Exercicios CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

Prévia do material em texto

Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir: 
 
 
 
direção, intensidade e módulo. 
 
direção e sentido apenas. 
 direção, sentido e módulo. 
 
apenas módulo. 
 
direção e módulo somente. 
 
 
Marque a alternativa correta 
 
 
 
e) Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não 
podem ser classificados como paralelos ou colineares. 
 
d) Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. 
 
b) Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam 
completamente definidas por apenas a direção. 
 a) Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. 
 c) As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o 
valor do módulo, sua direção e seu sentido. 
 
 
Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, 
estamos definindo a velocidade como uma grandeza: 
 
 
 d) Vetorial 
 
d) Aritmética 
 
b) Algébrica 
 
c) Linear 
 
a) Escalar 
 
 
Sobre os Vetores, responda se é verdadeira ou falsa as afirmativas e assinale a alternativa 
correta. 
I. Um vetor é um segmento orientado representado geometricamente por uma seta, que 
apresenta origem e extremidade. 
II. São exemplos de grandezas vetoriais: área, volume, massa, temperatura. 
III. Podemos ¿deslocar¿ um vetor (definir um outro representante) desde que não altere seu 
módulo e sua direção, somente. 
IV. Dois vetores são paralelos se os seus representantes tiverem direções diferentes. 
V. Dois vetores apresentam mesmo módulo e mesma direção, mas sentidos diferentes, são 
chamados de vetores opostos. 
 
 
 F, V, F, V, F 
 
V, V, F, F, V 
 
V, F, V, F, F 
 
V, F, F, V, V 
 V, F, F, F, V 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores 
: 4(AB) +4(BC) - 2(AC) ? 
 
 
 
(0,1) 
 
(3,2) 
 (0,0) 
 
(1,0) 
 
(0,2) 
 
 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a 
adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores. 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual da operação entre os vetores : (AB)+ (BC)? 
 
 
 
(0,2) 
 
(2,0) 
 (0,1) 
 
(1,0) 
 (0,0) 
 
 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a 
adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores. 
 
As coordenadas do vetor VAB, sendo A = (0;2) e B = (3;4), são: 
 
 
 
(-3;-2) 
 (3;2) 
 (-3;6) 
 
(3;6) 
 
(-3;2) 
 
 
Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam ortogonais. 
 
 
 
-26 
 
-15 
 
13 
 -13 
 
-30 
Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos 
 
 
 x=3 
 
x=2 
 
x=4 
 
Nenhuma das anteriores 
 
x=1 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual da operação entre os vetores : (AB)+ (BC)? 
 
 
 
(1,0) 
 
(2,0) 
 
(0,1) 
 
(0,2) 
 (0,0) 
 
 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a 
adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores. 
 
 
 
Os pontos A=(2,4) e C=(6,8) são vértices de um quadrado ABCD, e pertencem a uma das 
diagonais desse quadrado, que terá área medindo: 
 
 
 
24 ua 
 8 ua 
 
4 ua 
 
12 ua 
 16 ua 
 
 
 
Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e assinale a 
alternativa correta. ( ) Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo, direção e 
sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O sentido é o mesmo da reta suporte que 
contem o vetor; ( ) A direção é para onde o vetor está apontando. 
 
 
 V,V,F,F. 
 
V,F,V,V. 
 
F,V,F,F. 
 
V,V,V,V. 
 V,F,V,F. 
 
 
Explicação: 
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas vetoriais 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores 
: 4(AB) +4(BC) - 2(AC) ? 
 
 
 
(0,1) 
 (0,2) 
 
(3,2) 
 
(1,0) 
 (0,0) 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a 
adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores. 
 
Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado? 
 
 
 Direção, Intensidade e Sentido 
 
Direção, Sentido e Ângulo 
 
Localização, Intensidade e Sentido 
 NRA 
 
Direção, Intensidade e Coordenada 
 
 
Determine o valor de x para que os vetores u=(x,1) e v=(9,3) sejam paralelos 
 
 
 
-1 
 
2 
 
0 
 
1 
 3 
 
 
1a Questão 
 
 
Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam ortogonais. 
 
 
 
13 
 
-30 
 -13 
 
-15 
 
-26 
 
Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os 
valores de m e n para que os vetores sejam iguais. 
 
 
 
-1 e 1/2 
 0 e 1/2 
 
1 e 2/3 
 2/3 e -2 
 
-1 e 0 
 
 
Explicação: 
2 + m = 2 
3 + 2n = 4 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,-4), determine 1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗. 
 
 
 
(-2/3, 59/2) 
 (1/2, 59/2) 
 
(2/3, 59/2) 
 
(-1/2, 59/2) 
 (-3/2, 59/2) 
 
 
Explicação: 
1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗ = 1/2(-1, 5) - 5(2, -3) - 3(-3, -4) = (-1/2 -10 + 9, 5/2 + 15 + 12) = (-3/2, 
59/2) 
 
 
 4a Questão 
 
 
Dados os vetores u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é: 
 
 
 
-2j+k 
 3i -2j-k 
 3i -2j+k 
 
3i -2j 
 
i -2j+k 
 
 
Explicação: 
Tem que somar posição com posição, i com i, j com j e k com k 
 
 
Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir: 
 
 
 
direção e módulo somente. 
 
apenas módulo. 
 direção, sentido e módulo. 
 direção, intensidade e módulo. 
 
direção e sentido apenas. 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores 
: (AB) + 3(BC) - (AC) ? 
 
 
 
(14,-8) 
 
(14,7) 
 (-14,-8) 
 
(-14,8) 
 (14,8) 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a 
adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores 
 
Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam ortogonais. 
 
 
 
13 
 
-26 
 
-15 
 -13 
 
-30 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores 
: (AB) + 3(BC) - (AC) ? 
 
 
 
(14,-8) 
 
(14,7) 
 (-14,-8) 
 (14,8) 
 
(-14,8) 
 
 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a 
adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores 
 
Determine o valor de x para que os vetores u=(x,1) e v=(9,3) sejam paralelos 
 
 
 
-1 
 
1 
 
0 
 3 
 
2 
 
 
Os pontos A=(2,4) e C=(6,8) são vértices de um quadrado ABCD, e pertencem a uma das 
diagonais desse quadrado, que terá área medindo: 
 
 
 
24 ua 
 
12 ua 
 16 ua 
 
4 ua 
 
8 ua 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual da operação entre os vetores : (AB)+ (BC)? 
 
