UCA001_Estatistica_Tema13

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Probabilidade condicional e 
regra do produto, regra da adição
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula, estudaremos alguns desdobramentos relacionados à Teoria das Probabilidades. 
Com base no conceito de probabilidade condicional, entenderemos as chances de ocorrência de 
eventos cujos resultados pertencem a mais de uma variável de estudo. Assim, poderemos avaliar 
as probabilidades da diferentes eventos ligados entre si.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender a probabilidade condicional e aplicar as regras do produto e da adição.
1 Probabilidade condicional
Tenha em mente que um pesquisador pode utilizar bases de dados formadas por mais de 
uma variável de estudo. Podemos pensar, por exemplo, em uma tabela que apresente dados 
cruzados, como a seguinte:
Tabela 1 – Distribuição de alunos por curso e gênero
  Masculino Feminino Total
Veterinária 48 52 100
Administração 51 19 70
Sociologia 35 65 100
Ciências Contábeis 16 14 30
Total 150 150 300
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Você pode verificar que os dados pertencem a mais de uma variável. Caso tivéssemos os alu-
nos distribuídos apenas por curso, poderíamos efetuar experimentos, como selecionar um grupo 
ao acaso e verificar a probabilidade de escolhermos um aluno de cada curso.
Mas como poderemos verifi car essa probabilidade se tivermos mais de uma variável de 
análise, ou quando temos mais de uma situação a ser analisada de forma simultânea? Nessas 
situações, utilizamos a probabilidade condicional. A probabilidade é a razão que avalia as chan-
ces de ocorrência de um denominado evento, cujos possíveis resultados estão submetidos a um 
espaço amostral (BUSSAB; MORETTIN, 2010).
Um evento é uma sentença, uma hipótese assumida no momento de realizar um experi-
mento. Imagine o evento A =obter uma carta de naipe “ouros” em um baralho francês. O espaço 
amostral é o conjunto de elementos que podem gerar os possíveis resultados desse experimento, 
como o conjunto S = {52 cartas de um baralho francês}. 
Desse modo, a probabilidade de realização do evento A é dada pela razão entre seus possíveis 
resultados e o número de elementos do conjunto S:
( ) ( )
( )
n A(n A(
P A =(P A =( )P A =)
n S(n S(
 
FIQUE ATENTO!
A probabilidade de sucesso do Evento A é dada por P(A) = 13/52 = ¼, posto que o 
baralho francês contém 13 cartas de cada um dos quatro naipes.
Retomando o raciocínio sobre a tabela apresentada anteriormente, podemos nos deparar 
com situações em que é necessário analisar mais de uma varável dentro de um mesmo evento. 
Por exemplo, se um estudante, escolhido ao acaso, for do curso de Veterinária, a probabilidade de 
que ele seja homem é de 0,48, ou 48%, pois dos cem alunos deste curso, 48 são homens.
Assim, descrevemos estas duas situações da seguinte forma:
P (homem | Veterinária) = 0,48
Saiba que o sinal ‘|’ demonstra a chamada probabilidade condicional, que são situações nas 
quais um evento estatístico está condicionado à ocorrência de outro, e ambos devem ser calculados 
conjuntamente, de acordo com a equação:
( )
( )
( )
P  A B(P  A B( ∩P  A B∩
P A | B =(P A | B =( )P A | B =)
P B(P B(
 
Reforçando: A expressão P(A | B) resume, sinteticamente, a probabilidade de o evento B 
ocorrer após o evento A. Por sua vez, a expressão P (A ∩ B) é a probabilidade de os eventos A e B 
ocorrerem simultaneamente. E P(B) resume a probabilidade de ocorrência do evento B (BUSSAB; 
MORETTIN, 2010). 
Em um conjunto de dados formado por mais de uma variável, há elementos que se cruzam, 
ou seja, estão em interseção. 
FIQUE ATENTO!
Há 48 alunos homens dentro do curso de Veterinária frente a uma população geral de 
300 alunos. Esses são os dados em intersecção, estando descritos em dois conjuntos.
