teoria das estruturas mecânicas ED

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Conteudo3 
Ex1- A 
A Aplicação do diagrama de força cortante, através da formula = Tensão = V.Ms/I.B O 
momento estático é obtido pela 
formula MS= Area . H médio = (0,250x0,02)x,15 = 9x103 
substituindo na formula anterior comos dados = 10,6MPA 
 
Ex2- D 
τ = V*Q/b*I 
V = 80KN 
I = 301,3*10^-6 m^-4 
Q1 = ʃy dA = b*y²/2 (com y variando de 0,15 a 0), LOGO: 0,02*(0,15²/2) 
Q1 = 2,25*10^-4 m³ 
Q2 = ʃy dA = b *y²/2 (com y variando d e 0 ,17 a 0,15), LOGO: 
0,25*(0,17²/2 – 0,15²/2) 
Q2 = 8*10^-4 m³ 
Qtotal = Q1 + Q2 = (2,25*10^-4) + (8*10 ^-4) 
Qtotal = 1,025*10^-3 m³ 
τ = ((80*10^3)*(1,025*10^-3)) / ((0,02)*(301,3*10^-6)) 
τ = 13,6 Mpa 
Ex3- E 
V = 80 [KN] 
I = 301,3*10^-6 [m ^4] 
Q1 = A1*yc1 =(0,25*0,02)*(0,16) 
Q1 = 8*10^-4 [m ^3] 
Q2 = A2*yc2 = (0,02*(0,15 –y))*(y + 0,5(0,15 – y)) 
Q2 = 2,25*10^-4 – 0,01*y^2 [m ^3] 
Qtotal = 1,025*10^-3 – 0,01*y^2 [m ^3] 
A FORÇA CORTANTE RESULTANTE É A INTEGRAL DA TENSÃO DE 
CISALHAMENTO EM RELAÇÃO À ÁREA 
Vr = ʃ τ dA; e 
τ = V*Q/b*I 
τ = ((13,6*10^6) – (132,76*10^6*(y^2) Pa 
INTEGRANDO EM RALAÇÃO A y: 
Vr = 20*10^3*(13,6y – (132,76*y^3)/3) 
COM O MESMO VARIANDO DE 0,15 Á -0,15 
Vr ~ 80KN 
Exe-4 
V = 80 [KN] 
I = 301,3*10^-6 [m ^4] 
Qflange = A*yc 
A = b*x = 0,02*xm^2 ; yc = 0,16m 
Qflange = 0,02x*0,16 
Qflange = 3,2*10^ -3x m^3 
A FORÇA CORTANTE RESULTANTE É A INTEGRAL DA TE NSÃO DE 
CISALHAMENTO EM RELAÇÃO À ÁREA 
Vr = ʃ τ dA; e 
τ = V*Q/b*I 
τ = (80*10^3*3,2*10^ -3x)/(0, 02*301,3*10^ -6) 
τ = 42,48257x Pa 
INTEGRANDO EM RE LAÇÃO A x TOMANDO A FLANGE SUPERIOR 
ESQUERDA COMO BA SE 
Vr = (42,48257*x^2)/2 
COM VALOR DE x VARIAN DO EN TRE 0 E 0,115m 
Vr = 5,63 KN 
 
Ex5- a 
A é zero , não força resultante devido a fluxo de cisalhamento. 
Ex8- b 
Calculo do momento de inercia da viga (BH³/12bh ³/12) = 3,755x10-5 , depois calcular 
as força que a carga distribuida influencia na viga = 30KN ,depois,calcular o MS = 
10x104aplicar as formula tensão = V.MS/BI = 30X10X104/ 0,25X3,755X-5 = 3,2 MPA 
Ex9- a 
Ao Efetuar o calculo do momento de inercia = BH3/12 bh³/12 = 3,755x10 -5 , calculo 
do MS para viga invertida 10x104, aplicar na formula tensão = VMS/bI = 
30x10³x10x104/0,23x3,755x10-5=3,6 mpa 
 