 
 
(2,0) 
 
(0,2) 
 
(0,1) 
 
(1,0) 
 (0,0) 
 
 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a 
adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores. 
 
 
 7a Questão 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores 
: 3(AB) + 3(BC)- 5(AC) ? 
 
 
 
(1,1) 
 
(2,2) 
 
(1,0) 
 (0,0) 
 
(0,1) 
 
 
Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir: 
 
 
 direção, sentido e módulo. 
 
apenas módulo. 
 
direção e módulo somente. 
 
direção e sentido apenas. 
 
direção, intensidade e módulo. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos 
 
 
 
x=4 
 x=3 
 
Nenhuma das anteriores 
 
x=1 
 
x=2 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual da operação entre os vetores : (AB)+ (BC)? 
 
 
 
(0,2) 
 
(2,0) 
 
(0,1) 
 (0,0) 
 
(1,0) 
 
 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a 
adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores. 
 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores 
: (AB) + 3(BC) - (AC) ? 
 
 
 
(-14,8) 
 
(14,7) 
 (-14,-8) 
 
(14,-8) 
 (14,8) 
 
 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a 
adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir: 
 
 
 
direção e módulo somente. 
 
direção e sentido apenas. 
 
direção, intensidade e módulo. 
 
apenas módulo. 
 direção, sentido e módulo. 
 
 
 7a Questão 
 
 
Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos 
definindo a velocidade como uma grandeza: 
 
 
 
b) Algébrica 
 d) Vetorial 
 
d) Aritmética 
 
c) Linear 
 
a) Escalar 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Os pontos A=(2,4) e C=(6,8) são vértices de um quadrado ABCD, e pertencem a uma das 
diagonais desse quadrado, que terá área medindo: 
 
 
 
8 ua 
 
24 ua 
 
4 ua 
 
12 ua 
 16 ua 
 
1a Questão 
 
 
Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20 m/s, horizontal e para a direita, 
estamos definindo a velocidade como uma grandeza: 
 
 
 
d) Aritmética 
 
c) Linear 
 
a) Escalar 
 
b) Algébrica 
 d) Vetorial 
 2a Questão 
 
 
Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir: 
 
 
 
apenas módulo. 
 direção, sentido e módulo. 
 
direção e sentido apenas. 
 direção, intensidade e módulo. 
 
direção e módulo somente. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine o valor de x para que os vetores u=(x,1) e v=(9,3) sejam paralelos 
 
 
 3 
 
2 
 
1 
 
-1 
 
0 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores 
: 3(AB) + 3(BC) - 5(AC) ? 
 
 
 
(0,1) 
 
(1,1) 
 (0,0) 
 
(2,2) 
 
(1,0) 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗
+5(DC) ⃗. 
 
 
 
(-11, 154/3) 
 
(-11, -145/3) 
 (-11, 145/3) 
 (9, 145/3) 
 
(-9, 145/3) 
 
 
Explicação: 
A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ 
AD = D - A = (-1, -1) -> 5AD = (-5,-5) 
BC = C - B = (3, 5) -> 1/3BC = (1, 5/3) 
DC = C - D = (-1, 11) -> 5DC = (-5, 55) 
5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ = (-5,-5) - (1, 5/3) + (-5, 55) = (-11, 145/3) 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores AB 
- BC ? 
 
 
 (-14, -8) 
 
(-14, 8) 
 
(14, -8) 
 
(-14, 7) 
 (14, 8) 
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a 
adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores. 
 
 
 8a Questão 
 
 
Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,-4), determine 1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗. 
 
 
 
(-2/3, 59/2) 
 (-3/2, 59/2) 
 
(-1/2, 59/2) 
 
(1/2, 59/2) 
 
(2/3, 59/2) 
 
 
Explicação: 
1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗ = 1/2(-1, 5) - 5(2, -3) - 3(-3, -4) = (-1/2 -10 + 9, 5/2 + 15 + 12) = (-3/2, 
59/2) 
 
 
 
 
 
(5, 30) 
 (-5, -30) 
 
(-5, 30) 
 
(0, 30) 
 
(5, -30) 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
O Produto Misto dos Vetores 
→u=2→i+→j−2→k,→v=3→i−→j,→w=4→i+→j−3→k é: 
 
 
 
 -2 
 
-3 
 
-1 
 1 
 
4 
 
 
Explicação: 
[u,v,w] = |21−23−1041−3| 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,4), determine 2u ⃗-1/3 w ⃗+3v ⃗. 
 
 
 
(-2, 31/3) 
 (2, 23/3) 
 
(-2, -31/3) 
 
(2, -31/3) 
 
(2, 31/3) 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: 2u-1/3w+3v = (4,-6)-(-1,4/3)+(-3,15) = (4+1-3 , -6-4/3+15) = ( 2 , 23/3) 
 
 
 4a Questão 
 
 
Os valores de a e de b, de modo que (3a - 4, 2b - 8) = (11, -10), são respectivamente: 
 
 
 
-1 e -12 
 
18 e 6 
 
10 e 6 
 5 e -1 
 
12 e 1 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: 3a-4=11 => 3a=15 => a=5 e 2b-8=-10 => 2b=-2 => b=-1 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Dado os vetores: u= (2,5-2) e v = (4, -5, 7), encontre o vetor 2u-3v: 
 
 
 
(-8, -25, -25) 
 (-8, 25, -25) 
 
( -7, 6, 8) 
 ( 8, 25, 25) 
 
( 4, 10, -4 ) 
 
 
Explicação: 2( 2, 5, -2) - 3( 4, -5, 7)= ( -8, 25, -25) 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Se os vetores u ⃗ e v ⃗ formam entre si um ângulo de 45º e suas coordenadas são: u ⃗ = (2, -1, 
5) e v ⃗ = (-1, 2, n). Nessas condições o valor de n vale aproximadamente: 
 
 
 
(- 1,07) ou (5,07) 
 s.r 
 (- 1,15) ou (5,15) 
 
(- 1,39) ou (4,08) 
 
(0,27) ou (- 6,27) 
 
 
Explicação: 
u ⃗ = (2, -1, 5) e v ⃗ = (-1, 2, n) 
u.v = -2-2+5n = 5n-4 
|u| = raiz(30) 
|v| = raiz(n²+5) 
cos45 = u.v / (|u||v|) 
1/raiz(2) = 5n+4 / raiz(30.(n²+5)) 
(5n+4)² = 15(n²+5) 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
O versor do vetor v = (-3,4) é: 
 
 
 
(-1/5;4/5) 
 (3/5;4/5) 
 
(3/5;-4/5) 
 (-3/5;4/5) 
 
(-3/5;-4/5) 
 
 
 
Em um dado sistema cartesiano, têm-se os pontos A(0,4), B(3,-2) e C(-3,-2) que define uma 
região geométrica. Com base nos estudos de vetores podemos afirmar que o perímetro desta 
figura será aproximadamente: 
 
 
 16,4 
 
20,8 
 22,4 
 
45 
 
19,4 
 
 
Explicação: Calcula-se o módulo de cada lado do triângulo de pois soma: módulo AB + módulo 
AC + módulo BC 
 
 
1a Questão 
 
 
Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades (0, 2) e (6, 
11), em três segmentos congruentes. 
 
