Solucao Unid5

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Unidade 5 – Estudo do Plano 
Solução exercícios propostos capítulo 15 (Pág. 144) 
 
1) a) 
)1,1,2()1,2,0()10,1()1,2,0()01,11,11(   XABAB 
 
 b) 
)1,1,1()10,21,10(
)1,1,1()2,1,1()1,0,1()2,1,1()11,01,10(


CDCD
XABAB  
 
 c) 
)1,1,0()0,1,1()1,0,1(
)1,1,0()10,01,11(
)0,1,1()11,01,12(.)
 


X
ACAC
ABABC
 ou 
 
d) ok 
 
e) AB = (-1-1, 1-0, 3-2) = (-2, 1, 1) 
 AC = (3-1, -1-0, 1-2) = (2, -1, -1) 
 
.: Como os vetores AB e AC são proporcionais, os 3 pontos são colineares. 
 
 
2) a) Verificar equivalência (

 e 

) e (

 e 

): 
 
2
2
1
1
1
1





 e 





 




6
1
1
4
1
3
2
3
1
2
1
  
21  
 
 
 b) Invertendo os vetores de 
 1 o  2 teremos os mesmos proporcionais, logo  1 =  2 
 
 c) Os vetores não são proporcionais. 
 
 d) ok. 
 
 
5) 








0
:
z
y
x
Oxy 

 










z
y
x
Oxz 0:
 










z
y
x
Oyz
0
:
 
 
7) 











2
21
21
z
y
x
 
 
 
(Continuação) 
 
  
 
)1,1,0()1,2,1()0,1,1(
)1,2,1()01,11,12(
)1,1,0()01,10,11(
 


X
CB
CA
(Continuação) Unidade 5 – Estudo do Plano 
Solução exercícios propostos capítulo 15 (Pág. 157) 
 
1 e 2) 
a) x – 2 = 0  x = 2  (2, 0, 0) 
 
b) y + 1 = 0  y = -1  (0, -1, 0) 
 
c) z + 4 = 0  z = -4  (0, 0, -4) 
 
d) P/ x = 0  y = 1  (0, 1, 0)  Pto. A 
 P/ y = 0  x = 1  (1, 0, 0)  Pto. B 
 P/ x = 2 e y = -1  2-1-1=0  (2, -1, 0)  Pto. C 
 AB = (1, -1, 0) e AC = (2, -2, 0) são L.D e portanto são colineares. 
 ou 
 Tomando x = 

 teremos y = 1 - 

, logo os pontos A,B,C também obedecem esta 
equação. 
 
e) x = z  











z
y
x
 
 
f) P/ y = 1 e z = -1  1 + 1 – 2 = 0  (0, 1, -1)  Pto. A 
 P/y = 2 e z = 0  2 + 0 – 2 = 0  (0, 2, 0)  Pto. B 
 P/y = 3 e z = 1  3 – 1 – 2 = 0  (0, 3, 1)  Pto. C 
 AB = (0, 1, 1) e AC = (0, 2, 2) são L.D e portanto são colineares. 
 ou 
Tomando y =

 teremos: – z = 2 - 

  z = -2 +

, logo os pontos A, B e C 
também obedecem a esta equação. 
 
g) Tomando y =

e z =

 teremos: 
 x +

+

-1 = 0  x = -

-

-1 
 P/ 

=0 e 

=-1  0 = -0 + 1 - 1  (0, 0, -1) 
 P/ 

= -1 e 

=1  -1 = 1 - 1 - 1  (-1, -1, 1) 
 P/ 

= 1 e 

=0  -2 = -1 - 0 - 1  (-2, 1, 0) 
 AB = (-1, -1, 2) e AC = (-2, 1, 1) são L.I e portanto não são colineares. 
 











z
y
x 1
 
 
4) a) Tomando y = 

 e z = 

 temos : x = 3 

- 2 

 - 1  











z
y
x 231
 
 P/ o outro plano: 2x = 6

- 4

 - 1  x = 3

 -
2
 - 
2
1
  













z
y
x 23
2
1
 
 
 
b) Tomando y = 

 e z = 

 temos: x = 
2
1 
- 
2
 + 1  













z
y
x 2
2
1
1
 
 
 P/ 
 2: -2x = -  + 4

 - 2  x = 1 + 
2
1 
 - 
2
  













z
y
x 2
2
1
1
 
 
5) a) AB = (0, -2, -1) e 
v
 = (2, 1, 0) 













z
y
x
21
1
:
 
01424122
12
20
11
012
120
011




zyxzxy
yxzyx
 
 
b) ok 
 
c) AB=(1, 1, -2) , AC = (0, -1, -1) 













21
1
:
z
y
x
 
0432211
10
11
1
110
211
11






zyxxyzx
yxzyx
 
 
d) AB = (-2, 1, 1) e AC = (2, -1, -1). Como são vetores colineares não existe 

. 
 
 
6) 











z
y
x
r 2
21
:
 











21
1
:
z
y
x
s
 
01212222
11
22
1
111
122
1


yxzxyzyx
yxzyx
 
A = (1, 0, 0) , 
v
 = (2, 2, 1) e 

 = (1, 1, 1) 
 
7) ok 
 
8) 
073262322
11
21
1
111
021
31





zyxzyzx
yxzyx
 
 
9) ok 
 
10) a) ok 
 
b) 
2
1
1
2
1
1



x
zzx
zyx
 
 
3
2
6
13
6
1
2
1
2
1
0122
0)1(





yyy
zyzy
zyzy
 
 
6
1
2
1
3
0
2
1
13
0221
2
1
022




zz
z
zz
zyx
 
 
 
12) a) 
rP


34141
224


 
 
b) 
03968
22126823316442
32
11
42
232
211
142








zyx
zxyzyx
yxzyx