Cálculo 1 Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais

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11/06/2018 Cálculo 1 - Cap.VII. Limites no Infinito, Limites Infinitos, Assíntotas Horizontais e Verticais
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 Cálculo I 
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Cap.VII. Limites no Infinito , Limites Infinitos
 Assíntotas Horizontais e Verticais
 
 VII-1. Limites no Infinito VII-2. Limites Infinitos VII-3. Assíntotas Horizontais e Verticais 
 
VII-1. Limites no Infinito ( Ý )
 
 Introdução Definição de Limites no Infinito Observação 7-1 Exemplo 7-1 
 
Introdução : ( Ý )
 
 Vamos estudar o comportamento de uma função para | x | " muito grande " :
 
 
 
 Vamos observar o gráfico da f no intervalo [ 1 , 100 ] :
 
 
 
 O gráfico ao lado sugere que o valor da função fica 
cada vez mais próximo de 0 quando x ® + ¥ , isto é ,
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 Agora , vamos observar o gráfico da f no intervalo [ –100 , –1 ] :
 
 O gráfico ao lado sugere que o valor da função fica 
cada vez mais próximo de 0 quando x ® - ¥ , isto é ,
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 Definição 7.1 : ( Limites no Infinito ) : ( Ý ) 
 
 ( I ) Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto I = ( c , + ¥ ) . 
 
 A função f tem limite L quando x tende para + ¥ , que denotamos por 
 
 ,
 
 se para todo número positivo e podemos encontrar um número positivo N , tal que
 
 f ( x ) Î ( L – e , L + e ) sempre que x > N .
 Isto é ,
 
 ( II ) Seja f uma função definida em todo ponto de um intervalo aberto I = ( - ¥ , c ) . 
 
 A função f tem limite L quando x tende para - ¥ , que denotamos por 
 
 ,
 
 se para todo número positivo e podemos encontrar um número positivo N , tal que
 
 f ( x ) Î ( L – e , L + e ) sempre que x < – N .
 Isto é ,
 
 
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Observação 7-1 : ( Ý )
 
 ( i ) As propriedades de limite continuam válidas quando x® + ¥ e quando x ® - ¥ ; e temos para 
todo n Î IN*
 
 ( ii ) Para todo n Î IN* e c Î IR , temos
 
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 (demonstração)
 
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 Exemplo 7.1 : ( Ý )
 
 Para cada uma das funções definidas abaixo , calcule o limite da função quando x ® - ¥ e quando x ® +
¥ .
 
 
(a) 
 (sol.) 
 
 
(b) 
(sol.) 
 
 
(c) (sol.) 
 
 
(d) 
 (sol.) 
 
 
(e) (sol.) 
 
 
(f) 
(sol.) 
 
 
 Solução :
 
 
(a) 
 
 
 
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(b) 
 
 
 
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(c) 
 
 
 
 
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(d) 
 
 
 
 
 
 
 
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(e) 
 
 
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(f) 
 
 
 
 
 
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VII-2. Limites Infinitos ( Ý )
 
 Introdução Definição de Limites Infinitos Observação 7-2 Observação 7-3 Exemplo 7-2 Observação 7-4 Exemplo 7-3 
 
Introdução : ( Ý )
 
 Vamos estudar o comportamento de funções tais que | f ( x ) | é " muito grande " quando x está próximo de 
0 .
 
 
 
 Vamos observar o gráfico da f numa vizinhança de 0 :
 
 
 
 O gráfico ao lado sugere que o valor da função 
fica cada vez maior quando quando x ® 0 , isto é ,
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 Vamos observar o gráfico da f numa vizinhança de 0 :
 
 
 
 O gráfico ao lado sugere que o valor da função 
fica cada vez menor quando quando x ® 0 , isto é ,
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 Definição 7.2 : ( Limites Infinitos ) : ( Ý ) 
 
 ( I ) Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto contendo a , exceto
 
 possivelmente em a .
 
 A função f tem " limite " + ¥ quando x tende para a , que denotamos por 
 
 ,
 
 se para todo número positivo N podemos encontrar um número positivo d tal que
 
 f ( x ) > N sempre que x Î ( a – d , a ) È ( a , a + d ) .
 Isto é ,
 
 ( II ) Seja f uma função definida em todo número de um intervalo aberto contendo a , exceto
 
 possivelmente em a .
 
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 A função f tem " limite " - ¥ quando x tende para a , que denotamos por 
 
 ,
 
 se para todo número positivo N podemos encontrar um número positivo d tal que
 
 f ( x ) < – N sempre que x Î ( a – d , a )< È ( a , a + d ) .
 Isto é ,
 
 
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Observação 7-2 : ( Ý )
 
 ( i ) Note que , pela definição acima , é equivalente à 
 
 ( ii ) As definições de limite laterais infinitos são análogas .
 