 
 
Conteudo5 
Ex4- B 
e = 3b² x tf / h x tw + 6b x tf => (3(29²) x 5)) / ((87 x 5) + (6x29)5)) => 12615/1305 ≅ 
9,666 x 3 ≅ 29mm. 
Centro de torção = 29mm. (Multipliquei por 3, porque o desenho apresenta base (a) e 
altura (a) iguais; possui também espessura (t) constante; e três aberturas simétricas entre 
a alma e o flange). 
Ex5-c 
e = 3bh² (b+2a) - 8ba³ / h² (h + 6b + 6a) + 4a² (2a - 3h) => ((3x70)(100²) x (70+80) - 
(8x70)(40³)) / (100²(100+420+240) + 4(40²) x (80-300)) => (279,16 x 10^6) / (6,192 x 
10^6) ≅ 45,09 aprox. 48,8. 
 
 
Ex6-d 
Para este exercício teremos que dividir a peça em duas (2), no caso seria uma viga “E” e 
uma viga “T”, aplicando a formula para a viga “E” onde b=90 mm ; h=180 mm ; tw = tf 
= 6 mm achamos uma distância de e= 33,75 mm 
Para viga T onde b=120mm; h=90mm; tf=tw=6mm. Achamos uma distância e de 53,33 
mm , subtraindo-se as duas distâncias, encontramos = 19 mm 
Ex7- e 
Sabemos que a base da figura é 203mm , para acharmos a altura da peça, teremos que 
usar a relação trigonométrica de seno = cat. Op. / hip. Nesse caso sabemos que o ângulo 
é de 45°, acharemos a hipotenusa da peça com valor de 287,085mm , assim aplicamos o 
teorema de Pitágoras e acharemos a altura da peça, que é aproximadamente 203mm. 
Para acharmos a distância “e”, basta substituirmos os valores na fórmula: e= 3 x b² x tf / 
h x tw + 6 x b x tf , onde tf=tw=2mm , encontraremos o valor de “e” = 87mm 
Como é uma cantoneira é de abas iguais, sabendo que a mesma distância “e” é de 87 
mm estará atuando na parte inferior da viga, portanto subtraindo-se as duas distâncias, 
encontraremos uma distância igual a zero (0). 
 
Ex8- d 
E = ( 15,5 x 23 x 4 ) + ( 2 x 23 x 4 ) / ( 23 x 4 ) x 2 
E = 8m,75 m 
 
Conteudo 4 
Ex=1 
I= b.h^3/12 
I= 240.160^3/12 – 2.(100.80^3/12) 
I= 73386666,67 mm^4 
B= 40 mm 
Q= considerando somente on de a viga é colad a. 
Q= (100 + 100 + 40). ( 40). (60) 
Q= 576000 mm^3 
V= b.I.τ/Q 
V= (40. 73386666,67. 0,35)/576000 
V= 1,783 kN. 
Conforme f eito em sa la d e aula, nenhuma das alternativas tem a r esposta que cheg amos. 
Ex2- D 
Primeiro passo é calcular a força qu e é execida sobre o parafuso ,tensão = F/A , então F= t ensão x área 
do parafuso = 60x10 6 x 0,0 7²xpi = 9,23k n / 2 pois a força e stá sendo influenciad a pela 02 lad os do 
parafuso = 4,61 kn , d epois calcula -se o I BxH²/12 – b xh³/12 = 3,846x1 0-6 
Sabendo q a formu la S = FxI/V MS, isolando o V = FxI/M SxS , substitu indo os valor V= 5,50k n 
EX- 3 
Q = 250 * 10-3 * 20 * 10-3 * 1 60 * 10-3 
Q = 8 * 10-4 m3 
I = (250 * 10-3 * (2 40 * 10-3)3 / 12) – 2 * (115 * 10-3 * (300 * 10-3)3 / 12) 
I = 3,013 * 10-4 m4 
VMÁX = 10 kN 
F = VMAX * QCHAPA / I 
F = 10 * 8 * 10-4 / 3,013 * 10- 4 
F = 26,55 kN/m 
N°CORDÕES = 4 / (15 0 * 10-3) 
N°CORDÕES = 26,67 
FCORDÃO = F * L / (2 * N °CORDÕES) 
FCORDÃO = 26,55 * 4 / ( 2 * 26,67) 
FCORDÃO = 2 kN 
τCORDÃO = 105 kN/m2 
τCORDÃO = FCORD ÃO / ACORDÃ O 
105 = 2 / (15 * 10-3 * L) 
L = 2 / (105 * 15 * 10 -3) 
L = 1,33 * 10-3 m 
L = 1,33 mm 
Conforme f eito em sa la d e aula , nenhuma d as alternativas tem a resposta que ch egamos. 
 
