Estruturas Cristalinas

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ESTRUTURAS CRISTALINAS
INTRODUÇÃO 
	A estrutura dos materiais sólidos é resultado da natureza de suas ligações químicas, a qual define a distribuição espacial de seus átomos, íons ou moléculas. A grande maioria dos materiais comumente utilizados em engenharia, particularmente os metálicos, exibe um arranjo geométrico de seus átomos bem definido, constituindo uma estrutura cristalina. Um material cristalino, independente do tipo de ligação encontrada no mesmo, apresenta um agrupamento ordenado de seus átomos, íons ou moléculas, que se repete nas três dimensões. Nesses sólidos cristalinos, essa distribuição é muito bem ordenada, exibindo simetria e posições bem definidas no espaço. Em estruturas cristalinas, o arranjo de uma posição em relação a uma outra posição qualquer deve ser igual ao arranjo observado em torno de qualquer outra posição do sólido, ou seja, qualquer posição em uma estrutura cristalina caracteriza-se por apresentar vizinhança semelhante. 
	A partir do conceito de estrutura cristalina, onde, é possível descrever um conjunto de posições atômicas, iônicas ou moleculares repetitivas, surge o conceito de célula unitária. Uma célula unitária é definida como a menor porção do cristal que ainda conserva as propriedades originais do mesmo. Através da adoção de valores específicos associados às unidades de medidas nos eixos de referências, definidos como parâmetros de rede, e aos ângulos entre tais eixos, pode-se obter células unitárias de diversos tipos. Em meados do século passado, o cientista francês A. Bravais propôs que	o estudo das estruturas cristalinas poderia ser elaborado com a utilização de sete sistemas cristalinos básicos. Partindo desses sete sistemas cristalinos seria possível descrever 14 células unitárias, as quais englobariam qualquer tipo de estrutura cristalina conhecida. Na tabela 3.1 são mostradas as principais características desses arranjos no tocante a parâmetros de rede e ângulos entre eixos. Na figura 3.1 são apresentados as células unitárias de Bravais.
Tabela 3.1. Parâmetros de rede e ângulos dos sete sistemas cristalinos de Bravais.
	
SISTEMAS
	
EIXOS
	
ÂNGULOS ENTRE OS EIXOS
	CÚBICO
	a=b=c
	Todos os ângulos = 900
	TETRAGONAL
	a=b(c
	Todos os ângulos = 900
	ORTORRÔMBICO
	a(b(c
	Todos os ângulos = 900
	MONOCLÍNICO
	a(b(c
	2 ângulos = 900 e 1 ângulo ( 900 
	TRICLÍNICO
	a(b(c
	Todos ângulos diferentes e nenhum igual a 900
	HEXAGONAL
	a1=a2=a3(c
	3 ângulos = 900 e 1 ângulo = 1200
	ROMBOÉDRICO
	a=b=c
	Todos os ângulos iguais, mas diferentes de 900
Figura 3.1. Células unitárias do arranjos cristalinos de Bravais.
ESTRUTURAS CRISTALINAS COMPACTAS
	Bravais sugeriu a existência de 14 tipos de arranjos cristalinos, porém, alguns desses ocorrem com maior freqüência que outros. A maioria dos elementos, principalmente aqueles com caráter metálico elevado, transforma-se de líquido para sólido assumindo estruturas altamente densas, como mostra a tabela 3.2. Nesse caso não existem restrições em relação à direcionalidade das ligações (ligações covalentes) ou restrições associadas à neutralidade da rede e a fatores geométricos (ligações iônicas). Uma avaliação mais aprofundada dos arranjos cristalinos de Bravais revela que as estruturas cúbica de corpo centrado (CCC), cúbica de face centrada (CFC) e hexagonal compacta (HC) são aquelas que permitem maior grau de empacotamento atômico. A estrutura hexagonal compacta é na verdade uma modificação da estrutura hexagonal simples, já mostrada anteriormente. 
Exemplo 3.1
	O chumbo exibe estrutura CFC. Qualquer quantidade de chumbo sólido é constituída por pequenos cubos imaginários (células unitárias), com arestas medindo 0,495x10-9 m, onde os átomos desse elemento ocupam vértices e centro das faces. A partir dessas informações, calcule o número de cubos existentes em 1 cm3 (1x10-6 m3) de chumbo.
Solução
	O número de células unitárias é obtido pela divisão do volume total pelo volume de uma célula.
	Volume da célula unitária do chumbo=(0,495x10-9 m)3=1,2x10-28 m3
	Número de células unitárias=1x10-6 m3/1,2x10-28 m3=8,2x1021 células (cubos)
ESTRUTURAS CRISTALINAS CÚBICAS
	A estrutura cúbica é uma das que ocorrem com maior freqüência nas substâncias cristalinas e é considerada a de maior importância. Dependendo da posição que os átomos ocupam na estrutura cúbica, a mesma pode ser classificada em cúbica simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de face centrada (CFC).
�
Tabela 3.2. Estrutura cristalina e propriedades de alguns elementos.
	Elemento
	Símbolo
	Número 
Atômico
	Massa Atômica 
(g/mol)
	Densidade 
à 20 oC (g/m3 )
	Estrutura 
Cristalina à 20 oC
	Raio 
Atômico (nm)
	
