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Indaial – 2019 Dinâmica De corpos rígiDos Prof. Sandro Elias Braun 1a Edição Copyright © UNIASSELVI 2019 Elaboração: Prof. Sandro Elias Braun Revisão, Diagramação e Produção: Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI – Indaial. Impresso por: B825d Braun, Sandro Elias Dinâmica de corpos rígidos. / Sandro Elias Braun. – Indaial: UNIASSELVI, 2019. 177 p.; il. ISBN 978-85-515-0336-2 1. Dinâmica dos corpos rígidos. - Brasil. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci. CDD 531.3 III apresentação Caro acadêmico! Neste Livro Didático estudaremos a Dinâmica de Corpos Rígidos, isto é, as relações existentes entre as forças que atuam num corpo rígido, a forma e a massa do corpo e o movimento produzido. Anteriormente estudamos relações semelhantes, supondo então que o corpo podia ser considerado um ponto material, isto é, a massa estava concentrada num único ponto e todas as forças estavam atuando nesse ponto. Agora, levaremos em consideração a forma do corpo, bem como a exata localização do ponto de aplicação de cada uma das forças. Além disso, não nos preocuparemos apenas com o movimento do corpo como um todo, mas também com seu movimento em torno do seu centro de massa. Nosso procedimento é considerar corpos rígidos como conjuntos de grande número de pontos materiais e utilizar os resultados obtidos para o movimento de sistemas de pontos materiais. Nesta unidade utilizaremos especificamente a Equação mΣ =F a , que relaciona a resultante das forças externas e a aceleração do centro de massa G do sistema de pontos materiais e a Equação G GΣ = M H , que relaciona o momento resultante das forças externas e o momento angular do sistema em relação a G. Os resultados deduzidos nessa unidade terão duas limitações: (1) serão restritos ao movimento plano de corpos rígidos, isto é, ao movimento em que cada ponto material do corpo permanece a uma distância constante de um plano de referência fixo; (2) os corpos rígidos considerados consistirão somente em placas planas e em corpos simétricos em relação ao plano de referência (*). O estudo do movimento plano de corpos tridimensionais assimétricos e, mais genericamente, do movimento de corpos rígidos no espaço tridimensional será estudado na Unidade 2. Utilizando como fundamento o estudo da Teoria da Dinâmica de Máquinas e Sistemas, na Unidade 3 estudaremos as vibrações livres e forçadas em sistemas mecânicos. Este estudo inicia-se através de modelos simples com um grau de liberdade (1GL). Estes modelos são úteis, pois estabelecem definições básicas e podem corresponder a muitas situações reais, especialmente quando se trata de análises dinâmicas numa faixa estreita de frequências. São aplicados também nos estudos mais avançados de vibrações mecânicas através do desacoplamento modal de modelos com vários graus de liberdade (NGL). Os parâmetros de massa, de rigidez e de amortecimento destes modelos são determinados a partir da aplicação das leis da dinâmica nos problemas de engenharia em estudo. Como pré- requisito ao estudo de vibrações mecânicas é fundamental o conhecimento das leis de Newton e Euler. Para o equacionamento de modelos de sistemas mais complexos, com vários graus de liberdade ou de modelos de sistemas com parâmetros distribuídos espacialmente, recomendamos também que você tenha o conhecimento das equações de Hamilton e Lagrange. Bons estudos! Prof. Sandro Elias Braun IV Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfi m, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material. Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo. Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão. Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade. Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos! NOTA Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o código QR Code, que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando. Para utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos! UNI V VI VII UNIDADE 1 – MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS ............................................... 1 TÓPICO 1 – PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA .................................................................. 3 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 3 2 PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA PARA CORPO RÍGIDO ......................................... 7 3 TRABALHO DAS FORÇAS QUE ATUAM NUM CORPO RÍGIDO ......................................... 9 4 ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO EM MOVIMENTO PLANO ....................... 10 5 PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA E POTÊNCIA PARA UM SISTEMA DE CORPO RÍGIDO ........................................................................................................ 14 6 POTÊNCIA ............................................................................................................................................. 16 LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 17 RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 20 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 24 TÓPICO 2 – PRINCÍPIO DE IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO ........................ 27 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 27 2 PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO ........................................................................................................................... 27 3 SISTEMAS DE CORPOS RÍGIDOS ................................................................................................. 31 4 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR ............................................................................ 32 RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 33 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 34 UNIDADE 2 – DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTOTRIDIMENSIONAL ..................................................................................................... 37 TÓPICO 1 – APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO ................................................................................................................... 39 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 39 2 MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO TRIDIMENSIONAL ............................... 40 3 APLICAÇÕES DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO AO MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL DE UM CORPO RÍGIDO ........................................ 46 4 ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO EM TRÊS DIMENSÕES ........................... 47 5 DINÂMICA DE UM CORPO RÍGIDO EM TRÊS DIMENSÕES .............................................. 49 6 EQUAÇÕES DE EULER DO MOVIMENTO .................................................................................. 52 RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 54 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 58 TÓPICO 2 – MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO .................................................... 63 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 63 2 MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM PONTO FIXO ................................................................................................................................ 63 3 ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM PONTO FIXO ............................ 64 sumário VIII 4 MOVIMENTO DE UM GIROSCÓPIO ............................................................................................ 67 5 PRECESSÃO ESTACIONÁRIA DE UM GIROSCÓPIO .............................................................. 71 6 MOVIMENTO DE UM CORPO DE REVOLUÇÃO SUBMETIDO APENAS AO SEU PESO ............................................................................................................................................... 74 LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 78 RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 81 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 83 UNIDADE 3 – VIBRAÇÕES MECÂNICAS ....................................................................................... 85 TÓPICO 1 – CLASSIFICAÇÃO DAS VIBRAÇÕES MECÂNICAS .............................................. 87 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 87 2 CONCEITO E CARACTERÍSTICAS DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS ..................................... 87 3 CLASSIFICAÇÃO DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS ...................................................................... 89 3.1 VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS ............................................................................. 