Estática dos Corpos Rígidos

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MECÂNICA GERAL 
ESTÁTICA DOS CORPOS RÍGIDOS 
1. Força 
 
 Representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto de 
aplicação, sua intensidade, direção e sentido; 
 
 A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de 
Unidades (SI); 
 
 A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a 
força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo; 
 
 O sentido da força é indicado por uma seta (vetor). 
2. Equilíbrio de um ponto material 
 
 Ponto material é uma pequena porção de matéria que pode ser considerada como se 
ocupasse um ponto no espaço; 
 
 Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula, este 
ponto está em equilíbrio. Este princípio é consequência da primeira lei de Newton: 
 
 “se a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto 
 permanece em repouso (se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo 
 de uma reta com velocidade constante (se originalmente estava em movimento)”. 
Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto material, escreve-se: 
 
 
 F = força 
 R = resultante das forças 
 
 A representação gráfica de todas as forças que atuam em um ponto material pode ser 
apresentada em um diagrama de corpo livre: 
 
�𝐹𝐹 = 𝑅𝑅 = 0 
EXEMPLO: Verificar se o sistema de forças indicado está em equilíbrio. 
 
 
 
Solução: 
 As condições necessárias e suficientes para o equilíbrio são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: O sistema de forças está em equilíbrio 
 
� Fx = 0 
�Fx = 1500− 1000 sen 300 − 2000 sen 300 
� Fx = 1500− 500− 1000 = 0 𝐎𝐎𝐎𝐎 
� Fy = 0 
�Fy = 2000 cos 300 − 1000 cos 300 − 866 
� Fy = 1732− 866− 866 = 0 𝐎𝐎𝐎𝐎 
3. Resultante de um sistema de forças 
 
 Duas forças P e Q que atuam sobre um ponto material podem ser substituídas por uma 
única força R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto material. Essa força é 
denominada resultante de P e Q. 
 
 Portanto: 
 a resultante de um grupo de forças é a força que, atuando sozinha, produz ação 
 idêntica à produzida pelo grupo ou sistema de forças. 
 
 A resultante pode ser determinada por soluções gráficas ou analíticas. 
 
 
 
a) Soluções gráficas: quando um ponto material está em equilíbrio sob a ação de mais de três 
forças o problema pode ser resolvido graficamente pelo desenho de um polígono de forças, 
como indicado nas figuras: 
 b) Soluções analíticas: os métodos analíticos utilizam a trigonometria e as equações de 
equilíbrio. 
 
 EXEMPLOS 
 
 Parte a: 
 
 Determinar a resultante das duas forças P e Q que agem sobre o parafuso A. 
 
i. Soluções gráficas: força resultante 
 
ii. Solução analítica: trigonometria 
 
 Cálculo da força resultante: 
 Lei dos senos (cálculo do ângulo α): 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo do ângulo β : 
β 
α 
R 
P=40 N 
Q=60 N 
150 
 
 Lei dos cossenos: 
 𝑅𝑅 = �𝑃𝑃2 + 𝑄𝑄2 − 2 𝑃𝑃.𝑄𝑄 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 
𝑅𝑅 = �602 + 402 − 2 𝑥𝑥 40 𝑥𝑥 60 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐1550 
β 
α 
R 
P=40 N 
Q=60 N 
150 
 Parte b: 
 
 Sabendo-se que o parafuso está fixo, portanto em equilíbrio, existem forças de reação que 
equilibram as forças Q e P. Este princípio é explicado pela terceira lei de Newton: 
 
 “A toda ação corresponde uma reação, com a mesma intensidade, mesma direção e 
 sentido contrário”. 
 
 Portanto, o parafuso está reagindo por uma força de mesma intensidade da resultante de P 
e Q, mas em sentido contrário. 
 
 A força de reação pode ser decomposta em duas forças Fx e Fy, que são suas projeções 
sobre os eixos (x e y). 
Fx = 97,7 cos 350 ∴ Fx = 80 N 
Fy = 97,7 sen 350 ∴ Fx = 56 N 
x 
y 
 Parte c: 
 
 Verificação do equilíbrio do ponto A. 
 
 Para que o ponto A esteja em equilíbrio é necessário que o somatório de todas as forças que 
agem no ponto A seja nulo, ou seja: 
� Fx = 0 
� Fx = 60 cos 450 + 40 cos 200 − 80 
�Fx = 42,4 + 37,6− 80 = 0 𝐎𝐎𝐎𝐎 
� Fy = 0 
� Fy = 60 sen 450 + 40 sen 200 − 56 
�Fy = 42,4 + 13,6− 56 = 0 𝐎𝐎𝐎𝐎 
 EXERCÍCIOS 
 
 Determinar a força F e o ângulo α. 
 
