Slides Modelo de mínimos quadrados em dois estágios

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1 
Estimação de Variáveis 
Instrumentais e Mínimos 
Quadrados de Dois 
Estágios 
Wooldridge, Cápítulo 15 
2 
Variáveis Instrumentais 
(IV) 
3 
Variáveis Instrumentais 
yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + ... + k xki + ei 
Considere o seguinte modelo de regressão 
linear múltipla 
4 
Variáveis Instrumentais 
Suposições 
 
a) Modelo é linear nos parâmetros e a matriz X é de 
posto completo. 
b) 
c) X’X admite inversa 
d) 
e) 
~~
0X 









~~
E E ee
~
plim QX'X
~~






n
1
~
n
~~
IXe
2




 Var
5 
As suposições (a), (b), (c) e (d) são 
necessárias para demonstrar a consistência 
do vetor de estimadores 
~
β̂
Variáveis Instrumentais 
6 
Variáveis Instrumentais 
Hipótese Crucial 
~~
0X 









~~
E E ee
Ou seja, todos os fatores contidos em e devem ser 
não correlacionados com as variáveis explicativas e 
deve ter sido usada a forma funcional correta. 
7 
Variáveis Instrumentais 
Suposição: E(ei | x1, x2, ..., xk) = E(ei) = 0 
 
Como pode falhar? 
yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + ... + k xki + ei 
• Omissão de Variáveis 
(Ignorar o problema? Usar proxy? Dados em Painel?) 
• Erro nas Variáveis 
• Endogeneidade 
8 
Uma variável explicativa, num modelo de regressão 
linear, que é correlacionada com o termo de erro é 
dita variável explicativa endógena. 
Endogeneidade 
Problema: 
~~~
0e'X 





n
1
plim
Variáveis Instrumentais 
yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + ... + k xki + ei 
9 
Dessa forma, se estimarmos o modelo de regressão 
linear por mínimos quadrados teremos estimadores 
viesados e inconsistentes para os parâmetros do 
modelo. 
Variáveis Instrumentais 
yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + ... + k xki + ei 
10 
Variáveis Instrumentais 
Considere o seguinte modelo de regressão 
Exemplo 1 
Ih = 0 + 1 educh + 2 filhosh + 3 rendah + ei 
Ih – indicador de saúde do h-ésimo domicílio 
educh – educação do chefe da família do h-ésimo domicílio 
filhosh – número de filhos no h-ésimo domicílio 
rendah – renda do h-ésimo domicílio 
 número de filhos é uma decisão endógena, pode depender de 
diversos fatores 
11 
Variáveis Instrumentais 
Considere o seguinte modelo de regressão 
Exemplo 2 
salárioi = 0 + 1 educi + 2 x2i + ... + k xki + ei 
0
1






~~
eeduc'plim
n
Quais seriam os motivos desta violação? 
Possíveis soluções? 
12 
Uso de variáveis instrumentais 
Solução 
Variáveis Instrumentais 
yi = 0 + 1 x1i + 2 x2i + ... + k xki + ei 
13 
Considere o modelo 
Variáveis Instrumentais 
yi = 0 + 1 x1i + ei (1) 
com 
Cov(x1, e)  0 
14 
Mas, suponha que tenha sido observada uma 
variável z que satisfaça a duas suposições: 
Variáveis Instrumentais 
(a) z é não-correlacionada com e, isto é, 
Cov(z, e) = 0 
 
(b) z é correlacionada com x1, isto é, 
Cov(z, x1)  0 
z é exógena em (1) 
Como testar tais suposições? 
15 
Do exposto, chamaremos z de variável 
instrumental para x1. 
Variáveis Instrumentais 
16 
Variáveis Instrumentais 
Em termos matriciais: 
~
ZX
~~
QX'Z 





n
1
plim (b.1)
~~~
0eZ 





