utilizando a definição teórica.
a) MDC (180, 150)
Os fatoresde 180 são: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 12 , 15 , 18 , 20 , 30 , 36 , 45 , 60 , 90 , 180.
Os fatores de 150 são: 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 25 , 30 , 50 , 75 , 150.
Assim, MDC (180, 150) = 30
b) MDC (231, 825) (Resposta: 33)
c) MDC (340, 728) (Resposta: 4)
d) MDC (39, 117, 130).
Os fatores de 39 são: 1 , 3 , 13 , 39.
Os fatores de 117 são: 1 , 3 , 9 , 13 , 39 , 117.
Os fatores de 130 são: 1 , 2 , 5 , 10 , 13 , 26 , 65 , 130.
Assim, MDC (39, 117, 130) = 13
e) MDC (25, 120, 150) (Resposta: 5)
f) MDC (36, 144, 180) (Resposta: 36)
g) MMC (12, 18)
MMC (12, 18) = (12 . 18) / MDC (12, 18) = 216 / 6 = 36.
h) MMC (90, 180) (Resposta: 180)
i) MMC (55, 121) (Resposta: 605)
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j) MMC (25, 48, 156) 
MMC (25, 48) = (25 . 48) / MDC (25, 48) = 1200 / 1 = 1200.
MMC (156, 1200) = (156 . 1200) / MDC (156, 1200) = 187200 / 12 = 15600.
k) MMC (15, 18, 21) (Resposta: 630)
l) MMC (21, 36, 168) (Resposta: 504)
PROBLEMAS:
1) É fácil saber quando um ano é bissexto. É só verificar se o número que representa esse ano é 
divisível por 4, ou no caso dos anos terminados em 00, se é divisível por 400. 
a) Diga se foi ano bissexto,
 o ano do descobrimento do Brasil (1500) (Resposta: Não, pois 1500 não é divisível por 400)
 o ano da Proclamação da Independência (1822) (Resposta: Não, 1822 não é divisível por 4)
b) A década de 90 (de 1991 a 2000) teve quantos anos bissextos? (Resposta: três: 1992, 1996 e 2000) 
c) Qual o primeiro ano bissexto do século XXI (iniciado em 2001)? (Resposta: 2004)
2) Dois livros, um com 176 páginas e outro com 240 páginas, serão divididos em fascículos para 
venda semanal nas bancas de jornal. Os fascículos serão montados com o mesmo e o maior 
número de páginas possível.
a) Quantas páginas cada fascículo terá? (Resposta: 16 páginas)
b) Em quantas semanas uma pessoa irá obter os dois livros completos, considerando que ela 
compre todos os fascículos e que um livro seja vendido após o outro? (Resposta: 26 semanas)
3) Considere um ponto de ônibus por onde passam duas linhas diferentes. Os ônibus de uma delas 
passam de 30 em 30 minutos, enquanto os da outra linha passam de 15 em 15 minutos.
a) Se os ônibus das duas linhas passaram juntos no ponto às 13 horas e 30 minutos, a que horas 
deve ocorrer o próximo encontro? (Resposta: às 14 horas)
b) Se o primeiro encontro dos ônibus das duas linhas ocorre às seis horas da manhã, a que horas 
deve ocorrer o décimo encontro? (Resposta: às 10 horas e 30 minutos)
Fontes: 
 KHAN ACADEMY. Divisores e múltiplos. https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/factors-multiples
 ARANTES, Flávia Borges; CASTRO, Marco A. Claret de; COSTA, Patrícia Oliveira. Matemática Elementar. 
São João del-Rei: UFSJ, 2010
 BIRD, John. Basic Engineering Mathematics, 6th ed. Routledge, 2014.
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