Figura 1 – Intersecção de sub-conjuntos
52 48 102
Estudantes de Veterinária Estudantes do sexo masculino
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Pelo mesmo raciocínio, imagine o evento A = {aluno é homem} e B = {aluno é matriculado em 
veterinária}. Assim, se nós escolhermos ao acaso um aluno e ele for estudante de Veterinária, a 
probabilidade de que ele seja homem é dada por:
( )
( )
( )
P  A B(P  A B( ∩P  A B∩ 48 / 300 48
P A | B = = = = 0,48(P A | B = = = = 0,48( )P A | B = = = = 0,48)
(
P A | B = = = = 0,48
( )
P A | B = = = = 0,48
)
(
P A | B = = = = 0,48
( )
P A | B = = = = 0,48
)
P A | B = = = = 0,48P A | B = = = = 0,48P A | B = = = = 0,48
48 / 300 48
P A | B = = = = 0,48
48 / 300 48
P B 100 / 300 100(P B 100 / 300 100( )P B 100 / 300 100)
P A | B = = = = 0,48
P B 100 / 300 100
P A | B = = = = 0,48
(
P A | B = = = = 0,48
(P B 100 / 300 100(
P A | B = = = = 0,48
( )
P A | B = = = = 0,48
)P B 100 / 300 100)
P A | B = = = = 0,48
)
 
2 Regra do produto
Observe a equação da probabilidade condicional. Podemos transpor a razão P(B) para a 
esquerda, obtendo assim a seguinte equação:
P(A ∩ B) = P (A│B) × P(B)
Assim, a probabilidade de ocorrência simultânea entre dois eventos é dada pelo produto entre 
a probabilidade de ocorrência do segundo evento após o primeiro evento, e a probabilidade do 
segundo evento (BUSSAB; MORETTIN, 2010).
Imagineque temos uma urna com cinco fi chas, sendo duas brancas (B) e três pretas (P). 
São retiradas duas fi chas, uma de cada vez, sem reposição. Ou seja, após retirarmos uma fi cha, 
haverá somente mais quatro na urna. Por meiode um diagrama, podemos verificar o conjunto de 
possibilidades desse sorteio. 
Figura 2 – Diagrama de sorteio de fichas sem reposição
1/4
3/4
B
P
B
2/5
3/5
P
P
B
2/4
2/4
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Podemos calcular, ainda, a probabilidade de ocorrência de cada conjunto de extrações!
Tabela 2 – Resultados e probabilidades
Resultado Probabilidade
BB 2/5 × 1/4 = 2/20
BP 2/5 × 3/4 = 6/20
PB 3/5 × 2/4 = 6/20
PP 3/5 × 2/4 = 6/20
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Se temos o evento A = {ficha branca no segundo sorteio}, as cores sorteadas que correspon-
dem aos possíveis resultados desse experimento podem ser dados pelo conjunto A = {BB, PB}, 
cujas probabilidades de ocorrência são de, respectivamente, 2/20 e 6/20. Assim, P(A) = P(BB) + 
P(PB) = 2/20 + 6/20 = 8/20(BUSSAB; MORETTIN, 2010).
3 Regra da adição
Imagine que um apostador possa, em uma roleta com vinte números pretos e vinte vermelhos, 
apostar no número 3 e em qualquer número vermelho. Assim, temos dois eventos, A = {sorteio do 
número 3} e B = {sorteio de um número vermelho}. 
SAIBA MAIS!
Esses eventos não são mutuamente exclusivos, ou seja, a realização de um evento 
não impede a realização de outro. Pode-se obter o número 3 no primeiro evento 
sem que isso inviabilize a possibilidade do sorteio de um número vermelho.
Podemos verifi car que há 21 possíveis resultados para esses eventos em um conjunto A ∪ B = 
{20 vermelhos + o valor ‘3 preto’}. Há um elemento que pertence aos dois sub-conjuntos, o número 
3 vermelho. Neste caso, a probabilidade de realização de um ou outro evento, conforme a regra da 
adição, é dada pela seguinte equação (BUSSAB; MORETTIN, 2010):
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B )
Assim, teremos: 2 20 1 21P A B = + – = = 0,525P A B = + – = = 0,525P A B = + – = = 0,525P A B = + – = = 0,525P A B = + – = = 0,5252 20 1 21P A B = + – = = 0,5252 20 1 21
40 40 40 40
P A B = + – = = 0,525
40 40 40 40
P A B = + – = = 0,525( )P A B = + – = = 0,525( )P A B = + – = = 0,525∪P A B = + – = = 0,525∪( )∪P A B = + – = = 0,525∪ .
