Exercícios complementares_Unidade 3

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
CAMPUS DE JOINVILLE 
CURSO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE 
EMB 5001 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
Professores: Alexandre Mikowski e Rafael Machado Casali 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
 
Unidade 3 – Derivada 
____________________________________________________________________________________________ 
1 – Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico. 
a) .,,0,1;1)( 2 IRaaxxxxxf ∈===−= 
b) .2,1;63)( 2 =−=+−= xxxxxf 
c) ( ) .,,
2
1
;53)( IRaaxxxxxf ∈==−=
 
____________________________________________________________________________________________ 
2 – Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por ,80,16)( 2 ≤≤+= ttttf 
onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros. 
a) Achar a velocidade média durante o intervalo de tempo .80], ,[ <≤+ bhbb 
b) Achar a velocidade média durante os intervalos ].3,001 ;3[e]3,01 ;3[],3,1 ;3[ 
c) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer t. 
d) Achar a velocidade do corpo no instante t = 3. 
e) Determinar a aceleração no instante t. 
____________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________ 
3 – Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação de seu movimento 
retilíneo é ct
t
by += , onde y é o deslocamento e t, o tempo. 
a) Qual a velocidade da partícula no instante t = 2? 
b) Qual é a equação da aceleração? 
____________________________________________________________________________________________ 
4 – Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções: 
a) .41)( 2xxf −= 
b) .12)( 2 −−= xxxf 
c) .
2
1)(
+
=
x
xf
 
d) .
3
1)(
+
−
=
x
x
xf
 
e) .
12
1)(
−
=
x
xf
 
f) .3)( 3 += xxf 
____________________________________________________________________________________________ 
5 – Calcular as derivadas laterais nos pontos onde a função não é derivável. Esboçar o gráfico. 
a) 



≥−
<
=
1 se ,12
1 se , )(
xx
xx
xf
 
b) 




≤
>−
=
1 se 0
1 se ,1 2
x
xx
xf
,
)(
 
____________________________________________________________________________________________ 
6 – Encontrar a equação da reta normal à curva ( )22 43 xxy −= no ponto de abscissa .2=x 
____________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________ 
7 – Calcular a derivada das funções utilizando a tabela de derivadas: 
a) 8=y 
b) xy = 
c) xy 5= e )1(2 += xy 
d) xxy += e )300()2( 71000 xxxy +++= 
e) )23( 324 xxxy += 
f) 
539
42
23
24
++
+
=
xx
xxy
 
g) 72 )25( ++= xxy obs.: compare com a resolução pela regra da cadeia. 
h) xxy 32
5
8 +=
 
i) xxey 2
3+
=
 
j) 8=y 
k) )5(5 2 −= xy 
l) x
x
xxy +





+−= 2
21978 1128
 
m) ( )( )123 +−= xxy 
n) 
239
2
23
23
++
++
=
xx
xxxy
 
o) 3
2
3 −= xy
 
p) 12 += xey 
____________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________ 
q) 5=y 
r) 33xy = 
s) ( ) ( )252 32 xxxy +++= 
t) ( ) ( )923742 356 −++⋅+= xxxxy 
u) 43 918
1
−
−
+
=
xx
xy
 
v) 
1007 9327 xxxy +++=
 
w) 257410553
23
−++
=
xxxey
 
x) 200102×=y 
y) xy = 
z) ( )43 3 += xy pi 
aa) ( ) ( )2331 2 ++++= xxxy 
bb) ( ) 





++⋅+−+= − 2
55468 2574912253
x
xxxxxy
 
cc) 
40
1232
1
16
x
xxy −=
 
dd) xxxxxy ++−+
−
=
3142 103148
 
ee) 
25739450 72 +++− −
=
x
x
x
ey pi
pi
 
ff) 7=y 
____________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________ 
gg) 





−++= 85
32 1118 x
x
xxy
 
hh) ( ) 





