AulaTeorica 03_Limite

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1
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
Noções sobre Limite
2
Conteúdos da Aula
� Noção intuitiva;
� Definição;
� Exercícios;
� Proposição – Unicidade do limite;
� Propriedades dos limites;
� Exercícios;
� Limites laterais;
� Cálculo de limites.
2
3
� Compreender o conceito de limite;
� Identificar o limite graficamente;
� Aplicar as propriedades de limite;
� Calcular limite.
Objetivos da aula
4
Noção Intuitiva
� Exemplos de sucessões numéricas:
(1) 1, 2, 3, 5, ...
(2) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ...
(3) 1, 0, -1, -2, -3, ...
(4) 1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ...
� Limite da sucessão:
?
3
5
Noção Intuitiva
� Exemplos de sucessões numéricas:
(1) 1, 2, 3, 5, ...
(2) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, ...
(3) 1, 0, -1, -2, -3, ...
(4) 1, 3/2, 3, 5/4, 5, 7/6, 7, ...
� Limite da sucessão:
 tender"sem oscila")4(
)3(
1)2(
)1(
→
−∞→
→
+∞→
x
x
x
x
6
Noção Intuitiva - Limite de uma função
� Exemplo 1: Analise o limite de y = 1 – (1 / x)
� Monte a tabela com x1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 500, 1000}
e x2 = {-1, -2, -3, -4, -5, -100, -500} 
?
4
7
Noção Intuitiva - Limite de uma função
� Exemplo 1: Analise o limite de y = 1– (1 / x)
8
Noção Intuitiva - Limite de uma função
� Análise do gráfico:
5
9
Noção Intuitiva - Limite de uma função
±∞→→ xy quando1
111lim =





−
±∞→ xx
� Análise do gráfico:
10
Noção Intuitiva - Limite de uma função
� Exemplo 2: Analise o limite de y = x2 + 3x - 2
� Monte a tabela com x1 ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 100, 
1000}
e x2 ={-1, -2, -3, -4, -5, -6, -100, -500} 
?
6
11
Noção Intuitiva - Limite de uma função
� Exemplo 2: Analise o limite de y = x2 + 3x -2
12
Noção Intuitiva - Limite de uma função
� Análise do gráfico:
7
13
Noção Intuitiva - Limite de uma função
±∞→+∞→ xy quando
( ) +∞=−+
±∞→
23lim 2 xx
x
� Análise do gráfico:
14
Noção Intuitiva - Limite de uma função
� Exemplo 3: Analise o limite de y = (2x + 1) / (x – 1)
� Monte a tabela com x1 ={3, 2, 1,5, 1,25, 1,1, 1,01, 
1,001}
e x2 ={-1, 0, 0,9, 0,99, 0,999, 0,9999} 
?
8
15
Noção Intuitiva - Limite de uma função
� Exemplo 3: Analise o limite de y = (2x + 1) / (x – 1)
16
Noção Intuitiva - Limite de uma função
“Limite à direita e limite à esquerda”
� Análise do gráfico:
9
17
Noção Intuitiva - Limite de uma função
1quando
1quando
→−∞→
→+∞→
xy
xy
+∞=
−
+
+→ 1
12lim
1 x
x
x
−∞=
−
+
−→ 1
12lim
1 x
x
x
“Limite à direita e limite à esquerda”
� Análise do gráfico:
18
Definição
� Uma função f(x) tem limite L quando x tende 
para a, se possível tornar f(x) arbitrariamente 
próximo de L, desde que tomemos valores de 
x, x ≠ a suficientemente próximos de a.
10
19
Definição
Lxf
ax
=
→
)(lim� Formalmente:
para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que |f(x) - L| < ε
sempre 0 < |x - a| < δ.
2121 então ,)(lime)(limSe LLLxfLxf
axax
===
→→
Unicidade do Limite
20
Exemplo 4
� Usando a definição de limite, provar que:
2)13(lim
1
=−
→
x
x ?
Lxf
ax
=
→
)(lim ⇒⇒⇒⇒ Notação de limite
11
21
Exemplo 4
� Usando a definição de limite, provar que:
2)13(lim
1
=−
→
x
x
Vejamos o que diz a definição:
para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que 
|f(x) - L| < ε sempre 0 < |x - a| < δ.
Então, vamos aplicar a definição:
para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que
|(3x - 1) - 2| < ε sempre 0 < |x - 1| < δ.
22
Exemplo 4
|3x – 1 – 2| < ε
|3x – 3| < ε
|3(x – 1)| < ε
3|(x – 1)| < ε
|x – 1| < ε/3
Logo δ = ε /3
Para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que 
|(3x - 1) - 2| < ε sempre 0 < |x - 1| < δ.
12
23
Propriedades dos Limites
ax
cc
nmanmxm
nma
ax
ax
ax
=⇒
=⇒
+=+⇒≠
→
→
→
lim
lim
lim0
então reais, números são e , Se
)(
:
24
Propriedades dos Limites
[ ]
);(.)(.)(
);()()()(
:
)()(
xfcxfcb
xgxfxgxf
c
xgxf
axax
axaxax
axax
→→
→→→
→→
=
±=±
limlim
limlimlim(a)
então qualquer, real número um é e
existem, lim e limSe
13
25
Propriedades dos Limites
( )
;)(,)(
)(
)(
)(
);().()().(
:
)()(
0lim que desde 
lim
lim
lim(d)
limlimlim(c)
entãoqualquer, real número um é e 
existem, lim e limSe
≠=