Ex4- C 
ICHAPA = b * h³ / 12 
ICHAPA = 260 * 15³ / 1 2 
ICHAPA = 96817500 m m2 
I = 2 * (IU + ICHAPA) 
I = 2 * (78259700 + 968175 00) 
I = 350154400 mm4 
I = 350,15 * 10-6 m4 
QCHAPA = 0,26 * 15 * 10-3 * 157,5 * 10 -3 
QCHAPA = 6,1425 * 10 -4 m3 
Vmáx= 62,5 kN 
F = Vmáx * QCHAPA / I 
F = 62,5 * 6,1425 * 10- 4 / 350,15 * 10- 6 
F = 109,64 kN/m 
FTOTAL = F * 2,5 
FTOTAL = 109,64 * 2,5 
FTOTAL = 274,1 Kn 
n = FTOTAL / (2 * 47) 
n = 274,1 / (2 * 47) 
n = 2,92 
d = 2,5 / 2,92 
d = 0,85 m 
d = 850 mm 
Conforme f eito em sa la d e aula, nenhuma das alternativas tem a resposta que cheg amos. 
 
Ex5-a 
Primeiro passo é calcular a força qu e é execida sobre o parafuso , tensão = F/A , entã o F= tensão x á rea 
do parafuso = 60x10 6 x 0,0 7²xpi = 9,23k n / 2 pois a força e stá sendo influenciad a pela 02 lad os do 
parafuso = 4,61 kn , depois calcula -se o I BxH²/12 – b xh³/12 = 3,846x1 0-6 
Sabendo q a formu la S = FxI/VMS, isoland o o V = FxI/M SxS , substituindo os valor V= 4 ,50kn 
 
Ex6- D 
Ms= (25x203)x41,5 Ms= 210.612,5 mm3 V=5x ;V=5.6=30KN I=37.10^6 mm4 I= 2 x 
37.10^6 It= 74.10^6 mm4 f= Ms x V / It f= 210,6.10^3 x 30.10^3 / 74.10^6 f= 85,4 
N/mm 
T=F/A ; F=TxA F = 40 x (3,14 x 7,5^2) F =7,06.10^3 N S=2xF / f S= 2 x 7,06.10^3 / 
85,4 = 165mm 
 
 
Ex7- A 
Ms= (20x100)x50 
Ms= 100.000 mm3 
V=27 KN 
I=(120x120^3 /12) – (80x80^3 /12) 
I= 13.866.667 mm4 
f= Ms x V / It 
f= 100.10^3 x 27.10^3 / 13,86.10^6 
f= 194,8 N/mm 
T=F/A ; F=TxA 
F = 88 x (3,14 x r^2) 
S=2xF / f 
50= 2 x 88 x (3,14 x r^2) / 194,8 
r^2= 17,62 
r= 4,19mm 
D= 7,4mm 
Ex8- D 
Calculo do momento de inercia = BXH³/12 – BXH³/12 = (0,21X,28³)/12 – (0,18-,2³)12 
= 2,64X10-4 
MS = (0,18X0,04)0,12 = 8,64X10-4 
S= 2FXI/VMS = 2X800X2,64X10-4 /10,5X10 3 X 8,64 X 10-4 = S= 0,046M = 46MM 
 