98 3.2 VIBRAÇÕES LIVRES AMORTECIDAS ......................................................................................102 3.3 VIBRAÇÕES FORÇADAS PARA UM GRAU DE LIBERDADE .............................................114 LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................129 RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................131 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................133 TÓPICO 2 – APROFUNDAMENTO NO ESTUDO DE VIBRAÇÕES ........................................135 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................135 2 TRANSMISSIBILIDADE ..................................................................................................................135 3 ASSOCIAÇÃO DE MOLAS .............................................................................................................139 4 VIBRAÇÕES OCUPACIONAIS ......................................................................................................143 5 CONTROLE DE VIBRAÇÕES .........................................................................................................145 6 MEDIÇÃO DAS VIBRAÇÕES .........................................................................................................154 7 FREQUÊNCIA NATURAL ................................................................................................................162 8 BALANCEAMENTO ..........................................................................................................................163 9 AMORTECIMENTO ..........................................................................................................................165 RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................172 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................175 REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................177 1 UNIDADE 1 MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de: • introduzir os métodos usados na determinação do momento de inércia de um corpo; • desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo rígido simétrico; • discutir aplicações dessas equações a corpos em translação, em rotação em torno de um eixo fixo e em movimento plano geral; • desenvolver formulações para a energia cinética de um corpo e definir os vários modos com que forças e torques realizam trabalho; • aplicar o princípio do trabalho e energia para resolver problemas de dinâmica do movimento plano de um corpo rígido que envolvem força, velocidade e deslocamento; • mostrar como a conservação de energia pode ser usada na resolução de problemas; • desenvolver formulações para a quantidade de movimento e para o momento angular de um corpo; • aplicar os princípios do impulso e quantidade de movimento e momento angular na resolução de problemas de dinâmica que envolvem força, velocidade e tempo; • discutir a aplicação da conservação da quantidade de movimento e momento angular. Esta unidade está dividida em dois tópicos. No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado. TÓPICO 1 – PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA TÓPICO 2 – PRINCÍPIO DE IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 2 3 TÓPICO 1 UNIDADE 1 PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA 1 INTRODUÇÃO Como introdução a este tópico, faremos uma revisão sobre o movimento de sistemas de pontos materiais, isto é, o movimento de um número grande de pontos materiais tomados em conjunto. Na primeira parte consideraram-se sistemas formando um conjunto bem-definido de pontos materiais. Já na segunda parte analisaram-se sistemas com ganho e/ou perda de pontos materiais. • Forças Efetivas Definimos a força efetiva agente num ponto material P de um dado sistema, como sendo o produto mi. ai da massa m deste ponto pela sua aceleração a medida em um referencial inercial com origem O. Mostramos que o sistema de forças externas agentes nos pontosmateriais e o sistema das forças efetivas são equivalentes, isto é, ambos os sistemas têm a mesma resultante e o mesmo momento resultante em relação a O. (1I) (2I) (3I) (4I) 1 1 n n i i i i i F m a = = =∑ ∑ 1 1 ( ) ( ) n n i i i i i i i r x F r x m a = = =∑ ∑ • Quantidade de movimento e momento angular de um sistema de pontos materiais Definimos a quantidade de movimento L e o momento angular H0 em relação ao polo O, do sistema de pontos materiais como sendo: 1 n i i i L m v = =∑ 0 1 ( ) n i i i i H r x m v = =∑ UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS 4 Com essas definições, as equações (3I) e (4I) podem ser substituídas por: . F LΣ = . 00M HΣ = (5I) (6I) (7I) (8I) (9I) (10I) Essas equações expressam os seguintes resultados: a resultante das forças externas e o momento resultante das forças externas, em relação a O, são iguais respectivamente às taxas de variação da quantidade de movimento e do momento angular, em relação a O, do sistema de pontos materiais. • Movimento do centro de massa de um sistema de pontos materiais Representamos o centro de massa de um sistema de pontos materiais como sendo o ponto G, cujo vetor de posição r satisfaz a equação: 1 n i i i mr m r = =∑ em que m representa a massa total do sistema. Derivando-se ambos os membros da equação (6I) duplamente em relação ao tempo, obtém-se: L mv= . L ma= em que v e a representam, respectivamente, a velocidade e a aceleração do centro de massa G. Usando (9I) em (5I), obtém-se a equação: F maΣ = Conclui-se, portanto, que o centro de massa se move como se toda a massa do sistema e todas as forças externas estivessem concentradas neste ponto. Consideramos o movimento dos pontos materiais em relação a um sistema baricêntrico G x’ y’ z\ com origem em G e em translação relativa ao sistema inercial Oxyz, conforme podemos observar no gráfico a seguir: TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA 5 (11I) (12I) GRÁFICO 1 – MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS EM RELAÇÃO AO SEU CENTRO DE MASSA FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem- aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. Definimos o momento angular do sistema, em relação ao seu centro de massa G, como sendo a soma dos produtos vetoriais r*. x m.v´, em que r* e v’ são o vetor de posição e a velocidade de cada ponto P em relação ao sistema baricêntrico Gx’y’z’; Pode-se escrever, portanto: , , , 1 1 ( ) ( ) n n G i i i i i i i i H r x m v r x m v = = = =∑ ∑ E, por conseguinte: Esta última equação nos diz que o momento resultante em relação a G das forças externas é igual à taxa de variação do momento angular do sistema de pontos materiais, em relação ao seu centro de massa. Como será visto mais adiante, esse resultado é fundamental para o estudo do movimento de corpos rígidos. G GM HΣ = . https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS 6 • Energia cinética de um sistema de pontos materiais A energia cinética T de um sistema de pontos materiais é definida como a soma das energias cinéticas dos pontos constituintes do sistema: 2 1 1 2 n i i i T m v = = ∑ (13I) (14I) (15I) (16I) Usando o sistema baricêntrico Gx’y’z’ (Figura 1), notamos que a energia cinética do sistema pode ser expressa como a soma da energia cinética mv2 associada ao movimento do centro de massa G com a energia cinética do sistema em seu movimento relativo ao sistema Gx’y’z’: • Princípio do trabalho e energia O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado a um sistema de pontos materiais, bem como a cada ponto, individualmente. Escrevemos: 1 1 2 2T U T→+ = Em que 2 representa o trabalho de todas as forças agentes no sistema de pontos materiais, internas e externas. • Conservação da Energia Se todas as forças agentes no sistema de pontos são conservativas, pode-se determinar a energia potencial V' do sistema, valendo, então: 1 1 2 2T V T V+ = + que expressa o princípio de conservação da energia para o sistema de pontos materiais. • Princípio do impulso e quantidade de movimento O princípio do impulso e quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais pode ser expresso graficamente, como indicado a seguir: 2 ,2 1 1 1 2 2 n i i i T mv m v− = = + ∑- TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA 7 (17I) (18I) (1.1) GRÁFICO 2 – PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem- aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. a) b) c) 0 x (mAvA)1 (mBvB)1 (mCvC)1 (mCvC)2 (mAvA)2 (mBvB)2 + = x x 0 0 y y y 2 1 I t F dt∑∫ 2 1 0 I t M dt∑∫ Se nenhuma força externa age no sistema de pontos materiais, os sistemas de quantidade de movimento mostrados nas partes a e c do Gráfico 2 são equivalentes. Tem-se, portanto: 1 2L L= 0 1 0 2( ) ( )H H= • O uso dos princípios de conservação na solução de problemas envolvendo sistemas de pontos materiais Muitos problemas envolvendo o movimento de sistemas de pontos materiais podem ser resolvidos pela aplicação simultânea do princípio do impulso e quantidade de movimento e o princípio da conservação da energia, ou, no caso de forças externas nulas, considerando que a quantidade de movimento, o momento angular e a energia se conservam. 