W MÓDULO DE RESISTÊNCIA flexao

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Unisanta - Tópicos de Mecânica - Prof. Damin - Aula n.º_____ - Data ___/____/______ 
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FLEXÃO SIMPLES. 
Introdução: 
(Boanerges, 1980-S.D.) 
Como a força cortante não altera as tensões 
normais estamos aqui examinando as flexões 
pura normal e simples normal. 
Observando a seção transversal em estudo, 
temos quatro casos possíveis com as 
respectivas tensões normais: 
Y
X
lado
C.G.
T.P.M.
tracionado
 
 = M.y/Ix 
Y
X
lado
C.G.
T.P.M.
tracionado
 
 = - M.y/Ix Y
X
lado
C.G.
T.P.M. tracionado
 
 = M.x/Iy 
Y
X
lado
C.G.
T.P.M.tracionado
 
 = - M.x/Iy 
Pela análise dimensional dessas definições, teremos como unidades para TENSÃO: 
 Pa (Pascal), N/m
2
, kgf/cm
2
, etc. 
 
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Nas expressões anteriores o momento fletor M, está em módulo e o Traço do Plano do 
Momento Fletor (T.P.M.), com o “lado tracionado”, são obtidos do diagrama de 
momentos fletores. 
As tensões normais se distribuem na seção formando um plano (Navier) que contém o eixo 
central de inércia em torno do qual gira a seção transversal em estudo: 
Seção Vista de Frente: 
Y
X
lado
C.G.
T.P.M.
tracionado
 
Seção vista de lado: 
eixo da barra Z
região
tracionada
região
comprimida
 
Considerações: 
(Beer and Johnston, 1995) (Boanerges, 1980) 
 Observamos que uma região da seção é tracionada e a outra é comprimida, sendo estas 
duas partes limitadas pelo eixo baricêntrico de inércia em torno do qual gira a seção, e nos 
pontos deste eixo central a tensão normal é nula. 
 Linha Neutra é a reta do plano da seção transversal em que a tensão normal é nula; na 
flexão simples normal a linha neutra coincide com o eixo baricêntrico de inércia em torno 
do qual gira a seção transversal em exame 
 Observamos também que, a tensão normal atinge seu valor máximo (positivo) e valor 
mínimo (negativo), nos pontos da seção mais distantes em relação à linha neutra, ou ao 
eixo baricêntrico de inércia perpendicular ao T.P.M. 
 Estas duas tensões são chamadas de Tensões Extremas, e são fundamentais ao 
dimensionamento da seção em estudo. Sendo a Tensão máxima (Tração) e Tensão 
mínima (Compressão). 
Nomenclatura: 
Nomenclatura utilizada no Curso: 
Baricentro ou centro de gravidade = G.(C.G.) Eixos baricêntricos = XG e YG. 
Momentos Fletores = M Pontos do baricentro = xg e yg. 
Área da Seção Plana = A Momento de Inércia = I 
Tensão de Compressão = C Tensão de Tração = T 
Tensão =  Módulo de Resistência = W 
Momento Estático = MSX e MSY Força = F 
 
M 
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Módulo de Resistência: 
(Boanerges, 1980-S.D.) 
Já constatamos que as tensões extremas agem nos pontos 
da seção mais afastados dos eixos de inércia; 
podemos então definir uma nova característica da seção 
transversal (figura plana), o Módulo de Resistência. 
Módulo de Resistência: (W) 
W = I/d 
Cálculo dos Pontos Extremos: 
Ponto 1: Wx’ = IXG/y’ 
Ponto 2: Wx” = IXG/y” 
Ponto 3: Wy’ = IYG/x’ 
Ponto 4: Wy” = IYG/x” 
 
Para obtermos as Tensões Extremas do quociente M/W depende do 
cálculo do eixo central de inércia 
Logo, os pontos para a figura acima serão: 
Wx’ = (B.H3/36)/(2.H/3) = 3.B.H3/72.H = B.H2/24 
Wx’= B.H2/24 
Wx” =(B.H3/36)/(H/3) = 3.B.H3/36.H = B.H2/12 
Wx”= B.H2/12 
Wy’ = (H.B3/36)/(2.B/3) = 3.H.B3/72.B = H.B2/24 
Wy’= H.B2/24 
Wy” = (H.B3/36)/(B/3) = 3.H.B3/36.B = H.B2/12 
Wy”= H.B2/12 
YG 
G 
4 
1 
3 
y” 
x” x’ 
y’ 
2 
XG 
T.P.M. 
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Considerações: 
(Beer and Johnston, 1995) (Boanerges, 1980-S.D.) 
Podemos ter uma idéia da altura h da seção transversal, necessária para resistir ao 
momento fletor, através do braço de alavanca d do binário obtido com as forças resultantes 
das tensões normais de mesmo sinal que agem na seção em exame. 
Seção: 
Y
X
T.P.M.
região tracionada
de área A
L.N.
h
C.G.
 