Alumínio
	
Al
	
13
	
26,98
	
2,70
	
CFC
	
0,143
	Antimônio
	Sb
	51
	121,75
	6,70
	Romboédrica
	0,138
	Arsênico
	As
	33
	74,93
	5,78
	Romboédrica
	0,125
	Bário
	Ba
	56
	137,33
	3,50
	CCC
	0,217
	Berílio
	Be
	4
	9,01
	1,85
	HC
	0,113
	Bismuto
	Bi
	83
	208,98
	9,81
	Romboédrica
	0,114
	Boro
	Bo
	5
	10,81
	2,30
	Romboédrica
	0,046
	Cádmio
	Cd
	48
	112,40
	8,64
	HC
	0,149
	Cálcio
	Ca
	20
	40,08
	1,55
	CFC
	0,198
	Cério
	Ce
	58
	140,12
	6,69
	HC
	0,184
	Césio
	Cs
	55
	132,91
	1,89
	CCC
	0,265
	Chumbo
	Pb
	82
	207,20
	11,36
	CFC
	0,175
	Cobalto
	Co
	27
	58,93
	8,83
	CCC
	0,125
	Cobre
	Cu
	29
	63,54
	8,93
	CFC
	0,128
	Cromo
	Cr
	24
	51,99
	7,19
	CCC
	0,125
	Enxofre
	S
	16
	32,06
	2,07
	Ortorrômbica
	0,104
	Estanho
	Sn
	50
	118,69
	5,77
	TCC
	0,158
	Estrôncio
	Sr
	38
	87,62
	2,60
	CFC
	0,215
	Ferro
	Fe
	26
	55,85
	7,87
	CCC
	0,124
	Gadolínio
	Gd
	64
	157,25
	7,89
	HC
	0,179
	Gálio
	Ga
	31
	69,72
	5,90
	Ortorrômbica
	0,122
	Germânio
	Ge
	32
	72,59
	5,32
	CFC
	0,123
	Háfnio
	Hf
	72
	178,49
	13,31
	HC
	0,156
	Índio
	In
	49
	114,82
	7,29
	Tetragonal
	0,162
	Irídio
	Ir
	77
	192,22
	22,65
	CFC
	0,135
	Ítrio
	Y
	39
	88,90
	4,47
	HC
	0,182
	Lantânio
	La
	57
	138,91
	6,15
	HC
	0,189
	Lítio
	Li
	3
	6,94
	0,53
	CCC
	0,152
	Magnésio
	Mg
	12
	24,30
	1,74
	HC
	0,160
	Manganês
	Mn
	25
	54,94
	7,47
	Cúbica
	0,112
	Mercúrio
	Hg
	80
	200,59
	13,55
	Romboédrica
	0,155
	Molibdênio
	Mo
	42
	95,94
	10,22
	CCC
	0,136
	Nióbio
	Nb
	41
	92,90
	8,57
	CCC
	0,143
	Níquel
	Ni
	28
	58,69
	8,90
	CFC
	0,124
	Ósmio
	Os
	76
	190,20
	22,57
	HC
	0,135
	Ouro
	Au
	79
	196,97
	19.30
	CFC
	0,144
	Paládio
	Pd
	46
	106,40
	12,02
	CFC
	0,137
	Platina
	Pt
	78
	195,09
	21,45
	CFC
	0,139
	Polônio
	Po
	84
	209
	9,19
	CCC
	0,167
	Potássio
	K
	19
	39,09
	0,86
	CCC
	0,231
	Prata
	Ag
	47
	107,87
	10,49
	CFC
	0,144
	Rênio
	Re
	75
	186,20
	21,04
	HC
	0,138
	Ródio
	Rh
	45
	102,91
	12,41
	HC
	0,134
	Rutênio
	Ru
	44
	101,07
	12,37
	HC
	0,125
	Silício
	Si
	14
	28,08
	2,33
	CD
	0,118
	Sódio
	Na
	11
	22,98
	0,97
	CCC
	0,192
	Tântalo
	Ta
	73
	180,95
	16,60
	CCC
	0,143
	Tório
	Th
	90
	232,04
	11,72
	CFC
	0,180
	Titânio
	Ti
	22
	47,88
	4,51
	HC
	0,148
	Tungstênio
	W
	74
	183,85
	19,25
	CCC
	0,137
	Urânio
	U
	92
	238,03
	19,05
	Ortorrômbica
	0,138
	Vanádio
	Va
	23
	50,94
	6,10
	CCC
	0,132
	Zinco
	Zn
	30
	65,38
	7,13
	HC
	0,133
	Zircônio
	Zr
	40
	91,22
	6,51
	HC
	0,159
�
	O arranjo cúbico simples (CS), apesar de pertencer às estruturas cúbicas, não permite alto grau de empacotamento.Entretanto, a análise desse arranjo é importante no estudo das outras estruturas cúbicas. Nesse arranjo atômico, existe apenas um átomo em cada vértice do cubo. Na estrutura CS, o parâmetro de rede, definido por a, corresponde ao tamanho da aresta desse cubo, ou seja, a=2r, onde r é o raio atômico. A figura 3.2 mostra a representação esquemática de tal célula cristalina.
	Como forma de classificar o nível de ocupação por átomos em uma estrutura cristalina, define-se o fator de empacotamento (F.E.), que é dado por:
	
�									3.1
onde:	N = Número de átomos que efetivamente ocupam a célula;
	VA = Volume do átomo (4/3.(.r3);
	r = Raio do átomo;
	VC = Volume da célula unitária.
(a)				(b)				(c)
Figura 3.2. Representação de uma célula unitária CS: (a) posições dos átomos; (b) arranjo atômico; (c) átomos no interior da célula unitária.
Exemplo 3.2
	Calcule o fator de empacotamento de uma estrutura cúbica simples.
Solução
	O número de átomos que estão efetivamente em uma célula cúbica simples é resultado da soma dos átomos presentes em seus vértices.
	Número de vértices = 8
	Número de átomos por vértice = 1/8
	Número total de átomos = 8 . 1/8 = 1
	Volume ocupado por átomos (VA) = 1 . Volume de 1 átomo = 4/3.(.r3
	Volume da célula unitária, 
	
								3.2
	Fator de Empacotamento,
	
							3.3
ou seja, apenas 52% desta célula unitária são preenchidos por átomos. Devido ao baixo índice de ocupação desta célula, os metais não apresentam este tipo de arranjo. Uma única exceção é o polônio (Po).
	No arranjo cúbico de corpo centrado (CCC) existe um átomo em cada vértice de um cubo e um outro átomo no centro do mesmo, como mostra a figura 3.3. Esta estrutura pode ser encontrada no cromo, vanádio, zircônio, tungstênio, tântalo, bário, nióbio, lítio, potássio, etc. O parâmetro de rede a dessa estrutura é função da presença do átomo central, e é diferente do caso anterior. Ao se observar a diagonal principal da célula unitária dessa estrutura constata-se que seu tamanho corresponde a quatro raios atômicos. Assim, o parâmetro de rede é calculado a partir do teorema de Pitágoras ou:
	
								3.4
	
									3.5
Exemplo 3.3
	Determine o fator de empacotamento da estrutura cúbica de corpo centrado.
Solução
	O número de átomos que estão efetivamente em uma célula cúbica de corpo centrado é resultado da soma dos átomos presentes em seus vértices, mais aquele localizado em seu centro.
	Número de vértices = 8
	Número de átomos por vértice = 1/8
	Número total de átomos = 8.1/8 + 1 = 2
	Volume ocupado por átomos (VA) = 2 . Volume de 1 átomo = 8/3.(.r3
	Volume da célula unitária, 
	
							3.6
	Fator de Empacotamento,
	
							3.7	
ou seja, apenas 68% desta célula unitária são efetivamente preenchidos por átomos.
(a)				(b)				(c)
Figura 3.3. Representação de uma célula unitária CCC: (a) posições dos átomos; (b) arranjo atômico; (c) átomos no interior da célula unitária.
	O arranjo cúbico de face centrada caracteriza-se por exibir os mesmos átomos nos vértices, encontrados nos outros dois arranjos cúbicos anteriores, e mais um átomo em cada face do cubo. A estrutura cúbica de face centrada é a estrutura do alumínio, cálcio, chumbo, níquel, cobre, platina, prata, ouro, etc. A figura 3.4 apresenta um diagrama esquemático desta estrutura. O parâmetro de rede no caso da estrutura CFC pode ser obtido através da diagonal da face, que tem o tamanho de quatro átomos. Usando novamente as relações de um triângulo retângulo, é possível relacionar o parâmetro de rede com o raio atômico, ou seja: 
	
								3.8
	
									3.9
(a)				(b)				(c)
Figura 3.4. Representação esquemática de uma célula unitária CFC: (a) posições atômicas; (b) arranjo atômico; (c) átomos dentro da célula unitária.
Exemplo 3.4
	Determine o fator de empacotamento da estrutura cúbica de face centrada.
Solução
	O número de átomos que estão efetivamente em uma célula cúbica de face centrada é resultado da soma dos átomos presentes em seus vértices, mais aqueles localizados em suas faces.
	Número de vértices = 8
	Número de átomos por vértice = 1/8
	Número de faces = 6
	Número de átomos por face = 1/2
	Número total de átomos = 8.1/8 + 6.1/2 = 4
	Volume ocupado por átomos (VA) = 4 . Volume de 1 átomo = 16/3.(.r3
	Volume da célula unitária, 
	