2 PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA PARA CORPO RÍGIDO Vamos pensar que o corpo rígido é baseado em um número bem grande n pontos materiais de massas ∆mi. Escrevemos: 1 1 2 2 T U T→+ = Em que: T1, T2 = valores inicial e final da energia cinética total dos pontos materiais que formam o corpo rígido; U1→2 = trabalho de todas as forças que agem sobre os vários pontos materiais do corpo. https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS 8 A energia cinética total: ( ) 21 2 n i i i 1 T m v = = ∆∑ (1.2) FIGURA 1 – TRABALHO NULO DAS FORÇAS INTERNAS EM UM CORPO RÍGIDO FONTE: <https://image.slidesharecdn.com/dinmicademquinasevibraes-130911130346- phpapp01/95/dinmica-de-mquinas-e-vibraes-53-638.jpg?cb=1378905387>. Acesso em: 5 jun. 2019. A expressão U1→2 em (1.1) representa o trabalho de todas as forças que atuam nos diversos pontos materiais do corpo, sejam elas forças internas ou externas. No entanto, como veremos a seguir, o trabalho total das forças internas de coesão entre os pontos materiais de um corpo rígido é nulo. Consideram-se dois pontos materiais A e B de um corpo rígido e duas forças opostas F e −F que cada um exerce sobre o outro (Equação 1.1). Embora, em geral, os pequenos deslocamentos dr e dr' dos dois pontos materiais sejam diferentes, as componentes desses deslocamentos projetados sobre AB devem ser iguais; do contrário, os pontos materiais não se manteriam a uma distância fixa e o corpo deixaria de ser rígido. Portanto, o trabalho de F é igual em módulo e de sinal contrário ao de −F e sua soma é nula. Logo, o trabalho total das forças internas que atuam nos pontos materiais de um corpo rígido é nulo, e a expressão U 1→2 na Equação 1.1 se reduz ao trabalho das forças externas que atuam sobre o corpo durante o deslocamento considerado. IMPORTANT E é obtida somando-se grandezas positivasescalares e é, por isso mesmo, uma grandeza escalar positiva. TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA 9 (1.3) (1.4) ou Acesse a sugestão de vídeo no seguinte link: https://www.youtube.com/ watch?v=ianpeES0qxA – Princípio Energia-Trabalho/ Mecânica do Corpo Rígido. Experiência do carretel. DICAS 3 TRABALHO DAS FORÇAS QUE ATUAM NUM CORPO RÍGIDO Vimos que o trabalho de uma força F durante o deslocamento de seu ponto de aplicação de A1 para A2 é: 2 1 1 2 A A U d→ = •∫ F r ( )2 1 1 2 cos A A U F dsα→ = ∫ Em que F é o módulo da força, α é o ângulo que a força faz com a direção do movimento de seu ponto de aplicação A e s é a variável de integração que mede a distância percorrida por A ao longo de sua trajetória. Torna-se muitas vezes adequado estabelecer o trabalho de um binário sem considerar separadamente o trabalho de cada uma das duas forças que o formam, na estimativa do trabalho das forças externas que operam num corpo rígido. Considerem-se as duas forças F e −F, que formam um binário de momento M e atuam num corpo rígido (Figura 2). FIGURA 2 – TRABALHO DE UM BINÁRIO FONTE: <https://image.slidesharecdn.com/dinmicademquinasevibraes-130911130346-phpapp01/95/ dinmica-de-mquinas-e-vibraes-55-638.jpg?cb=1378905387>. Acesso em: 5 jun. 2019. https://www.youtube.com/watch?v=ianpeES0qxA https://www.youtube.com/watch?v=ianpeES0qxA UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS 10 No deslocamento do corpo sólido transportando A e B, respectivamente, para A' e B", pode ser dividido em duas partes, uma na qual os pontos A e B têm deslocamentos iguais drl e outra na qual A' permanece fixo, enquanto B' se move para B" com um deslocamento dr2 cujo módulo é ds2 = r dθ. Na primeira parte do movimento, o trabalho de F é igual em módulo e de sinal contrário ao de −F, acarretando uma soma nula. Na segunda parte do movimento, somente a força F produz trabalho, que é igual a dU = F ds2 = Fr dθ. Mas o produto Fr é igual ao módulo do momento M do binário. Assim, o trabalho de um binário com momento M que atua num corpo rígido é: (1.5) (1.6) (1.7) dU = M dθ Em que dθ é o pequeno ângulo, expresso em radianos, que gira o corpo. Notamos novamente que o trabalho deve ser expresso em unidades obtidas multiplicando a unidade de força pela unidade de comprimento. O trabalho do binário durante uma rotação finita do corpo rígido é obtido pela integração de ambos os membros da Equação (1.5) desde o valor inicial θ1 do ângulo θ até seu valor final θ2. Escrevemos: 2 1 1 2 U Md θ θ θ→ = ∫ Já vimos que diversas forças encontradas em problemas de dinâmica não produzem trabalho. São forças aplicadas em pontos fixos ou são perpendiculares aos deslocamentos de seus pontos de aplicação. Entre tais forças que não produzem trabalho, as seguintes foram citadas: a reação num pino sem atrito quando o corpo suportado por ele gira ao seu redor, a reação numa superfície lisa, isto é, quando o corpo se move sobre ela, o peso de um corpo quando seu centro de gravidade se desloca na horizontal. Deveremos indicar também, agora, que quando um corpo rígido rola sem escorregar sobre uma superfície fixa, a força de atrito F no ponto de contato C não produz trabalho. A velocidade vC do ponto de contato C é nula, e o trabalho da força de atrito F durante um pequeno deslocamento do corpo rígido é: dU = F dsC = F(vC dt) = 0. 4 ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO EM MOVIMENTO PLANO Considere um corpo rígido de massa m em movimento plano. Lembramos que, se exprimirmos a velocidade absoluta vi de cada ponto material Pi do corpo como a soma da velocidade v do centro de massa G do corpo com a velocidade v'i do ponto material em relação ao sistema Gx'y' com origem em G e com orientação fixa (Gráfico 3), a energia cinética do sistema de pontos materiais que formam o corpo rígido pode ser escrita na forma: Quando o momento M do binário é constante, a expressão (1.6) se reduz a: ( )1 2 2 1U M θ θ→ = − TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA 11 (1.8) (1.9) (1.10) ( )2 21 1 ' 2 2 n i i i 1 T mv m v = = + ∆∑ GRÁFICO 3 – VELOCIDADE DO PONTO P i EM FUNÇÃO DA VELOCIDADE DO PONTO G y 0 x x' v'i v'i G (v'i=r'i ω) ω vi v v y' FONTE: <https://image.slidesharecdn.com/dinmicademquinasevibraes-130911130346-phpapp01/95/ dinmica-de-mquinas-e-vibraes-57-638.jpg?cb=1378905387>. Acesso em: 5 jun. 2019. Mas o módulo v'i da velocidade relativa de Pi é igual ao produto r'iω, em que r'i é a distância do ponto material Pi ao eixo que passa por G e é perpendicular ao plano do movimento, e ω é o módulo da velocidade angular do corpo no instante considerado. Substituindo em (1.8), temos: 2 2 21 1 ' 2 2 n i i i 1 T mv r m ω = = + ∆ ∑ Ou, como a somatória representa o momento de inércia I do corpo em relação ao eixo que passa por G: 2 21 1 2 2 T mv Iω= + UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS 12 Notemos que, no caso particular de um corpo em translação (ω = 0), a expressão obtida reduz-se a ½ mv2, enquanto no caso de rotação baricêntrica (v= 0) tem- se ½.Iω2. Concluímos que a energia cinética de um corpo rígido em movimento plano pode ser separada em duas partes: (1) a energia cinética ½ m Iω2 associada ao movimento do centro de massa G do corpo; (2) a energia cinética ½. Iω2 associada à rotação do corpo em torno de G. IMPORTANT E • Rotação não baricêntrica A relação (1.10) é válida para qualquer tipo de movimento plano, podendo, por isso, ser utilizada para expressar a energia cinética de um corpo rígido que gira com uma velocidade angular ω em torno de um eixo fixo que passa por O (Figura 3). FIGURA 3 – VELOCIDADES EM CASO DE ROTAÇÃO NÃO BARICÊNTRICA FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem- aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. 