Aulas Oscilações mais Oscilações Forçadas

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Capítulo 1- Oscilações
Universidade Federal de Piauí- UFPI
Disciplina: FÍSICA GERAL II 
Prof. Hans A. García
1.1. Introdução a Oscilações
1.2. Movimento Harmônico Simples (MHS)
1.3. Lei de Força para o MHS
1.4. Energia no MHS
1.5. Pêndulos 
1.6. Movimento Circular 
1.7. Oscilações Amortecidas 
1.8. Oscilações Forçadas e Ressonância
Oscilações
O movimento oscilatório é um movimento periódico no tempo, ou seja, um movimento
que se repete a intervalos iguais.
Exemplos: 
1. Massa presa a uma mola.
2. pêndulos, 
3. O movimento dos elétrons de uma 
corrente elétrica alternada, 
Onda elétrica gerada pela oscilação de uma 
carga em uma antena.
3. Os elétrons, numa antena transmissora ou receptora, 
executam rápidas oscilações
Exemplos de Oscilações
1. O movimento de um pêndulo é oscilatório
2. Os átomos num sólido vibram
Em resumo
Dentre todos os movimentos oscilatorios, o mais importante é o movimento harmônico
simples (MHS), pois constituí uma descrição bastante precisa de muitas oscilaçoes encontradas
na natureza.
Movimento Harmônico simples
Seqüência de instantâneos (tirados em intervalos de tempo iguais) mostrando a posição de 
uma partícula enquanto oscila em torno da origem de um eixo x, entre +xm e – xm.
Note da figura que os comprimentos dos
vetores são proporcionais à velocidade
escalar da partícula.
A velocidade escalar é máxima quando a
Partícula se encontra na origem e é nula
quando ela está em ±xm.
Note da figura que em t=0 a partícula
Encontra-se em +xm e ela retorna para
Aquela posição no tempo t=T, chamado de
período do movimento.
Amanda
Realce
Amanda
Realce
Definição de Freqüência: propriedade importante do movimento oscilatório a qual define o
número de oscilações completas por segundo.
No sistema internacional (S.I) temos 
111Hertz1  sHz
Uma oscilação por segundo
f
T
1

Tempo necessário para completar uma oscilação completa.
Período do movimento.
Deste modo, nós estamos interessados na descrição do movimento oscilatório que se repete a
intervalos regulares de tempo. A figura abaixo ilustra este comportamento tipo MHS no tempo.
)cos()( 0  txtx m
Movimento Harmônico simples
Deslocamento da partícula em relação à Origem,
é dado por uma função cosseno dependente do
tempo.
Amplitude do movimento oscilatorio. Isto é, o deslocamento máximo da
partícula a partir do ponto de equilíbrio.mx

Freqüência angular. Quanto maior a freqüência angular , mais oscilações ocorrem
Em um determinado intervalo de tempo.
0
Constante de fase. O valor desta depende do deslocamento e da velocidade da
Partícula no instante t=0. Define onde o movimento inicia.
)( 0 t Fase do movimento
Interpretação da freqüência angular do movimento
)()( Ttxtx 
Note que Para qualquer valor do tempo, t
Supondo que a constante de fase é igual a zero, 
00 
)cos()( 0  txtx m
/
Assim temos,
 )cos()cos( Ttxtx mm 
Sabendo que a função cosseno se repete pela primeira vez quando seu argumento (a fase) 
Aumenta em 2π
Assim temos,
 2)(  tTt
/
f
T
 22 
A unidade da freqüência angular no S I é o radiano por segundo.
Amanda
Nota
ANOTAR COMO PROVA ESSA FORMULA.null
Sabendo a posição da partícula a cada instante de tempo, podemos obter as equações da
velocidade e da aceleração.
Velocidade do Movimento Harmônico simples
 )cos()( 0  tx
dt
d
dt
dx
tv m
)()( 0  tsenxtv m
T
T
t
4
3
,
4

