Aula basica de vetores

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Prof. Dr. Fábio de Camargo
Vetores
Introdução
— Na física as grandezas que usamos para 
descrever o comportamento dos sistemas 
físicos, podem ser classificadas em:
— Grandezas Escalares
— Precisam somente das propriedades numéricas.
— Exemplo: tempo, distância, densidade, volume, área, massa, 
temperatura e etc.
— Grandezas Vetoriais
— Precisam das propriedades numéricas e de direção
— Exemplo: deslocamento, velocidade, aceleração, força e etc.
Vetores
— Na física precisamos saber a localização dos corpos e a 
direção das grandezas no espaço Þ vetores
— Representação gráfica do vetor:
— Direção: segmento de reta
— Sentido: seta
— Módulo (valor): ∝ ao tamanho
�⃗�
𝐴	 𝑥', 𝑦' �⃗� = 𝐴𝐵
�⃗� = 𝑣 = 𝐴𝐵
𝐵	 𝑥,, 𝑦,
𝐴
𝐵𝑦
𝑥𝑥'𝑦' 𝑥,
𝑦,
𝑥, − 𝑥'
𝑦, − 𝑦'
�⃗� = 𝑥, − 𝑥' , + 𝑦, − 𝑦' ,�
𝑣�⃗� , = 𝑥, − 𝑥' , + 𝑦, − 𝑦' ,
Propriedades dos Vetores
— Vetores
— Direção
— Sentido
— Módulo ® unidade
— Comprimento é ∝ ao módulo
𝑦
𝑥
— Vetores Iguais
— paralelos e mesmo 
comprimento
— Mesma direção
— Mesmo sentido
— Mesmo módulo
— Vetores Opostos
— paralelos e mesmo 
comprimento
— Mesma direção
— Sentido oposto
— Mesmo módulo
�⃗�
−�⃗�
Operações com Vetores
𝐴
𝐶𝐷
𝐵
Adição: 𝑅 = 𝐴 + 𝐶
𝑅
𝐴
𝐶
𝑅 = 𝐷 + 𝐶 + 𝐵 + 𝐴 ?
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 𝐷 + 𝐶 + 𝐵 + 𝐴
Operações com Vetores
Adição: 𝑅 = 𝐴 + 𝐶
𝑅
𝐴𝐶
Regra do Paralelogramo
𝐴𝐶 𝜃𝑅, = 𝐴, + 𝐶, + 2𝐴𝐶 cos 𝜃
Módulo de 𝑅
𝑅
Caso para 𝜃 = 90°
𝐴𝐶
𝑅
Lembrando, cos 90° = 0
𝑅, = 𝐴, + 𝐶, + 2𝐴𝐶 cos 90°	
𝑅, = 𝐴, + 𝐶,�
90°
Teorema de Pitágoras
Operações de Vetores
Subtração: 𝑅 = 𝐴 − 𝐶
𝑅
𝐴 −𝐶
∴ 𝑅 = 𝐴 + −𝐶
Multiplicação por 𝑘: 𝑅 = 𝑘𝐶
𝐶 𝑅
𝑘 = 2
𝑘 = −2
𝐶 𝑅
𝑘 = 12
𝐶 𝑅
𝑘 = −12
𝐶 𝑅
𝐶
𝐴
𝐶𝐷
𝐵
Vetores Unitários
𝚤
𝑥0 1 2 3 4
�⃗� 𝑏𝑐 𝑑
�⃗� = 2	𝚤𝑏 = 3	𝚤 𝑐 = −2	𝚤𝑑 = −4	𝚤
𝚤 = 1
𝚥
𝑦
0
1
2
3
4
𝑒 𝑓
�⃗�
ℎ
𝑒 = 2	𝚥𝑓 = 3	𝚥 �⃗� = −2	𝚥ℎ = −4	𝑗
𝚥 = 1
Operações de Vetores
Produto Escalar: 𝑅 = 𝐴 K 𝐷
𝐴 𝑅 = 𝐴 𝐷 cos 𝜃
𝐴
𝐶𝐷
𝐵
𝐷 𝜃
�⃗� K 𝑄 = 𝑄 K �⃗�
Regras do produto escalar
�⃗� K 𝑄 + 𝑆 = �⃗� K 𝑄 + �⃗� K 𝑆
�⃗� + 𝑄 K 𝑆 + 𝑇 = �⃗� K 𝑆 + 𝑇 + 𝑄 K 𝑆 + 𝑇�⃗� + 𝑄 K 𝑆 + 𝑇 = �⃗� K 𝑆 + �⃗� K 𝑇 + 𝑄 K 𝑆 + 𝑄 K 𝑇
m �⃗� K 𝑄 = 𝑚�⃗� K 𝑄 = �⃗� K 𝑚𝑄
1.