4 Princípio da contagem
Como estamos analisando diferentes arranjos, podemos nos deparar com situações as 
quais as etapas de um experimento gerem uma série de diferentes resultados. 
EXEMPLO
Se em uma urna há uma bola branca (B) e uma preta (P), e retiramos uma por vez, 
repondo-as depois,quantas combinações possíveis há se esse processo é repetido 
três vezes?
Bem, os possíveis resultados são dados pelo conjunto A = {(BBB), (BBP), (BPB), 
(PBB), (BPP), (PBP), (PPB), (PPP)}. Se houvesse apenas uma etapa nesse expe-
rimento, veríamos apenas uma bola branca ou uma preta, em dois resultados (a 
probabilidade de ocorrência de cada um é igual a ½). Com duas etapas, há quatro 
resultados (as chances de ocorrência de cada um são iguais a ½ × ½ = ¼), mas com 
três etapas, poderemos ter oito resultados.
Esse exemplo nos mostra o conceito do princípio da contagem: se um experimento pode ser 
realizado em “n” etapas, o total de resultados possíveis será dado pelo produto entre os resultados 
possíveis (m) e o número de etapas (n), na fórmula (m x n) (BUSSAB; MORETTIN, 2010).
FIQUE ATENTO!
O princípio da contagem nos permite analisar as diferentes combinações que po-
dem ser geradas em um experimento com um dado número de etapas. Estas eta-
pas podem tender ao infinito, com infinitos resultados possíveis.
A organização dessas informações obedece a alguns princípios relacionados à análise com-
binatória. Continue acompanhando!
5 Revisão de análise combinatória
Há situações em que a contagem direta e individual pode ser um processo muito trabalhoso. 
Assim, utilizamos a análise combinatória para obter o número de resultados prováveis de um 
evento dividido em múltiplas etapas. Buscamos as combinações que podem ser visualizadas 
como consequência de um evento(MILONE; ANGELINI, 1993). 
SAIBA MAIS!
Conheça mais referências históricas sobre a análise combinatória lendo o artigo 
de Cristiane Roque Vazquez e Fabiane Höpner Noguti, disponível em: <http://www.
sbem.com.br/files/viii/pdf/05/1MC17572744800.pdf>.
Há três fórmulas para conhecermos o número de possíveis resultados de um evento e sua 
probabilidade de ocorrência: a permutação; os arranjos; e as combinações. A permutação é o 
processo de ordenar e reordenar os dados do conjunto dos possíveis resultados de um evento em 
uma sequência definida pelo pesquisador (MILONE; ANGELINI, 1993). Há dois tipos de operações 
de permutação: com repetição e sem repetição.
Permutações sem repetição ocorrem quando os possíveis resultados de um evento não se 
repetem. Assim, o número de resultados possíveis é dado pela fórmula:
Pn = n!
Aqui “n!”, o chamado fatorial do número n, é o produto de todos os números naturais que 
começam em n e terminam no número 1, de modo que n! = n × (n –1) × (n – 2) × (...) × 3 × 2 × 1.
EXEMPLO
Em um jogo de bingo, faltam apenas seis bolas para serem sorteadas, numeradas 
de 1 a 6. Quantos possíveis resultados, sem repetição, podem ser vistos? Podemos 
iniciar uma contagem manual pelo conjunto A = {123456; 123465; 123645...}, ou, 
sabendo que não há repetição, verificar que os resultados são dados por:
P6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Em outras palavras, há 720 possíveis resultados.
As permutações com repetição ocorrem quando há elementos iguais dentro de uma mesmo 
espaço amostral (como n elementos do tipo 1, n do tipo 2 etc.). O número dos possíveis resultados 
é dado pela fórmula:
n n1, …, nk
n!P =n n1, …, nkP =n n1, …, nk n1!…nk!