 
 
S.R 
 
(4, 5) e (7, 9) 
 (4, 3) e (7, 8) 
 
(3, 5) e (4, 6) 
 (2, 5) e (4, 8) 
 
 
Explicação: 
Ponto 1 = (0, 2) + (2, 3) = (2, 5) 
Ponto 2 = (2, 5) + (2, 3) = (4, 8) 
(2,3) = (B - A) / 3 
 
 
 2a Questão 
 
 
Sendo os vetores u=(x; y+1; y+z), v= (2x+y;4;3z). Sendo u e v vetores equivalentes, encontre 
os valores de x, y e z. 
 
 
 
x=3 , y=3 e z=1,5 
 
x=3 , y=-3 e z=-1,5 
 x=-3 , y=3 e z=1,5 
 
x=-3 , y=-3 e z=-1,5 
 
x=-3 , y=3 e z=-3 
 
 
Explicação: 
x=-3 , y=3 e z=1,5 
 
3a Questão 
 
 
Considerando-se os pontos A(2,0,2), B(3,2,5) e C(2,3,5) e os vetores: u de origem em A e 
extremidade em B, v de origem em B e extremidade em C, a soma dos vetores u e v resulta na 
terna: 
 
 
 
(E) (0, 0, 0) 
 
(D) (2, 3, 3) 
 
(A) (0, - 3, - 3) 
 (B) (7, 15, 12) 
 (C) 0, 3, 3) 
 
 
Explicação: 
Tem-se u = AB = B - A = (1, 2, 3) v = BC = C - B = (- 1, 1, 0) Logo (1, 2, 3) + (- 1, 1, 0) = (0, 
3, 3) 
 
 
 4a Questão 
 
 
Sendo a=(2,1,1), b=(1,2,2) e c=(1,1,1). Calcular um vetorv=(x,y,z), tal 
que v· a= 4, v· b= 9 e v· c= 5. Podemos afirmar que o vetor v 
é: 
 
 
 
v=(3,4,-2) 
 
v=(3,-4,2) 
 v=(3,4,2) 
 
v=(-3,4,2) 
 
v=(-3,-4,-2) 
 
 
Explicação: 
v=(3,4,2) 
 
 5a Questão 
 
 
Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades (0, 2) e (6, 
11), em três segmentos congruentes. 
 
 
 
(4 ,5) e (7, 9) 
 s.r 
 (2 ,5) e (4, 8) 
 
(3 ,5) e (4, 6) 
 
(4 ,3) e (7, 8) 
 
 
Explicação: 
xk = (6-0)/3 = 2; yk = (11-2)/3 = 3 
P1 = (0 + 2.1, 2 + 3.1) = (2, 5) 
P1 = (0 + 2.2, 2 + 3.2) = (4, 8) 
 
 
Determine o vetor X na igualdade 3X + 2 u = 1/2v + X, sendo daos u = ( 3,-1) e v = ( -2,4) 
 
 
 
X = ( 3,-2) 
 X = ( -2,-2) 
 
X = (-7 , 2) 
 X = ( - 7/2 , 2) 
 
X = ( 2. -7/2) 
 
 
Explicação: 
Temos que: 3x+2u=v/2+x => 6x+4u=v+2x => 4x=-4u+v => 4x=(-12,4)+(-2,4) => 4x=(-
14,8) => x=(-7/2,2) 
 
 
 
Dados os vetores u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j- k o vetor u + v é: 
 
 
 
 
 
(3,-2,2) 
 (3,-2,0) 
 
(3,0,0) 
 
(3,-2,4) 
 
(3,-2,1) 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 
 
X= -1+t y = -2 z = -t 
 
X= 1+t y = -2 z = t 
 X= -1-t y = -2 z = t 
 
X= -1+t y = 2 z = t 
 X= -1+t y = -2 z = t 
 
 
Explicação: 
 Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t 
 y=-2 
 z=t 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 ) que tem a direção 
do vetor (1, 1, 1 ) 
 
 
 x =5+t y= -2+t z=t 
 
x =5 y= -2+t z=t 
 
x =5+t y= -2 z=t 
 
x =5+t y= -2+t z=2t 
 
x =5+t y= t z=t 
 
Explicação: 
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares. Temos que: 
(x,y,z) = (5,-2,0) + t(1,1,1) => x=5+t , y=-2+t e z=t. 
 
Podemos afirmar que a distância entre os pontos A=(1,2,3) e B=(5,2,3) é: 
 
 
 1 
 
3 
 
5 
 
2 
 4 
 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (4,-2, 0 ) que tem a direção 
do vetor (1, 0, 1) 
 
 
 
x=4+2t y=-2 z=t 
 x=4+t y=-2 z=t 
 x=4+t y=-2t z=t 
 
x=4-t y=-2 z=t 
 
x=4+t y=-2 z=2t 
 
Explicação: 
Uma reta que passa pelo ponto A = (xa , ya, za) e tem a direção do vetor B = (xb , yb, zb) terá as 
seguintes equações paramétricas: 
x = xa + txb; y = ya + tyb; z = za + tzb 
 
 
 
 
podemos afirmar que a distância dos pontos A=( -2,0,1) e B=(1,-3,2) é: 
 
 
 √19 
 
4 
 √18 
 
5 
 3 
 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,0, 3 ) que tem a 
direção do vetor (1, 1, 1) 
 
 
 
X= -1+t y = t z = 3-t 
 
X= 1+t y = -t z = 3+t 
 X= -1+t y = t z = 3+t 
 
X= 1+t y = t z = 3+t 
 
X= -1+t y = -t z = 3+t 
 
 
Explicação: 
Temos que: (x,y,z)=(-1,0,3) + t(1,1,1). 
Daí, as equações paramétricas da reta serão: x=-1+t , y=t e z=3+t. 
 