						3.10
	Fator de Empacotamento,
	
							3.11
ESTRUTURAS CRISTALINAS HEXAGONAIS
	As estruturas cristalinas hexagonais, juntamente com as estruturas cúbicas, formam os arranjos atômicos dos principais cristais elementares ou aqueles formados por um único átomo. Desses cristais, mais da metade apresenta estrutura cúbica, um terço exibe estrutura hexagonal e os cristais restantes estão distribuídos entre os outros tipos estruturais. Isto faz com que a estrutura hexagonal tenha grande importância em cristalografia, o que torna necessário o estudo da mesma. Existem dois tipos de arranjo hexagonal, quais sejam: hexagonal simples e hexagonal compacto.
	A estrutura hexagonal simples é formada por átomos posicionados nos vértices de dois hexágonos sobrepostos. Outros dois átomos localizam-se no centro de cada hexágono. A estrutura cristalina hexagonal simples pode ser representada pelo arranjo mostrado na figura 3.5. Nesse caso, o parâmetro a é igual ao parâmetro c. Os ângulos basais são de 1200 e os verticais de 900. Esta estrutura cristalina pode ser encontrada no selênio e no telúrio. O número de átomos existentes no interior de uma célula hexagonal simples é três. O fator de empacotamento de cristais hexagonais simples é calculado da mesma forma feita anteriormente, sendo novamente necessário determinar o volume de uma célula unitária desta estrutura. Tal volume é dado por:	
	
									3.12
	O F.E. resulta em:
	
							3.13
(a)				(b)				(c)
Figura 3.5. Representação esquemática de uma célula unitária HS: (a) posições atômicas; (b) arranjo atômico; (c) átomos dentro da célula unitária.
	A estrutura hexagonal compacta é formada por dois hexágonos sobrepostos e entre eles existe um plano intermediário de três átomos. Nos hexágonos, novamente, existem seis átomos nos vértices e um outro no centro. 
	A estrutura cristalina hexagonal compacta pode ser observada na figura 3.6. Neste caso, o parâmetro de rede a é diferente do parâmetro c. Os ângulos basais são novamente iguais a 120o e os verticais de 90o. A estrutura HC pode ser observada no berílio, berquélio, lítio, magnésio, cádmio, cobalto, titânio, etc. O número de átomos que efetivamente encontram-se dentro de uma célula unitária HC é igual a 6. 
	O fator de empacotamento é calculado da mesma maneira efetuada anteriormente, e o volume da célula unitária é igual a:
	
									3.14
que resulta em:
	
							3.15
(a)				(b)				(c)
Figura 3.6. Representação esquemática de uma célula unitária HC: (a) posições atômicas; (b) arranjo atômico; (c) átomos dentro da célula unitária.
SEQÜÊNCIA DE EMPILHAMENTO
	A estrutura cúbica de face centrada tem o mesmo fator de empacotamento da estrutura hexagonal compacta (0,74). Este fato não é apenas uma coincidência, mas resultado da natureza dos planos cristalinos que constituem estas duas estruturas. Observando a seqüência de empilhamento de planos cristalinos na direção da diagonal do cubo da estrutura CFC e na direção perpendicular à base no caso da hexagonal compacta, nota-se que os arranjos atômicos, em ambos os casos, são de mesma natureza. A diferença entre as duas estruturas concentra-se no posicionamento dos átomos destes planos em relação a um ponto de referência. Enquanto os planos do cristal HC apresentam apenas duas variações de posicionamento e assim, seguem uma seqüência do tipo "ABABAB...", os cristais CFC apresentam três posicionamentos e exibem a seqüência "ABCABCABC..." . A figura 3.7 apresenta detalhes sobre a seqüência de empilhamento de planos de tais estruturas.(a)
 
 
(b)
Figura 3.7. Seqüência de empilhamento de planos compactos das estruturas (a) HC e (b) CFC.
ALOTROPIA OU POLIMORFISMO
	Diversos elementos, bem como compostos químicos apresentam mais de uma forma cristalina, dependendo de condições como pressão e temperatura envolvidas. Este fenômeno é denominado de alotropia ou polimorfismo. Metais de grande importância industrial como o ferro, o titânio e o cobalto apresentam transformações alotrópicas em temperaturas elevadas. A tabela 3.3 mostra alguns metais que exibem variações alotrópicas e suas temperaturas de transformação.
	A variação alotrópica encontrada em cristais de ferro pode ser considerada como um clássico exemplo de polimorfismo, conforme ilustra a figura 3.8. Esta variação alotrópica é muito importante em processos metalúrgicos, pois permite a mudança de certas propriedades do aço (Fe + C), através de tratamentos térmicos.
Tabela 3.3. Formas alotrópicas de alguns metais.
	PRIVATE �METAL
	ESTRUTURA NA TEMP. AMBIENTE
	EM OUTRAS 
TEMPERATURAS
	Ca
	CFC
	CCC (>4470C)
	Co
	HC
	CFC (>4270C)
	Hf
	HC
	CFC (>1.7420C)
	Fe
	CCC
	CFC (912-1.3940C)
CCC (>1.3940C)
	Li
	CCC
	HC (<-1930C)
	Na
	CCC
	HC (<-2330C)
	Sr
	CFC
	CCC (>5570C)
	Tl
	HC
	CCC (>2340C)
	Ti
	HC
	CCC (>8830C)
	Y
	HC
	CCC (>1.4810C)
	Zr
	HC
	CCC (>8720C)
	O ferro apresenta os arranjos CCC e CFC na faixa de temperaturas que vai da temperatura ambiente até a temperatura de fusão do mesmo (1.5390C). O ferro ( existe de -273 a 9120C e tem estrutura cristalina CCC. Entre 768 e 9120C, o ferro ( deixa de ser magnético e, algumas vezes, é chamado de ferro (. O ferro ( existe de 912 a 1.3940C e tem estrutura CFC. O ferro ( existe de 1.394 a 1.5390C, apresentando, novamente, estrutura CCC. A diferença entre as estruturas CCC do ferro ( e do ferro ( reside no valor do parâmetro de rede dos dois casos. Na faixa de temperaturas mais baixa, o parâmetro de rede é menor. 
Figura 3.8. Variações alotrópicas do Ferro puro.
	Um outro exemplo clássico de polimorfismo é a variação alotrópica do carbono. Este elemento é encontrado como diamante, que é o material mais duro na natureza e como grafite, um material de baixíssima dureza, que pode ser usado como lubrificante. O diamante é duro porque todas as suas ligações são covalentes. Por outro lado, o grafite tem ligações covalentes apenas em alguns planos. Estes planos são agregados a outros planos através de forças secundárias e assim, é fácil provocar o deslizamento dos mesmos. A figura 3.9 apresenta as estruturas do diamante e do grafite.
(a) Diamante	 		 (b) Grafite
Figura 3.9. Estruturas cristalinas do carbono nas variações alotrópicas "diamante" e "grafite".
Exemplo 3.5
	À temperatura ambiente, o estrôncio exibe estrutura CFC. Ao ser aquecido acima de 557 oC, esse arranjo atômico transforma-se em CCC. Determine a variação de volume que envolve essa transformação alotrópica. Considere que o raio atômico permanece constante.
Solução
	Neste caso, apenas a estrutura foi modificada, mantendo-se constante a quantidade de matéria. O número de átomos envolvidos permanece o mesmo. Na temperatura ambiente, a estrutura é CFC, que exibe 4 átomos por célula unitária. Acima de 557 oC, a estrutura de equilíbrio é CCC, que apresenta 2 átomos por célula unitária. Partindo-se de uma quantidade fixa de átomos igual a 4, tem-se:
	Antes da transformação:
	
	
	Após a transformação:
	
	A variação de volume é dada por:
	