 
Conteudo 6 
Ex1- C 
I1 = d4 * π / 32 
I1 = 104 * π / 32 
I1 = 981,74 mm4 
I2 = d4 * π / 32 
I2 = 164 * π / 32 
I2 = 6433,98 mm4 
N1 = π2 * E * I1 / L2 
N1 = π2 * 206 * 103 * 981,74 / 6002 
N1 = 5544,48 N 
N2 = π2 * E * I2 / L2 
N2 = π2 * 206 * 103 * 6433,98 / 9952 
N2 = 13212,97 N 
ƩFY = – P – N2 * SEN 67,56 ° = 0 
P = – 0,92 * N2 
P = – 0,92 * 13212,97 
P = – 12155,93 N (o sinal n egativo mo stra que a b arra 2 sofre compre ssão) 
ƩFX = – N1 + N2 * CO S 67,56° =0 
N1 = 0,38 * N2 
P = – N1 / 0,41 
P = – 5544,48 / 0,41 
P = – 13523,12 N (o sinal n egativo mo stra que a b arra 1 sof re 
compressão) 
Segurança igual a 3 
P = 12155,93 / 3 
P = 4051,97 N 
P = 4,0 kN 
Nenhuma d as alt ernativas tem a res posta que chegamos, fize mos confor me o professor nos 
orientou em sala de aula. 
 
Ex3- a 
L= RAIZ² ( 0,46²+0,46²) = 0,65M 
I = (PI x d4)/64 = (PI X 0,016 ^4)/64 = 3,2169 X 10-9 
PCR = PI² X E X I/L² = P I²X 206 X 10 9 X 3,2169 X 10 -9 / 0,65² = 15,48 kN , MAIS 
DEVIDO AO FATOR DE SEGURANÇA = 3 = 15,48/3 = 5,16 KN 
Ex3- D 
EMx : -N1* sen45º + N 2*sen74º = 0 
Emy : -N1*cos45º - N2*cos74º -P = 0 
-N1*0,7 + N2*0,96 = 0 
-N1*0,7 – N2*0,27 - P = 0 
-N2*0,27 – N2*0,96 – P = 0 
N2 = -P/1,23 
N1 = N2*0,96/0,7 = ( -P/1,23)*(0,96/0,7 ) 
N2= -0,813P e N1= - 1,115P 
Pcr1 = ((π^3)* (200*10^6 )*(10 ^ -4))/ (32*(4,24^2)) = 1077,95 kN 
Pcr2 = ((π^3)* (200*1 0^6)*(10 ^ -4))/ (32*(10,88 ^2)) = 163,71 kN 
Coef. de segurança = 2 
Pcr = Pcr2/2 = 81,5 
P= 81,85/0,813 = 100kN 
Conforme f eito em sa la d e aula co m o professor, nenh uma das alternativas te m a resposta que 
chegamos. 
 
Ex4- a 
Dados: 
P=20 KN 
E=200GPa 
L=2m 
N=4 
Sabendo que n ível de segurança é igual a 4, temos que a for ça: 
P=20*4 
P=80KN 
Conhecendo a formula de “ P”, temos: 
P=π²*E*I/L² 
I=P*L²/E* π² 
Ficando: 
I=80000*2²/200*10^9 * π² 
I=1,6211389*10^-7 m ^4 
I=162113,89 mm^4 
Momento de Inercia pa ra carregamento de 2 0 KN com m od ulo de segurança igu al a 4. 
Agora basta calcu la r o m omento d e inércia co m a s dim ensões das alternati vas, e fazend o isto 
o valor mais próximo que che gamos foi 
utilizando as dimensões 51 x 51 x 9,5: 
I = IX1 + A 1y1`2 + Ix2 + A 2y2`2 
I = (51 * 9,53) / 12 + 484,5 * 11,442 + (9,5 * 41,53) / 12 + 3 94,25 * 9,312 
I = 157807,24 mm^4 
 