'plim (a.1)
n
1
~
Z
~
X
- Matriz de Instrumentos 
- Matriz de Explicação 
17 
Variáveis Instrumentais 
Considere o seguinte modelo de regressão 
Voltando ao Exemplo 2 
salárioi = 0 + 1 educi + 2 x2i + ... + k xki + ei 
 Devemos procurar uma variável correlacionada com educ e 
não-correlacionada com habilidade (que está no termo de erro 
e é correlacionada com educ) 
 Possíveis instrumentos? 
18 
• O método de estimação com o uso de 
variáveis instrumentais (IV) é mais geral do 
que OLS; 
Variáveis Instrumentais 
• OLS é um caso particular de IV, uso as 
variáveis explicativas como instrumentos delas 
mesmas. 
19 
Variáveis Instrumentais 
Considere o modelo de regressão linear geral 
~~~~
eβXy  
Pré multiplicando a equação anterior pela transposta 
da matriz de instrumentos, temos que: 
~~~~~~~
e'ZβX'Zy'Z  
20 
Variáveis Instrumentais 
Multiplicando a equação anterior por n-1, vem que: 
~~~~~~~
e'ZβX'Zy'Z
nnn
111
 
e tomando o limite de probabilidade em ambos os 
lados da igualdade, temos que: 






























~~~~~~~
~~~~~~~
e'ZβX'Zy'Z
e'ZβX'Zy'Z
nnn
nnn
111
111
plimplimplim
 plimplim
21 
Variáveis Instrumentais 
(cont.) 
 











































































~
IV
~
~~~~~~~~~
~~~~~
~~~~~~~
ββ
y'ZX'Zy'ZX'Zβ
y'ZX'Zβ
e'ZβX'Zy'Z
ˆplim
plimplim
plimplim
plimplim plim
1
1
1
11
11
111
nn
nn
nnn
22 
Variáveis Instrumentais 
Assim, 
 
~~~~~
IV y'ZX'Zβ
1
ˆ
Que é um estimador consistente! 
23 
Variáveis Instrumentais 
Observações 
(i) Admitindo a validade das suposições (a.1) e (b.1), o vetor 
de estimadores gerado com o uso de variáveis 
instrumentais é consistente. 
 
(ii) Para estimar o vetor de parâmetros, precisamos garantir 
que a matriz Z’X admite inversa. Logo, se Z for uma matriz 
de dimensão n x L e X for uma matriz de dimensão n x (k + 
1), precisaremos que L = k + 1. (neste caso, obtenho os 
estimadores diretamente) 
24 
Variáveis Instrumentais 
Observações (cont.) 
iii. Faremos, ainda, uma suposição adicional de que a 
variável instrumental z seja fortemente correlacionada 
com a variável endógena x. (suposição ligada ao fato do 
uso de instrumentos fracos) 
 
iv. De (iii) conseguimos garantir que o método de estimação 
proposto apresenta bom desempenho com amostras 
finitas. 
Leitura: Wooldridge (2003, p. 493-94) 
25 
Variáveis Instrumentais 
























'ˆˆEˆVar
~~
IV
~~
IV
~
IV βββββ
   
   
 
 
~~~~~~
IV
~~~~~~
IV
~~~~~~~~~~
IV
~~~~~~~~~~~
IV
e'ZX'Zββ
e'ZX'Zββ
e'ZX'ZβX'ZX'Zβ
eβX'ZX'Zy'ZX'Zβ
1
1
11
11














ˆ
 ˆ
 ˆ
 ˆMas, 
26 
Variáveis Instrumentais 
























'ˆˆEˆVar
~~
IV
~~
IV
~
IV βββββ
   
    11
11












































~~~~~~~~~
IV
~~~~~~~~~
IV
~~
IV
~~
IV
~
IV
ZXZee'ZX'Zβ
ZXZee'ZX'Zβ
βββββ
''EˆVar
''EˆVar
'ˆˆEˆVar
Logo, 
27 
Variáveis Instrumentais 
























'ˆˆEˆVar
~~
IV
~~
IV
~
IV βββββ
    112 