	Ocorreu expansão volumétrica equivalente a 8,9% do volume inicial.
DIREÇÕES E PLANOS EM CRISTAIS
	A relação entre comportamento dos materiais, seja comportamento mecânico, elétrico ou magnético, e o arranjo de seus átomos acarreta na necessidade de identificar posições, direções e planos específicos de uma estrutura cristalina. Tal afirmação é particularmente importante no caso de arranjos atômicos em metais e em suas ligas, que podem exibir características dependentes da orientação cristalográfica. Por exemplo, conforme visto anteriormente, as forças de interação entre átomos (repulsão e atração) estão ligadas ao comportamento elástico do material. O ponto de equilíbrio entre tais forças corresponde a uma distância de equilíbrio. Em uma estrutura cristalina, a distância entre os átomos modifica-se de acordo com a direção cristalográfica tomada, assim como as constantes elásticas do material. Por outro lado, a existência de determinados conjuntos de planos e direções definidos como compactos, desempenham importante papel durante a deformação plástica de metais. A existência de propriedades dependentes da orientação cristalográfica resulta na necessidade de se determinar direções e planos em um cristal.
	Essa identificação torna-se mais simples pela definição de posições atômicas, a partir de suas coordenadas. No caso das estruturas cúbicas, é utilizado um sistema cartesiano. É interessante salientar que tais coordenadas são obtidas em função dos parâmetros de rede da célula unitária.
	Os átomos de uma estrutura CS estão localizados nas posições com as coordenadas: (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,1), (1,1,0), (1,0,1) e (0,1,1), conforme mostra a figura 3.10.
Figura 3.10. Posições atômicas em uma célula unitária da estrutura C.S..
	No sistema cúbico, as direções cristalográficas são obtidas a partir das componentes da direção em questão, tomadas nos três eixos cartesianos. A partir dos vetores 
�, 
� e 
�, mostrados na figura 3.11, pode-se representar qualquer vetor no sistema cristalino. Para indicar esquematicamente uma determinada direção em uma célula unitária, desenha-se um vetor que parte da origem e atinge a posição definida pelas coordenadas consideradas ou ainda, um vetor que parte da origem até o ponto (x,y,z) pode ser descrito como:
	
�								3.16
Assim, para se obter uma direção em um cristal, deve-se observar que: 
Uma direção é dada pelas componentes do vetor que a escreve no sistema ortogonal x,y,z, partindo da origem, até o ponto (x,y,z);
As coordenadas são reduzidas ao menor conjunto de números inteiros;
A unidade de medida de cada eixo é função do parâmetro de rede de cada eixo e assim, não representa valores reais de distância; 
A notação empregada é [u v w] (entre colchetes) e representa uma linha que vai da origem até um ponto de coordenadas (u,v,w);
Os índices negativos são representados por uma barra sobre os mesmos: 
;
Quaisquer direções paralelas são equivalentes;
Um vetor que passa na origem, em (1,1,1), em (2,2,2), e em (3,3,3) pode ser identificado pela direção [111];
Em cristais, uma família de direções está associada a um conjunto de direções com características equivalentes. A notação empregada para representar uma família de direções é <uvw>, que contém as direções 
, 
,
,
,
,
,... .
Figura 3.11. Uma direção em uma célula unitária é determinada a partir de um vetor que parte da origem e atinge a posição definida pelas coordenadas consideradas. 
	Na figura 3.12, as coordenadas do vetor 1, que passa pela origem são (1,0,0). Assim, a direção do mesmo passa a ser [100]. As coordenadas do vetor 2 são (1,1,0) e sua direção é dada por [110]. As coordenadas do vetor 3 são (1,1,1) e sua direção é representada por [111]. As coordenadas do vetor 4 são (0,-1,1). Como uma direção negativa é representada por um traço sobre o índice, a direção deste vetor é dada por 
.
	A identificação de planos atômicos em cristais também é uma tarefa necessária no sentido de relacionar-se estrutura e comportamento dos materiais. Nesse caso, são utilizados os índices de Miller. Os índices de Miller de um plano são obtidos a partir da interpretação da equação geral do plano:
	
�									3.17
onde a, b e c referem-se às posições de interceptação do plano com os eixos x, y e z, respectivamente. No caso de um plano ser paralelo a um ou mais eixos, os valores de a, b ou c podem serinfinitos, o que leva à adoção dos inversos de a, b e c, na identificação do plano. Assim, faz-se h=1/a, k=1/b e l=1/c. Dessa maneira, a equação 3.18 pode ser reescrita como:
	
�								3.18
Figura 3.12. Direções em uma célula unitária cúbica.
Os índices de Miller são h, k e l.
	A identificação dos índices de Miller para um cristal cúbico envolve as seguintes regras:
Plano a ser determinado não pode passar pela origem origem (0,0,0);
Planos paralelos são eqüivalentes;
Obtenção dos pontos de interceptação do plano com os eixos x, y e z;
Obtenção dos inversos das interceptações: h=1/a, k=1/b e l=1/c;
Obtenção do menor conjunto de números inteiros;
Índices obtidos devem ser apresentados entre parênteses: (hkl);
Índices negativos são representados por uma barra sobre os mesmos: 
;
Em cristais, alguns planos podem ser equivalentes, o que resulta em uma família de planos. A notação empregada para representar uma família de planos é {hkl}, que contém as direções (hkl), 
, 
, 
, 
, 
, 
e
.
	Em uma estrutura cúbica, os planos atômicos são importantes no tocante ao comportamento mecânico. A figura 3.13 exemplifica alguns planos desse tipo de estrutura.
Figura 3.13. Planos cristalográficos em estruturas cúbicas.
Exemplo 3.6
Determine os I.M. na estrutura cúbica, dos planos que passam pelas posições atômicas (1,1,3/4); (1,1/2,1/4) e (0,1,0).
Solução
	Os pontos fornecidos permitem estabelecer o plano mostrado. Uma linha unindo os pontos (1,1,3/4) e (1,1/2,1/4) possibilita encontrar o ponto (1,1/4,0). Deslocando a origem, é possível notar que o plano intercepta o eixo x em x=–1, o eixo y em y=-3/4 e o eixo z em z=3/4. Isso conduz aos I.M.=
.
	Nos cristais cúbicos, algumas relações matemáticas podem facilitar a identificação de planos e direções em situações especiais. Por exemplo, considere que é necessário identificar o ângulo entre duas direções, A e B, fato muito comum na análise de tensões em uma estrutura cristalina solicitada mecanicamente. O ângulo entre tais direções, ou entre os dois vetores que as representam, como indica a figura 3.14, pode ser obtido a partir do produto escalar dos mesmos, ou seja:
	
�								3.19
	
�								3.20
	A aplicação da lei dos cossenos aos vetores leva a seguinte relação:
	
						3.21
ou
	
									3.22
ou
	
				3.23
Figura 3.14. Representação das direções A e B, pelos vetores A e B.
Exemplo 3.7
	Determine o ângulo entre as direções [111] e [110].
Solução
	O ângulo pode ser obtido através de trigonometria ou a partir da equação 3.23, ou seja:
	
Logo, o valor de ( é igual a 35,2o.
	Outra situação comum em cristalografia surge da intersecção de dois planos. Tal intersecção pode ser representada por um vetor. A figura 3.15 mostra os planos A e B. A normal às direções perpendiculares a tais planos (vetores 
e 
) é dada pelo vetor 
, que é paralelo à direção da intersecção dos planos A e B. Essa direção da intersecção pode ser determinada a partir do produto vetorial de 
e 
. Supondo que os I.M. dos planos A e B sejam, respectivamente, (hA kA lA) e (hB kB lB), a direção pode ser dada pelo vetor 
.
Figura 3.15. Direção da intersecção do planos A e B dada pelo vetor 
	A normal ao plano A é dada pela direção [hA kA lA], enquanto a normal ao plano B é a direção [hB kB lB]. A direção de intersecção (vetor 
) é calculada a partir da equação:
	
