Lista Exercícios Cálculo 1

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EC239 - MATEMA´TICA Prof. Gustavo Ramos Sampaio
Lista de Exerc´ıcios 4
1. Se f(x, y) = xey,
Figure 1: Curvas de Nı´vel da Func¸a˜o f(x, y) = xey
a) Determine a taxa de variac¸a˜o de f no ponto P(2,0) na direc¸a˜o de P a Q(1
2
, 2).
(Note que o vetor da direc¸a˜o
−→
PQ=< −1.5, 2 > e´ o vetor u = (−3
5
, 4
5
), dado que a
norma de || −→PQ || = √−1.52 + 22 = √6.25 = 2.5). Portanto, u=(−1.5
2.5
, 2
2.5
). )
b) Em que direc¸a˜o f tem a ma´xima taxa de variac¸a˜o? Qual e´ a ma´xima taxa de
variac¸a˜o? (Para achar a ma´xima taxa de variac¸a˜o calcule a norma do vetor gradiente.)
2. Determine a derivada direcional de cada func¸a˜o no ponto dado na direc¸a˜o do
vetor v.
a)
f(x, y) = 1 + 2x
√
y, (3, 4), v = (4,−3) (1)
b)
f(x, y) =
x
y
, (6,−2), v = (−1, 3) (2)
c)
f(x, y, z) =
x
(y + z)
, (4, 1, 1), v = (1, 2, 3) (3)
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3. Suponha que voceˆ esteja subindo um morro cujo formato e´ dado pela equac¸a˜o
z = 1000− 0, 01x2 − 0, 02y2 (4)
e voceˆ esteja num ponto de coordenadas (60, 100, 764)
a) Em que direc¸a˜o voceˆ deve seguir inicialmente de modo a chegar no topo do
morro?
4. Seja
T (x, y) = 20 + x2 − 2xy − y2 + 4y − x (5)
a func¸a˜o que descreve a temperatura de uma chapa que se encontra sobre um sistema
de coordenadas com x e y ∈ [-2,5]. Veja um esboc¸o de suas isotermicas (curvas de
n´ıveis de sua temperatura)
O gradiente e a derivada direcional
MO´DULO 1 – AULA 13
Figura 13.2
(a) Calcule o gradiente ∇T (x, y) e desenhe sobre a Figura 13.2 os vetores
∇T (a, b), com origem no ponto (a, b), nos seguintes casos: (−1,−1),
(−1, 2), (2, 4), (3, 1) e (4,−1).
(b) Considere α(t) =
(
1 +
√
2
2
t, 1 +
√
2
2
t
)
uma func¸a˜o cuja imagem esta´
contida na chapa, para valores suficientemente pequenos de t.
Podemos interpretar
f(t) = T ◦ α(t)
como a func¸a˜o que descreve a temperatura experimentada por uma part´ıcula
que percorre o caminho α.
Mostre que
f ′(0) = ∇T (1, 1) ·
(√2
2
,
√
2
2
)
.
Voceˆ gostaria de se arriscar a dizer o que esse nu´mero mede?
Derivada direcional
Vamos definir a derivada direcional de uma func¸a˜o de duas varia´veis,
por uma questa˜o de comodidade, mas essa definic¸a˜o se estende, de maneira
natural, acrescentando mais coordenadas, para as func¸o˜es de mais do que
duas varia´veis.
Seja f : D ⊂ lR 2 −→ lR uma func¸a˜o, onde D ⊂ lR 2 e´ um aberto, tal
que (a, b) ∈ D. Seja �u um vetor unita´rio (isto e´, ||�u|| = 1).
145 CEDERJ
Figure 2: Curvas de Nı´vel da Func¸a˜o T (x, y)
a) Calcule o gradiente ∇T (x, y) e desenhe sobre a figura 2 os vetores ∇T (a, b),
com origem no ponto (a, b), nos seguintes casos: (-1,-1), (-1,2), (2,4), (3,1) e (4,-1).
5. Considere que a func¸a˜o lucro de uma certa empresa produtora de uniformes
e que utiliza ma˜o-de-obra (x) e tecidos (y) como insumos de produc¸a˜o seja dada da
seguinte forma
Π(x, y) = p.f(x, y)− w1.x− w2.y (6)
onde p e´ o prec¸o de cada uniforme vendido, f(x, y) e´ a func¸a˜o de produc¸a˜o que
relaciona a utilizac¸a˜o de insumos com a quantidade produzida de uniformes, w1 e´ o
prec¸o da unidade de ma˜o-de-obra e w2 e´ o prec¸o do metro de tecido.