0 Vi Pi ri ω Nesse caso, entretanto, a energia cinética do corpo pode ser expressa mais diretamente, bastando para isso lembrar-se de que a velocidade vi do ponto material Pi do corpo é igual ao produto riω, em que r é a distância de P até o eixo fixo e ω é o módulo da velocidade angular do corpo no instante considerado. Substituindo em (1.2), pode-se escrever: ( )( )2 2 21 1 2 2 n n i i i i i 1 i 1 T m r r mω ω = = = ∆ = ∆ ∑ ∑ (1.11) https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA 13 (1.13) (1.12) Ou, já que a última somatória em (1.11) representa o momento de inércia I0 do corpo em relação ao eixo fixo que passa por O: Observemos que os resultados obtidos não são limitados ao movimento de placas planas ou ao movimento de corpos simétricos em relação ao plano de referência. Eles podem ser utilizados no estudo do movimento plano de qualquer corpo rígido, qualquer que seja sua forma. NOTA • Sistemas de corpos rígidos Quando um problema envolve vários corpos rígidos, cada corpo pode ser considerado separadamente e o princípio do trabalho e energia aplicada a cada um. Somando as energias cinéticas de todos os pontos materiais e considerando o trabalho de todas as forças envolvidas, podemos também escrever a equação do trabalho e energia para todo o sistema. Temos: 1 1 2 2T U T→+ = 21 2 O T I ω= Em que T representa a soma das energias cinéticas dos corpos rígidos que formam o sistema (todos os termos são positivos) e U1→2 é o trabalho de todas as forças que atuam nos diversos corpos, sejam forças internas ou externas do ponto de vista do sistema como um todo. Problemas que requerem elementos unidos por pinos, blocos e polias presos por cordas inextensíveis ou engrenagens acopladas, na soluçãoé especialmente adequado o estudo do trabalho e energia. Em todos esses casos, as forças internas aparecem aos pares de forças opostas, e os pontos de aplicação das forças em cada par percorrem distâncias iguais durante um pequeno deslocamento do sistema. Como resultado, U1→2 se reduz ao trabalho das forças externas ao sistema e o trabalho das forças internas é nulo. NOTA UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS 14 5 PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA E POTÊNCIA PARA UM SISTEMA DE CORPO RÍGIDO Vimos anteriormente que o trabalho de forças conservativas, tais como o peso de um corpo ou a força exercida por uma mola, pode ser expresso como uma variação da energia potencial. Quando um corpo rígido, ou um sistema de corpos rígidos, move-se sob a ação de forças conservativas, o princípio do trabalho e energia pode ser apresentado numa forma modificada. Substituindo-se o valor de U1→2 em (1.1), pode-se escrever: 1 1 2 2 T V T V+ = + (1.14) A fórmula (1.14) indica que quando um corpo rígido ou um sistema de corpos rígidos se movem sob a ação de forças conservativas, a soma das energias cinética e potencial do sistema permanece constante. Deve ser observado que, no caso do movimento plano de um corpo rígido, a energia cinética dele inclui tanto o termo devido à translação ½ mv2, como o termo devido à rotação ½.Iω2. Como um exemplo da aplicação do princípio da conservação da energia, consideremos uma barra delgada AB, de comprimento l e massa m, cujas extremidades estão ligadas a blocos de massas desprezíveis, que deslizam ao longo de guias horizontal e vertical. Suponhamos que a barra parte do repouso na posição horizontal sem velocidade inicial (Figura 4). Queremos determinar sua velocidade angular depois que ela girou de um ângulo θ (Figura 4b). FIGURA 4 – EXEMPLO DA APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA FONTE: <https://image.slidesharecdn.com/dinmicademquinasevibraes-130911130346-phpapp01/95/ dinmica-de-mquinas-e-vibraes-62-638.jpg?cb=1378905387>. Acesso em: 5 jun. 2019. a) b) Nível de referência B B v G C l G θ l sen θ12 ω AA Nível de referência Sendo nula a velocidade inicial, então T1 = 0. Tomando como referência para a medição da energia potencial o nível da guia horizontal, escrevemos V1 = 0. Após a barra ter girado de um ângulo θ, o centro de gravidade G da barra está a uma distância ½.l sen θ abaixo do nível de referência, e temos: TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA 15 2 1 1 2 2 V Plsen mglsenθ θ= − = − Observando que nessa posição o centro instantâneo de rotação da barra está localizado em C e que CG = ½.l, pode-se escrever v2= ½.lω e obtemos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 12 2 3 mlT mv I m l mlω ω ω ω = + = + = Aplicando o princípio da conservação da energia, resulta em: 1 1 2 2 T V T V+ = + 2 2 2 1 10 2 3 2 ml mglsenω θ= − 1/2 2 3g sen l ω θ = Lembramos que as vantagens do método do trabalho e energia, bem como suas deficiências, foram mencionadas. Queremos apenas complementar dizendo que o referido método deve ser aplicado com o Princípio de d'Alembert quando se quer determinar reações em eixos fixos, em roletes ou em blocos deslizantes. Você pode conhecer mais sobre o princípio de d'Alembert consultando o seguinte site: https://ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/profmat/DISSMES/T2014/14dissT2014cap.pdf DICAS Por exemplo, para calcular as reações nas extremidades A e B da barra da Figura 4b, deve-se traçar um diagrama para expressar a equivalência entre o sistema formado pelas forças externas aplicadas na barra e o sistema formado pelo vetor ma a e o momento Iα. A velocidade angular ω da barra, contudo, é determinada pelo método do trabalho e energia, antes de se resolverem as equações do movimento em função das reações. A análise completa do movimento da barra e das forças exercidas sobre ela exige, portanto, o uso combinado do método do trabalho e energia com o princípio da equivalência das forças externas e efetivas. https://ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/profmat/DISSMES/T2014/14dissT2014cap.pdf UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS 16 6 POTÊNCIA Estabelece-se potência como sendo o trabalho na unidade de tempo. No caso de um corpo sujeito à ação de uma força F e movendo-se com uma velocidade v, a potência foi expressa como segue: Potência dU dt = = •F v (1.15) (1.16) No caso de um corpo rígido girando com uma velocidade angular ω e sob a ação de um binário de momento M paralelo ao eixo de rotação, temos: Potência dU Md M dt dt θ ω= = = A unidade utilizada para medir a potência, o watt, foi definida. TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA 17 DINÂMICA DA PARTÍCULA: FORÇA E ACELERAÇÃO Neste capítulo será analisada a lei de Newton na sua forma diferencial, aplicada ao movimento de partículas. Nesta forma a força resultante das forças aplicadas numa partícula está relacionada com a sua aceleração. [...] 2.1 LEIS DE NEWTON PARA MOVIMENTOS A mecânica vetorial está baseada na teoria de Newton, apresentada originalmente em 1687. Newton utilizou para o desenvolvimento de sua teoria os trabalhos de outros cientistas que o precederam, especialmente de Galileo e de Kepler. Através de experimentos práticos, Galileo demonstrou alguns princípios do movimento dos corpos. Entretanto Newton foi o primeiro a estabelecer de uma forma sistemática um conjunto de leis gerais para o estudo desses movimentos. Estas leis foram formuladas inicialmente para partículas simples, assumindo a existência de sistemas de referência, em relação aos quais são válidas. Estes sistemas de referência, chamados sistemas inerciais ou galileanos, formam um conjunto especial de sistemas de referência que estão em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, um em relação ao outro. Na mecânica newtoniana um sistema inercial é definido como aquele que está em repouso ou em movimento uniforme em relação a uma suposta posição média de estrelas fixas e distantes. Entretanto, para muitos objetivos práticos é possível adotar como inercial um sistema fixo ao sistema solar. Em muitas aplicações da engenharia é possível adotar como inercial um sistema de referência fixo à superfície da terra. Newton enunciou suas leis como axiomas do movimento, hoje apresentadas da seguinte forma: Primeira lei: Uma partícula se move em linha reta com velocidade constante quando não há forças atuando sobre ela. Uma partícula é a idealização de um corpo material cujas dimensões são muito pequenas quando comparadas com as distâncias a outros corpos e cujo movimento relativo entre seus pontos não é relevante para o movimento do corpo. Matematicamente estes corpos são representados por massas pontuais. Sendo FR a força resultante numa partícula e v a sua velocidade em relação a um referencial inercial, a primeira lei pode ser estabelecida por: LEITURA COMPLEMENTAR 0 0R dvF dt = ⇒ = Segunda lei: Uma partícula se move de maneira tal que a força resultante a ela aplicada é igual à derivada em relação ao tempo da quantidade de movimento linear. UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS 18 A quantidade de movimento linear, ou simplesmente quantidade de movimento, é definida como o produto da massa pela velocidade, ou seja, igual a mv. Assim a segunda lei pode ser dada por: ( ) R d mvF dt = Sendo constante a massa da partícula, então a equação (2.2) pode ser escrita como: ( ) R d mvF ma dt = = Terceira lei: Quando duas partículas atuam uma sobre a outra, as forças de interação correspondentes situam-se sobre a linha que une estas partículas; são iguais em módulo e de sentidos contrários. Esta lei também é conhecida como lei de ação e reação. Indicando por FAB a força exercida pela partícula A sobre a partícula B e FBA a força que a partícula B exerce em A, a terceira lei pode ser estabelecida matematicamente por: AB BAF F= − Newton também propôs uma lei para reger a atração mútua entre duas partículas,denominada Lei de Newton da Atração Gravitacional, dada por: 2 2 l G m mF G r = Em que: FG é força de atração entre as duas partículas G = 66,73 (10-12) m3/(kg.s2) é uma