Ex5- E 
I = 2 * (I1 + I2) 
I = 2 * (121765,4 + 320 20,7) * 10-12 
I = 3,076 * 10-7 m4 
P = π2 * E * I / L2 
P = π2 * 206 * 106 * 3,076 * 10 -7 / 2,752 
P = 82,7 kN 
Como o coeficiente de s egurança é 2, t emos: 
P = 82,7 / 2 
P = 41,35 kN 
 
 
Ex6- A 
I = I1 
I = 1,217654 * 10-7 m 4 
P = π2 * E * I / L2 
P = π2 * 206 * 106 * 1,217 654 * 10-7 / 2,752 
P = 32,74 kN 
Como o coeficiente de s egurança é 2, t emos: 
P = 32,74 / 2 
P = 16,37 kN 
 
Ex8- D 
De = 76 mm 
Di = 70 mm 
L = 10 m 
E = 200GPa = 200.10³ MPa 
I = π/4 (re^4 – ri^4) = π/4 (38^4 – 35^4) = 459073,87 mm4 
Pcr = (C² x 200.10³ x 459073,87) / (10.10³)² 
Pcr = 9 KN 
 
 
Conteudo 7 
Ex1-b 
σcr = Pcr / A = 300 MPA 
D = 50 mm .: r = 25 m m 
A = πr² = πr² = π.25² = 19 63,49 mm² 
Assim, 300 Mpa = Pcr / 1 963,49 mm² => Pc r = 589048,62 N 
E = 206 GPa = 206.10³ MPa 
I = π/4 (r^4) = π/4 (25 ^4) = 306796,16 mm4 
L² = (π² x 200.10³ x 306796,16) / 58904 8,62 
L² ≈ 1000 mm 
 
Ex2- C 
I = ^2*r^4/4 = ^2 * 25 ^2 / 4 
I=306,8*10^3 mm4 
Pcr=^2 * E * I/ L^2 = ^2 * 206*10^3 * 30 6,8*10^3 / 1000 ^2 
Pcr= 623,8KN 
 
 
Ex3- c 
Pcr x=^2 * E * I x/ kL x^2 = ^ 2 * 70*10^3 * 61,3*10^6 / (10*10^3)^2 
Pcr= 424kN 
Padm = Pcr/FS = 42 4*10^3 / 3 
Padm= 141kN 
 