F 
TB = 2,5 kN 
C 
α 
200 50
0 
TA = 2,5 kN 
 Solução 
 Diagrama de corpo livre: 
 
 
F 
C 
α 
200 500 
x 
y 
2,5 kN 2,5 kN 
� Fx = 0 F cosα + 2,5 cos 500 − 2,5 cos 200 = 0 F cosα = −2,5 cos 500 + 2,5 cos 200 = 0 F cosα = 0,7422 (1) 
� Fy = 0 F sen α − 2,5 cos 700 − 2,5 cos 400 = 0 F sen α = 2,5 cos 700 + 2,5 cos 400 = 0 F sen α = 2,7702 (2) 
De (1) e (2): F sen αF cosα = 2,77020,7422 tgα = 3,7324 arc tgα = arc tg (3,7324) α = 750 
Substituindo o valor de α em (2): F cos 750 = 0,7422 
F = 0,7422cos 750 ∴ F = 2,87 kN 
4. Momento de uma força (formulação escalar) 
 
 Quando uma força é aplicada a um corpo, ela produz uma tendência de rotação do corpo em torno 
de um ponto que não está na linha de ação da força: torque, momento de uma força ou 
simplesmente momento. 
 
 
 
 
 
 
 F - força que atua em um corpo rígido fixo no ponto 0. 
 d - vetor distância perpendicular de 0 à linha de ação de F. 
 0 - eixo do momento 
 
 Define-se o momento escalar da força F em relação a 0, como sendo: 
 
𝑀𝑀0 = 𝐹𝐹 .𝑑𝑑 
 O momento M0 é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto 0. O sentido de M0 é 
definido pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. 
 
 Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo no sentido anti-horário 
e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário. 
 
5. Momento de um sistema de forças coplanares 
 
 Chama-se momento de um sistema de forças coplanares F1, ..., Fn em relação ao ponto 0, à 
soma algébrica dos momentos de cada força em relação ao mesmo ponto 0. 
 
𝑀𝑀0 = �𝑀𝑀𝐹𝐹𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 
5.1 Teorema de Varignon 
 
 Seja R a resultante do sistema de forças: 
 
 “o momento da resultante de um sistema de forças em relação a um ponto é igual ao 
 momento do sistema, ou seja, a soma algébrica dos momentos de todas as forças 
 componentes em relação ao mesmo ponto O”. 
 
𝑀𝑀𝑅𝑅,0 = �𝑀𝑀𝐹𝐹𝑖𝑖𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 
5.2 Momento de um binário 
 
 Duas forças F e – F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos 
opostos formam um binário. 
 
 A soma das componentes das duas forças em qualquer direção é zero. Entretanto, a soma 
dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesar de as duas 
forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar. 
 
 EXEMPLOS 
 
 1. Uma força de 450 N é aplicada no ponto A como ilustrado nas figuras em seguida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Determinar: 
 
 a) O momento da força em relação a D; 
 
 b) A menor força que deve ser aplicada em B para que o valor do momento em 
relação a D seja igual ao da letra a); 
 
 c) O módulo da força vertical que, aplicada em C, produza um momento em relação 
a D igual ao da letra a); 
 
 d) A menor força que, aplicada em C, ocasiona um momento em relação a D igual ao 
da letra a); 
 
 Solução 
 
 a) O momento da força em relação a D. 
 
 Utilizando o teorema de Varignon: 
𝑀𝑀𝐷𝐷 = 450 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐300. 300− 450 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐600. 125 
𝑀𝑀𝐷𝐷 = 88788 𝑁𝑁.𝑚𝑚𝑚𝑚 
𝑀𝑀𝐷𝐷 = 88,8 𝑁𝑁.𝑚𝑚 
 b) A menor força que deve ser aplicada em B para que o valor do momento em relação a D 
seja igual ao da letra a) 
 
 Para se obter a menor força em B que dê o mesmo valor de momento em relação ao ponto 
D que o item a), deve-se utilizar o maior braço de alavanca:F 
d 
𝑑𝑑 = �2252 + 3002 = 375 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0,375 𝑚𝑚 
𝐹𝐹 = 𝑀𝑀𝐷𝐷
𝑏𝑏
 ∴ 𝐹𝐹 = 88,80,375 ∴ 𝐹𝐹 = 236,8 𝑁𝑁 
 c) O módulo da força vertical que, aplicada em C, produza um momento em relação a D 
igual ao da letra a); 
 