constante universal de gravitação m1, m2 são as massas de cada uma das partículas r é a distância entre as partículas Analisando a lei dada por (2.5) poderemos considerar como desprezível esta força quando se trata da atração entre dois corpos sobre a terra. Se considerarmos, por outro lado, a atração que a terra exerce sobre um corpo em sua superfície, pode-se mostrar que esta força é dada por: 2 MmW G mg R = = TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA 19 Em que: W é a força de atração entre a terra e o corpo, denominada peso M é a massa da terra R é igual ao raio da terra m é a massa corpo na superfície da terra é denominada aceleração da gravidade2 Mg G R = Esta constante de fato varia ao longo da superfície da terra, mas estas variações são consideradas pequenas na maioria das aplicações em engenharia. Os valores de referência adotados universalmente são: g = 9,81 m/s2 ou 32,2 ft/s2. [...] Você poderá ler o texto na íntegra se desejar, consultando a referência a seguir. FONTE: <https://docplayer.com.br/9207329-Capitulo-2-dinamica-da-particula-forca-e-aceleracao. html>. Acesso em: 13 jun. 2019. https://docplayer.com.br/9207329-Capitulo-2-dinamica-da-particula-forca-e-aceleracao.html https://docplayer.com.br/9207329-Capitulo-2-dinamica-da-particula-forca-e-aceleracao.html 20 Neste tópico, você aprendeu que: • A primeira equação determina o movimento do centro de massa G do corpo: • Reduzindo nossa análise, a partir deste ponto, ao movimento plano de placas rígidas e corpos rígidos simétricos em relação a um plano de referência, apresentamos que o momento angular do corpo pode ser escrito como: RESUMO DO TÓPICO 1 F maΣ = (1.1R) (1.2R) (1.3R) (1.4R) Em que m é a massa do corpo e a, a aceleração de G. A segunda equação está relacionada com o movimento do corpo relativamente a um referencial baricêntrico: Em que HG é a derivada temporal do momento angular HG do corpo em relação ao seu centro de massa G. As equações 1.1R e 1.2R, em conjunto, nos dizem que o sistema de forças externas é equipolente ao sistema consistindo num vetor mα ligado a G e um binário de momento HG. GH Iω= Em que I e o momento de inércia do corpo em relação a um eixo baricêntrico perpendicular ao plano de referência e w a velocidade angular do corpo. Derivando ambos os membros da Equação (1.3R), obtemos: . . GH I Iω α= = Esta equação evidencia que, no caso específico visto aqui, a derivada temporal do momento angular do corpo rígido pode ser descrita por um vetor de mesma direção e sentido que a (isto é, normal ao plano de referência). • Do apresentado anteriormente deduz-se que o movimento plano de uma placa rígida ou de um corpo rígido simétrico em relação a um plano de referência é definido pelas três equações escalares: G GM HΣ = . 21 (1.5R) (1.6R) (1.7R) • Sobre o Princípio de d’Alembert podemos entender que as forças externas agentes no corpo rígido são de fato equivalentes às forças efetivas sobre os vários pontos materiais que compõem o corpo. Este resultado, conhecido como Princípio de d’Alembert, pode ser expresso através de um diagrama vetorial, em que as forças efetivas estão representadas por um vetor m.a, com origem no centro de massa G, e um momento de binário Ia. No caso particular de uma placa em translação, as forças efetivas se reduzem a um único vetor m.a, enquanto no caso de rotação baricêntrica, as forças efetivas se reduzem apenas a um binário Iα. Em qualquer outro caso de movimento plano, ambos os vetores devem ser incluídos. • A equação de diagrama de corpo livre pode ser usada para resolver qualquer problema sobre movimento de uma placa rígida. Três equações de movimento podem ser obtidas ao se igualarem as componentes x e y e os momentos (em relação a um ponto arbitrário A) das forças e vetores envolvidos. Uma solução alternativa também pode ser obtida pela adição as forças externas de um vetor de inércia (de sentido oposto ao de a e com origem em G) e um binário de inércia (de sentido oposto ao de a. O sistema obtido desta maneira é equivalente a zero, e diz-se que a placa se encontra em equilíbrio dinâmico. • O movimento plano de vários corpos rígidos unidos entre si pode ser resolvido pelo método descrito anteriormente. Traça-se um diagrama de corpo livre para cada parte do sistema e se resolve, simultaneamente, o conjunto de equações de movimento obtidos dos diagramas. • O movimento de corpos rígidos submetidos a certos vínculos foi tratado na segunda parte da unidade. Embora a análise da dinâmica do movimento plano vinculado de uma placa rígida seja idêntica àquela discutida acima, é necessário complementá-la com uma análise cinemática que tem como objetivo expressar os componentes da aceleração do centro de massa G da placa em termos da sua aceleração angular a. • Desenvolvemos o princípio do trabalho e energia em um corpo rígido, no tipo: 1 1 2 2T U T→+ = Em que T1 e T2 representam os valores inicial e final da energia cinética do corpo rígido e U1→2 o trabalho das forças externas nele agentes. • A relação para o trabalho de uma força F adotada ao ponto A: 2 1 1 2 ( cos ) A A U F dsα→ = ∫ x yx y GF ma F ma M IαΣ = Σ = Σ −__ 22 Em que F é a intensidade da força, α, o ângulo entre a força e o deslocamento de A, e s é a variável de integração medindo a distância percorrida por A ao longo de sua trajetória. Deduzimos, também, uma expressão para o trabalho de um binário de momento M aplicado a um corpo rígido durante uma rotação de um ângulo θ. • A relação da energia de movimento de um corpo rígido no movimento plano é escrita como: 2 1 1 2U Md θ θ θ→ = ∫ (1.8R) (1.9R) (10R) (1.11R) Em que o primeiro termo é a velocidade do centro de massa G do corpo, o segundo termo a sua velocidade angular e I seu momento de inércia em relação a um eixo G e perpendicular a um plano de referência. Notamos que a energia cinética de um corpo rígido no movimento plano pode ser decomposta em dois termos: (1) a energia cinética associada ao movimento do centro de massa G e (2) a energia cinética associada à rotação em torno de G. • Considerando um corpo fixo girando em torno de um ponto fixo por um ponto O, com certa velocidade angular, vale a equação: 2 0 1 2 T I ω= Reparamos que a solução anteriormente não se restringe ao movimento de placas planas ou corpos simétricos em comparação a um plano de referência. O resultado é válido, independentemente da forma do corpo ou da localização do eixo de rotação. • Caso um corpo rígido ou um sistema de corpos rígidos esteja sujeito a forças conservativas, o princípio do trabalho e energia tolera ser evidenciada na forma: 1 1 2 2T V T V+ = + Passando a ser denominado princípio da conservação da energia. Este princípio pode ser usado para resolver problemas envolvendo a força gravitacional ou a força de uma mola. Todavia, quando se deseja determinar uma força de reação, o princípio da conservação da energia deve ser suplementado pelo princípio de D’Alembert. 2 21 1 2 2 T mv Iω= +- 23 (1.12R) • Acrescentamos o conceito sujeito a um binário de potência considerando a rotação de um corpo: Potência dU Md M dt dt θ ω= = = Em que M é o modulo do momento do binário. 24 1 Quando a velocidade do veículo mostrado na figura era de 9,00 m/s, aplicaram-se os freios bruscamente, fazendo com que as quatro rodas parassem de girar. Observou-se que o veículo derrapou 6,00 m antes de parar. Determine o módulo da reação normal e da força de atrito em cada roda enquanto o veículo derrapava. 2 A placa ABCD de 8,00 kg está sustentada pelas barras articuladas AE e DF e pelo fio B1L. Desprezando as massas de AE e DF, determine imediatamente após o corte de BII: a) a aceleração dt > centro de massa da placa; b) n força em cada barra. FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_ pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem- aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_ pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. AUTOATIVIDADE 1,2 m 1,5 m 2,1 mA G B 500 mm 30° 30° 200 mm 150 mmE F CD A H https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf 25 3 Uma roldana pesando 53,4 N e tendo raio de giração de 0,203 m está ligada a dois blocos, como ilustra a figura a seguir. Supondo que não exista atrito no eixo, determine a aceleração angular da roldana e aceleração de cada cilindro. FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem- aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_ pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. 0,152 m 0,254 m 44,5 N 22,2 N https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf 26 27 TÓPICO 2 PRINCÍPIO DE IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO Usaremos neste tópico princípio do impulso e quantidade de movimento para estudar o movimento plano de corpos rígidos e de mecanismos de corpos rígidos. Na solução de problemas envolvendo tempo e velocidades foi mostrado que o método do impulso e quantidade de movimento é particularmente útil. Além disso, o princípio do impulso e quantidade de movimento fornece o único método viável para a solução de problemas envolvendo colisões. Bons estudos! 