3.24
	
Exemplo 3.8
	Determine a direção da intersecção dos planos (111) e (001).
Solução
	O produto vetorial entre os planos A e B produzem o vetor 
 (direção de intersecção):
	
A direção de intersecção é 
.
DIREÇÕES E PLANOS EM CRISTAIS HEXAGONAIS
	Direções em cristais hexagonais são geralmente indicadas por quatro índices u, v, t e w, apresentados entre colchetes. Estes índices são baseados em um sistema de coordenadas com quatro eixos, conforme mostrado na figura 3.16. 	Os índices u, v e t são relativos aos eixos a1, a2 e a3, respectivamente e o índice w é relativo ao eixo c. O procedimento a ser seguido no uso destes índices para a identificação de direção no sistema HC, envolve a obtenção dos menores inteiros que representem a sua direção e que satisfaça a relação u+v=-t. Estabelecer direções em um sistema de quatro eixos não é tão simples como no sistema cartesiano. Uma forma de facilitar o estabelecimento de posições nesse sistema consiste em dividir o parâmetro de rede de cada eixo basal (a1, a2 e a3) em três partes. Tal operação conduz à obtenção de diversos triângulos eqüiláteros, como poder ser visto na figura 3.17.a, e nesse caso, a unidade de cada eixo corresponde ao lado de um desses triângulos ou um terço do valor original. Para estabelecer uma direção a partir da origem, caminha-se em cada eixo, a quantidade associada ao valor numérico de cada índice. É importante salientar que uma dada direção apenas pode ser indicada quando a relação u+v=-t. A figura 3.17.b apresenta algumas direções na célula hexagonal compacta. Apesar desse método de identificação ser redundante, à medida que apenas dois eixos são suficientes para posicionamento no plano, ele é considerado eficiente e prático no caso da estrutura hexagonal.
	Os planos em cristais hexagonais são identificados também pelo uso dos quatros eixos já descritos. Os índices empregados neste caso são denominados como índices de Miller-Bravais e são representados pelas letras h, k, i e l, apresentadas como no caso anterior entre parênteses ou (hkil).
Figura 3.16. Os quatro eixos usados como referência em um sistema hexagonal.
(a) (b)
Figura 3.17 (a) Eixos basais e ilustração do procedimento para estabelecer direções no sistema hexagonal; (b) Principais direções em uma célula unitária hexagonal.
	O plano basal nesta estrutura é considerado um plano muito importante. Como o plano basal superior é paralelo aos eixos a1, a2 e a3, então o plano interceptará tais eixos no infinito. Por outro lado, pode-se afirmar que tal plano intercepta o eixo c em 1. Assim, a representação dos planos basais é dada por (0001), como mostra figura 3.18. Usando o mesmo método, os pontos onde o plano frontal da figura 3.18 intercepta os eixos são a1=+2, a2=-1, a3=-1, e c=(. Isto permite afirmar que tal plano é representado por 
. O terceiro plano da mesma figura intercepta os eixos são a1=(, a2=1, a3=-1, e c=(, o que resulta no plano 
.
Figura 3.18. Índices de Miller de alguns planos no sistema hexagonal compacto.
Exemplo 3.9
Identifique os índices de Miller-Bravais dos planos A e B e das direções Ce D.
Solução
Plano A:
a1=1; a2=1; a3=-1/2 e c=1. Invertendo tais valores, é possível obter 1; 1; -2 e 1, respectivamente. Logo, o plano A tem índices 
Plano B:
a1=1; a2=-1; a3=( e c=(. Invertendo tais valores, é possível obter 1; -1; 0 e 0, respectivamente. Logo, o plano A tem índices 
.
Direção C
Tomando-se uma direção paralela (que passa pela origem), tem-se um vetor da origem até o ponto de coordenadas (1,-1,0,0). Logo, a direção será [
]
Direção D
Tomando-se uma direção paralela (que passa pela origem), tem-se um vetor da origem até o ponto de coordenadas (1,-2,1,1). Logo, a direção será [
]
DENSIDADES ATÔMICA EM CRISTAIS
	Dentre os planos e direções de um cristal, alguns revelam ser mais compactos que outros, ou seja, possuem mais átomos por unidade de comprimento ou de área.	A definição de uma direção compacta envolve a definição de densidade linear de átomos. Essa densidade é obtida determinando o número de átomos que efetivamente estão contidos em um determinado comprimento. Assim, a densidade linear da família de direções <100>, no sistema CS (figura 3.19) é igual a:
	
						3.25
	Da mesma forma, um plano compacto é determinado calculando-se o número de átomos que efetivamente ocupam uma certa área. Assim, a densidade planar de átomos da família de planos {100},no sistema CS (figura 3.19) é igual a:
		
				3.26
Figura 3.19. Plano (100) e direção [100] no sistema CS.
	Assim no sistema CS, as direções mais compactas são as da família <100> e os planos mais compactos são os da família {100}. Os planos e direções compactos são importantes porque desempenham papel significativo no estudo da deformação plástica de metais. Os átomos de um cristal solicitado mecanicamente deslizam-se ao longo de planos compactos, seguindo direções compactas.
Exemplo 3.10
A estrutura do cádmio à temperatura ambiente é HC. Considerando que seus parâmetros de rede são a=0,2973nm e c=0,5618nm, determine as densidades atômicas: (a) Na direção 
; (b) No plano (0001).
Solução
	A densidade na direção 
 é obtida determinando-se o número de átomos dentro de uma distância conhecida. Tomando-se, na direção mecionada, a distância eqüivalente a um parâmetro de rede a, tem-se
	Número de átomos = 2 x 1/2 = 1 átomo
	Distância = 0,2973x10-9 m
	
	O plano (0001) é denominado de plano basal. A densidade de tal plano pode ser obtida através da razão entre número de átomos presentes em uma área determinada e o valor de tal área. Tomando-se como referência um dos triângulos eqüiláteros do plano hexagonal, tem-se:
	Número de átomos = 3 x 1/6 = 1/2 átomo
	Área = 3,8x10-20 m2
	
	Além das densidades atômicas linear e planar, a densidade atômica volumétrica é relevante, à medida que a mesma está diretamente relacionada com o cálculo teórico da densidade de massa de um material cristalino. Computando a massa de cada um dos átomos presentes em um determinado volume é possível determinar a massa por unidade de volume. A densidade volumétrica da estrutura CS é dada por:
	
		3.27
Exemplo 3.11
Sabendo-se que a massa atômica do ouro é igual a 196,97 g/mol, sua estrutura é CFC e seu raio atômico é igual a 0,144 nm, determine sua densidade em g/cm3.
Solução
	A solução pode ser obtida tratando o problema a partir do volume de uma célula unitária. Em uma célula unitária da estrutura cúbica de face centrada, o número de átomos que efetivamente fazem parte da mesma e seu volume são dados por:
	Número total de átomos = 8.1/8 + 6.1/2 = 4
	Volume da célula unitária =
	A massa atômica de um elemento eqüivale à massa de 6,02x1023 de seus átomos. Assim, a densidade pode ser determinada pela equação:
	