F 
𝐹𝐹 = 𝑀𝑀𝐷𝐷
𝑏𝑏
 ∴ 𝐹𝐹 = 88,80,225 ∴ 𝐹𝐹 = 394,7 𝑁𝑁 
 d) A menor força que, aplicada em C, ocasiona um momento em relação a D igual ao da letra a); 
 
 A menor força que, aplicada em C, ocasiona um momento em relação a D igual ao da letra 
a) é aquela cujo braço de alavanca é o maior possível: 
 
𝑑𝑑 = �2252 + 2252 = 318,2 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0,3182 𝑚𝑚 
𝐹𝐹 = 𝑀𝑀𝐷𝐷
𝑏𝑏
 ∴ 𝐹𝐹 = 88,80,3182 ∴ 𝐹𝐹 = 279 𝑁𝑁 
 3. Determinar o momento em A devido ao binário de forças ilustrado na figura: 
 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝐹𝐹.𝑏𝑏 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = 500 . 0,12 ∴ 𝑀𝑀𝐴𝐴 = 60 𝑁𝑁.𝑚𝑚 
 4. Substituir o binário da figura por uma força F vertical aplicada no ponto B. 
 
F 
B 
B 
𝐹𝐹1 = 𝐹𝐹2 = 500 N 
𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝐹𝐹 . 𝑏𝑏 
𝐹𝐹 = 𝑀𝑀
𝑏𝑏
 ∴ 𝐹𝐹 = 600,15 ∴ 𝐹𝐹 = 400 N 
4.4 Equilíbrio de corpos rígidos 
 
 Um corpo rígido está em equilíbrio quando todas as forças externas que atuam sobre 
ele formam um sistema de forças equivalente a zero, isto é, quando todas as forças 
externas podem ser reduzidas a uma força nula e a um binário nulo. 
 
 
 
 
 As expressões acima definem as equações fundamentais de Estática. 
 
 
�𝐹𝐹 = 0 �𝑀𝑀0 = 0 
 Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, encontram-se 
as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço: 
 
x 
y 
z 
�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0 �𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 �𝐹𝐹𝑧𝑧 = 0 
�𝑀𝑀𝑥𝑥 = 0 �𝑀𝑀𝑦𝑦 = 0 �𝑀𝑀𝑧𝑧 = 0 
Equilíbrio ou em duas dimensões (equilíbrio no plano): 
 
 As condições de equilíbrio de um corpo rígido simplificam-se consideravelmente no caso de 
uma estrutura bidimensional. 
 
 Escolhendo os eixos x e y no plano da estrutura, as seis equações de equilíbrio no espaço 
reduzem-se a: 
 
 
 
 
 
 
 A é um ponto qualquer no plano da estrutura. 
 
 Estas 3 equações podem ser resolvidas para um máximo de 3 incógnitas. 
 
x 
y 
0 
�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0 �𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 �𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0 
5. Apoios 
 
 Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não basta conhecer somente as forças 
externas que agem sobre ele é necessário conhecer como este corpo rígido está 
apoiado. 
 
 
 Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e recebem 
a seguinte classificação: 
 
 Apoio móvel: 
 
 
 
 
 
 
 Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao plano do apoio; 
 
 Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
 
 Permite rotação. 
 
 Apoio fixo: 
 
 
 
 
 
 
 Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
 
 Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
 
 Permite rotação. 
 
 
 Engaste: 
 
 
 
 
 
 
 Impede movimento na direção normal ao plano do apoio; 
 
 Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio; 
 
 Impede rotação. 
 
 6. Tipos de Estruturas 
 
 As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou vínculos que 
possuem. 
 
 Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada. 
 
 Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais: 
 
�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0 �𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 �𝑀𝑀𝐴𝐴 = 0 
6.1 Estruturas hipostáticas 
 
 Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é inferior 
ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 No exemplo apresentado na figura, as incógnitas são duas: RA e RB. 
 
 Esta estrutura não possui restrição a movimentos horizontais. 
 
6.2 Estruturas isostáticas 
 
 Estruturas isostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é igual ao 
número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 No exemplo da estrutura da figura, as incógnitas são três: RA, RB e HA. 
 
 Esta estrutura está fixa; suas incógnitas podem ser resolvidas somente pelas equações 
fundamentais da Estática. 
 
6.3 Estruturas hiperestáticas 
 
 Estruturas hiperestáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
superior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
 No exemplo apresentado na figura, as incógnitas são quatro: RA, RB, HA e MA. 
 
 As equações fundamentais da Estática não são suficientes para resolver as equações de 
equilíbrio. São necessárias outras condições relativas ao comportamento da estrutura, como, 
p. ex., a sua deformabilidade para determinar todas as incógnitas. 
 
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