O valor máximo da velocidade da partícula
em módulo vale ωxm, e ocorre quando a
partícula está passando pela posição de
equilíbrio, ou seja em
Aceleração do Movimento Harmônico simples
 )()( 0  tsenx
dt
d
dt
dv
ta m
)cos()( 0
2   txta m
O ponto de mínimo na posição indica um 
ponto de máximo na aceleração.
)()( 2 txta 
Relação característica do MHS. 
mm xa
2
Limites da amplitude
Exemplo 15-1: MHS – sistema massa-mola. Livro Halliday
A Lei do Movimento Harmônico simples
Após conhecida a forma como a aceleração de uma partícula varia com o tempo, podemos usar a
segunda lei de Newton para descobrir qual é a força que deve agir sobre a partícula para que ela
adquira essa aceleração.
Da segunda Lei de Newton, 
)()( 2 txmmaF 
Força restauradora proporcional ao deslocamento.
Note que a força restauradora apresenta semelhança com a Lei de Hooke para uma mola, dada
por
xkF 
Comparando as forças, temos que 
2mk
Definição alternativa do Movimento Harmônico simples
O movimento harmônico simples é o movimento
executado por uma partícula sujeita a uma força
proporcional ao deslocamento da partícula e de sinal
oposto.
)()( 2 txmmaF 
m
k

m
k

k
m
T 2
L
g

g
L
T 2
I
k

k
I
T 2
Exemplos de Movimento Harmônico simples
Descrição da Oscilação
O bloco se desloca para a direita a partir da posição de equilíbrio.
A mola esticada puxa o bloco em direção à posição de equilíbrio.
O bloco se desloca para a esquerda a partir da posição de equilíbrio.
A mola comprimida empurra o bloco em direção à posição de equilíbrio.
Como variam a velocidade e aceleração durante um ciclo no MHS
A energia do Movimento Harmônico simples
A força que a mola ideal exerce sobre um corpo é uma força
conservativa, e as forças verticais não realizam trabalho, de modo
que a energia mecânica total do sistema é conservada.
Deste modo temos: 
constante
2
1
2
1 22  xkmvE
Energia mecânica total no MHS.
A energia do Movimento Harmônico simples
2
elásticap
2
1
xkEU 
0x
se
0elásticap E
Ax
se 2
elást icap A
2
1
kE 
A energia do Movimento Harmônico simples
Sabendo que 
)cos()( 0  tAtx
)(ωA)( 0  tsentv
temos
)(cos
2
1
2
1
)( 0
222   tkAxktU
)(
2
1
2
1
0
222   tsenkAvmEK c
A energia do Movimento Harmônico simples
Usando
1cos 22   sen
  022022 cos1
2
1
)(
2
1   tkAtsenkAEc
 22
2
1
xAkEc 
0x
se 2
cinética
2
1
kAE 
Ax
se
0cinética E
 22
2
1
xAkEc 
Diagrama de energia Potencial e Cinética em função da posição x para um oscilador harmônico 
Para uma dada energia total E, representada pela linha horizontal, os limites de oscilação
são determinados pela interseção da linha horizontal com a curva da energia potencial.
Energia total é só cinética
Em x=0
Energia total é só potencial
Em x=A
Energia total é só potencial
Em x=- A
A energia Cinética do MHS
 22
2
1
xAkEc 
Sabendo que 
2
2
1
vmEc 
Igualando, temos 
22 xA
m
k
v 
O sinal ± significa que, em um dado ponto x , o
corpo pode estar se deslocando em qualquer um
dos dois sentidos.
22 xA
m
k
v
x