+++++= x
x
xxy
7
3184
3
2
 
ii) ( ) ( ) 





+++⋅−+= − 6
180723 117934758
xx
xxxxxy pipi
 
jj) 
xx
xxy
+
++
=
3
90002
3
2
103
 
kk) ( ) 84403
1
3 101111002 ×+−++
−
= xx
xxy
 
ll) 
232ln48 1002,6 ×++
=
xxey pi
 
mm) ( )342log 310 ++= xxy 
nn) ( )2cotgln xy = 
oo) ( )224 xxxy += 
pp) ( )93sen 35 −+= xxy 
qq) 





+
++
=
1
93
cos 2
732
x
xxxy
 
rr) ( ) ( )( )45672 3tg xxxxxy +++⋅+= 
ss) ( )( )1lncotg 2 += xy 
tt) ( )23 3sec xxey += 
uu) ( )34logcosec xy = 
____________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________ 
8 – Encontrar a derivada das funções dadas utilizando as regras de derivação. 
a) 2)( rrf pi= 
b) 1063)( 2 −+= xxxf 
c) bawwf += 2)( 
d) 3
2
114)( −−= xxf
 
e) ( )( )6312)( 2 ++= xxxf 
f) ( )( )417)( +−= xxxf 
g) ( )( )45 213)( xxxf −−= 
h) ( ) ( )3535
3
2)( 1 +−= − xxxf
 
i) ( )( )11)( +−= xxxf 
j) ( )( )( )sssssf 25131)( 32 +−−= 
k) ( )cbxaxxf ++= 27)( 
l) ( )( )uaauuf 24)( 2 −−= 
m) 
13
42)(
−
+
=
x
x
xf
 
n) 
1
1)(
+
−
=
t
t
tf
 
o) 
1
153)(
2
−
−+
=
t
tt
tf
 
p) 
2
2)(
2
−
−
=
t
t
tf
 
____________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________ 
q) 25
4)(
x
x
xf
−
−
=
 
r) 
22
75)(
−
+
=
x
x
xf
 
s) ( )xx
x
x
xf 63
2
1)( 2 +
+
+
=
 
t) ( )
bt
at
tf
−
−
=
2
)(
 
u) 54
53)(
xx
xf +=
 
v) 6
4 2
2
1)(
x
xxf +=
 
____________________________________________________________________________________________ 
9 – Determinar a equação da reta tangente à seguinte curva, nos pontos indicados e esboçando o gráfico. 
.3 ,
3
1
 ;
1)( === xx
x
xf
 
____________________________________________________________________________________________ 
10 – A posição de uma partícula que se move no eixo dos x depende do tempo de acordo com a equação 
323 ttx −= , em que x vem expresso em metros e t, em segundos. 
a) Qual é o seu deslocamento depois dos primeiros 4 segundos? 
b) Qual é a velocidade da partícula ao terminar cada um dos 4 primeiros segundos? 
c) Qual é a aceleração da partícula em cada um dos 4 primeiros segundos? 
____________________________________________________________________________________________ 
11 – Calcular a derivada das funções utilizando as regras de derivação e a regra da cadeia. 
a) ( )102 37310 −+= xxxf )( 
____________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________ 
b) ( )321)( axbx
a
xf +=
 
c) ( ) ( )472 1367)( −+= ttttf 
d) 
3
2 32
17)( 





+
+
=
t
t
tf
 
e) ( )3 22 263)( −+= xxxf 
f) 
13
2)(
−
=
x
x
xf
 
g) 
1
12)(
−
+
=
t
t
tf
 
h) ( )
102 37310
3
1
−+
=
xxexf )(
 
i) xxxf 63 22)( += 
j) ( ) sesssf 332 2167)( −+−+= 
k) ( )ttetf t 5)( 22 += 
l) ( )42log)( 2 += xxf 
m) 1log)( 3 += ssf 
n) 