 
Ex4-B 
I = (π / 64) * (D4 – d4 ) 
I = (π / 64) * (0,14 – 0,0844) 
I = 2,5 * 10-6 m4 
E = 70 * 106 kPa 
N = 4,3 
Pcr = (π2 * E * I) / (L2 * N ) 
BARRA AB: 
L = 3 
PcrAB = (π2 * E * I) / (L2 * N) 
PcrAB = (π2 * 70 * 106 * 2,5 * 10-6) / ( 32 * 4,3) 
PcrAB = 45 kN 
BARRA BC: 
PcrBC = (π2 * E * I) / (L 2 
 * N) 
PcrBC = (π2 * 70 * 106 * 2,5 * 10-6 ) / (42 * 4,3) 
PcrBC = 25 kN 
Consideramos a carga co m 90 kN, a o invés de 9 kN. 
A barra AB, p or a carga P estar po sicionada de maneira si métrica devido 
ao apoio C, sofrerá uma compressão constan te de 4 5 kN, independ ente da altura “h”. 
Já a barra BC tem compre ssão variando d e acordo com a altu ra “h”. Porta nto para sabermos o valor 
de “h” devemos resolv er a estática do 
problema: 
PcrBC = (SENἀ * 0,5 * P ) / COSἀ 
ἀ = TAN-1 (PcrBC / (0, 5 * P)) 
ἀ = TAN-1 (25 / (0,5 * 9 0)) 
ἀ = 29° 
h = CO / TANἀ 
h = 2 / TAN29° 
h = 3,6 m 
Ex5- a 
P = PCR 
P = α . ΔT . E . A 
PCR = (4 π2 . I . E ) / L2 
α . ΔT . E . A = (4 π2 . I . E ) / L2 
ΔT = (4 π2 . I . E ) / L2 . α . E . A 
logo: 
ΔT = (4 π2 . ( π . 304 / 64 )) / ( 14002 . 1,1x10-5 . ( π . 302 / 4 )) 
ΔT = 102,95°C 
Ex5- c 
P = PCR 
P = α . ΔT . E . A 
PCR = (4 π2 . I . E ) / L2 
α . ΔT . E . A = (4 π2 . I . E ) / L2 
ΔT = (4 π2 . I . E ) / L2 . α . E . A 
logo: 
ΔT = (4 π2 . ( π . 204 / 64 )) / ( 1,2102 . 1,1x10-5 . ( π . 202 / 4 )) 
ΔT = 62,3°C 
Ex7- b 
Ix = Ix' + A .d2 
Ix = 4 x ( 50 . 9,29 . 2,132 ) 
Ix = 368,6 cm4 
PCRADM = ( π2 . I . E ) / 4 . L2 
PCRADM = ( π2 . 70x105 . 368,6 ) / ( 4 . 2002 ) 
PCRADM = 159,16 KN 
PCR = PCRADM x FS 
PCR = 159,16 x 2 
PCR = 318,32 Kn
Padm = Pcr/FS = 42 4*10^3 / 3 
Padm= 141kN 
 
 
Ex4-B 
I = (π / 64) * (D4 – d4 ) 
I = (π / 64) * (0,14 – 0,0844) 
I = 2,5 * 10-6 m4 
E = 70 * 106 kPa 
N = 4,3 
Pcr = (π2 * E * I) / (L2 * N ) 
BARRA AB: 
L = 3 
PcrAB = (π2 * E * I) / (L2 * N) 
PcrAB = (π2 * 70 * 106 * 2,5 * 10-6) / ( 32 * 4,3) 
PcrAB = 45 kN 
BARRA BC: 
PcrBC = (π2 * E * I) / (L 2 
 * N) 
PcrBC = (π2 * 70 * 106 * 2,5 * 10-6 ) / (42 * 4,3) 
PcrBC = 25 kN 
Consideramos a carga co m 90 kN, a o invés de 9 kN. 
A barra AB, p or a carga P estar po sicionada de maneira si métrica devido 
ao apoio C, sofrerá uma compressão constan te de 4 5 kN, independ ente da altura “h”. 
Já a barra BC tem compre ssão variando d e acordo com a altu ra “h”. Porta nto para sabermos o valor 
de “h” devemos resolv er a estática do 
problema: 
PcrBC = (SENἀ * 0,5 * P ) / COSἀ 
ἀ = TAN-1 (PcrBC / (0, 5 * P)) 
ἀ = TAN-1 (25 / (0,5 * 9 0)) 
ἀ = 29° 
h = CO / TANἀ 
h = 2 / TAN29° 
h = 3,6 m 
Ex5- a 
P = PCR 
P = α . ΔT . E . A 
PCR = (4 π2 . I . E ) / L2 
α . ΔT . E . A = (4 π2 . I . E ) / L2 
ΔT = (4 π2 . I . E ) / L2 . α . E . A 
logo: 
ΔT = (4 π2 . ( π . 304 / 64 )) / ( 14002 . 1,1x10-5 . ( π . 302 / 4 )) 
ΔT = 102,95°C 
Ex5- c 
P = PCR 
P = α . ΔT . E . A 
PCR = (4 π2 . I . E ) / L2 
α . ΔT . E . A = (4 π2 . I . E ) / L2 
ΔT = (4 π2 . I . E ) / L2 . α . E . A 
logo: 
ΔT = (4 π2 . ( π . 204 / 64 )) / ( 1,2102 . 1,1x10-5 . ( π . 202 / 4 )) 
ΔT = 62,3°C 
Ex7- b 
Ix = Ix' + A .d2 
Ix = 4 x ( 50 . 9,29 . 2,132 ) 
Ix = 368,6 cm4 
PCRADM = ( π2 . I . E ) / 4 . L2 
PCRADM = ( π2 . 70x105 . 368,6 ) / ( 4 . 2002 ) 
PCRADM = 159,16 KN 
PCR = PCRADM x FS 
PCR = 159,16 x 2 
PCR = 318,32 Kn
Conteudo 8 
 