A energía mecânica corta ou intercepta o gráfico da energía potencial U nos pontos de retorno.
Movimento harmônico Simples e Movimento Circular Uniforme
Movimento harmônico Simples e Movimento Circular Uniforme
O movimento harmônico simples é a projeção de um movimento circular uniforme sobre um
diâmetro do círculo. Isto é, a partícula de referência Q executa um Movimento circular
uniforme e a partícula projetada P, executa um MHS.
Q
Note que: quando o ponto Q executa uma revolução completa no tempo T , então o ponto P
Realiza o ciclo completo da oscilação no mesmo intervalo de tempo T. 
)cos()(
0
  txtx
m
Descreve a localização da partícula P
)()(
0
  tsenxtv
m
Velocidade ao longo do eixo Ox do ponto P
Q
Movimento harmônico Simples e Movimento Circular Uniforme
)cos()(
02   txta
m
Aceleração ao longo do eixo Ox do ponto P
Em resumo, as projeções da velocidade e aceleração da partícula de referencia, Q ,
determinam o MHS descrito por pela partícula P.
Q
Exemplo: Usando as condições iniciais no MHS
Um objeto preso a uma mola oscila com período de 0,80 s e amplitude de 10 cm. Em t= 0 s, ele
Se encontra a 5,0 cm à esquerda da posição de equilíbrio, movendo-se para a esquerda. Quais
São a posição e a orientação de seu movimento em t=2,0 s ?
)cos()( 0  tAtx
O pêndulo simples
Para determinar o tipo de oscilação, precisamos escrever a equação de movimento da
partícula de massa m.
02
2
2
 x
dt
xd

Vale lembrar que no caso do bloco atado a uma mola, a equação de movimento é
m
k
2
onde
2
2
dt
xd
mkxF 
1. Note que > a partícula move-se num arco de círculo com raio L
O pêndulo simples
2. Vamos usar como coordenada a distância S medida ao longo do arco, dado por:
LS 
3. Para que a oscilação seja um MHS é necessário que a força restauradora seja diretamente à 
S ou ao ângulo teta.
4. Note que > as forças que agem sobre a partícula
de massa m são o peso e a tensão no fio.
5. Como a partícula de massa m move-se num arco de círculo
como raio L, podemos usar o formalismo do movimento
circular: dividir as forças em componente Tangenciais,
paralelos ao movimento, e em componentes radiais
paralelos ao barbante.
O pendulo simples
Definição de pendulo: O pendulo simples é definido como uma partícula de massa m presa,
num ponto O, por um fio de comprimento L e massa desprezível.
Para determinar o tipo de oscilação, precisamos escrever a equação de movimento da partícula
De massa m. 
Atenção: para que a oscilação seja um movimento harmônico simples é necessário que a força
Restauradora seja diretamente proporcional ao ângulo teta θ
O pendulo simples
Do diagrama de forças vemos que a componente tangencial
Da força resultante é dada por 
senθmgFT 
Note que o sinal negativo se dá pois a força tangencial tem
sentido oposto ao deslocamento em torno da posição de
equilíbrio.
O pêndulo simples
0
2
2
  sen
L
g
dt
d 02
2
2
 x
dt
xd

mgsenF
T

Força restauradora.
Movimento Harmônico simples amortecido
Os sistemas oscilantes ideais que foram discutidos até o momento não possuíam atrito.
Nesses sistemas as forças são conservativas, a energia mecânica total é constante e, quando
O sistema começa a oscilar, ele continua oscilando eternamente sem nenhuma diminuição da
Amplitude.
Exemplos de sistemas com oscilação amortecida
1. Massa oscilando na presença de uma força de atrito.
2. Massa oscilando na presença de uma força de resistência do ar.
3. Palheta imersa em um líquido exerce uma força de amortecimento
Sobre o bloco, enquanto este oscila paralelamente ao eixo x.
Oscilação amortecida
A diminuição da amplitude provocada por uma força dissipativa denomina-se amortecimento
e o movimento correspondente denomina-se oscilação amortecida.
bvaF
Força de amortecimento, proporcional à velocidade. Note que o
sinal negativo indica que esta força tem sentido contrario à
velocidade do objeto, desacelerando este.
b
Coeficiente de amortecimento.
  






s
kg
b
Equação do Movimento de um Oscilador amortecido
xbvaF
Força de atrito
kxF elástica
Força de restauração
As forças agindo sobre o bloco de massa m
xbvkxxresultanteF
xx mabvkx 
Segunda Lei de Newton aplicada ao
oscilador amortecido.
Usando 
Equação do Movimento de um Oscilador amortecido
dt
dx
vx 
2
2
dt
xd
ax 
0
2
2
 x
m
k
dt
dx
m
b
dt
xd
)'cos()( 0
2    tAetx mbt
Deslocamento do oscilador
Amortecido.
2
2
4
'
m
b
m
k