 
Calcular a distância entre os pontos P1=(1;0;1) e P2=(2,-1,0) 
 
 
 
5 
 √3 
 
3 
 
4 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, 1 ) que tem a direção do 
vetor (3,0, 2) 
 
 
 
x= 1+3t y=2 z=1 
 
x= 1 y=2 z=1+2t 
 
x= 1+3t y=2t z=1+2t 
 x= 1+3t y=2 z=1+2t 
 
x= 1+3t y=2 z=t 
 
 
Explicação: 
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares. 
 
1a Questão 
 
 
Se o ponto P(2,k) pertence à reta de equação: 2x + 3y - 1 = 0, então o valor de k é: 
 
 
 0 
 
-2 
 
1 
 -1 
 
2 
 
Explicação: 
Se o ponto P(2,k) pertence a reta 2x+3y-1=0 então devemos ter: 2.2+3,k-1=0 => 4+3k-1=0 
=> 3k=-3 => k=-1. 
 
 
Considere a reta que passa pelos pontos A(2, 1, - 3) e B(4, 
2, 0). Assinale a opção que mostra um outro ponto que 
pertence a este plano. 
 
 
 
D(0, 0, 11) 
 
G(0, 0, 8) 
 C(6, 3, 3) 
 
E(0, 0, 12) 
 
F(0, 0, 14) 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, -1 ) que tem a direção 
do vetor (3,0, 0 ) 
 
 
 
x= 1+3t y=2 z=1 
 
x= 1+3t y=2 z=t 
 x= 1+3t y=2 z=-1 
 
x= 1+3t y=2t z=-1 
 
Explicação: 
Devemos ter: 
(x,y,z)=(1,2,-1) + t(3,0,0) => x=1+3t 
 y=2 
 z=-1 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 
 
X= 2+t y = 2 z = t 
 
X= 2+t y = -2 z = t 
 X= -2+t y = -2 z = t 
 
X= -2+t y = 2 z = t 
 
X= -2+t y = -2 z = -t 
 
 
Explicação: 
Os pontos são coeficiente de x é o vetor coeficiente de t. 
Temos que: (x,y,z) = (-2,-2,0) + t(1,0,1) 
Daí as equações paramétricas serão: x=-2+t , y-2 , z=t 
 
 
Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -1) e O(0, 0), calcular OA - AB 
 
 
 
(4, 1) 
 
(1 ,1) 
 
(1, 4) 
 (-4 1 ) 
 
(4, -4) 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,2, 0 ) que tem a direção do 
vetor (2,2, 2 ) 
 
 
 
x= 5+2t y=2+2t z=2 
 
x= 5+2t y=2+2t z=2+2t 
 
x= 5+2t y=2 z=2+2t 
 
x= 5 y=2+2t z=2+2t 
 x= 5+2t y=2+2t z=2t 
 
 
Explicação: 
Temos : 
(x,y,z) = (5,2,0) + t(2,2,2) => x=5+2t , y=2+2t e z=2t 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a 
direção do vetor (1, 1, 1) 
 
 
 
X= 2+t y = t z = 1+t 
 
X= -2+t y = -t z = 1+t 
 
X= -2+t y = t z = -1+t 
 
X= -2-t y = t z = 1+t 
 X= -2+t y = t z = 1+t 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1) 
Daí, as equações paramétricas da reta serão: x=-2+t , y=t , z=1+t. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 ) que tem a direção 
do vetor (1, 1, 1 ) 
 
 
 
x =5+t y= -2 z=t 
 
x =5+t y= t z=t 
 
x =5 y= -2+t z=t 
 x =5+t y= -2+t z=t 
 
x =5+t y= -2+t z=2t 
 
 
Explicação: 
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares. Temos que: 
(x,y,z) = (5,-2,0) + t(1,1,1) => x=5+t , y=-2+t e z=t. 
Calcular a distância entre os pontos P1=(1;0;1) e P2=(2,-1,0) 
 
 
 
4 
 √3 
 
3 
 
5 
 
2 
 
 
 
 
 
 
Considere a reta que passa pelos pontos A(2, 1, - 3) e B(4, 
2, 0). Assinale a opção que mostra um outro ponto que 
pertence a este plano. 
 
 
 
F(0, 0, 14) 
 
E(0, 0, 12) 
 
G(0, 0, 8) 
 C(6, 3, 3) 
 
D(0, 0, 11) 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, -1 ) que tem a direção 
do vetor (3,0, 0 ) 
 
 
 
x= 1+3t y=2 z=1 
 
x= 1+3t y=2 z=t 
 
x= 3t y=2 z=-1 
 x= 1+3t y=2 z=-1 
 
x= 1+3t y=2t z=-1 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: 
(x,y,z)=(1,2,-1) + t(3,0,0) => x=1+3t 
 y=2 
 z=-1 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,-2, 0 ) que tem a 
direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 
 X= -2+t y = -2 z = t 
 
X= -2+t y = -2 z = -t 
 
X= -2+t y = 2 z = t 
 
X= 2+t y = 2 z = t 
 
X= 2+t y = -2 z = t 
 
 
Explicação: 
Os pontos são coeficiente de x é o vetor coeficiente de t. 
Temos que: (x,y,z) = (-2,-2,0) + t(1,0,1) 
Daí as equações paramétricas serão: x=-2+t , y-2 , z=t 
 
 
 
 
Podemos afirmar que a distância entre os pontos A=(1,2,3) eB=(5,2,3) é: 
 
 
 
2 
 
5 
 
3 
 4 
 
1 
 
 
 
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por: 
 
 
 -69x + 20y + 123 = 0 
 
 -69x + 21y - 122 = 0 
 -70x + 19y + 123 = 0 
 
 70x - 21y - 124 = 0 
 
 -68x + 19y + 122 = 0 
 
 
 
Explicação: 
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois 
pontos dados da reta. Resolver o sistema formado (2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e 
determinar a equação da reta pedida 
 
 
Sabe-se que o módulo do vetor VAB mede 4 unidades de cumprimento, sendo A = (1, 2) e B = 
(-2, k). Nessas condições é correto afirmar que o valor de k é: 
 
 
 
0 ou 3 
 2 
 
-1 ou -2 
 
-2 ou 3 
 
1 ou 3 
 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (4,-2, 0 ) que tem a direção do 
vetor (1, 0, 1) 
 
 
 
x=4+t y=-2t z=t 
 x=4+t y=-2 z=t 
 
x=4-t y=-2 z=t 
 
x=4+t y=-2 z=2t 
 
x=4+2t y=-2 z=t 
 
 
Explicação: 
Uma reta que passa pelo ponto A = (xa , ya, za) e tem a direção do vetor B = (xb , yb, zb) terá as 
seguintes equações paramétricas: 
x = xa + txb; y = ya + tyb; z = za + tzb 
 
1a Questão 
 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, -4, -4) e é ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) 
? 
 