ex1- c 
P = π2 * E * I / (L2* N) 
P = π2 * E * π * d4/ (L2* N * 32) 
d = ((P * L2 * N * 32) / (π3 * E))1/4 
d = ((10 * 0,52 * 2 * 32) / (π3 * 200 * 106))1/4 
d = 0,0126 m 
d = 12,6 mm 
Nenhuma d as alternativas tem a resposta que chegamos, fizemos 
conforme o professor nos orientou em sala de aula. 
 
Ex2- D 
É necessário realizar o somatório de forças em X e em Y, depois calcular o momento de 
inércia, e no final a carga critica aplicada que não faça flambar deve ser dividida pelo 
coeficiente de segurança. 
I=pid^4/64 
Pad=Pcr/K=181 KN 
 
 
ex3- a 
P = π2 * E * I / (L2 * N) 
P = π2 * E * π * d4 / (L2 * N * 32) 
P = π3 * 200 * 106 * 0,012 4 / (0,32 * 2 * 32) 
P = 22,32 Kn 
Nenhuma d as alt ernativas tem a respo sta que chegamo s, calculo conforme o p rofessor nos 
orientou em sala de aula. 
Ex5- c 
Pcr = (π^2* E*I) / (L^2 ) * N 
h =1,5*b 
Pcr = 20 kN 
E = 70*10^6 kPa 
I = (b*h^3) / 12 
L = 350mm =0,35m 
N = 2 
Logo: 
20 = (π^2 * 70*10^6 * b*(1,5 *b) ^ 3) / ( 0,35^2 * 2 * 12) 
b = ((0,35^2 * 2 * 12 * 2 0) / ( π^2 * 70 *10^6 * 1,5 ^3)) ^ ( 1/4) 
b=0,0126m= 12,60m m 
h= 1,5 * 12,60 
h= 18,90mm 
Portanto a á rea da seção é: 
A=12,60 * 18,90 
A=238,14mm^2 
Conforme teoria vista em au la utilizamos a fórmula da carga crítica. 
Nenhuma das alternativas corresponde ao valor encontrado . 
 
Ex6- C 
P = PCR 
P = α . ΔT . E . A 
PCR = (4 π2 . I . E ) / L2 
α . ΔT . E . A = (4 π2 . I . E ) / L2 
ΔT = (4 π2 . I . E ) / L2 . α . E . A 
logo: 
ΔT = (4 π2 . ( π . 304 / 64 )) / ( 1,22 . 1,1x10-5 . ( π . 302 / 4 )) 
ΔT = 62° 
Ex7- a 
Metodo de aprimoração de Tetmajer 
λ = ( L / r ) = √ ( π . E / σfl ) 
λ = √ (π2 . 200x103 / 240 ) 
λ = 90 
Aproximado de 95. 
Ex8- B 
AÇO ST37 
σ = P/A P = σ*A 
σfl = σc – (σc-σpl/λlim²)*λ² λ = KL/R R = ²√I/A I = π*d^4/32 
I = π*12^4/32 I = 2035,75 mm^4 A = π*r^4 
A = π*6^4 A = 113,2 mm² R = ²√2035,75/113,2 
R = 4,24 mm λ = 1*300/4,24 λ = 70,75 Para aço ST37: λlim = 105 σfl = 240 – (240-
200/105²)*70,75² 
σfl = 221,8 MPa σadm = σfl/Fs σadm = 221,8/2 σadm = 110,9 MPa 
P = σ*A P = 110,9*113,1 P = 12400 N ou 12,4 KN 
 
