AulaTeorica 12_Método de Integração por Partes

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1
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
Método de 
Integração por 
Partes
2
Método de integração por Partes
� Sejam u = f(x) e v = g(x) funções deriváveis no 
intervalo I. Temos:
( )
( )
[ ]
 
)()()()()()(
aindaou 
ou
'''
'''
xfxgxgxfxgxf
uvvuvu
dx
du
v
dx
dv
uvu
dx
d
⋅+⋅=⋅
⋅+⋅=⋅
⋅+⋅=⋅
2
3
Método de integração por Partes
� Reescrevendo a derivada do produto de f(x) e 
g(x), temos:
[ ]
[ ] dxxfxgdxxgxfdxxgxf
xfxgxgxfxgxf
∫∫∫ ⋅−⋅=⋅
⋅−⋅=⋅
 )()()()( )()(
:obtemos lados, os ambos em Integrando 
)()()()()()( 
'''
'''
� Observe que a integral da derivada é igual a função.
4
Método de integração por Partes
duvvudvu
dxxgdvxgv
dxxfduxfu
dxxfxgxgxfdxxgxf
∫∫
∫∫
⋅−⋅=
=⇒=
=⇒=
⋅−⋅=⋅
 
Logo
)()(
)()(
:prática Na
 )()()()( )()(
'
'
''
3
5
Exemplo 1:
? 2 =∫
− dxxe x� Calcular a integral:
integrar"" 
 
derivar"" 
:prática Na
cxgvdxxgdvdxxgdv
dxxfduxfxf
dx
d
u
dx
d
xfu
+=⇒=⇒=
=⇒==⇒=
∫∫ )()()(
)()()()(
''
''
6
Exemplo 1:
?2 =∫
− dxxe x� Calcular a integral:
duvvudvu
dxevdxedv
dxdux
dx
d
u
dx
d
xu
xx
∫∫
∫
⋅−⋅=
==⇒=
=⇒==⇒=
−−
 Partespor Integração 
calcular? quero que O
?
1
22
4
7
Exemplo 1:
?2 =∫
− dxxe x� Calcular a integral:






−=
−=
⇒
+
−
==⇒=
=⇒=
−−− ∫
dxdu
xu
cedxevdxedv
dxduxu
xxx
2
2
ãoSubstituiç da Método
2
1 222
8
( ) ∫∫ 





+
−
−





+
−
⋅=
−−− dxcecexdxxe xxx 222
2
1
2
1
duvvudvu
ccc
cedxevdxedv
dxduxu
xxx
∫∫
∫
⋅−⋅=
−=
+
−
==⇒=
=⇒=
−−−
 
em substituir posso Agora
 onde 
2
1
12
222
5
9
( )
( )
2
2
222
222
22
222
2
 onde 
2
1
2
24
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
c
c
ccx
e
c
c
ee
x
ccxcexce
x
dxcdxexcex
dxcecexdxxe
x
xx
xx
xx
xxx
−=+





+
−
=
−+−
−
=
+−





+
−
++
−
=
−++
−
=






+
−
−





+
−
⋅=
−
−−
−−
−−
−−−
∫ ∫
∫∫
**
10
Exemplo 2:
( ) ?cos2 =∫ − dxxe x� Calcular a integral:






−=
−=
⇒
+−==⇒=
−=⇒=
−−− ∫
dxdu
xu
cedxevdxedv
dxxduxu
xxx
2
2
ãoSubstituiç da Método
2
1
)(sen)cos(
222
6
11
∫
∫
−−
−
⋅−⋅−=
=
dxexxe
dxxe
xx
x
22
2
)(sen
2
1)cos(
2
1
 
)cos(
duvvudvu
cedxevdxedv
dxxduxu
xxx
∫∫
∫
⋅−⋅=
+−==⇒=
−=⇒=
−−−
 
em Substituir
2
1
)(sen)cos(
222
12
 
)cos(
4
1)(sen
4
1)cos(
2
1
)cos(
2
1)(sen
2
1
2
1)cos(
2
1
)(sen
2
1)cos(
2
1)cos(
em Substituir
2
1
)cos()(sen
222
222
222
222
∫
∫
∫∫
∫
−−−
−−−
−−−
−−−
−+−=






+−−−=
−−=
+−==⇒=
=⇒=
dxxexexe
dxxexexe
dxexxedxxe
cedxevdxedv
dxxduxu
xxx
xxx
xxx
xxx
7
13
Cxxedxxe
x
xedxxe
xexedxxe
dxxexexe
dxxe
xx
xx
xxx
xxx
x
+





+−=






+−=
+−=





+
−+−=
=
−−
−−
−−−
−−−
−
∫
∫
∫
∫
∫
2
)(sen)cos(
10
4)cos(
2
)(sen)cos( 
2
1)cos( 
4
5
)(sen
4
1)cos(
2
1)cos(
4
11 
)cos(
4
1)(sen
4
1)cos(
2
1
)cos(
22
22
222
222
2