Cap 1 Eletromag

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ANÁLISE VETORIAL
Prof Thiago Coelho
ELETROMAGNETISMO
Introdução
•Objetivo
• Revisão de conceitos de análise vetorial
• A análise vetorial facilita a descrição 
matemática das equações encontradas no 
eletromagnetismo
2
Vetores e Álgebra Vetorial
• Grandezas Escalares x Grandezas Vetoriais
• Vetores
• Álgebra vetorial
• Bi-dimensionais
• Tri-dimensionais
• N-dimensionais
• Quatro operações
• Soma de vetores
• Produto por escalar
• Produto escalar
• Produto vetorial
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Vetores e Álgebra Vetorial
• Adição de vetores
A

B

BA


BA


A

B

Regra do paralelogramo
 Adição é comutativa
ABBA


 Adição é associativa
    CBACBA


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Vetores e Álgebra Vetorial
• Subtração de vetores
A

Basta inverter o sentido do segundo vetor e somar pelo 
método dos trapézios ou unir a origem do vetor negativo ao 
fim do vetor positivo
 BABA


5
Vetores e Álgebra Vetorial
• Multiplicação por escalar
A

Multiplica o módulo e pode alterar o sentido, mas não altera 
direção
A

2 A

2
       BsAsBrArBAsBArBAsr


• Divisão por escalar = Multiplicação pelo inverso do escalar
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Sistemas de Coordenadas Cartesianas
• Método mais simples para descrever um vetor
• Sistema tri-dimensional
• Três eixos formando ângulos retos entre si (x, y e z)
• Um ponto é dado pelo valor constante de x, y e z (coordenadas 
escalares)
• Um vetor é dado pela soma de suas componentes ao longo dos 3 
eixos coordenados
x
z
y
)3,2,1(p
x
z
y
r

x

y

z

zyxr


1
2
3
7
Vetores unitários
• Vetores de módulo unitário na direção de cada eixo e no 
sentido crescente
• Qualquer vetor pode ser escrito com base nos vetores 
unitários
x
z
y
zâ
xâ
yâ
zyx zâyâxâzyxr 

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Vetores unitários
• Multiplicar o vetor por um valor escalar define um novo vetor com 
mesma direção (infinitos vetores podem ter a mesma direção)
• Para definir um vetor unitário que servirá de base para qualquer vetor 
na mesma direção, basta dividir cada componente do vetor pelo 
módulo do mesmo
• O vetor unitário na direção de será:
• Ex: pontos A(2,-3,1), B(-4,-2,6) e C(1,5,-3)
• Vetor AC
• Vetor unitário na direção BA
• Distância entre B e C
• Vetor de A até o ponto médio entre B e C
zyxr â
r
z
â
r
y
â
r
x
r
r
a 



ra
 r

222 zyxr 

9
Vetores e Álgebra Vetorial
• Produto escalar
• O resultado do produto é um escalar
• Projeção de um vetor na direção do outro e 
multiplicação dos módulos
ABBABA cos


ABBA


• Multiplicação do módulo de A projetado na 
direção de B pelo módulo de B
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Vetores e Álgebra Vetorial
• Produto escalar utilizando coordenadas retangulares
pois sabemos que 
• Produtor escalar de um vetor por ele mesmo
zzyyxx âAâAâAA 

zzyyxx âBâBâBB 

zzyyxx BABABABA 

2
0cos AAAAA


0 zyzxyx ââââââ
1 zzyyxx ââââââ
02/cos90cos  
10cos 
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Vetores e Álgebra Vetorial
• Exemplo: A partir dos vetores abaixo determinar
• F · G
• O ângulo entre eles
• A componente escalar de F na direção de G
• A projeção de F na direção de G
zyx âââF 452 

zyx âââG 253 

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Vetores e Álgebra Vetorial
• Produto vetorial
A

• O resultado do produto é um vetor perpendicular ao 
plano contendo os vetores A e B, cujo sentido segue 
a regra da mão direita
B

• O módulo do vetor resultante é numericamente igual 
à área do paralelogramo definido pelos dois vetores

ABn BAaBA sen


 ABBA


zyx âââ 
13
BA


Vetores e Álgebra Vetorial
• Produto vetorial utilizando componentes cartesianas
sabemos que 
temos
zzyyxx âAâAâAA 

 zxzxyxyxxxxx ââBAââBAââBABA

zyx âââ 
0 zzyyxx ââââââ
12/sen90sen  
00sen 
 zyzyyyyyxyxy ââBAââBAââBA
zzzzyzyzxzxz ââBAââBAââBA 
zxy âââ 
      zxyyxyzxxzxyzzy âBABAâBABAâBABABA 

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zzyyxx âBâBâBB 
Vetores e Álgebra Vetorial
• Produto vetorial na forma determinante
• E1.4) Dado o triângulo abaixo, determine
• ABAC
• Área do triângulo
• Vetor unitário perpendicular 
ao plano do triângulo
zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
âââ
BA 