2 PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DO MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO Lembremo-nos de que o sistema formado pelas quantidades de movimento dos pontos materiais no instante t1 e o sistema dos impulsos das forças externas aplicadas de t1 até t2 são, em conjunto, equipolentes ao sistema formado pelas quantidades de movimento dos pontos materiais no instante t2,, considerando mais uma vez um corpo rígido como composto por um enorme número de pontos materiais Pi. Como os vetores associados a um corpo rígido podem ser considerados como vetores deslizantes, segue-se que os sistemas de vetores ilustrados na Gráfico 4 não são somente equipolentes, mas verdadeiramente equivalentes, no sentido em que os vetores do lado esquerdo do sinal de igualdade podem ser transformados nos vetores do lado direito através da utilização das operações fundamentais. GRÁFICO 4 – PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA UM CORPO RÍGIDO FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem- aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. y y y 0 a) (viΔmi)1 (viΔmi)2∫F dt b) c)0 0 x x x https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS 28 Escrevemos, portanto: Sist. Quant. Movimento1 + Sistema de Imp. Externos1→2 = Sist. Quant. Movimento2 Mas as quantidades de movimento vimi dos pontos materiais podem ser reduzidas a um vetor ligado a G, igual à soma deles: n i i i 1 m = = ∆∑L v (1.17) (1.18) E a um vetor igual à soma dos momentos em relação a G: n G i i i 1 ' m = = × ∆∑ iH r v Lembramos que L e HG definem, respectivamente, a quantidade de movimento e o momento angular em relação a G do sistema de pontos materiais que formam o corpo rígido. Observamos também da Equação que L = mv. Por outro lado, restringindo a presente análise ao movimento plano de uma placa rígida ou de um corpo rígido simétrico em relação ao plano de referência, lembramos da equação que HG = Iω. IMPORTANT E Assim, concluímos que o sistema de quantidades de movimento vi∆mi é equivalente ao vetor quantidade de movimento mv ligado a G e ao vetor momento angular Iω. O sistema das quantidades de movimento reduz-se ao vetor mv no caso particular de uma translação (ω = 0) e ao momento Iω, no caso particular de uma rotação baricêntrica (v = 0), verificamos uma vez mais que o movimento plano de um corpo rígido simétrico em relação ao plano de referência pode ser decomposto numa translação do centro de massa G e numa rotação em torno de G. Substituindo o sistema das quantidades de movimento nas partes a e c do Gráfico 4 pelo vetor quantidade de movimento equivalente e pelo momento angular, obtemos os três diagramas ilustrados na Figura 5. Essa figura expressa graficamente a relação fundamental (1) no caso do movimento plano de uma placa rígida ou de um corpo rígido simétrico em relação ao plano de referência. TÓPICO 2 | PRINCÍPIO DE IMPULSO E QUANTIDADE 29 FIGURA 5 – PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO FONTE: <https://player.slideplayer.com.br/5/1596237/data/images/img4.jpg>. Acesso em: 5 jun. 2019. a) b) c) mv1 mv2 Diagrama da quantidade de movimento incial Diagrama de quantidade de movimento final Diagrama de impulso ∑∫ F dt Três equações de movimento podem ser deduzidas da Figura 5. Duas equações são obtidas pela soma e comparação das componentes x e y das quantidades de movimento e impulsos e a terceira pela soma e comparação dos momentos desses vetores em relação a qualquer ponto dado. Os eixos coordenados escolhidos podem ser fixos no espaço ou podem mover-se com o centro de massa do corpo, mas mantendo direções fixas. Em ambos os casos, o ponto em relação ao qual os momentos são tomados deve manter a posição em relação aos eixos coordenados durante o intervalo de tempo considerado. Por exemplo, esta condição não se aplica ao centro de massa G1 do sistema, não é necessária em geral. Na dedução das três equações do movimento de um corpo rígido deve-se tomar cuidado para não somar indiscriminadamente quantidades de movimento e momentos angulares. Para evitar confusão basta lembrar que mvx e mvy representam as componentes de um vetor, vetor quantidade de movimento mv, enquanto Iù representa o módulo de um momento, momento angular Iù. Assim, a quantidade Iω deve ser adicionada somente ao momento da quantidade de movimento mv e nunca ao vetor em si ou as suas componentes. Todas as quantidades envolvidas serão expressas nas mesmas unidades, ou seja, N . m . s. ATENCAO UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS 30 • Giro não baricêntrico O movimento plano, nessa condição própria,o módulo da velocidade do centro de massa do corpo é v = rω, em que r representa a distância do centro de massa ao eixo fixo de rotação e ω a velocidade angular do corpo no instante considerado; o módulo do vetor quantidade de movimento ligado a G é, então, mv = mrω. FIGURA 6 – ROTAÇÃO NÃO BARICÊNTRICA FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem- aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. F2 F3 F4 F1 G a) b) G Iα Adicionando os momentos em relação a O do vetor quantidade de movimento e o momento angular (Figura 6) e utilizando o teorema dos eixos paralelos para os momentos de inércia, verificamos que o momento angular HG do corpo em relação a O tem o módulo: (1.19) (1.20) Igualando os momentos em relação a O, da quantidade de movimento e dos impulsos, obtemos: 2 1 0 1 0 0 2 t t I M dt Iω ω+Σ =∫ No caso geral do movimento plano de um corpo rígido simétrico em relação ao plano de referência, a Equação (1.20) pode ser utilizada em relação ao eixo instantâneo de rotação, sob certas exigências. 2 0( ) ( )I mr r I mr Iω ω ω ω+ = + =- - - https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf TÓPICO 2 | PRINCÍPIO DE IMPULSO E QUANTIDADE 31 Recomenda-se, contudo, que todos os problemas de movimento plano sejam resolvidos pelo método geral descrito anteriormente. A Equação (1.20), em geral, não é válida em relação ao eixo instantâneo de rotação. IMPORTANT E 3 SISTEMAS DE CORPOS RÍGIDOS Aplicando o princípio do impulso e quantidade de movimento a cada corpo isoladamente é possível o estudo do deslocamento de muitos corpos rígidos. Todavia, na resolução de problemas que não envolvem mais do que três incógnitas (incluindo os impulsos e reações desconhecidas), torna-se muitas vezes mais conveniente aplicar o princípio do impulso e quantidade de movimento ao sistema como um todo. No entanto, algumas recomendações são necessárias: 1) Os diagramas da quantidade de movimento e do impulso são traçados para todo o sistema de corpos. 2) Os diagramas das quantidades de movimento devem incluir um vetor quantidade de movimento, um momento angular, ou ambos, para cada parte móvel do sistema. 3) Os impulsos das forças internas do sistema podem ser omitidos do diagrama de impulso, visto que ocorrem como pares de vetores opostos e de mesmo módulo. 4) Somando e igualando sucessivamente as componentes x, as componentes y e os momentos de todos os vetores envolvidos, obtêm-se três relações que traduzem o fato de que as quantidades de movimento no instante t1 e os impulsos das forças externas formam um sistema equipolente ao sistema das quantidades de movimento no instante t2. Novamente deve-se ter cuidado para não somar indiscriminadamente quantidades de movimento e momentos angulares; cada equação deve ser verificada para se ter certeza de que utilizaram unidades consistentes. Observe que a soma H A dos momentos, em relação a um ponto arbitrário A das quantidades de movimento dos pontos materiais de uma placa rígida, não é, em geral, igual a I Aω. ATENCAO UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS 32 4 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR Os impulsos das forças externas são inexistentes, caso nenhuma força externa aja ao longo de um corpo rígido ou um sistema de corpos rígidos, e o arranjo de quantidades de movimento no instante t1 é equipolente ao sistema de quantidades de movimento no instante t2. Somando e igualando sucessivamente as componentes x e as componentes y e os momentos das quantidades de movimento nos instantes t1 e t2, concluímos que a quantidade de movimento total do sistema é conservada em qualquer direção e que seu momento angular total é conservado em relação a qualquer ponto. Visto que não estamos tratando com um corpo rígido único, não podemos falar de sistemas equivalentes. Há muitas aplicações em engenharia, entretanto, em que a quantidade de movimento não é conservada, embora o momento angular HO do sistema em relação a um dado ponto O se conserve: ( ) ( )1 2O O=H H (1.21) Tais casos ocorrem quando as retas de ação de todas as forças