Conteudo 9 
Ex1-a 
Para a seção que se encontra no meio do vão da barra, a flecha máxima é determinada 
através de Pa/24EI*(4a²-3L²) 
Ex4- E 
O ponto ocorre no meio do vão 
V = 5q . L4 / 384 . E . I 
Ex5- D 
( L3 / 48 . E . I ) . (2P-5P) = ( - 3PL3 / 48EI ) = ( - P L3 / 16EI ) 
 
Ex8- B 
Calculando a área: 
A=π.r² 
A=π.25²=1963,5 mm² 
Calculado o I: 
I = π r4 / 4 
I=306796,15 mm4 
Substituindo na formula: 
σ = PCR / A 
Pcr=589KN 
Substituindo na formula: 
PCR = ( π2 . I . E ) / L2 ---- L= 1029mm ou 1m. 
 
 
Conteudo 10 P
Ex2- e 
Força real 
∫M.Mdx=[(30x3/2 x 2/3 (3 ))]=90 
d_r=(∫M.Mdx)/(E x I) =90 /(E x I) 
 
Força aplicada extre midade livre 
∫M.Mdx=[(((5xF_el x5)/2 x 1 /3 ( -5))]=- 20,8333xF _el 
d_el=(∫M.Mdx)/(E x I) = (-20,8 33xF_el)/(E x I) 
 
Deslocamento igual a zero 
d_el+d_r=0 
(20,833xF_el)/(E x I) =90/(E x I) 
F_el=90/20,833=4,320 k N 
 
Ex3- a 
Deslocamento “u ” Sendo o produto EI constante n a barrra, a expressão do desloca mento será: 
u=(∫M.Mdx)/(E x I) 
Caso barra de carregamento e momento fletor M : 
Vamos definir o esforço un itário ad imensional, que deverá, no caso barra d e carregamento, 
ser aplicado sozinho na estrutura: 
- Queremos o desloca mento da extremidade livr e (extremidad e sem ligação a apoio ou barra) 
aplicamos o esforço u nitário na extremidade l ivre. 
- Queremos a translação vertical da seçã o o esforço unitá rio a ser aplicado na extremidade éuma força 
unitária vertical. 
Novamente, as reações V , V e H A B B , e os mom entos fletores M , fora m obtidos d a maneira 
que vimos no curso de E E. Observamos q ue, sendo o esforço unitário ap licado à estru tura uma 
força adimensional, a s forças de reação t ambém serão ad imensionais, e os momento s fletores 
M terão metro como u nidade, pois serão o re sultado do p roduto de forças adimensionai s por 
braços de alavanca em m etros (adim ensional x metro = m etro). 
∫M.Mdx=[((área1 x valor1) )+((área2 x valor 2) ) ]+ [(área3 x valor3) - (((qxL^3)/12+ (A+B)/2) ) ] 
∫M.Mdx=[(12x3 x 1/2 (-3))+(24x3/2 x 2/3 (-3))]+ [ 36x6/2 x 2 /3 (3)- ((2x6^3 )/12+ (3+0)/2)]= 52,5 
u=(∫M.Mdx)/(E x I) = 52,5/(200x10^9 x 1 0^(-8) ) =0,02625 m ou 27 mm.