Trabalho sobre Esperança e Variância

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ - UFC
Departamento de Estatística e Matemática Aplicada/CC
Professor: Rafael Bráz Azevedo Farias
Disciplina: Probabilidade I - 2014.2
Trabalho (06/10/2014)
Dia e hora de entrega: Até 09h59 do dia 13/10/2014
1. Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas cuja função de probabilidade conjunta é
P(X = x, Y = y) =
x2 + y2
36
I{1,2}(x)I{2,3}(y), (1)
e
P(X = x, Y = y) =
3(x2 + y2)
n2(2n2 + 6n+ 7)
I{1,2,...,n}(x)I{2,3,...,n+1}(y). (2)
Para cada uma das distribuições apresentadas em (1) e (2), encontre:
a) as funções de probabilidade marginais de X e de Y ;
b) as esperanças marginais de X e de Y , isto é, E(X) e E(Y ), respectivamente;
c) as variâncias marginais de X e de Y , isto é, Var(X) e Var(Y ), respectivamente;
d) as funções de probabilidade condicionais de X dado Y = y e de Y dado X = x,
isto é, P(X = x|Y = y) e P(Y = y|X = x), respectivamente;
e) as esperanças condicionais de X dado Y e de Y dado X, isto é, E(X|Y ) e
E(Y |X), respectivamente;
f) as variâncias marginais de X dado Y e de Y dado X, isto é, Var(X|Y ) e
Var(Y |X), respectivamente.
2. Algumas somas de expressões polinomiais
•
n∑
i=m
1 = n+ 1−m,
•
n∑
i=m
i =
n(n+ 1)
2
− m(m− 1)
2
=
(n+ 1−m)(n+m)
2
,
•
n∑
i=0
i =
n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
,
•
n∑
i=0
i2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
=
n3
3
+
n2
2
+
n
6
,
•
n∑
i=0
i3 =
(
n(n+ 1)
2
)2
=
n4
4
+
n3
2
+
n2
4
=
[
n∑
i=1
i
]2
,
•
n∑
i=0
i4 =
n(n+ 1)(2n+ 1)(3n2 + 3n− 1)
30
=
n5
5
+
n4
2
+
n3
3
− n
30
.
1