~~~~~~~
IV ZXZ'ZX'Zβ '
ˆVar 
Se a suposição de homocedasticidade for válida, então, 
e 
    112 





~~~~~~~
IV ZXZ'ZX'Zβ 'ˆ
ˆVar 













~
IV
~~~
IV
~~~~
βXyβXye'e ˆ'ˆˆˆˆ
nn
112
com 
28 
Variáveis Instrumentais 
























'ˆˆEˆVar
~~
IV
~~
IV
~
IV βββββ
Caso contrário, 
    112 





~~~~~~~~
IV ZXZΩ'ZX'Zβ '
ˆVar 
29 
Variáveis Instrumentais 
É possível provar que 












 
~
1
XZ
~
ZZ
~
1
ZX
~~~
IV QQQ0ββ
2 , ~ˆ
a
Nn
30 
Variáveis Instrumentais 
Exemplo 
~~~~
eβXy 
em que 







~
k
~
3
~
2
~
1
~
 ... xxxxi
~
X
Considere o modelo de regressão linear geral 
Desconfia-se que as variáveis x1 e x2 sejam 
endógenas. 
31 
Perguntas: 
(a) Poderíamos propor o mesmo instrumento para ambas as 
variáveis? Discuta as implicações no método de estimação. 
(b) Haveria algum problema no caso em que fossem propostos 
exatamente um instrumento diferente para cada variável? 
(c) Poderíamos propor mais de um instrumento para cada variável 
endógena? 
(d) De acordo com o enunciado de (c), como ficariam as dimensões 
das matrizes Z e X? 
(e) Admitindo a validade de (c), seria possível gerar diretamenteo 
vetor de estimadores? 
Variáveis Instrumentais 
Exemplo (cont.) 
32 
Solução para o que foi discutido em (c), (d) e (e): 
 
2SLS 
(mínimos quadrados em dois estágios) 
Variáveis Instrumentais 
Exemplo (cont.) 
33 
Inicialmente devemos construir a matriz de instrumentos 
Z. As variáveis que são exógenas serão consideradas 
instrumentos delas mesmas. Isso feito, 
1o. Estágio: Regredir cada variável explicativa do modelo 
original em função dos instrumentos (estimação das 
formas reduzidas) e gerar uma matriz de valores 
ajustados em cada um das regressões; 
2o. Estágio: Estimar o modelo para a variável resposta 
em função dos valores estimados para as variáveis 
explicativas. 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
34 
2o. Estágio: 
1o. Estágio: 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
~~~
πZX ˆˆ 
~~~~
eβXy  ˆ
~~~~
υ πZX 
Obter  
 
~~~~~
XZZZπ ''ˆ
1
Onde  
35 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
 
~~
Z
~~~~~~~~
XHXZZZZπZX 

''ˆˆ
1
Temos que no primeiro estágio que: 
 
~~~~~
XZZZπ ''ˆ
1

Assim, 
36 
Logo, 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
 
~~
Z
~~~~~~~~
XHXZZZZπZX 

''ˆˆ
1
Sabemos, do 2o. estágio, que: 
   
~~
1
~~
y'XX'Xβ
2SLS ˆˆˆˆ
~


Mas, 
   
~~
Z
~
1
~~
Z
~~~
Z
~
1
~~
Z
~
Z
~~~
1
~~
y'H'XXH'Xy'H'XXH'H'Xy'XX'Xβ
2SLS














 ˆˆˆˆ
~
37 
Logo, 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
 
~~
Z
~
1
~~
Z
~~~~~~
Z
~
1
~~
Z
~
e'H'XXH'XβeβX'H'XXH'Xβ
2SLS



