2.
3.
4.
Resultado é um ESCALAR!!!
Componentes de um Vetor𝑦
𝑥𝑣R
�⃗� 𝑣S𝜃
�⃗� = 𝑣R + 𝑣S 𝑣R = 𝑣R𝑣S = 𝑣S
�⃗� = 𝑣
cos 𝜃 = 𝑣R𝑣 ∴ 𝑣R = 𝑣 cos 𝜃sen 𝜃 = 𝑣S𝑣 ∴ 𝑣S = 𝑣 sen 𝜃
M
ód
ul
os
tg 𝜃 = 𝑣S𝑣R ∴ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔	 𝑣S𝑣R
Mostrando que o módulo não muda 
com as componentes:𝑣, = 𝑣R, + 𝑣S,
𝑣 = 𝑣,𝑐𝑜𝑠,𝜃 + 𝑣,𝑠𝑒𝑛,𝜃�𝑣 = 𝑣, 𝑐𝑜𝑠,𝜃 + 𝑠𝑒𝑛,𝜃�𝑣 = 𝑣,� ∴ 𝑣 = 𝑣
𝑣 = (𝑣 cos 𝜃), +(𝑣 sen 𝜃), �𝑣
, = 𝑣 cos 𝜃 , + 𝑣 sen 𝜃 ,	
1
C.Q.D.
Componentes
Vetor Unitário𝑦
𝑥
𝐴
𝐴 = 𝐴R + 𝐴S 𝐴R = 𝐴R = 2𝐴S = 𝐴S = 0Módulos
1 3𝐴R
𝐴 = 𝐴R, + 𝐴S,� ⇒ 𝐴 = 𝐴R = 2
𝚤 = 𝐴𝐴
𝑦
𝑥
𝐵
𝐵 = 𝐵R + 𝐵S 𝐵R = 𝐵R = 0𝐵S = 𝐵S = 2Módulos
1
3𝐵S
𝐵 = 𝐵R, + 𝐵S,� ⇒ 𝐵 = 𝐵S = 2
𝚥 = 𝐵𝐵∴ 𝚤 = 1 ∴ 𝚥 = 1
Definindo um vetor unitário Definindo um vetor unitário= 𝐴R2 = 1 = 𝐵S2 = 1
Base Cartesiana𝑦
𝚤
𝐴 = 𝐴R + 𝐴S 𝐴R = 𝐴R𝐴S = 𝐴SMódulos
𝐴 = 𝐴 = 𝐴R, + 𝐴S,�
Exemplo no plano 𝑥𝑦:
𝚥𝑘 𝑥
𝑧
Versor Direção Sentido Módulo𝚤 = 𝚤̂ 𝑥 + 1𝚥 = 𝚥̂ 𝑦 + 1𝑘 = 𝑘b 𝑧 + 1
\ Empregando os versores escre-
vemos qualquer vetor do espaço 
em função da base cartesiana.