A(6,-1,2)
B(-2,3,-4)
C(-3,1,5)
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SISTEMAS DE 
COORDENADAS
Prof Thiago Coelho
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Introdução
•Objetivo
• Revisão de sistemas de coordenadas 
cilíndricas e esféricas
• Os sistemas facilitam cálculos em problemas 
que possuem geometria cilíndrica ou esférica
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Coordenadas cilíndricas circulares
• Um ponto no espaço 
tridimensional é dado 
por:
• Distância do ponto ao 
eixo z ()
• Ângulo que  faz com o 
eixo x ()
• Altura (z)
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Coordenadas cilíndricas circulares
• Vetores unitários
• Perpendiculares entre 
si
• Não são eixos, são 
funções das 
coordenadas
• Regra do triedro direito
zâââ ,, 
zâââ  
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Coordenadas cilíndricas circulares
• Relação entre 
coordenadas retangulares 
e cilíndricas
ou
 cosx
 seny
zz 
22 yx 






 
x
y1tan
zz 
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Coordenadas cilíndricas circulares
• Elemento diferencial de volume
• Como  e z têm dimensão de comprimento, os elementos 
diferenciais são d e dz, respectivamente
• A componente diferencial na direção de â é d
dzdddV 
Elemento 
diferencial de 
volume
( em rad)
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Coordenadas cilíndricas circulares
• Conversão de componentes escalares entre 
coordenadas retangulares e cilíndricas
• Seja
queremos obter
Para isto, basta projetar o vetor em cada uma das direções das 
coordenadas cilíndricas
zzyyxx âAâAâAA 

zzâAâAâAA  

 ââAââAââAâAA zzyyxx 

 ââAââAââAâAA zzyyxx 

zzzzyyzxxzz ââAââAââAâAA 

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Coordenadas cilíndricas circulares
• Conversão de componentes escalares entre 
coordenadas retangulares e cilíndricas
• Analisando os produtos escalares entre vetores unitários, 
podemos resumi-los na seguinte Tabela
• Exemplo 1.3: Encontre para o campo vetorial abaixo
  zyx zâxâyâzyxB ,,

 zB ,,

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Coordenadas cilíndricas circulares
• E1.5) e E1.6)
• Dê as coordenadas cartesianas do ponto
• Dê as coordenadas cilíndricas do ponto
• Determine a distância entre C e D
• Transforme para coordenadas cilíndricas 
no ponto
no ponto
• Transforme para coordenadas retangulares
no ponto
)2;115;4,4(  zC 
)3;6,2;1,3(  zyxD
zyx âââF 6810 
  6,8,10 P
    yx âxyâyxG 42 
  zQ ,,
zâââH 31020  
  1,2,5 P
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Coordenadas esféricas
• Um ponto no espaço 
tridimensional é dado 
por:
• Distância do ponto a 
origem ( r ) 
• Ângulo que r faz com o 
eixo z ()
• Ângulo que r faz com o 
eixo x ()
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Coordenadas esféricas
• Vetores unitários
• Perpendiculares entre 
si
• Não são eixos, são 
funções das 
coordenadas
• Regra do triedro direito
 âââr ,,
 âââr 
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Coordenadas esféricas
• Relação entre 
coordenadas 
retangulares e esféricas
ou
 cossenrx 
 sensenry 
cosrz 
222 zyxr  





 
x
y1tan
222
1cos
zyx
z

 
  0
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Coordenadas esféricas
• Elemento diferencialde volume
• Os comprimentos diferenciais 
nas direções r ,  e  são, 
respectivamente,
• Elemento diferencial de volume
 drsenrddr ,,
( e  em rad)
 ddrdrdV sen2
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Coordenadas esféricas
• Conversão de componentes escalares entre 
coordenadas retangulares e esféricas
• Seja
queremos obter
Para isto, basta projetar o vetor em cada uma das direções das 
coordenadas esféricas
zzyyxx âAâAâAA 

 âAâAâAA rr 

rzzryyrxxrr ââAââAââAâAA 

 ââAââAââAâAA zzyyxx 

 ââAââAââAâAA zzyyxx 

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Coordenadas esféricas
• Conversão de componentes escalares entre 
coordenadas retangulares e esféricas
• Analisando os produtos escalares entre vetores unitários, 
podemos resumi-los na seguinte Tabela
• Exemplo1.4: Encontre para o campo vetorial abaixo
  xâ
y
xz
zyxG ,,

  ,,rG

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Coordenadas esféricas
• E1.7)
• Dê as coordenadas cartesianas do ponto
• Dê as coordenadas esféricas do ponto
• Determine a distância entre C e D
E1.8)
• a) Transforme para coordenadas esféricas 
no ponto
  70;20;5  rD
)1;2;3(  zyxC
xâF 10

 4,2,3P
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Lista de exercícios
• Capítulo 1 (Hayt)
• 1.1, 1.5, 1.7, 1.11, 1.13, 1.17, 1.19, 1.21, 1.25, 1.27, 1.30
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