Derivadas de Funções de Várias Variáveis
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Derivadas de Funções de Várias Variáveis


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- RESUMÃO - 
DERIVADAS EM FUNÇÕES DE VÁRIAS 
VARIÁVEIS E VETORIAIS 
(Cálculo) 
Formulário, Dicas e Macetes para a Prova 
www.respondeai.com.br 
 
 
1 
 
 
 
Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente 
Para \u201cderivar parcialmente\u201d uma função, trate todas as variáveis como constantes, 
exceto aquela em relação a qual você está derivando. E, então, é só derivar! 
 
 
E quando te pedirem o vetor gradiente? De boa, vai ser uma parada assim: 
 
 
 
Lembre-se também de que uma função é contínua se o limite quando (\ud835\udc65, \ud835\udc66) \u2192 (\ud835\udc650, \ud835\udc660) 
é igual ao valor que a função assume em (\ud835\udc650, \ud835\udc660). 
Sabendo disso, se perguntarem qualquer coisa sobre continuidade, tudo se resume 
em: 
 
1. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse 
ponto; 
2. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas 
parciais nesse ponto; 
3. Se 
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc65
 e 
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc66
 existem e são contínuas em um ponto, então a função é 
diferenciável nesse ponto. 
4. Se 
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc65
 e 
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc66
 existem e 
lim
(\u210e,\ud835\udc58)\u2192(0,0)
\ud835\udc53(\ud835\udc650 + \u210e, \ud835\udc660 + \ud835\udc58) \u2212 \ud835\udc53(\ud835\udc650, \ud835\udc660) \u2212
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc65
(\ud835\udc650, \ud835\udc660)\u210e \u2212
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc66
(\ud835\udc650, \ud835\udc660)\ud835\udc58
\u221a\u210e2 + \ud835\udc582
 
existe, então garantimos que a função é diferenciável no ponto. 
 
 
 
2 
 
 
 
Plano Tangente e Reta Normal 
A missão é encontrar o plano tangente ou reta normal a \ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66) no ponto \ud835\udc430. De boa, 
temos um passo a passo maroto. 
 
 
 
Regra da Cadeia 
Quando tiver que resolver derivadas pela Regra da Cadeia, basta seguir os 3 passos da 
felicidade: 
 
 
3 
 
 
 
Derivadas Direcionais 
Te pediram a derivada de uma função \ud835\udc53, num ponto \ud835\udc430, e no sentido de um vetor \ufffd\u20d7\ufffd ? 
Só fazer: 
\ud835\udf15\ud835\udc53
\ud835\udf15\ud835\udc62
(\ud835\udc430) = \u2207\ud835\udc53(\ud835\udc430) \u22c5
\ud835\udc62
\u2016\ud835\udc62 \u2016
 
Mas aqui vai um detalhe que geral esquece, existe uma situação que você não pode 
usar essa fórmula, e aí qual vai ser? 
 
 
 
 
Aqui vai outra dica, de maximizar ou minimizar a derivada direcional: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
Máximos e Mínimos sem Restrição 
Pediram os pontos máximos e mínimos da função? Então: 
 
 
 
Máximos e Mínimos com Restrição 
(Multiplicadores de Lagrange) 
Grande LaGrange! Finalmente chegamos nele! Quando tivermos que encontrar 
máximos ou mínimos de uma função \ud835\udc53 em uma região \ud835\udc54, vamos fazer: 
\u2207\ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66) = \ud835\udf06\u2207\ud835\udc54(\ud835\udc65, \ud835\udc66) 
Procedimento: 
1. calcular gradiente da função: \u2207\ud835\udc53; 
2. pegar a equação da curva e jogar tudo pro lado esquerdo (deixe zero no lado 
direito); 
3. definir a função \ud835\udc54(\ud835\udc65, \ud835\udc66), sendo o lado esquerdo da equação acima; 
4. calcular gradiente de \ud835\udc54: \u2207\ud835\udc54(\ud835\udc65, \ud835\udc66); 
5. utilizar multiplicador de Lagrange: \u2207\ud835\udc53 = \ud835\udf06\u2207\ud835\udc54; 
6. adicionar a equação da curva ao sistema encontrado acima; 
7. resolver o sistema. 
 
5 
 
 
 
O caso geral, onde ele quer o máximo e mínimo na região \ud835\udc54 e no interior da \ud835\udc54, é só 
fazer 
 
 
 
 
 
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Excelentes notas nas provas, galera :)