 
 
 -x - 2 y - 6 z - 35 = 0 
 
-x - 2 y - 6 z+ 35 = 0 
 
-x - 2 y + 6 z - 35 = 0 
 
-x +2 y - 6 z - 35 = 0 
 
-x + 2 y + 6 z - 35 = 0 
 
 
Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (-4) ] = 0 -> -x - 2 y - 6 z - 35 = 0 
 
 
 
Qual deve ser o valor de m para que os vetores a=(m,2,-1), b=(1,-1,3) e c=(0,-2,4) sejam 
coplanares? 
 
 
 
m=2 
 
m=3/2 
 m=3/4 
 m=3 
 
m=4 
 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A 
(-3, -4, 0) e é ortogonal 
ao (-1,-2,-6) ? 
 
 
 
x - 2 y - 6 z +11 = 0 
 
x - 2 y - 6 z - 11 = 0 
 
-x - 2 y - 6 z + 11 = 0 
 -x - 2 y - 6 z - 11 = 0 
 
-x + 2 y - 6 z - 11 = 0 
 
 
Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z-11 = 0 
 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, -4) e é ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) ? 
 
 
 
 -x - 2 y - 6 z - 13 = 0 
 
-x - 2 y + 6 z - 13 = 0 
 =x - 2 y - 6 z - 13 = 0 
 
-x - 2 y - 6 z + 13 = 0 
 
-x + 2 y - 6 z - 13 = 0 
 
 
Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (3)+ 2 (4) +6 (-4) ] = 0 -x - 2 y - 6 z - 13 = 0 
 
 
 
 
 Qual a equação do plano pi que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e tem n=(3,2,-4) como vetor 
normal. 
 
 
 
 
 3x+2y-4z-8=0 
 
2x-y+3z+8=0 
 
2x-y+3z-8=0 
 2x+y-3z-8=0 
 3x+2y-4z+8=0 
 
 
Explicação: Determinar a equação geral do plano usando um ponto e o vetor normal. 
 
 
Determine o valor aproximado do módulo do vetor VAB, sendo A = (1, 1, 2) e B = (2, 3, -1). 
 
 
 3,74 
 
4,12 
 
1,28 
 
5,62 
 2,53 
 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A (0, 1, 0) e é ortogonal 
ao (-1,-2,-6) 
 
 
 -x - 2 y - 6 z -2 = 0 
 
x - 2 y - 6 z +2 = 0 
 -x - 2 y - 6 z +2 = 0 
 
-x - 2 y + 6 z +2 = 0 
 
x - 2 y - 6 z -2 = 0 
 
 
Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (0)+ 2 (1) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z+2 = 0 
 
 
 
SE A EQUAÇÃO DE UM PLANO É DADA POR 2x + 3y + 4z -9 = 0 UM VETOR W NORMAL A ESTE 
PLANO É DADO POR: 
 
 
 
W= 1/2 i + 1/3 j + 1/4 k 
 W= i + j + k 
 
W = 4i + 3j + 2k 
 
W= -i -j -k 
 W = 2i + 3j + 4k 
1a Questão 
 
 
Dado o plano 1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, 
sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a equação 
do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura 
o plano 1 e é paralelo ao plano 2:x3=0. 
 
 
 x=710 
 x=103 
 x=3 
 x=310 
 x=35 
 
 
Explicação: 
Plano paralelo a 2: x + k = 0 
Reta AB 
x = y = z = t 
Interseção da reta AB com 1: 2t+5t+3t+3 = 0 -> 10t = -3 -> t = -0,3 
x - 0,3 = 0 -> x = 3/10 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Se o ponto P do eixo das abscissas pertence ao plano determinado pela equação: 2x + 5y - 
10z - 20 = 0. Podemos afirmar que: 
 
 
 
P( 0, 0, -2 ) 
 
P( 0, 4, 0 ) 
 P( 10, 0, 0 ) 
 
P( 0, 0, 2 ) 
 P( 5, 0, 0 ) 
 
 
Explicação: 
Se P pertence eixo das abscissas, P = (x,0,0). Substituindo na equação do plano, 2x-20=0 -> 
x = 10 
 
 
 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A 
(-3, -4, 0) e é ortogonal 
ao (-1,-2,-6) ? 
 
 
 x - 2 y - 6 z - 11 = 0 
 -x - 2 y - 6 z - 11 = 0 
 
-x + 2 y - 6 z - 11 = 0 
 
-x - 2 y - 6 z + 11 = 0 
 
x - 2 y - 6 z +11 = 0 
 
 
Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z-11 = 0 
 
 
A equação geral do plano que passa pelo ponto P (1, 4, 0 ), sendo n = ( 2, -1, 3 ) um vetor 
normal ao plano é: 
 
 
 
3x - y + 2z + 2 = 0 
 
3x + y + 2z + 2 = 0 
 2x - y + 3z + 2 = 0 
 
2x - y + 3z - 6 = 0 
 2x - y + 3z - 2 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, 0) e é ortogonal ao (1,-2,-6) ? 
 
 
 
 x - 2 y - 6 z + 5 = 0 
 
-x - 2 y - 6 z - 5 = 0 
 
x - 2 y - 6 z - 5 = 0 
 
x - 2 y + 6 z - 5 = 0 
 x - 2 y + 6 z - 5 = 0 
 
 
Explicação: 
1x - 2y - 5z - [+ 1 (3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> x-2y-6z+5 = 0 
 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, -4, -4) e é ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) 
? 
 
 
 
 
-x - 2 y + 6 z - 35 = 0 
 -x - 2 y - 6 z+ 35 = 0 
 -x - 2 y - 6 z - 35 = 0 
 
-x +2 y - 6 z - 35 = 0 
 
-x + 2 y + 6 z - 35 = 0 
 
 
Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (-4) ] = 0 -> -x - 2 y - 6 z - 35 = 0 
 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Determine o valor aproximado do módulo do vetor VAB, sendo A = (1, 1, 2) e B = (2, 3, -1). 
 