PROJEÇÃO ESTEREOGRÁFICA
	Observar e obter informações sobre direções e planos em um sistema cartesiano de três eixos necessariamente envolve visão espacial apurada. Além disso, a natureza tridimensional da estrutura cristalina é uma barreira natural para que características comuns da mesma sejam avaliadas e comparadas conjuntamente através do sistema tradicional de três eixos. Tais observações também são válidas no caso do sistema de eixos hexagonal. Com a finalidade de contornar essas dificuldades, a estrutura cristalina pode ser estudada de maneira alternativa utilizando-se de projeções estereográficas. 
	O conceito de estereografia está associado à representação de figuras sólidas no plano, ou seja, no caso da cristalografia, à representação de planos e direções em apenas duas dimensões. Pode-se resumir o conceito de projeções estereográficas como um meio de representar características tridimensionais utilizando-se de gráficos e figuras bidimensionais.
	A primeira etapa do uso de projeções estereográficas no estudo das estruturas cristalinas consiste em posicionar a célula unitária de um cristal no centro de uma esfera imaginária, de raio muito maior que os parâmetros de rede dessa célula. A célula unitária contém uma infinidade de planos, que quando extendidos, interceptam a superfície da esfera, formando círculos que representam os planos considerados, como ilustra a figura 3.20.
Figura 3.20. Posicionamento de uma célula unitária no interior de uma esfera imaginário na concepção de projeções estereográfica.
	Por outro lado, os mesmos índices que representam um dado plano, representam também a direção normal ao mesmo. Dado um plano, se uma linha perpendicular ao mesmo é extendida em direção à superfície da esfera imaginária que contém a célula unitária, o ponto de interceptação dessa linha com tal superfície é denominado de polo do plano, como também ilustra a figura 3.20. 
	A segunda etapa desse procedimento envolve a obtenção de uma figura plana da esfera contendo a célula unitária. Isso é elaborado a partir da visão desse conjunto por um observado situado à frente de um dado plano. Nesse caso, a esfera será vista como um círculo, o plano extendido como um círculo ou um segmento de um círculo e o seu polo, como um ponto no círculo.
	Nas estruturas cúbicas existem três famílias de planos principais, quais sejam: famílias {100}, {110} e {111}. Planos dessas famílias são mostrados na figura 3.21. 
(a)
(b)
(c)
Figura 3.21. Representações estereográficas dos planos (a) (100); (b) (110) e (c) (111).
	O primeiro plano, (100), refere-se ao plano paralelo à face do cubo e é visto na figura 3.21.a. Um observador situado à frente desse plano verá que a extensão do mesmo plano corresponde a um círculo que coincide com o círculo associado à projeção da esfera e definido como círculo principal. O mesmo observador verá que o polo desse plano corresponde a um ponto localizado exatamente no centro do círculo principal. A extensão do plano na parte posterior da esfera também formará um círculo, ou parte desse. Nesse caso, é necessário que a interceptação do plano com a superfície frontal da esfera seja indicada de modo distinto da interceptação com a parte posterior da mesma esfera, por exemplo, através de linhas contínua e tracejada. O mesmo procedimento deve ser efetuado com relação a polos.
	O segundo plano, (110), é mostrado na figura 3.21.b. Sua interceptação com a superfície da esfera gera um arco, enquanto que um vetor perpendicular ao plano gera o polo situado ao longo de uma linha divisória entre a parte superior e a inferior do círculo, denominado de equador da esfera. Finalmente, o terceiro plano, (111), é apresentado na figura 3.21.c. A extensão do plano (111) conduz a um arco, enquanto que um vetor perpendicular ao mesmo, resulta em um polo localizado no meio do primeiro quadrante do círculo. 
	A representação de um dado plano pode ser feita a partir de um arco em um círculo ou ainda, de um ponto (representado o polo do plano) no interior do círculo, ambos posicionados apropriadamente. 
	 A utilização de projeções estereográficas em cristalografia é padronizada por meio de redes estereográficas. A figura 3.22 mostra uma esfera estereográfica. Em tal globo são estabelecidos um polo Norte e um Sul, uma linha do Equador e círculos correspondentes a linhas de longitude e de latitude. O ângulo ( indica a distância angular entre duas linhas de latitude, enquanto o ângulo ( mostra a distância entre duas linhas de longitude. A linha do Equador permite dividir o globo em duas metades, o Hemisfério Sul e o Norte. 
	A projeção de um globo estereográfico conduz à rede estereográfica. Essa rede, que é apresentada na figura 3.23, apresenta linhas de latitude separadas por ângulos de 2o, e linhas de longitude, também a cada 2o. Essa representação é denominada de rede de Wulff.
Figura 3.22. Globo estereográfico.
Figura 3.23. Rede estereográfica de Wulff.
	A rede estereográfica mais empregada em estudos cristalográficos é a de Wulff. Nesse tipo de padrão, o eixo Norte-Sul é posicionado paralelo ao plano do papel. O posicionamento de polos de planos em uma rede de Wulff leva, por exemplo, à identificação rápida do ângulo entre eles. 
	Em uma rede de Wulff, as linhas de longitude formam uma série de círculos que invariavelmente passam pelos polos norte e sul. Esses círculos são denominados de círculos principais. As linhas de latitude são denominadas de círculos pequenos ou secundários, com exceção do círculo do equador, que é um círculo principal.
	A intersecçãode um conjunto de planos em uma única direção é definida como direção de uma zona. As figuras 3.24 a 3.26 mostram a intersecção de diversos planos, formando a direção [110].
Figura 3.24. Representação estereográfica do plano (1
1) e do pólo [110].
	 
Figura 3.25. Representação estereográfica do plano (1
0) e do pólo [110].
Figura 3.26. Representação estereográfica do plano (001) e do pólo [110].
	Diversos outros planos interceptam tal direção. Se os pólos de tais planos são assinalados no círculo, observa-se que todos estarão sobre o arco que representa o plano (110), como mostra a figura 3.27. Essa representação é denominada de planos de uma zona.
Figura 3.27. Representação estereográfica dos pólos de alguns planos que interceptam a direção [110].
	Todas projeções estereográficas analisadas até agora têm como característica comum o fato de o círculo principal representar o plano (100). Em todos esses casos, o polo desse plano localiza-se no centro do círculo. Tal procedimento identifica a projeção padrão 100. Da mesma forma, é possível localizar no centro de tal círculo, qualquer plano, como o (111). Nesse caso, o tipo de projeção estereográfica empregada é a de padrão (111). A figura 3.28 mostra esses dois tipos de projeção padrão: (100) e (111).
(a)
(b)
Figura 3.28. Representação estereográfica padrão (a) (100) e (b) (111).
	Nas projeções (100) e (111), os planos da família {100} são representados por quadrados, os da família {110}, por elipses e finalmente, os planos da família {111}, representados por triângulos. Tais figuras geométricas derivam do tipo de corte que o plano faz junto à superfície do globo estereográfico.
	Na figura 3.28, um outro fato interessante e que deve ser salientado relaciona-se aos triângulos estereográficos. Analisando as projeções (100) e (111), observa-se a existência de 24 triângulos. Esses triângulos têm em seus vértices os pólos das famílias {100}, {110} e {111}. Essa constatação mostra que um cristal cúbico é constituído por regiões cristalográficas semelhantes. Assim, quando é necessário representar qualquer característica ou propriedade de um cristal, basta utilizar apenas um triângulo estereográfico, com vértices exibindo pólos na forma de um quadrado, uma elipse e um triângulo, como indica a figura 3.29.
Figura 3.29. Triângulo estereográfico permite representar e comparar característica e propriedades em cristais cúbicos.
	O uso da projeção estereográfica permite facilmente medir ângulos entre pólos de planos distintos. Tal facilidade está associada à possibilidade de rotação desses pólos em relação a um ponto específico. Por exemplo, conforme mostra a figura 3.30, o plano (111), indicado em uma projeção padrão (100) sofreu uma rotação de 90o em relação ao eixo x. Observa-se que todo o sistema sofreu tal rotação. 
	Da mesma forma, seria possível girar todo o sistema em torno de um outro eixo, como o eixo z, como indica a figura 3.31.
(a) 
(b)
Figura 3.30. Identificação do plano (111) no sistema cartesiano e através de projeção estereográfica, antes (a) e após (b) uma rotação de 90o em torno da direção [100].
(a)
(b)
Figura 3.31. Identificação do plano (111) no sistema cartesiano e através de projeção estereográfica, antes (a) e após (b) uma rotação de 90o em torno da direção [001].
�
Exemplo 3.12. No sistema cúbico existem 13 eixos de simetria, resultantes dos três polos da família de planos {100}, dos seis da família {110} e dos quatro da família {111}. Considerando que o círculo principal corresponde ao plano (010) e que o polo norte está associado à direção [00
], identifique os polos de todos os planos citados. 
Solução
	Partindo-se da projeção padrão (100), pode-se obter a projeção desejada pela rotação do globo de 90o em torno do eixo z [001], seguida da rotação de 180o em torno do eixo y [010]:
Padrão (100)/polo norte:[001]		Padrão (010)/polo norte:[001]
 