externas passam por O ou, mais geralmente, quando a soma dos impulsos angulares das forças externas em relação a O é nula. Problemas que envolvem conservação do momento angular em relação ao ponto O podem ser resolvidos pelo método geral do impulso e quantidade de movimento, isto é, traçando os diagramas da quantidade de movimento e do impulso. A equação (1.21) é então obtida somando-se e igualando-se os momentos em relação a O. 33 (1.12R) RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico, você aprendeu que: • Utilizamos o princípio do impulso e quantidade de movimento para um sistema de pontos materiais ao movimento de um corpo rígido. Podemos assim formular: • Para certa placa rígida ou um corpo rígido simétrico em relação a um plano de referência, o sistema de quantidades de movimento dos pontos do corpo é semelhante a um vetor m com início no centro de massa G e a um vetor momento I . O vetor mv está associado à translação do corpo com a velocidade do centro de massa G, e igual à quantidade de movimento do corpo. • Somando e subtraindo, respectivamente, as componentes x, as componentes y e os momentos, em relação a um dado ponto dos vetores, obtemos três equações de movimento, que podem ser resolvidos. • Nas questões contendo muitos corpos rígidos ligados, cada corpo pode ser analisado particularmente ou, se não há mais do que três incógnitas, o princípio do impulso e quantidade de movimento pode ser aplicada ao sistema como um conjunto, considerando somente os impulsos das forças externas. • Sobre a conservação do momento angular, caso as retas de ação de quaisquer forças externas geradores num sistema de corpos rígidos atuarem por um dado ponto O, o momento angular do conjunto, em relação a O, se conservará. Sist. Quant. Movimento1 + Sistema de Imp. Externos1→2 = Sist. Quant. Movimento2 34 1 Certo bloco com 1,07 x 10 N de peso está pendurado por meio de um fio inextensível envolto em um tambor com 0, 381 m de raio, ligado severamente a um volante. O conjunto tambor-volante tem um momento de inércia baricêntrico l = 14,2 kg.m2. No instante considerado, a velocidade do bloco é de 1,83 m/s para baixo. Sabendo-se que o mancal em A está mal lubrificado e que o atrito produzido nele é equivalente a um binário de momento M com intensidade de 81,4 N.m, determine a velocidade do bloco após ter descido 1,22 m. 2 A engrenagem A tem uma massa de 10 kg e um raio de giração de 200 mm, enquanto a engrenagem B tem uma massa de 3 kg e um raio de giração de 80 mm. O sistema está em repouso quando um momento M de módulo de 6 N.m é aplicado na engrenagem B, desprezando o atrito, determine: a) o número de revoluções executadas pela engrenagem B antes de sua velocidade angular atingir 600 rpm; b) a força tangencial que a engrenagem B exerce sobre A. FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem- aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_ pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem- aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_ pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019. AUTOATIVIDADE 0,381 m 1,07 kN TA = 250 mm TB = 100 mm B A M https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdfhttps://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf 35 3 Uma esfera, um cilindro e um anel, todos com a mesma massa e o mesmo raio, são liberados do repouso num plano inclinado. Determine a velocidade de cada corpo após ter rolado um intervalo equivalente a uma diferença k na altura. FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem- aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_ pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019 C ω v r https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf 36 37 UNIDADE 2 DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de: • introduzir os métodos para a determinação dos momentos de inércia e dos produtos de inércia de um corpo em relação a vários eixos; • mostrar como aplicam-se os princípios do trabalho e energia e da quantidade de movimento/momento angular a um corpo rígido em movimento tridimensional; • desenvolver e aplicar as equações de movimento em três dimensões; • estudar o movimento de um giroscópio e o movimento livre de torques. Esta unidade está dividida em dois tópicos. No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado. TÓPICO 1 – APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO TÓPICO 2 – MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO 38 39 TÓPICO 1 APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO UNIDADE 2 1 INTRODUÇÃO Na Unidade 1 nos dedicamos ao movimento plano de corpos rígidos e de sistemas de corpos rígidos. Sobre o método da quantidade de movimento, nosso estudo limitou-se ao de placas planas e de corpos simétricos em relação a um plano de referência. Contudo, muitos resultados fundamentais obtidos permanecem válidos no caso do movimento de um corpo rígido em três dimensões. Como exemplo, temos as duas equações elementares: (2.1) (2.2) F maΣ = nas quais a análise do movimento plano de um corpo rígido foi baseada, permanecem válidas no caso mais geral de movimento de um corpo rígido. As equações nos dizem que o sistema de forças externas é equipolente ao sistema composto do vetor ma associado a G e do binário de momento HG. FIGURA 1 – MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO FONTE: <https://dokumen.tips/documents/aula-01-movimento-de-corpo-rigido-forcas-e- aceleracao.html>. Acesso em: 5 jun. 2019. F1 F4 F3 HG ma F2 G GM HΣ = . UNIDADE 2 | DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL 40 Deixa de ser válida no caso de movimento de corpos não simétricos ou movimentos tridimensionais, a equação HG = Iw, que nos possibilita estabelecer o momento angular de uma placa rígida e que desempenhava parte importante na solução dos problemas envolvendo movimento plano de placas e corpos simétricos em relação a um plano de referência. Desenvolver-se-á, portanto, um método mais geral para o cálculo do momento angular HG de um corpo rígido, em três dimensões. Isto é, permanece válido o importante enfoque do tratamento do impulso e quantidade de movimento discutido anteriormente. Avistamos ainda que o princípio do trabalho e energia e o princípio de conservação da energia também são utilizados no problema do movimento de um corpo rígido em três dimensões. Entretanto, a relação obtida para a energia cinética de um corpo rígido em movimento plano será substituída por outra, para o movimento de um corpo rígido em três dimensões. No segundo tópico, analisaremos utilizando um sistema de referência em conexão em que os momentos e os produtos de inércia permanecem constantes, como estabelecer a derivada do momento angular H G de um corpo rígido tridimensional. Mostraremos, assim, as equações (2.1) e (2.2) no modo de equações de diagrama de corpo livre, que podem ser aplicadas para esclarecer vários problemas envolvendo o movimento tridimensional de corpos rígidos. A última matéria é atenta ao aprendizado de um corpo simétrico com um ponto fixo, localizado no eixo de simetria, ou seja, do movimento de um giroscópio. ESTUDOS FU TUROS Consideraremos o caso particular do movimento de um corpo simétrico sob a ação apenas de seu peso e da precessão estacionária de um giroscópio. 2 MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO TRIDIMENSIONAL O momento angular HG de um corpo, em relação ao seu centro de massa G, será determinado a partir de sua velocidade angular (o, no caso do movimento tridimensional). O momento angular do corpo em relação a G pode ser apresentado da seguinte maneira: 1 ( ' ' ) n G i i i i H r x v m = = ∆∑ (2.3) TÓPICO 1 | APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 41 GRÁFICO 1 – SISTEMA DE REFERÊNCIA BARICÊNTRICO G XYZ FONTE: O autor y y' z z' x r'i G Pi miVi O x' Em que r´i e v`i representam, respectivamente, o vetor de posição e a velocidade do ponto material Pi de massa em relação ao sistema de referência baricêntrico Gxyz (Gráfico 1). Mas v’i = w x r`i, em que w é a velocidade angular do corpo no instante considerado. Combinando em (2.3), temos: 1 [ ' ( ' ) ] n G i i i i H r x x r mω = = ∆∑ A regra para o cálculo das componentes retangulares de um produto vetorial será aplicada para conseguirmos a seguinte relação para a componente x do momento angular: 1 1 2 2 [ ( ' ) ( ' ) ] [ ( ) ( )] ( ) n i i i i y i i z n i x i y i i z i x i i i x i i i y i i i z i i i i i i Hx y x r z x r m y y x z x z m y z m x y m z x m ω ω ω ω ω ω ω ω ω = = = − ∆ = − − − ∆ = + ∆ − ∆ − ∆ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Trocando as somatórias por integrais, nesta relação e nas duas análogas obtidas em Hy e Hz, temos: UNIDADE 2 | DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL 42 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x x y z y x y z z x y z H y z dm xy dm xz dm H xy dm z x dm yz