 
 4,12 
 
2,53 
 
5,62 
 3,74 
 
1,28 
 
 
 
 Qual a equação do plano pi que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e tem n=(3,2,-4) como vetor 
normal. 
 
 
 
 
2x+y-3z-8=0 
 3x+2y-4z+8=0 
 
 3x+2y-4z-8=0 
 
2x-y+3z-8=0 
 
2x-y+3z+8=0 
 
 
Explicação: Determinar a equação geral do plano usando um ponto e o vetor normal. 
 
 
 
1a Questão 
 
 
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(2,3) e C(0,5). Podemos afirmar 
que natureza do triângulo é: 
 
 
 Equilátero 
 Retângulo isósceles 
 Retângulo 
 Escaleno 
 isósceles 
 
 
Explicação: 
Isósceles, pois, pode-se comprovar , calculando-se os valores dos lados do trângulo, pela 
equação da distância entre dois pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Identifique o centro e o raio do círculo representada pela equação geral x² + y² - 8x - 4y + 11 
= 0. 
 
 
 
o centro é (4, 3) e o raio é 3. 
 
o centro é (4, 3) e o raio é 2. 
 o centro é (4, 2) e o raio é 3. 
 
o centro é (3, 2) e o raio é 4. 
 
o centro é (4, 2) e o raio é 2. 
 
 
Explicação: 
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos 
C = (-A/2; -B/2) 
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
1. 
A reta r é determinada pelos pontos A=(2,-1,3) e B=(3,0,2). 
Sendo que a reta passa por A e tem a direção do vetor AB. Assim 
podemos afirmar que a equação vetorial de r é: 
 
 
 (x,y,z)=(2,1,3)+t(1,1,5) 
 
(x,y,z)=(2,1,-3)+t(1,1,5) 
 
(x,y,z)=(1,1,5)+t(2,1,3) 
 
(x,y,z)=(1,1,5)+t(-2,1,-3) 
 
(x,y,z)=(1,-1,5)+t(2,1,3) 
 
 
Explicação: 
(x,y,z)=(2,1,3)+t(1,1,5) 
 
 
Identifique o centro e o raio da circunferência representadapela equação geral x² + y² - 2x - 
8y + 12 = 0. 
 
 
 
o centro é (5, 1) e o raio é 2. 
 
o centro é (1, 5) e o raio é 2. 
 o centro é (5, 4) e o raio é 1. 
 
o centro é (4, 1) e o raio é √5. 
 o centro é (1, 4) e o raio é √5. 
 
 
Explicação: 
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos 
C = (-A/2; -B/2) 
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C) 
 
 
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto 
médio do lado BC. Podemos afirmar que o comprimento da mediana AM 
é: 
 
 
 
 
 
AM=23 
 
AM=32 
 
AM=2 
 
AM=22 
 
AM=2 
 
Explicação: 
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. 
Podemos afirmar que o comprimento da mediana AM é: 
M = ((0 - 2)/ 2, (5 + 3)/ 2) = (-1, 4) 
CAM = raiz((-1 - 1)² + (4 - 2)²) = 2raiz(2) 
 
 
Em uma cidade histórica no interior de Minas Gerais, a prefeitura utiliza o sistema de 
coordenadas cartesianas para representar no mapa do município, a localização dos 
principais pontos turísticos. Dois turistas italianos se encontraram no marco zero da cidade, 
representado pelo ponto A(0,0) e cada um deles decidiu ir para um ponto turístico diferente. 
Um deles foi para uma Igreja muito antiga construída na época do Império, que é 
representada no mapa pelo ponto B de coordenadas cartesianas (3,2). Já o outro turista foi 
para o museu dos Inconfidentes que é representado no mapa pelo ponto C de coordenadas 
cartesianas (4,3). De acordo com as informações acima, qual das alternativas abaixo 
representa, respectivamente os vetores AB e BC? 
 
 
 AB = 3i + 2j e BC = 1i - 1j 
 AB = 3i - 2j e BC = 1i + 1j 
 AB = 3i - 2j e BC = 4i - 3j 
 AB = 3i + 2j e BC = 4i + 3j 
 AB = 3i + 2j e BC = 1i + 1j 
 
 
O centro e o raio da circunferência dada pela equação x² + y² - 8x - 6y + 9 = 0 são 
respectivamente: 
 
 
 Centro C(4,3) e raio 4 
 
Centro C(-4, -3) e raio 3 
 Centro C(4,3) e raio 3 
 
Centro C(-4, -3) e raio 4 
 
Centro C(4,3) e raio 16 
 
 
Explicação: 
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos 
C = (-A/2; -B/2) 
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C) 
 
 
 
Seja u=(1,0,1) e v=(0,1,0). O produto escalar u.v é igual a: 
 
 
 
1 
 
2 
 0 
 
3 
 
4 
 
1a Questão 
 
 
Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2 
 
 
 
(13/2, 8) 
 (13/2, -9) 
 
(13/2, -8) 
 (13,9) 
 
(13, -9) 
 
 
Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida 
 
 
 
 
 
 
 
Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -
2, 0). 
 
 
 
(-1, 2, 1) 
 
(1, 3, -1) 
 (-2, 1, 1) 
 
(1, -4, 2) 
 
(-1, 3, 1) 
 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Dados A=(1,1) e B=(3,5), determinar C, tal que AC=(1/2)AB 
 
 
 
 
x = 1 e y = -2 
 
x = -1 e y = 2 
 x = 1 e y = 2 
 x = -1 e y = -2 
 
x = 2 e y =1 
 
 
Explicação: 
 
x = 1 e y = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Marque a solução da equação dS/dr+2πS=0,para S(0)=So. 
 
 
 S(r)=Soe^(+2πr) 
 
S(r)=2e^(-2πr) 
 
S(r)=4e^(-2πr) 
 
S(r)=3e^(-2πr) 
 
S(r)=Soe^(-2πr) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Sejam u, v vetores de módulos |u| =1 e |v| = 2. Sabendo que os vetores tem a mesma 
origem e o ângulo formado entre eles é de 60°, o módulo do vetor soma entre eles é igual a: 
 
 
 2 
 
4 
 
√8 
 √6 
 
6 
 
 
Sejam os vetores u = (2,3,4) e v = (-2,0,-5). o produto escalar de u e v é: 
 
 
 
-16 
 
24 
 
-25 
 -24 
 
16 
 
 
Determine o ponto médio do segmento AB, sendo A = (3, 1, 0) e B = (1, 5, 2). 
 