𝚤𝚥
𝑦
𝑥𝐴R
𝐴 𝐴S𝜃
𝐴 = 𝐴R	𝚤 + 𝐴S	𝚥
Base Cartesiana
𝑦
𝚤
𝐴 = 𝐴R + 𝐴S + 𝐴c𝐴R = 𝐴R𝐴S = 𝐴SMódulos
𝐴 = 𝐴 = 𝐴R, + 𝐴S, + 𝐴c,�
Exemplo no espaço 𝑥𝑦𝑧 :
𝚥
𝑘 𝑥
𝑧 𝐴R
𝐴 𝐴S𝜃
𝐴 = 𝐴R	𝚤 + 𝐴S	𝚥 + 𝐴c	𝑘
𝐴c 𝐴c = 𝐴c
Operações com Vetores (Analítico)
𝑅 = 𝑅 = 𝑅R, + 𝑅S,�
Adição de vetores:
𝑦
𝑥𝐴R
𝐴 𝐴S
𝐴 = 𝐴R	𝚤 + 𝐴S	𝚥
𝐵
𝐵R𝐵S
𝑅
𝑅R
𝑅S
𝐵 = −𝐵R	𝚤 + 𝐵S	𝚥𝑅 = 𝑅R	𝚤 + 𝑅S	𝚥
𝑅 = 𝐴 + 𝐵
𝐵 = −𝐵R	𝚤 + 𝐵S	𝚥𝑅 = 𝐴R − 𝐵R 	𝚤 + 𝐴S + 𝐵S 	𝚥𝑅 = 𝑅R	𝚤 + 𝑅S	𝚥
𝑅 = 𝑅 = (𝐴R − 𝐵R), +(𝐴S + 𝐵S),�
𝐵R
𝐵S
𝐴 = 			𝐴R	 𝚤 + 𝐴S	𝚥
𝑧
𝑥
𝑦
𝑧
𝑥
𝑦
Operações de Vetores
Produto Vetorial: 𝑅 = 𝐴×𝐷
𝑅 = 𝐴 𝐷 sen 𝜃0 ≤ 𝜃 ≤ 180°
𝑅 = 𝐴×𝐷 = 𝚤 𝚥 𝑘𝐴R 𝐴S 𝐴c𝐷R 𝐷S 𝐷c
𝜃𝐴 𝐷
𝑅
𝐷×𝐴?
𝜃
𝐴
𝐷
−𝑅
𝑅 = 𝐴 𝐷 sen 𝜃0 ≤ 𝜃 ≤ 180°
𝐷×𝐴 = 𝚤 𝚥 𝑘𝐷R 𝐷S 𝐷c𝐴R 𝐴S 𝐴c = −𝑅
Resultado é um VETOR!!!
Operações de Vetores
�⃗�×𝑄 = −𝑄×�⃗�
Regras do produto vetorial
�⃗�× 𝑄 + 𝑆 = �⃗�×𝑄 + �⃗�×𝑆
�⃗� + 𝑄 × 𝑆 + 𝑇 = �⃗�× 𝑆 + 𝑇 + 𝑄× 𝑆 + 𝑇�⃗� + 𝑄 × 𝑆 + 𝑇 = �⃗�×𝑆 + �⃗�×𝑇 + 𝑄×𝑆 + 𝑄×𝑇
m �⃗�×𝑄 = 𝑚�⃗�×𝑄 = �⃗�×𝑚𝑄
1.
2.
3.
4.
Produto Vetorial: 𝑅 = 𝑃×𝑄
∴ 𝑅 = 𝑃 𝑄 sen 𝜃0 ≤ 𝜃 ≤ 180°
𝑅 = 𝑃×𝑄 = 𝚤 𝚥 𝑘𝑃R 𝑃S 𝑃c𝑄R 𝑄S 𝑄c
𝑧
𝑥
𝑦
𝜃�⃗� 𝑄
𝑅
Exemplos
— Calcule o vetor resultante, escrevendo-o na base cartesiana,
determine seu respectivo módulo e o ângulo que forma em
relação a abscissa (x).