dm H zx dm yz dm x y dm ω ω ω ω ω ω ω ω ω = + − − = − + + − = − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.4) (2.5) (2.6) (2.7) Distinguimos que as integrais que contêm quadrados consistem os momentos de inércia baricêntricos (ou centrais) do corpo em relação, respectivamente, aos eixos x, y e z. Denotamos: 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )x y zI y z dm I z x dm I x y dm= + = + = +∫ ∫ ∫ As integrais que contêm produtos de coordenadas consistem nos produtos de inércia baricêntricos (ou centrais) do corpo. Indicamos: xy yz zxI xy dm I yz dm I zx dm= = =∫ ∫ ∫ Trocando (2.5) e (2.6) em (2.4), conseguimos as componentes do momento angular HG do corpo em dependência ao seu centro de massa G: GRÁFICO 2 – TRANSFORMAÇÃO DO VETOR W NO VETOR H G FONTE: <https://dokumen.tips/documents/capitulo-2-analise-dinamica-do-movimento-de- rotacao2.html>. Acesso em: 5 jun. 2019. Z O Y y ω X z x HG x xy x zx x y z yx y yzy x x z zy zy zz x y z H I I I H I I I H I I I ω ω ω ω ω ω ω ω ω = + − − = − + − = − − +zx https://dokumen.tips/documents/capitulo-2-analise-dinamica-do-movimento-de-rotacao2.htmlhttps://dokumen.tips/documents/capitulo-2-analise-dinamica-do-movimento-de-rotacao2.html TÓPICO 1 | APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 43 (2.8) (2.9) (2.10) As equações (2.7) indicam que o procedimento que converte o vetor w no vetor HG (Gráfico 2) é discernida pela matriz de momentos e produtos de inércia: x xy xz yx y yz zx zy z I I I I I I I I I − − − − − − A matriz (2.8) retrata o tensor de inércia do corpo relacionado ao seu centro de massa G. Caso um sistema de eixos distintos fosse empregado, conseguiria ser obtida uma matriz diferente, de momentos e produtos de inércia. A transformação caracterizada por esta nova matriz, entretanto, seria ainda a mesma. É evidente que para uma dada velocidade angular w, o correspondente momento angular HG é independente da escolha dos eixos de coordenadas. Como foi mostrado, é sempre possível escolher um sistema de eixos Gx`’y’z` chamados eixos principais de inércia, em relação aos quais todos os produtos de inércia de um dado corpo são nulos. A matriz (2.8) toma então a forma diagonalizada: ' ' ' 0 0 0 0 0 0 x y z I I I Em que Ix, Iy, e Iz representam os momentos centrais de inércia do corpo e as relações (2.7) reduzem-se a: ' ' '' ' ' ' ' 'x y zx x y y z zH I H I H Iω ω ω= = = Notemos que, se os três momentos centrais de inércia Ix, Iy, e Iz são similares, as componentes Hx` Hy` e Hz` dos momentos angulares em comparação a G são proporcionais às componentes wx, wy, wz das velocidades angulares, e os vetores HG e w são colineares. Porém, em maior parte, os momentos centrais de inércia serão distintos, e os vetores HG e w apresentarão direções diferentes, salvo quando ocorrer que duas das três componentes de w fiquem nulas, isto é, quando w for voltado ao longo de um dos eixos coordenados. Assim, o momento angular HG de um corpo rígido e sua velocidade angular w têm a mesma direção se, e somente se, w está orientado ao longo de um eixo principal de inércia. Como esta condição é satisfeita no caso do movimento plano de um corpo rígido simétrico em relação ao plano de referência, podemos representar o momento angular HG de tal corpo por um vetor w. UNIDADE 2 | DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL 44 Devemos compreender, porém, que este resultado não pode ser estendido ao caso do movimento plano de um corpo não simétrico ou ao caso do movimento tridimensional de um corpo rígido. A não ser na qual w está disposto ao longo de um eixo dominante de inércia, o momento angular e a velocidade angular de um corpo rígido têm direções desiguais, e a relação (2.7) ou (2.10) deve ser usada para estabelecer H G a partir de w. ATENCAO GRÁFICO 3 – MOMENTO ANGULAR DO CORPO EM RELAÇÃO A G FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. HG Z O r Y L = mv X O Gráfico 3 nos mostra uma diminuição das quantidades de movimento e dos momentos angulares dos pontos materiais de um corpo rígido a um vetor quantidade de movimento e a um momento em dependência a G. O sistema formado pelas quantidades de movimento e pelos momentos angulares dos vários pontos materiais de um corpo rígido pode ser reduzido a um vetor L com origem no centro de massa G do corpo, representando a quantidade de movimento total, e a um momento HG, representando o momento angular do corpo em relação a G. Estamos agora em condições de determinar o vetor L e o momento H no caso mais geral de movimento tridimensional de um corpo rígido. Como no caso plano, a quantidade de movimento L é igual ao produto da massa total m pela velocidade v do centro de massa G. TÓPICO 1 | APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 45 O momento angular H G , entretanto, nunca mais consegue ser achado através do produto da velocidade angular w pelo escalar I, é preciso, nesta ocasião, usar as equações (2.7) ou (2.10). ATENCAO É recomendado observar, ainda, que nos determinados mv e HG, o momento angular H0 do corpo em relação a um ponto fixo O pode ser obtido pela equação: O GH H r x mv= + (2.11) (2.12) GRÁFICO 4 – CORPO RÍGIDO QUE GIRA NUM ESPAÇO TRIDIMENSIONAL FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. y ω ω x ri a) b) HO ω y z z x x Momento Angular de um Corpo Rígido com um Ponto Fixo: na situação especial de um corpo rígido que gira num espaço tridimensional em volta de um ponto fixo O (Gráfico 4a) é algumas vezes útil determinar o momento angular H0 do corpo em relação a esse ponto fixo O. Lembrando a Equação (14.7), escrevemos: 1 ( ) n O i i i i H r x v m = = ∆∑ Em que r e vi consistem, por essa ordem, o vetor de posição e a velocidade do ponto material em relação ao sistema imóvel Oxyz. Substituindo vi = w x ri e após manipulações análogas às utilizadas, verificamos que as componentes do momento angular H0 (Gráfico 4b) são dadas pelas relações: UNIDADE 2 | DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL 46 (2.13) (2.14) Assim os momentos de inércia Ix, Iy e Iz e os produtos de inércia Izy Iyz e Ixz são determinados em relação ao sistema Oxyz com origem no ponto fixo O. 3 APLICAÇÕES DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO AO MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL DE UM CORPO RÍGIDO Dantes de conseguirmos utilizar a equação fundamental (2.2) para a resolução de questões que incluem movimento tridimensional de um corpo rígido, precisaremos saber determinar a derivada do vetor Ho. Relembrando que o modelo composto pelas quantidades de movimento dos pontos materiais de um corpo rígido reduz-se ao vetor quantidade de movimento mv associado ao centro de massa G do corpo e a um momento angular HG. Representamos graficamente a relação fundamental: Sist. Quant. Movimento1 + Sist. Imp. Ext.1→2 = Sist. Quant. Movimento2 por meio dos três diagramas ilustrados na figura a seguir: FIGURA 2 – TRÊS DIAGRAMAS FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. mv1 a) b) c) (HG)1 ∫F dt (HG)2 mv2 Para estabelecer um determinado problema podemos utilizar esses diagramas para elaborar as equações da componente adequada e do momento, sabendo que as componentes do momento angular HG são relacionadas às componentes da velocidade angular w pelas equações (2.7) precedentes. x x x xy y xz z y yx x y y yz z z zx x xy y z z H I I I H I I I H I I I ω ω ω ω ω ω ω ω ω = + − − = − + − = − − +zy TÓPICO 1 | APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 47 (2.14) Será mais adequado, na solução de questões que abordam do movimento de um corpo em rotação, em torno de um ponto fixo O, retirar o impulso de reação em O escrevendo-se uma equação que compreenda os momentos das quantidades de movimento e impulsos em relação a O. Observamos neste contexto que o momento angular H0 do corpo em relação ao ponto fixo O pode ser obtido diretamente das equações (2.13) ou indiretamente pela Equação (2.11). 4 ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO EM TRÊS DIMENSÕES Analisemos um corpo rígido de massa m em movimento tridimensional. A soma da velocidade v do centro de massa G do corpo e da velocidade v`i de cada ponto material em relação a um sistema Gxyz fixo em G e de orientação fixa, expressada como a velocidade absoluta vi de cada ponto material P do corpo (Gráfico 5), a energia cinética do sistema de pontos materiais que formam o corpo rígido pode ser escrita da seguinte forma: GRÁFICO 5 – CORPO RÍGIDO EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica- 5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019. v'i=ω x r'i Pi Z Y y ω XO z x Em que o último termo representa a energia cinética T do corpo em relação ao sistema baricêntrico Gxyz. Como vi = w x r`i, escrevemos: 2 2 1 1 1 ( ) ' 2 2 n i i i T mv m v = = + ∆∑_ UNIDADE 2 | DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL
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