 ˆ
~
Do exposto, 
 
~~
Z
~
1
~~
Z
~
e'H'XXH'Xββ
2SLS








~~
ˆ
Mas, 
 
~~
Z
~
1
~~
Z
~
y'H'XXH'Xβ
2SLS








~
ˆ
38 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
 
1
~~
Z
~~~
Z
~~~
Z
~
1
~~
Z
~
XH'XXHeeH'XXH'Xβ
2SLS






















'ˆ
~
EVar
Assim, 
Pode ser expressa como, 
     
























'ˆˆˆ
~~~~~
βββββ
2SLS2SLS2SLS
EVar
39 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
 
1
22













~~
Z
~
XH'Xβ 
SLS
~
ˆVar
Se a suposição de homocedasticidade for válida, então, 
e 
 
1
22













~~
Z
~
XH'Xβ ̂ˆVar
~
SLS
   













2SLS
~~~
2SLS
~~~~~
βX yβX ye'e ˆ'ˆˆˆˆ
nn
112
com 
40 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
 
11
2



















~~
Z
~~~
Z
~~
Z
~~~
Z
~
XH'XXHΩH'XXH'Xβ
SLS
~
ˆVar
Caso contrário, 
41 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
É possível provar que 
   











 SLSSLS
VarN
22
~
a
~
ˆ , ~ˆ βββ
~
42 
1) IV pode ser bem mais ineficiente que OLS; 
2) A distribuição de probabilidades do estimador 
usando IV, no caso de amostras finitas, pode ser 
bem diferente da distribuição de probabilidades 
assintótica. 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
Problemas 
Mesmo quando Corr(z,e) = 0, onde IV é consistente, 
ainda podemos ter problemas: 
43 
Teste de Endogeneidade 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
O estimador de 2SLS é menos eficiente que o de 
OLS quando as variáveis explicativas são exógenas. 
Assim sendo, se torna útil fazer um teste de 
endogeneidade de uma variável explicativa que 
mostre se a utilização de 2SLS é necessária. 
44 
Considere o modelo 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
y1 = 0 + 1y2 + 2z1 + 3z2 + e1 (1) 
em que 
y2 – variável endógena 
z1 e z2 – variáveis exógenas 
Teste de Endogeneidade 
45 
Fatos 
1. Se y2 for não correlacionada com e1, então, 
devemos estimar os parâmetros do modelo por 
OLS (mais eficiente). 
2. OLS e 2SLS fornecem estimadores consistentes 
se a condição de exogeneidade estiver satisfeita. 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
Teste de Endogeneidade 
46 
Teste de Endogeneidade 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
HAUSMAN (1978), sugeriu fazer uma comparação 
direta das estimativas de OLS e 2SLS e determinar 
se as diferenças são estatisticamente significantes. 
 Se as estimativas geradas por OLS e 2SLS 
diferirem de forma significante, concluímos que y2 
deve ser endógena (supondo z1 e z2 exógenas). 
47 
Teste de Endogeneidade 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
1) Estime a forma reduzida de y2, regredindo y2 
sobre todas as variáveis exógenas (inclusive 
aquelas da equação estrutural e as IVs adicionais). 
2) Obtenha os resíduos. 
3) Estime a equação estrutural, por OLS, utilizando 
os resíduos, obtidos em (2), como variável 
explicativa. Se o parâmetro associado ao resíduo 
for estatisticamente significante, concluiremos que 
y2 é endógena. 
48 
Teste de Restrições Sobreidentificadoras 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
Suponha que em nosso modelo apareça somente uma 
variável explicativa endógena: 
 
 Se tivermos somente uma única IV, não teremos 
restrições sobreidentificadoras. Neste caso, não haverá 
nada que possa ser testado 
 Se tivermos somente duas IVs, teremos uma restrição 
sobreidentificadora. Se tivermos três IVs, teremos duas 
restrições sobreidentificadoras, e assim por diante. 
49 
Teste de Restrições Sobreidentificadoras 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
1) Estime a equação estrutural por 2SLS 
2) Obtenha os resíduos. 
3) Regrida os resíduos em função de todas as 
variáveis exógenas. 
4) Obtenha o R2 (coeficiente de explicação). 
5) Sob a hipótese nula de que todas as IVs são não 
correlacionadas com o erro, 
nR2 ~2q 
 q – número de variáveis endógenas. 
50 
Teste de Restrições Sobreidentificadoras 
Mínimos Quadrados em Dois Estágios 
Rejeitar a hipótese nula significa que 
pelo menos uma das IVs não é exógena.