2ª LISTA DE EDO DE 2ª ORDEM

Prévia do material em texto

LISTA DE EXERCÍCIOS DE EDO (coeficientes a determinar e variação de parâmetros) 
① Encontre a solução geral das equações diferenciais propostas. 
𝑎) 𝑦′′ + 2𝑦′ + 5𝑦 = 3 sin 2𝑡 ; 𝑏) 𝑦′′ + 9𝑦 = 𝑡2𝑒3𝑡 + 6; 𝑐) 𝑢′′ + 𝜔0
2𝑢 = cos 𝜔𝑡 , 𝜔 ≠ 𝜔0 
𝑑) 𝑢′′ + 𝜔0
2𝑢 = cos 𝜔0𝑡 𝑒) 𝑦
′′ + 𝑦′ + 4𝑦 = sinh 𝑡 , 𝐷𝑖𝑐𝑎: sinh 𝑡 = (𝑒𝑡 − 𝑒−𝑡)/2. 
 
② Determinar a solução do problema de valor inicial nas EDOs abaixo. 
𝑎) 𝑦′′ + 4𝑦 = 𝑡2 + 𝑒𝑡; 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 2; 𝑏) 𝑦′′ + 4𝑦 = 3 sin 2𝑡 ; 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = −1; 
𝑐) 𝑦′′ + 2𝑦′ + 5𝑦 = 4𝑒−𝑡 cos 2𝑡 ; 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0; 
 
③ Determine a solução geral de 
𝑦′′ + 𝜆2𝑦 = ∑ 𝑎𝑚 ∙ sin(𝑚𝜋𝑡),
𝑁
𝑚=1
 
onde 𝜆 > 0 e 𝜆 ≠ 𝑚𝜋 para 𝑚 = 1, … , 𝑁. 
 
④ Usando o método da variação de parâmetros, encontre a solução geral das EDOs dadas. 
𝑎) 𝑦′′ + 𝑦 = tan 𝑡 ; 0 < 𝑡 < 𝜋/2; 𝑏) 𝑦′′ + 9𝑦 = sec2 3𝑡 ; 0 < 𝑡 < 𝜋/6. 
𝑐) 𝑦′′ + 4𝑦 = 3 csc 2𝑡 ; 0 < 𝑡 < 𝜋/2. 𝑑) 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 𝑒𝑡/(1 + 𝑡2). 
𝑒) 4𝑦′′ + 𝑦 = 2 sec(𝑡/2) : − 𝜋 < 𝑡 < 𝜋. 𝑓) 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 𝑔(𝑡). 
 
⑤ Escolhendo o limite inferior de integração como o ponto inicial 𝑡0, mostre que 𝑌(𝑡) torna-se 
𝑌(𝑡) = ∫
𝑦1(𝑠)𝑦2(𝑡) − 𝑦1(𝑡)𝑦2(𝑠)
𝑦1(𝑠)𝑦2
′(𝑠) − 𝑦1
′(𝑠)𝑦2(𝑠)
𝑔(𝑠)𝑑𝑠.
𝑡
𝑡0
 
Mostre que 𝑌(𝑡) é uma solução do problema de valor inicial 𝐿[𝑦] = 𝑔(𝑡), 𝑦(𝑡0) = 0, 𝑦
′(𝑡0) = 0. 
 
⑥ Uma massa de 100 g estica uma mola de 5 cm. Se a massa é colocada em movimento, a partir de sua 
posição de equilíbrio, com uma velocidade apontando para baixo de 10 cm/s, e se não há amortecimento, 
determine a posição 𝑥(𝑡) da massa em qualquer instante 𝑡. Quando a massa retorna pela primeira vez à 
sua posição de equilíbrio? 
 
⑦ Uma mola é esticada 10 cm por uma força de 3 N. Uma massa de 2 kg é pendurada na mola e presa a 
um amortecedor viscoso que exerce uma força de 3 N quando a velocidade da massa é de 5 m/s. Se a 
massa é puxada 5 cm abaixo de sua posição de equilíbrio e dada uma velocidade inicial para baixo de 10 
cm/s, determine sua posição 𝑥(𝑡) em qualquer instante 𝑡. Encontre a quase frequência 𝜇. 
 
⑧ Uma massa de 5 kg estica uma mola de 10 cm. A massa sofre a ação de uma força externa de 
10 sin(𝑡/2) 𝑁 e se move em um meio que amortece o movimento com uma força viscosa de 2 N quando a 
velocidade da massa é de 4 cm/s. Se a massa é colocada em movimento a partir de sua posição de 
equilíbrio com uma velocidade inicial de 3 cm/s, formule o problema de valor inicial que descreve o 
movimento da massa. Tente encontrar a posição 𝑥(𝑡) da massa em um instante qualquer.