+= 2
11ln)(
xx
xf
 
o) 
xx
x
b
a
xf
63
3
2)(
−
=
 
p) ( ) 1212)( −+= tttf 
____________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________ 
q) ( ) ( )bsabsasf ++= ln
2
1)(
 
r) ( )uuf −= 2cos)( pi 
s) θθθ 2sen cos2)( 2 ⋅=f 
t) ( )xxxf 63sen)( 23 += 
u) ( ) xxxf ++= 12 tg3)( 
v) 
x
x
xf
2sec3)( =
 
w) xexf x 3cos)( 2= 
x) 32 cosec)( θθ −=f 
y) bxaxf cos)( = 
z) ( )2 )( utguuf = 
aa) 0,)( cotg >= aaf θθ 
bb) ( )2sen arc)( xxf = 
cc) tttf 3 cos arc )( = 
dd) ( )sen t cos arc)( =tf 
ee) xxf sec arc)( = 
ff) ( )32 cosec arc )( 2 += tttf 
gg) ( )
x
x
xf senh ln)( =
 
hh) ( )[ ] 2121tcotgh )( +=tf 
____________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________ 
ii) ( )
313
cosech )( 


 +
=
x
x
xf
 
jj) 1cosh arg)( 2 −−= xxxf 
kk) 2cotgh arg)( xxf = 
ll) [ ]22cotgh arg
2
1)( xxf =
 
____________________________________________________________________________________________ 
12 – Calcular 
( )
dx
dyf 0)0(' = , se .3 cos)( xexf x−= 
____________________________________________________________________________________________ 
13 – Calcular 
( )
dx
dyf 1)1(' = , se ( ) .
2
sen arc1ln)( xxxf ++=
 
____________________________________________________________________________________________ 
14 – Calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. 
a) 5;23 4 =−= nxxy 
b) 3;23 =+++= ndcxbxaxy 
c) 10;423 52 =+−= nxxy 
d) 2;3 2 =−= nxy 
e) 4;
1
1
=
−
= n
x
y
 
f) 3;12 == + ney x 
g) 4;1 == n
e
y
x 
____________________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________________ 
h) 2;2ln == nxy 
i) 7;sen == naxy 
j) 5;
2
 cos2 =−= nxy
 
k) 3; tg == nxy 
l) 2; tgarc == nxy 
____________________________________________________________________________________________ 
15 – Mostrar que a derivada de ordem n da função 
x
y 1=
 é dada por ( )
( )
.
!1
1+
−
=
n
n
n
x
ny
 
____________________________________________________________________________________________ 
16 – Mostrar que a derivada de ordem n da função axey = é dada por ( ) .axnn eay = 
____________________________________________________________________________________________ 
17 – Mostrar que ( )α+= wtAx cos , onde A, ω e α são constantes, satisfaz 022
2
=+ xw
dt
xd
. 
____________________________________________________________________________________________ 
18 – Calcular dx
dyy ='
 das seguintes funções definidas implicitamente. 
a) 333 ayx =+ 
b) 0223 =++ yyxx 
c) 
yx
yxy
+
−
=
3
 
d) yxe y += 
e) xyy =)(tg 
f) yxy 22 + = 3 
g) 422 =− yx 
h) 4)ln( 22 =++ yxy 
i) xyy =+ )(sen2 
j) 3=+ xyxe y 
k) xyyy =+ )cos(5 
 
____________________________________________________________________________________________ 
Observações: 
I. Os exercícios de 1 até 6 e 8 até 18 propostos foram selecionados do livro: FLEMING, D. M. & 
GONÇALVES, M. B. Cálculo A. Vol. 1; 6ª edição, Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2007. Capítulo 
4. 
II. As derivadas do exercício 7 foram propostas pelos alunos das turmas A a E e pelo professor, em uma 
dinâmica realizada em sala de aula com os alunos do primeiro semestre letivo de 2010. 
III. A lista de exercícios corresponde aos tópicos da ementa: A derivada. 
____________________________________________________________________________________________