As tensões normais de tração, que agem na 
região tracionada (de área A) da seção 
transversal, provocam a força: 
F = A.da 
Perpendicularmente ao plano da seção 
transversal, como; 
 = M.y/IX 
vem; 
F = M.y.da/IX = (M/IX)Ay.da 
F = M.MSX/IX 
Pois M e IX são constantes da seção. 
MSX é o momento estático da área A da 
região tracionada (ou da região 
comprimida) em relação ao eixo central 
perpendicular ao TPM. 
 
Vista lateral: 
eixo Z
F
F
 
O equilíbrio exige: 
M = F.d 
Então: 
d = IX/MSX 
A geometria da seção é melhor para resistir 
ao momento fletor quanto mais próximo for d 
de h; como d é a distância entre os 
baricentros das regiões tracionada e 
comprimida da seção, para aproximarmos d 
de h precisamos colocar mais área distante 
do eixo central. Uma boa seção para resistir 
ao momento fletor é: 
T.P.M.
h
d
 
M 
d 
h 
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Exercícios Propostos: (Para estudo). 
Calcular para a viga reta: 
 
 
 
3.00 m 2.00 m 2.00 m
A B C
D
 
 As reações de apoio. 
 Os diagramas de esforços internos solicitantes (V, M). 
Calcular para as seções planas abaixo: 
 O baricentro posicionando os eixos nas figuras 
 As tensões à flexão nos pontos marcados. 
EP1: R = 3 x 10
-2
 m 
YG
XG
C.G.
T.P.M.
 
EP2: 
YG
XG
C.G.
8 cm
22 cm
20 cm
30 cm
T.P.M.
 
4 kN.m 8 kN 
2 kN/m 
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Sistemas de Unidades: 
Prefixos e seus símbolos: 
da = Deca = 10
1
 d = Deci = 10
-1
 
h = Hecto = 10
2
 c = Centi = 10
-2
 
k = Quilo = 10
3
 m = Mili = 10
-3
 
M = Mega = 10
6
  = Micro = 10-6 
G = Giga = 10
9
 n = Nano = 10
-9
 
T = Tera = 10
12
 p = Pico = 10
-12
 
Unidades de Comprimento: 
 m m mm cm dm km 
1 m 1 10
6
 10
3
 10
2
 10 10
-3
 
1 m 10
-6
 1 10
-1
 10
-4
 10
-5
 10
-9
 
1 mm 10
-3
 10
3
 1 10
-1
 10
-2
 10
-6
 
1 cm 10
-2
 10
4
 10 1 10
-1
 10
-5
 
1 dm 10
-1
 10
5
 10
2
 10 1 10
-4
 
1 km 10
3
 10
9
 10
6
 10
5
 10
4
 1 
Unidades de Área: 
 m
2
 m2 mm
2
 cm
2
 dm
2
 km
2
 
1 m
2
 1 10
12
 10
6
 10
4
 10
2
 10
-6
 
1 m2 10
-12
 1 10
-6
 10
-8
 10
-10
 10
-18
 
1 mm
2
 10
-6
 10
6
 1 10
-2
 10
-4
 10-
12
 
1 cm
2
 10
-4
 10
8
 10
2
 1 10
-2
 10
-10
 
1 dm
2
 10
-2
 10
10
 10
4
 10
2
 1 10
-8
 
1 km
2
 10
6
 10
18
 10
12
 10
10
 10
8
 1 
Unidades de Força: 
 N** kN MN kp* 
1 N 1 10
-3
 10
-6
 0,102 
1 kN 10
3
 1 10
-3
 0,102 x 10
3
 
1 MN 10
6
 10
3
 1 0,102 x 10
6
 
1 kp 9,81 9,81 x 10
-3
 9,81 x 10
-6
 1 
* 1 kp = 1 kgf ** 1 N = 1 kgf.m/s
2 
Unidades de Tensão: 
 Pa MPa Kp/cm
2
 N/mm
2
 
1 Pa = 1 N/m
2
 1 10
-6
 1,02 x 10
-5
 10
-6
 
1 MPa 10
6
 1 10,2 1 
1 Kp/cm
2
 = 1 atm 98100 9,81 x 10
-2
 1 9,81 x 10
-2
 
1 N/mm
2
 10
6
 1 10,2 1