Padrão (010)/polo norte:[00
]
ANÁLISE DE ESTRUTURAS CRISTALINAS
	Grande parte do conhecimento adquirido sobre estruturas cristalinas é resultado da utilização de técnicas de difração de raio-X. Estas técnicas permitem obter informações detalhadas sobre dimensões, presença de defeitos e orientação da rede cristalina. O uso do raio-X no estudo de cristais deve-se ao fato de que esta radiação tem comprimento de onda próximo aos valores de distâncias entre planos cristalinos. 
	A utilização de raio-X iniciou-se logo em seguida a sua descoberta em 1895, por Roentgen. Apesar de, naquela época, a natureza desta radiação não ser conhecida em detalhes (razão do nome "raio-X"), o raio-X foi então, aplicado em estudos da estrutura interna de materiais opacos (radiografia) devido ao seu alto poder de penetração. Desde aquela época, esta radiação era conhecida por propagar-se em linha reta, sensibilizar filmes fotográficos e apresentar velocidade de propagação definida. Os raios-X empregados em técnicas de difração são ondas eletromagnéticas com comprimento de onda na faixa de 0,05 a 0,25nm (0,5 a 2,5 Å). Como comparação, o comprimento de onda da luz visível é da ordem de 600nm (6.000 Å). 
OBTENÇÃO DE RAIOS-X 
	A obtenção de raios-X para difração envolve a aplicação de tensões da ordem de 35 kV entre um catodo (filamento de tungstênio) e um anodo (alvo metálico), dentro de um sistema com alto vácuo. A figura 3.32 mostra um diagrama esquemático de um tubo de raio-X.
	O funcionamento do mesmo é bastante simples: 
	- Ao ser aquecido, o filamento de tungstênio (catodo) libera elétrons por emissão termo-iônica. Devido a elevada diferença de potencial (35 kV), os elétrons liberados são acelerados, ganham energia cinética e movimentam-se em direção ao alvo metálico (anodo). Ao colidirem com o anodo, tais elétrons provocam a emissão de raio-X. Em torno de 98% da energia cinética dos elétrons é transformada em calor, o que torna necessário o emprego de um sistema de refrigeração do anodo.
Figura 3.32. Diagrama esquemático de um tubo para geração de raios-X.
DIFRAÇÃO DE RAIOS-X
	No início do século 20, o conceito de onda foi incorporado definitivamente à luz. Isso permitiu, juntamente com o desenvolvimento das teorias de Maxwell, permitiu prever a difração de raios-X por fendas muito pequenas, como as que são encontradas nas estruturas cristalinas de alguns materiais.
	Se um feixe de raio-X monocromático (freqüência única) incide sobre um átomo isolado, elétrons do mesmo são excitados e vibram com a mesma freqüência do feixe incidente. Tais elétrons em vibração emitirão raio-X em todas direções com a mesma freqüência do feixe incidente. Assim, o átomo isolado espalha o feixe incidente em todas as direções. Entretanto, quando o mesmo feixe incide sobre um conjunto de átomos ordenados, como é o caso da estrutura cristalina e se este feixe monocromático tiver comprimento de onda com valor semelhante aos espaçamentos entre tais átomos, então ocorrerá interferência construtiva em algumas direções e destrutiva em outras. A figura 3.33 ilustra um caso onde ondas em fase provocam interferência construtiva.
	Nessa ilustração nota-se que a interferência construtiva de dois raios monocromáticos ocorrerá quando os mesmos permanecerem em fase. Isto acontecerá quando o segundo raio percorrer uma distância extra representada pelos segmentos 
 igual a um número inteiro de comprimentos de ondas ((). Então:
	
								3.30
onde n=1,2,3,... e é chamado ordem de difração. Como 
 são iguais a dhklsen(, onde dhkl é a distância entre dois planos com índices (hkl), a condição necessária para ocorrer interferência construtiva deverá ser:
	
								3.31
Figura 3.33. Reflexão de raios-X de natureza monocromática por planos de um cristal.
	Esta equação é conhecida como lei de Bragg e relaciona o comprimento de onda ((), o ângulo do feixe (() de raio-x incidente e distância interplanar dhkl. Como na maioria dos casos a ordem de difração é 1, a lei de Bragg torna-se igual a:3.32
	A tabela 3.4 apresenta a relação entre espaçamento interplanar (dhkl), parâmetros da célula unitária (a, b, c), ângulos ( (entre os eixos y e z), ( (entre os eixos x e z) e ( (entre os eixos x e y) e planos cristalinos (h k l).
Tabela 3.4. Relação entre parâmetros de difração de raio-X e os de planos cristalinos.
	SISTEMA
CRISTALINO
	RELAÇÃO
	CÚBICO
	
�
	TETRAGONAL
	
�
	HEXAGONAL
	
�
	ROMBOÉDRICO
	
�
	ORTORRÔMBICO
	
�
	MONOCLÍNICO
	
�
	TRICLÍNICO
	
�
V=Volume da célula;
S11=b2c2sen2(
S22=a2c2sen2(
S33=b2c2sen2(
S12=abc2(cos( cos( - seng)
S23=a2bc(cos( cos( - sen()
S13=ab2c(cos( cos( – sen()
ANÁLISE DE ESTRUTURAS CÚBICAS
	Um ensaio de raio-X é executado com o emprego de um dispositivo denominado de difratômetro, conforme mostra a figura 3.34. Nesse equipamento, a amostra é colocada no porta-amostras e é girada para que o ângulo de incidência do feixe de raio-X seja variado. 
	O feixe de raios-X difratados é medido através do detetor. Em função das características de um goniômetro, em geral, o ângulo de difração é medido como 2(. A figura 3.35 apresenta um difratograma resultante de um ensaio de raio-X do tungstênio. A intensidade de difração é maior para os planos de alta densidade de átomos. Como, geralmente, a distância entre planos compactos é grande, a análise da equação 3.32, permite concluir que os planos de maior intensidade de difração correspondem a baixos ângulos.
	Na análise de estruturas cúbicas, apenas alguns planos podem provocar difração. No caso das estruturas CCC, a difração é possível quando a soma dos índices de Miller resulta em um número par. Para as estruturas CFC, a difração ocorre quando todos os índices são pares ou todos são impares. A tabela 3.5 mostra os planos de difração nas estruturas cúbicas.
	A técnica de difração de raios-X pode ser facilmente empregada para diferenciar estruturas CCC e CFC. Analisando a tabela 3.4, observa-se que para as estruturas cúbicas vale a relação:
	