Suponha que a forma funcional da func¸a˜o de produc¸a˜o que relaciona a utilizac¸a˜o
de insumos com a quantidade produzida de uniformes seja dada da seguinte forma
f(x, y) = 4xy − 2x2 − y4 + 2x + 4y (7)
2
e que o prec¸o de cada uniforme vendido seja de um real (p = 1) e que os prec¸o
da unidade de ma˜o-de-obra e do metro de tecido sejam, respectivamente, dois reais
(w1 = 2) e quatro reais (w2 = 4).
a) Ache os pontos cr´ıticos da func¸a˜o lu´cro da empresa. Ou seja, encontre os
poss´ıveis pontos onde o lu´cro pode ser o maior poss´ıvel.
b) Classifique os pontos cr´ıticos encontrados na parte a) para saber se sa˜o ma´ximos,
mı´nimos ou pontos de sela.
c) Assuma que na˜o se pode produzir uniformes sem contratar ma˜o-de-obra nem
sem utilizar tecido. Quantas pessoas e quantos metros de tecido essa empresa deveria
utilizar na sua produc¸a˜o de forma a obter o ma´ximo de lu´cro poss´ıvel?
6. Era uma vez uma aluna, Je´ssica, que cursava o curso de engenharia da UFPE.
Como sabemos, assim como o curso de economia, o curso de engenharia e´ um curso que
demanda bastante estudo de seus alunos. Em um certo semestre, ja´ perto da u´ltima
prova do curso, e´poca em que os alunos precisam realmente se dedicar a mate´ria, o
namorado de Je´ssica, que mora em outra cidade, resolveu visita´-la. Era uma e´poca
ruim para uma visita pois as provas estavam se aproximando e Je´ssica precisava
estudar bastante. Mas, fazia algum tempo que Je´ssica na˜o via o seu namorado e
estava com muitas saudades dele. Ela, enta˜o, resolveu que iria dividir o seu precioso
tempo de estudo com o namorado. A sua nota na prova, claro, seria determinada
pelo tempo (em dias) que ela passaria estudando (x) e o tempo (em dias) em que ela
passaria namorando (y). Seja
N(x, y) = e(−
1
3
x3+x−y2)
a func¸a˜o que determina a nota de Je´ssica em func¸a˜o do tempo estudando e do tempo
namorando.
→ Note que:
e(qualquer coisa) = sera´ sempre maior que zero
a) Determine a combinac¸a˜o de estudo e de namoro (x, y) que poderia proporcionar
a Je´ssica tirar a nota ma´xima na prova.
b) Teste o ponto encontrado para verificar se realmente se trata de um ponto onde
Je´ssica tiraria a melhor nota e explique o que Je´ssica deveria fazer.
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7. O u´nico supermercado da cidade de Afogados da Ingazeira oferece duas marcas
de iogurte natural. Uma marca produzida localmente em que obte´m cada pote ao
custo de 30 centavos e uma marca conhecida nacionalmente, em que obte´m cada pote
ao custo de 40 centavos. O dono do supermercado estima que se ele cobrar x centavos
por cada pote da marca local e y centavos pelo pote da marca nacional conseguiria
vender, respectivamente, 70−5x+4y e 80+6x−7y potes de iogurte. Quanto deveria
cobrar por cada marca para obter o lucro ma´ximo?
a) Determine a func¸a˜o lu´cro.
b) Obtenha as derivadas parciais da func¸a˜o lu´cro e resolva para achar os poss´ıveis
candidatos a ma´ximos, mı´nimos ou pontos de sela e classif´ıque-os como ma´ximos,
mı´nimos ou pontos de sela.
8. Num belo dia de fe´rias voceˆ e seus amigos decidem realizar um passeio de
bicicleta pela cidade do Recife. Faz tempo que voceˆ na˜o anda de bicicleta e por isso
fica receoso de ficar muito cansado com o longo percurso de 50 Km que ira˜o percorrer.
Voceˆ logo tem a ide´ia de baixar em seu celular um aplicativo que medira´ todas as
estat´ısticas do seu passeio (velocidade, distaˆncia, elevac¸a˜o, etc.). Apo´s o primeiro Km
percorrido em uma certa direc¸a˜o, ja´ muito cansado, voceˆ decide fazer uma parada. O
ponto em que voceˆ se encontra e´ o P (1, 0). Apo´s alguns breves minutos para recuperar
o foˆlego seus amigos informam que o pro´ximo trajeto sera´ de 3 km, sendo dois deles
numa direc¸a˜o e um outro em outra direc¸a˜o. A direc¸a˜o a ser seguida pode ser escrita
como o VETOR ~v = (2, 1). Como voceˆ sabe o percurso que ira˜o percorrer, que e´
dado pela func¸a˜o f(x, y) = x2 + xy − 2, voceˆ decide calcular se os pro´ximos 3 km
sera˜o de subida ou descida para saber o n´ıvel de esforc¸o que voceˆ devera´ empregar.
a) Qual e´ a variac¸a˜o da inclinac¸a˜o do trajeto a ser percorrido? E´ um trajeto de
subida ou descida?
b) Em que direc¸a˜o voceˆs deveriam seguir para chegar ao ponto mais alto do per-
curso o mais depressa poss´ıvel?
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