𝐹' = 10	N 𝐹, = 6	N
1)
𝐹' = 12	N 𝐹, = 5	N
2)
𝐹' = 10	N 𝐹, = 15	N
3)
𝐹' = 16	N 𝐹, = 10	N
4) 𝐹'𝐹, 60k30k
𝐹, 30k𝐹'
𝐹' 𝐹,
𝐹'𝐹,
Respostas dos Exemplos
𝐹'𝐹,
𝐹' = 10	N 𝐹, = 6	N1)
𝐹' 𝐹,
𝐹' = 12	N 𝐹, = 5	N2)
𝐹'𝐹,
𝐹' = 10	N 𝐹, = 15	N3)
𝐹'𝐹,
𝐹' = 16	N 𝐹, = 10	N4)
30k
60k30k
𝐹' = 10	𝚤𝐹, = −6	𝑖 𝑅 = 4	𝚤	 𝑁𝑅 = 4	N
𝐹' = 12	𝑗𝐹, = 5	𝚤 𝑅 = 5	𝚤 + 12	𝚥	 N𝑅 = 13	N𝜃 = 67,4o
𝑅
𝑅
𝑅
𝐹' = 8,66	𝚤 + 5	𝚥𝐹, = −15	𝚤 𝑅 = −6,34	𝚤 + 5	𝚥	 N𝑅 = 8,07	N
𝑅
𝐹' = 8	𝚤 + 13,86	𝚥𝐹, = −8,66	𝚤 + 5	𝚥 𝑅 = −0,66	𝚤 + 18,86	𝚥	 N
𝜃
𝑅 = 18,87	N
𝜃 = 38,3o
𝜃
𝜃
𝜃 = 88,0o
𝜃 = 0o
Exemplo
5) Um empregado do Correio dirige um caminhão de entrega
e faz o trajeto indicado na figura abaixo. Determine o módulo,
a direção, o sentido do deslocamento resultante e ache o
ângulo em relação a abscissa (x).
Início
Fim
45º 
2,6 km
4,0 km
Resposta do Exemplo
5) Um empregado do Correio dirige um caminhão de entrega
e faz o trajeto indicado na figura abaixo. Determine o módulo,
a direção, o sentido do deslocamento resultante e ache o
ângulo em relação a abscissa (x).
Início
Fim
45º �⃗� 𝑏
𝑐
𝐷
�⃗� = 0	𝚤 + 2,60	𝚥𝑏 = 4,00	𝚤 + 0	𝚥𝑐 = 2,19	𝚤 + 2,19	𝚥𝐷 = 6,19	𝚤 + 4,79	𝚥𝐷 𝐷S
𝐷R𝜃 𝑥
𝑦
𝐷 = 7,83	𝑘𝑚
Representação
Gráfica
𝜃 = 37,7°
Exemplo
6) Um aluno desorientado dirige 3,25 km do sul para o norte,
depois 4,75 km de leste para oeste e a seguir 1,5 km do norte
para o sul. Determine o módulo, a direção, o sentido do
deslocamento resultante e ache o ângulo em relação a
ordenada (y).
3,25 km
4,75 km
1,5 km
Início
Fim
Resposta do Exemplo
6) Um aluno desorientado dirige 3,25 km do sul para o norte,
depois 4,75 km de leste para oeste e a seguir 1,5 km do norte
para o sul. Determine o módulo, a direção, o sentido do
deslocamento resultante e ache o ângulo em relação a
ordenada (y).
Início
Fim 𝐷
�⃗� = 0	𝚤 + 3,25	𝚥𝑏 = −4,75	𝚤 + 0	𝚥𝑐 = 0	𝚤 − 1,5	𝚥𝐷 = −4,75	𝚤 + 1,75	𝚥𝐷 𝐷S𝐷R 𝜃 𝑥
𝑦
𝜃 = 69,8°
Representação
Gráfica�⃗�𝑏𝑐
𝐷 = 5,06	𝑘𝑚
Exemplo
7) Uma velejadora encontra ventos que impelem seu pequeno
barco a vela. Ela veleja 2,0 km de oeste para leste, a seguir 3,50 km
para sudeste e depois, a certa distância em direção desconhecida.
No final do trajeto ela está a 5,80 km diretamente a leste de seu
ponto de partida (figura anexa). Determine o módulo, direção e
sentido do terceiro deslocamento e faça a representação gráfica
deste vetor, informando o ângulo formado com a abscissa (x).
5,80 km
2,0 km
3,5 km
3º deslocamento45º 
Resposta do Exemplo
7) (...) Determine o módulo, direção e sentido do terceiro
deslocamento e faça a representação gráfica deste vetor,
informando o ângulo formado com a abscissa (x).