 
Consideremos a palavra “ASSIM”. Quantos anagramas (disposições diferentes das letras de 
uma palavra) podemos fazer com o vocábulo? Ora, sabemos que essa palavra possui 1 letra A, 2 S, 
1 I e 1 M. De modo que, pelas regras da permutação com repetição, obteremos:
5 1,2,1,1
5! 120P = = = 60P = = = 60P = = = 605 1,2,1,1P = = = 605 1,2,1,1
5! 120P = = = 605! 120
1!2!1!1! 1x 2 x1x1x1
Logo, a palavra ASSIM possui 60 anagramas.
Um outro tipo de dispositivo de combinação é o arranjo, que é o número total de resultados 
viáveis nos subconjuntos de “x” elementos de um espaço amostral de “n” elementos (MILONE; 
ANGELINI, 1993). Observe a fórmula:
( )n, x
n!A =n, xA =n, x n– x !)n– x !)
 
Considere, como exemplo, uma corrida de cães com oito competidores, nomeados entre A 
e H. Quantos resultados são possíveis de serem visualizados na classifi cação de 1º, 2º e 3º luga-
res?Como operamos um subconjunto de dados (1º, 2º e 3º), utilizamos a fórmula do arranjo:
( )7,3
7! 7! 7 * 6 * 5 * 4!A = = = = 7 * 6 * 5 = 210
(
A = = = = 7 * 6 * 5 = 210
( )
A = = = = 7 * 6 * 5 = 210
)
A = = = = 7 * 6 * 5 = 210A = = = = 7 * 6 * 5 = 210A = = = = 7 * 6 * 5 = 2107,3A = = = = 7 * 6 * 5 = 2107,3
7! 7! 7 * 6 * 5 * 4!A = = = = 7 * 6 * 5 = 2107! 7! 7 * 6 * 5 * 4!
7– 3 ! 4! 4!)7– 3 ! 4! 4!)
Sabendo portanto, que há 210 resultados possíveis para o primeiro ao terceiro lugares, a 
probabilidade de acerto de um apostador nos três primeiros lugares é dada por P(A) = 1/210 = 
0,00476 = 4,76%.
Um terceiro tipo de análise é o das combinações, no qual a ordem dos elementos dispostos 
como resultado de um evento em etapas não é importante. Nesse caso, o resultado ABC, por 
exemplo, não é diferente de CBA no sorteio de fi chas contendo cada uma destas letras. Perceba 
que a fórmula para combinações é dada por:
( )n,r
n!C =n,rC =n,r r! n–r !(r! n–r !( )r! n–r !)
Refl ita, por exemplo, sobre quantos grupos diferentes, de quatro pessoas cada um, podemos 
fazer com oito pessoas. O resultado é dado por:
( )8,4
8! 8! 8x 7 x6 x5 x 4! 1680C = = = = = 70
(
C = = = = = 70
( )
C = = = = = 70
)
C = = = = = 70C = = = = = 70C = = = = = 70C = = = = = 708,4C = = = = = 708,4
8! 8! 8x 7 x6 x5 x 4! 1680C = = = = = 708! 8! 8x 7 x6 x5 x 4! 1680
4! 8– 4 ! 4!4! 4!4! 4!(4! 8– 4 ! 4!4! 4!4! 4!( )4! 8– 4 ! 4!4! 4!4! 4!)
Nesse caso, podemos formar setenta grupos diferentes (MILONE; ANGELINI, 1993).
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • conhecer as regras da probabilidade adicional, do produto e da adição;
 • entender o princípio da contagem a partir das diferentes etapas de um evento.
Referências
BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro. Estatística Básica.6.ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
MILONE, Giuseppe; ANGELINI, Flávio. Estatística geral. São Paulo: Atlas, 1993.
VASQUEZ, Cristiane Roque; NOGUTI, Fabiane Höpner. Análise Combinatória: Alguns aspectos 
e uma abordagem pedagógica. In:Anais do VIII Encontro Nacional de Educação Matemática, 
Recife, 2004. Disponível em:<http://www.sbem.com.br/fi les/viii/pdf/05/1MC17572744800.pdf>. 
Acesso em:03 mar. 2017.