 ( iii ) Apesar de escrevermos ou , estes limites NÃO existem .
 
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 Observação 7-3 : ( Ý )
 
 
 
 (demonstração)
 
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 Exemplo 7.2 : ( Ý )
 
 Para cada uma das funções e valores de a definidos abaixo , calcule o limite da função quandox ® a – e 
quando x ® a + .
 
 
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(a) (sol.) (i) a = – 1 (sol.) (ii) a = 1 (sol.) (iii) a = 2 (sol.) 
 
 
(b) (sol.) (i) a = – 1 (sol.) (ii) a = 1 (sol.) 
 
 
(c) (sol.) (i) a = – 2 (sol.) (ii) a = 2 (sol.) 
 
 Solução :
 
 Vamos resolver estes limites usando a Observação 7.3 . Quando o denominador for um polinômio , devemos 
fatorar o polinômio , para saber se está se aproximando de 0 por valores maiores ou menores que 0 , 
quando x se aproxima de a .
 
 
(a) (i) a = – 1 (sol.) (ii) a = 1 (sol.) (iii) a = 2 (sol.)
 
 
 
 (i) a = – 1
 
 
 
 
 
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 (ii) a = 1
 
 
 
 
 
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 (iii) a = 2
 
 
 
 
 
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(b) (i) a = – 1 (sol.) (ii) a = 1 (sol.) 
 
 
 
 (i) a = – 1
 
 
 
 
 
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 (ii) a = 1
 
 
 
 
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(c) (i) a = – 2 (sol.) (ii) a = 2 (sol.) 
 
 
 
 (i) a = – 2
 
 
 
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 (ii) a = 2
 
 
 
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 Observação 7-4 : ( Ý )
 
 
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(demonstração)
 
 
 
 Em muitos casos não é possível determinar de imediato o limite , quando isto acontece nós dizemos que 
temos uma indeterminação ( isto é , precisamos fazer alguns cálculos para determinar o limite ) .
 
 “ veja alguns tipos de indeterminações ”
 
 Exemplo 7.3 : ( Ý )
 
 Calcule os seguintes limites :
 
 
(a) (solução) (b) (solução)
(c) (solução) (d) (solução)
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 Solução :
 
 
(a) 
 
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(b) 
 
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(c) 
 
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(d) 
 
 
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VII-3. Assíntotas Horizontais e Verticais ( Ý )
 
 Assíntotas Definição de Assíntota Horizontal Definição de Assíntota Vertical Exemplo 7-4 
 
Assíntotas ( Ý )
 
 
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 Definição 7.3 : ( Assíntota Horizontal ) : ( Ý )
 
 A reta y = b é uma assíntota horizontal ao gráfico da função f se
 
 
 
 
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 Definição 7.4 : ( Assíntota Vertical ) : ( Ý )
 
 A reta x = a é uma assíntota vertical ao gráfico da função f se pelo menos uma das 
afimações abaixo for verdadeira : 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 7.4 : ( Ý )
 
 Encontre as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de cada uma das seguintes funções :
 
 
(a) (solução) (b) (solução) (c) (solução)
(d) (solução) (e) (solução) (f) (solução)
 
 Solução :
 
 
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(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 Assíntotas Horizontais : y = 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Assíntotas Verticais : x = 0 , x = – 1 e x = 2
 
 ( veja o gráfico dessa função )
 
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(b) 
 
 
 
 
 
 
 
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Assíntotas Horizontais : y = 1
 
 
 
 
 
 Assíntotas Verticais : x = – 3
 
 ( veja o gráfico dessa função )
 
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(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assíntotas Horizontais : não existe
 
 
 
 
 
 
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 Assíntotas Verticais : x = 3
 
 ( veja o gráfico dessa função )
 
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(d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assíntotas Horizontais : y = – 3 e y = 3
 
 
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 Assíntotas Verticais : x = – 2 e x = 2
 
 ( veja o gráfico dessa função )
 
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(e) 
 
 
 
 
 
 
 
 Assíntotas Horizontais : não existe
 
 
 
 
 
 AssíntotasVerticais : x = 1
 
 ( veja o gráfico dessa função )
 
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(f) 
 
 
 
 
 
 
 
 Assíntotas Horizontais : y = 3 e y = – 3
 
 
 
 
 
 Assíntotas Verticais : não existe
 
 ( veja o gráfico dessa função )
 
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