								3.33	
	
	Combinando as equações 3.32 e 3.33 e elevando ambos os lados ao quadrado, pode-se obter:
	
						3.34	
	
	Como ( e a são constantes, então:
	
							3.35
Tabela 3.5. Família de planos em estruturas cúbicas que provocam difração.
	
Família
	
(h2+k2+l2)
	
Planos de Difração
CCC CFC
	{100}
	1
	
	
	{110}
	2
	X
	
	{111}
	3
	
	X
	{200}
	4
	X
	X
	{210}
	5
	
	
	{211}
	6
	X
	
	{220}
	8
	X
	X
	{221}
	9
	
	
	{310}
	10
	X
	
Figura. 3.34. Goniômetro empregado em ensaios de difração de raios-X.
	Onde (1 e (2 estão associados aos principais planos de difração. A aplicação da equação 3.35 associada à tabela 3.5 permite prever que os dois primeiros planos de uma estrutura CCC resulta no valor sen2(1/sen2(2=0,5. No caso das estruturas CFC, a relação sen2(1/sen2(2=0,75.
Figura 3.35. Difratograma de raio-X do molibdênio.
Exemplo 3.13
	O difratograma do molibdênio mostrado na figura 3.35 foi obtido em um equipamento com raios-X com (=0,1542x10-9 m. Sabendo-se que tal elemento exibe estrutura cúbica CCC ou CFC, determine:
o tipo de estrutura cúbica;
o primeiro plano a apresentar difração;
a distância interplanar relativa a esse primeiro plano;
o parâmetro de rede dessa estrutura;
o raio atômico do molibdênio.
Considere difração de 1a ordem.
Solução
	O difratograma da figura 3.35 mostra picos de difração em 2(=42,2; 59,0; 73,6 e 87,4o. Tais dados levam à construção da seguinte tabela:
	Pico
	2(
	(
	sen(
	sen2(
	1
	41,0
	20,5
	0,3502
	0,1226
	2
	59,0
	29,5
	0,4924
	0,2424
	3
	73,6
	36,8
	0,5990
	0,3588
	4
	87,4
	43,7
	0,6909
	0,4773
(a) O uso da equação 3.35 resulta em: 
	
A estrutura cristalina do molibdênio é CCC
(b) O primeiro plano a apresentar difração, em 2(=42,2o é o (110).
(c) A distância entre os planos da família {110} é dado por:
	
(d) O parâmetro de rede é calculado através da relação:
	
(e) Utilizando-se as relações entre parâmetro de rede e raio atômico da estrutura CCC, tem-se:
	
EXERCÍCIOS
3.1. Quais são as 14 células unitárias de Bravais ?
3.2. Quais são as estruturas cristalinas metálicas mais comuns ? Liste alguns metais que apresentam estas estruturas.
3.3. Qual é o número de coordenação dos átomos de uma estrutura CCC ?
3.4. Qual é a relação entre tamanho da aresta "a" da célula CCC e raio atômico ?
3.5. O Nb, na temperatura ambiente tem estrutura CCC e apresenta raio atômico de 0,147 nm. Calcule o valor do parâmetro de rede "a" em nanometros.
3.6. Calcule o fator de empacotamento da estrutura CFC.
3.7. Quantos átomos por célula existem na estrutura HC ?
3.8. O Ni é CFC com uma densidade de 8,9 Mg/m3 e tem sua M.A. é igual a 58,71. 
a. Qual é o volume por célula unitária baseado no valor da densidade ? b. Calcule o raio atômico do Ni a partir de sua resposta na parte (a). 
3.9. O Titânio é CCC em alta temperatura. Seu raio aumenta em 2% durante sua transformação de CCC para HC no resfriamento. Qual a variação percentual de volume que ocorre nesta transformação ?
3.10. Liste as coordenadas das posições atômicas dos 8 átomos nos vértices e as dos 6 nas faces de uma estrutura CFC.
3.11. Desenhe as seguintes direções cristalográficas em uma célula CCC e em outra tetragonal com a/c=3:
	a. [001]	b. [110]	c. [111]	d. [113]	e. [223]
3.12. Qual é a família de planos {100} no sistema cúbico ? 
3.13. Um plano no sistema cúbico intercepta os eixos em x=2/3, y=-1/2 e z=1/2. Qual são os índices de Miller para este plano ?
3.14. Desenhe os seguintes planos cristalográficos na estrutura CCC e liste as coordenadas dos átomos com centros nestes planos:
	a. (100)	b. (110)	c. (111)
3.15. O Al é CFC e tem parâmetro de rede "a" igual a 0,3158 nm. Calcule a densidade planar de átomos nos planos (100) e (111).
3.16. Considerando novamente o Al, calcule a densidade linear de átomos nas direções [100] e [111].
3.17. A estrutura do titânio à temperatura ambiente é HC. Considerando que seus parâmetros de rede são a=0,295nm e c=0,468nm, determine as densidades atômicas: a. No plano (0001); b. Na direção [2110];
3.18. Considerando que o círculo principal corresponde ao plano (001) e que o polo norte está associado à direção [100], identifique os polos dos planos de simetria da estrutura cúbica. 
3.19. Derive a lei de Bragg a partir de um caso onde um raio incidente sofre difração pelos planos paralelos de um cristal.
3.20. Uma amostra de um metal CCC foi colocada em um difratômetro de raios-X com (=0,1541nm. A difração obtida pela família de planos {220} apresentou 2(=82,5500. Calcule o valor do parâmetro de rede deste elemento. Assuma difração de 1ª ordem. 
3.21. Um difratograma de raios-X revelou os seguintes picos de difração: 2(=39,76o; 46,24o; 67,45o e 81,28o. De acordo com as informações existentes, tal análise refere-se a um material de estrutura cubica, realizada em um difratômetro com (=0,1541x10-9 m e ordem de difração igual a 1. A partir de tais dados, determine:
o tipo de estrutura cúbica;
o primeiro plano a apresentar difração;
a distância interplanar relativa a esse primeiro plano;
o parâmetro de rede dessa estrutura;
o raio atômico do elemento.
4
2
1
Porta-Amostras
Escala de
Medida
1
6
5
2
3
4
5
6
7
8
Detetor
� EMBED Equation.3 ���
ecto
Tubo de Raios-X
Refrigeração
_1020154214.unknown
_1020496911.unknown
_1048693716.unknown
_1048694421.unknown_1049086104.unknown
_1049107187.unknown
_1049107253.unknown
_1049041495.unknown
_1049085810.unknown
_1049041302.unknown
_1048694336.unknown
_1048694354.unknown
_1020503269.unknown
_1020445624.unknown
_1020446274.unknown
_1020446411.unknown
_1020160083.unknown
_1020169001.unknown
_1020169781.unknown
_1020160176.unknown
_1020160031.unknown
_1020154159.unknown
_1020154180.unknown
_1020154207.unknown
_1020154166.unknown
_1020153999.unknown
_1020154124.unknown
_1019908054.unknown
_1019731551.unknown
_1019731644.unknown
_1019731864.unknown
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_1019328658.unknown
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_1019329673.unknown
_1019282804.unknown
_1019328009.unknown
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_1017082359.unknown
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_1017082347.unknown
_994357924.unknown
_994500600.unknown
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