=
→
→
→
→
→→→
→→
xg
xg
xf
xg
xf
xgxfxgxf
c
xgxf
ax
ax
ax
ax
axaxax
axax
26
Propriedades dos Limites
[ ]
;)()(
)(,)()(
;)()(
:
)()(
0 limou 0 limímpar se tambéme
par inteiro e 0 limse limlim(f)
 positivo inteiroqualquer paralimlim(e)
entãoqualquer, real número um é e 
existem, lim e limSe
≤≥
>=




=
→→
→→→
→→
→→
xfxfn
nxfxfxf
nxfxf
c
xgxf
axax
ax
n
ax
n
ax
n
ax
n
ax
axax
14
27
Propriedades dos Limites
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
.lim(j)
 ;limsensenlim(i)
;limcoscoslim(h)
0; limse limlnlnlim(g)
entãoqualquer, real número um é e
 existem, lim e limSe
lim )()(
)()(
)()(
)()()(
:
)()(
xf
xf
ax
axax
axax
axaxax
axax
axee
xfxf
xfxf
xfxfxf
c
xgxf
→
=
=
=
>=
→
→→
→→
→→→
→→
28
Exemplo 5
[ ]
?)53(limCalcule
);(lim)(lim)()(lim
Com
2
2
=++
±=±
→
→→→
xx
xgxfxgxf
x
axaxax
15
29
Exemplo 5
155232
5limlim3lim
5lim3limlim53lim
53lim
2
22
2
2
22
2
2
2
2
2
2
=++=
++




=
++=++
=++
→→→
→→→→
→
.
)(
?)(
xxx
xxxx
x
xx
xxxx
xx
30
Exemplo 6
?
;)(,)(
)(
)(
)(
=
−
−
≠=
→
→
→
→
→
7
5limCalcule
0lim que desde 
lim
lim
lim
Com
33 x
x
xg
xg
xf
xg
xf
x
ax
ax
ax
ax
16
31
Exemplo 6
( )
( )
10
1
727
53
7limlim
5limlim
7lim
5lim
7
5lim
?
7
5lim
3
3
3
33
3
3
3
33
33
−=
−
−
=
−




−
=
−
−
=
−
−
=
=
−
−
→→
→→
→
→
→
→
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
32
Exemplo 7
?
;)(
)(
,)()(
=+−
≤
>
=
−→
→
→
→→
14limCalcule
ímpar positivo inteiro um é e 0limseou 
inteiro e 0 limse
 limlim
Com
4
2
xx
nxf
nxf
xfxf
x
ax
ax
n
ax
n
ax
17
33
Exemplo 7
51242
1limlim4lim
14lim14lim
?14lim
4
22
4
2
4
2
4
2
4
2
=+−−−=
+−




=
+−=+−=
=+−
−→−→−→
−→−→
−→
)()(
xxx
xx
x
xx
xxxx
xx
34
Limites Laterais
� Seja f uma função definida em um intervalo 
aberto (a, c). Dizemos que um número L é o 
limite à direita da função f quando x tende para a
e escrevemos:
Lxf
ax
=
+→
)(lim
para todo ε > 0 existe um δ > 0, tal que |f(x) - L| < ε
sempre que a < x < a + δ.
18
35
Limites Laterais
� Seja f uma função definida em um intervalo aberto 
(d, a). Dizemos que um número L é o limite à
esquerda da função f quando x tende para a e 
escrevemos:
para todo ε > 0 existe um δ > 0, tal que |f(x) - L| < ε
sempre que a - δ < x < a.
Lxf
ax
=
−→
)(lim
36
Teorema
� Se f é definida em um intervalo aberto contendo 
a, exceto possivelmente no ponto a, então
LxfLxf
Lxf
axax
ax
==
=
−+ →→
→
)(lime )(lim
se somente e se )(lim
19
37
Cálculo de Limites
 1 e ,0 ,0 , , ,
0
0 00 ∞
∞∞×∞−∞
∞∞
� Expressões indeterminadas:
38
Exemplo 8
???lim
0limlim
 e 
0
2
0
3
0
23
=
==
==
→
→→
)(
)(
)()()(
xg
xf
xx
xxgxxfi
x
xx
20
39
Exemplo 8
0limlimlim
existe não
0
0lim
0limlim
 e 
02
3
00
0
2
0
3
0
23
===
⇒=
==
==
→→→
→
→→
x
x
x
xg
xf
xg
xf
xx
xxgxxfi
xxx
x
xx
)(
)(
)(
)(
)()()(
40
Exemplo 8
2
1
2
1lim
2
limlim
2 e 
02
2
00
22
===
==
→→→ xxx x
x
xg
xf
xxgxxfii
)(
)(
)()()(