45º 
𝐷 𝐷 = 5,80	𝚤 + 0	𝚥−�⃗� = −2	𝚤 + 0	𝚥−𝑏 = −2,47	𝚤 + 2,47	𝚥𝑐 = 1,33	𝚤 + 2,47	𝚥
𝜃 = 61,7°
�⃗� 𝑏 𝑐
𝑐 = 2,81	𝑘𝑚𝑐 𝑐S𝑐R𝜃 𝑥
𝑦 RepresentaçãoGráfica
Exemplo
8) Um foguete aciona dois motores simultaneamente. Um
produz um impulso de 725 N diretamente para frente,
enquanto o outro fornece um impulso de 513 N a 23,4º acima
da direção horizontal. Determine o módulo, direção e sentido
do vetor resultante e faça a representação gráfica deste vetor
informando o ângulo formado com a ordenada (y).
725 N
513 N
23,4º 
Resposta do Exemplo
8) (...) Determine o módulo, direção e sentido do vetor
resultante e faça a representação gráfica deste vetor
informando o ângulo formado com a ordenada (y).𝐹p
𝐹' = 725	𝚤 + 0	𝚥𝐹, = 470,81	𝚤 + 203,74	𝚥𝐹p = 1195,81	𝚤 + 203,74	𝚥
𝜃 = 80,3°
𝐹, 𝐹'
𝐹p = 1213,04	𝑁𝑭𝑹𝐹ps
𝐹pt	𝜃
𝑥
𝑦RepresentaçãoGráfica
Exemplo
9) Uma espeóloga esta pesquisando uma
caverna. Ela percorre 180 m em linha reta
de leste para oeste, depois caminha 210
m em uma direção formando 45º com a
direção anterior e em sentido do leste
para o norte; a seguir, percorre 280 m a
30º no sentido do norte para o oeste.
Depois de um quarto deslocamento não
medido, ela retorna ao ponto de partida.
Determine o módulo, a direção, o sentido
do quarto deslocamento e calcule o
ângulo que este vetor forma com a
abscissa (x).
45º 
180 m
30º 
Resposta do Exemplo
9) (...) Determine o módulo, a direção, o sentido
do quarto deslocamento e calcule o ângulo que
este vetor forma com a abscissa (x).
45º 
30º 𝐷
�⃗�
𝑏
𝑐 �⃗� = −180	𝚤 + 0	𝚥𝑏 = 148,49	𝚤 + 148,49𝚥𝑐 = −140	𝚤 + 242,49	𝚥
𝐷 = 171,51	𝚤 − 390,98	𝚥𝐷
𝐷S
𝐷R𝜃 𝑥𝑦
𝐷 = 426,94	𝑚
Representação
Gráfica
𝜃 = 66,3°
𝑅 = −171,51	𝚤 + 390,98	𝚥∴ 𝐷 = −𝑅
Exemplo
10) Uma espeóloga esta pesquisando
uma caverna. Ela percorre 180 m em
linha reta de leste para oeste, depois
caminha 210 m em uma direção formando
45º com a direção anterior e em sentido
do sul para o leste; a seguir, percorre 280
m a 30º no sentido do norte para o oeste.
Depois de um quarto deslocamento não
medido, ela retorna ao ponto de partida.
Determine o módulo, a direção, o sentido
do quarto deslocamento e calcule o
ângulo que este vetor forma com a
ordenada (y).
45º 
180 m
30º 
Resposta do Exemplo
10) (...) Determine o módulo, a direção, o sentido do quarto
deslocamento e calcule o ângulo que este vetor forma com a
ordenada (y).
45º 
30º 
�⃗� = −180	𝚤 + 0	𝚥𝑏 = 148,49	𝚤 − 148,49𝚥𝑐 = −140	𝚤 + 242,49	𝚥
𝐷 = 171,51	𝚤 − 94	𝚥𝐷𝐷S 𝐷R𝜃
𝑥𝑦
𝐷 = 195,58	𝑚
Representação
Gráfica
𝜃 = 61,3°
𝐷�⃗�
𝑏 𝑐
𝑅 = −171,51	𝚤 + 94	𝚥∴ 𝐷 = −𝑅