 
 
(1, -1, -1) 
 (2, 3, 1) 
 
(0, 1, 0) 
 
(1, -2, -1) 
 
(0, 1, -2) 
 
 
Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar: 
 
 
 O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-
retas de origens diferentes. 
 O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w ⃗. 
 
O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o sentido 
de qualquer um dos seus representantes. 
 
Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes. 
 
Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário. 
a Questão 
 
 
 
 
Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2 
 
 
 (13/2, -9) 
 
(13,9) 
 (13, -9) 
 
(13/2, -8) 
 
(13/2, 8) 
 
 
Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida 
 
 
Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -
2, 0). 
 
 
 
(-1, 3, 1) 
 (-2, 1, 1) 
 (1, 3, -1) 
 
(-1, 2, 1) 
 
(1, -4, 2) 
 
 
Dados A=(1,1) e B=(3,5), determinar C, tal que AC=(1/2)AB 
 
 
 
 x = 1 e y = 2 
 
x = 2 e y =1 
 
x = 1 e y = -2 
 
x = -1 e y = -2 
 x = -1 e y = 2 
 
 
Explicação: 
 
x = 1 e y = 2 
 
 
Marque a solução da equação dS/dr+2πS=0,para S(0)=So. 
 
 
 
S(r)=2e^(-2πr) 
 S(r)=Soe^(-2πr) 
 
S(r)=3e^(-2πr) 
 S(r)=Soe^(+2πr) 
 
S(r)=4e^(-2πr) 
 
 
 
Sejam u, v vetores de módulos |u| =1 e |v| = 2. Sabendo que os vetores tem a mesma 
origem e o ângulo formado entre eles é de 60°, o módulo do vetor soma entre eles é igual a: 
 
 
 
2 
 
6 
 
√8 
 
4 
 √6 
 
 
Sendo A = (2, 0, 1) B = (0, 3, -2) e C = (1, 2, 0), determinar D, tal que: (BD) ̅ = ( AB ) ̅+ 
(CB) ̅ 
 
 
 b) (-3, 7, -7) 
 
e) (7,-3, -7) 
 
c) (-3, 7, 7) 
 
a) (7, -7,-3) 
 d) (-3, -7, 7) 
 
 
Determine o ponto médio do segmento AB, sendo A = (3, 1, 0) e B = (1, 5, 2). 
 
 
 
(0, 1, -2) 
 
(1, -1, -1) 
 (2, 3, 1) 
 
(1, -2, -1) 
 
(0, 1, 0) 
 
 
Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar: 
 
 
 
O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-
retas de origens diferentes. 
 
Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes. 
 O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o sentido 
de qualquer um dos seus representantes. 
 
Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário. 
 O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w ⃗. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcue a área da região delimitada pela circunferência x2 + y2 + 6x 
- 8y + 7 = 0. 
 
 
 8 pi 
 
16 pi 
 
s.r 
 
12 pi 
 18 pi 
 
 
 
Dados os vetores v→=(2,1,-1) e u→=(1,4,0) , o produto escalar e o produto vetorial são 
respectivamente iguais a: 
 
 
 
4, 2i→-3j→-8 k→ 
 
14, 2i→-3j→-8 k→ 
 14, 2i→+ 3j→+ 4 k→ 
 6, 4i→-j→+7k→ 
 
15, 2i→-3j→-8k→ 
 
 
Numa elipse a medida do eixo maior é 26 e a medida do eixo menor 
é 24. Determine a distância focal dessa elipse. 
 
 
 
13/12 
 
22 
 
12/13 
 11 
 10 
 
 
Calcule a área da região delimitada pela circunferência x2 + y2 + 6x - 8y + 7 = 0. 
 
 
 
12 pi 
 
6 pi 
 
8 pi 
 
S.R 
 18 pi 
 
 
Explicação: 
Pela equação da circunferência temos que: 
-2a=6 => a=-3 
-2b=-8 => b=4. Daí o cento da circunferência é: O(-3,4) 
Daí: a²+b²-r²=7 => 9+16-r²=7 => r²=18. 
Então a área delimitada pela circunferência é: S = pi r² => S=18pi. 
 
 
Sabe-se que o diâmetro de uma circunferência é6 e seu centro tem coordenadas C(-2,0), a 
equação reduzida desta circunferência é: 
 
 
 
(A) (x - 2)^2 = 3 
 (C) (x + 2)^2 + y^2 = 3 
 
(D) (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 36 
 (B) (x + 2)^2 + y^2 = 9 
 
(E) (x + 2)^2 + y^2 = 36 
 
 
 
 
Determine o valor de a, sabendo que os vetores u→=2i→+3j→+4k→ e →v=i→ -
3j→+ ak→ são ortogonais 
 
 
 
2 
 7/4 
 
2/4 
 
1 
 5 
 
 
Dada a equação de uma Elipse a seguir 
25x2 + 16y2 + 288y + 896 = 0 
As medidas dos seus eixos Maior e Menor são , respectivamente: 
 
 
 
 
20 e 16 
 10 e 8 
 
20 e 10 
 
25 e 16 
 
49 e 25 
 
 
(IFB - 2017). Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos coordenados 
e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), determine os focos da elipse. 
 
 
 
(5, 0) e (-5, 0) 
 (12, 0) e (-12, 0) 
 (0, 12) e (0, - 12) 
 
(13, 0) e ( -13, 0) 
 
(0, 13) e (0, -13) 
 
Explicação: 
De acordo com os dados, o eixo maior fica no eixo y, onde a = 13 e b = 5, logo c² = 13² - 5² -> 
c = 12 
1a Questão 
 
 
(ESPCEX 2013) Sobre a curva 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa 
correta. 
 
 
 
A medida do seu eixo maior é 25. 
 
A distância focal é 4. 
 Sua excentricidade é 0,8. 
 
A medida do seu eixo menor é 9. 
 
Seu centro é (−2,1). 
 