Freqüência angular do oscilador amortecido.
O Movimento Harmônico simples amortecido
)'cos()( 0
2    tAetx mbt
2
2
4
'
m
b
m
k

m
bt
Ae 2

A amplitude no MHS amortecido depende do tempo.
A envoltória de amplitude decresce exponencialmente.
Tipos de amortecimento no MHS
Amortecimento Fraco
Sistema oscila muita vezes 
antes de parar.
0'  
m
k
m
b
 0
2

Amortecimento crítico
Sistema não oscila mais e, ao
ser deslocado e libertado, retorna para
sua posição de equilíbrio sem oscilar.
0
4 2
2

m
b
m
k kmb 2
Superamortecimento
Sistema não oscila, porém retorna
para sua posição de equilíbrio mais lentamente.
kmb 2
kmb 2
ou
1. Superamortecimento
2. Amortecimento crítico
3. Amortecimento Fraco
Tipos de amortecimento no MHS
1. Amortecimento Fraco
Energia em sistema amortecidos
Se o oscilador é amortecido a energia mecânica não é constante e diminui com o tempo.
Sabendo que 
2
2
1
AkE 
Oscilador não amortecido
Como 
m
bt
m Ae
2


A amplitude no MHS amortecido depende do tempo.

t
t
m
b
m eEekAkE







 0
22
2
1
2
1
b
m

Determina o tempo de vida da oscilação. É conhecida como constante de
tempo.
Energia mecânica decai exponencialmente
Com a constante de tempo tau.
Exemplo: Um pendulo amortecido
Uma massa de 500 g oscila como um pêndulo, suspensa por um barbante de 60 cm. Observa-se
Que a amplitude decai para a metade de seu valor inicial após 35,0 seg. a) Qual é a constante
De tempo do oscilador ? b) Em que intervalo de tempo a energia decairá para metade de seu
Valor inicial ?
Oscilações forçadas
Se você empurra o balanço periodicamente dizemos que o balanço está executando 
Oscilações forçadas.
)cos()( tFtF dmáx 
Força Oscilante.
Equação do Movimento de um Oscilador Forçado
xbvaF
Força de atrito
kxF elástica
Força de restauração
As forças agindo sobre a criança
  xdmáx bvkxtF  cosF xresultante
Segunda Lei de Newton aplicada ao
oscilador Forçado.
)cos()( tFtF dmáx 
Força Oscilante.
)cos(
2
2
tFx
m
k
dt
dx
m
b
dt
xd
dmáx 
Equação do Movimento de um Oscilador Forçado
)cos()( 0  tAtx d
Deslocamento do oscilador Forçado.
Note que as oscilações forçadas não são
amortecidas, pois possuem amplitude
constante.
  2222 dd
máx
bmk
F
A
 

Amplitude de um oscilador forçado.
)cos(
2
2
tFx
m
k
dt
dx
m
b
dt
xd
dmáx 
Ressonância de amplitude
A condição de ressonância ocorre quando a freqüência da força aplicada é igual à freqüência do
sistema. Isto é,
 d
  2222 dd
máx
bmk
F
A
 

Aplicação do conceito de Ressonância: Desabamento de muitos edifícios na cidade de
Mexico devido a um terremoto a 400 km de distancia.
)´cos()( 2    textx mbt
m
2
2
4
´
m
b
m
k

m
N
m
s
m
kg
x
F
k 49000
1010
8,9)500(
2
2










m
m
bT
m
xex
2
1
2 

2ln
2
T
m
b 
2ln
´
2ln2
2
´
2ln
2
mm
T
m
b 




2ln
4 2
2

m
m
b
m
k
b 






  22 42ln
2ln2


mk
b
Referências Bibliográficas
http://www.seara.ufc.br/tintim/fisica/polarizacao/polarizacao2.htm
O pendulo simples
Note da figura que as forças que agem sobre a partícula de massa m são o peso e a tensão
No fio.
Como a partícula move-se num arco de círculo com raio L, podemos usar o formalismo do
movimento circular: dividir as forças em componentes tangenciais, paralelos ao movimento, e
em componentes radiais paralelos ao barbante.