 
Explicação: 
9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0 
9x² - 36x + 25y² + 50y − 164 = 0 
9(x² - 4x) + 25(y² + 2y) − 164 = 0 
9(x² - 4x + 4) + 25(y² + 2y + 1) − 164 - 9.4 - 25.1= 0 
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 164+36+25 
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 225 
[(x - 2)²] / 25 + [(y + 1)²] / 9 = 1 
a² = 25 -> a = 5 
b² = 9 -> b = 3 
c² = 25 - 9 
c = 4 
e = c/ a = 4/ 5 = 0,8 
 
 
Sabendo que a distância focal de uma elipse é 16 e o eixo menor é igual a 12, qual o 
comprimento do eixo maior? 
 
 
 
12 
 18 
 
16 
 20 
 
10 
 
 
Explicação: 
a² = b² + c² 
a² = 16² + 12² 
a = 20 
 
 
 
 
A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos 
(1, 0) e (0, -2) são, respectivamente, 
 
 
 √32 e 12 
 √3 e √32 
 2√3 e √32 
 1/2 e √3 
 
3 e 1/2 
 
 
A equação 4x² + 9y² = 25 representa uma: 
 
 
 
Reta 
 
Circunferência 
 Elipse 
 
Hiperbole 
 Parábola 
 
 
Explicação: 
Aplicação envolvendo equação da elipse. 
 
 
Chama-se Produto Escalar de dois vetores u→ = x1i→ + y1j→+ z1k→ e v→ = x2i→ + y2j→+ 
z2k→ denotado por u→.v→ : 
 
 
 
ao vetor w→ dado por w→ = x1x2i→ + y1y2 j→ + z1z2 k→ 
 ao número real k, dado por : k = x1x2 + y1y2 + z1z2 
 ao número real k dado por k = (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 
 
ao número real k, dado por: k = x+1x-1 = y+1y-1= z+1z-1 
 
ao vetor w→ dado por w→ = (x1 + x2)i→ + (y1 + y2 )j→ + (z1 + z2)k→ 
 
 
 
 
P(0, 1, k), Q(2, 2k, k - 1) e R(- 1, 3, 1), determinar o valor inteiro de k de tal modo que o 
triângulo PQR seja retângulo em P. 
 
 
 
7 
 
6 
 
3 
 1 
 5 
 
 
Determine a equação da circunferência de centro em C(-2,k) e tangente ao eixo das ordenadas 
 
 
 
x2+y2-k2=0 
 x2+y2+4x-2ky+k2=0 
 
x2+y2-4x+2ky+k2=0 
 
x2+y2-2ky-k2=0 
 x2+y2-2ky+k2=0 
 
 
Considere a equação geral do plano 3x + 2y - z + 1 = 0. Para que o ponto A(4, -2, m) pertença 
a este ponto, o valor de m tem que ser igual a: 
 
 
 
NRA 
 
15 
 -15 
 9 
 
-9 
 
1a Questão 
 
 
Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de 
equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e à 
reta r são iguais ? 
 
 
 
Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3 
 Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3 
 
Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5 
 
Uma circunferência de equação x2+y2 =3 
 Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5 
 
 
Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) e w=(0,1,3) ? 
 
 
 
16 unidades de volume 
 15 unidades de volume 
 13 unidades de volume 
 
14 unidades de volume 
 
17 unidades de volume 
 
 
 
 
 
Qual o raio e o centro da circunferência de equação (x+1)2+(y-2)2=4 
 
 
 
raio = 4 e centro (-1, 2) 
 raio = 2 e centro (1, 2) 
 
raio = 2 e centro (-1, -2) 
 
raio = 4 e centro (1, 2) 
 raio = 2 e centro (-1, 2) 
 
 
 
 
 
 
4a Questão 
 
 
Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa são 
iguais. 
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados: 
 
 
 
centro e eixo 
 vértice e eixo 
 foco e diretriz 
 
foco e eixo 
 
centro e diretriz 
 
 
Com base na equação 16x2 - 9y2 = 144. Podemos afirmar que se trata de uma equaçao de: 
 
 
 hipérbole 
 
plano 
 elipse 
 
parábola 
 
circunferência 
 
 
Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i - 5 j e v = i + j , pede-se determinar o módulo do vetor 
u + v. 
 
 
 
100 
 5 
 10 
 
30 
 
25 
 
 
Explicação: basta somar os vetores e calcular a raíz. 
 
 
 
 
 
 
7a Questão 
 
 
Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4) 
 
 
 
10 
 
20 
 5x (2)1/2 
 20 x(2)1/2 
 10 x (2) 1/2 
 
 
 
 
 
 
8a Questão 
 
 
Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(0,2,-
1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2). 
 
 
 
-9x-8y+z+7=0 
 -5x-3y+z+7=0 
 -9x-3y+z+7=0 
 
-9x-3y+z+=0 
 
-9x-3y+z+9=0 
 
Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de 
equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e à 
reta r são iguais ? 
 
 
 
Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3 
 Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3 
 
Uma circunferência de equação x2+y2 =3 
 
Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5 
 Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5 
 
 
 
A expressão x2-y2+2x=0 é uma: 
 
 
 parábola 
 
circunferência 
 
catenária 
 hipérbole 
 
elipse 
 
 
Qual o raio e o centro da circunferência de equação (x+1)2+(y-2)2=4 
 
 
 
raio = 2 e centro (1, 2) 
 
raio = 4 e centro (-1, 2) 
 
raio = 2 e centro (-1, -2) 
 
raio = 4 e centro (1, 2) 
 raio = 2 e centro (-1, 2) 
 
 
 
 
 
 
4a Questão 
 
 
Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa são 
iguais. 
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados: 
 
 
 foco e diretriz 
 vértice e eixo 
 
foco e eixo 
 
centro e eixo 
 
centro e diretriz 
 
 
A cônica representada pela equação 3x²-4y²+8y-16=0 é: 
 
 
 
parábola 
 
duas retas 
 hipérbole 
 
circunferência 
 elipse 
 
 
Dados os vetores no plano R2 , u = 2 i - 5 j e v = i + j , pede-se determinar o módulo do vetor 
u + v. 
 
 
 
25 
 
100 
 5 
 30 
 
10 
 
 
Explicação: basta somar os vetores e calcular a raíz. 
 
 
Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4) 
 
 
 
10 
 10 x (2) 1/2 
 20 x(2)1/2 
 5x (2)1/2 
 
20 
 
Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(0,2,-
1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2). 
 
 
 
-5x-3y+z+7=0 
 
-9x-3y+z+9=0 
 -9x-8y+z+7=0 
 -9x-3y+z+7=0 
 
-9x-3y+z+=0