Trabalho sobre Modelos Probabilísticos Discretos

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´ - UFC
Departamento de Estat´ıstica e Matema´tica Aplicada/CC
Professor: Rafael Bra´z Azevedo Farias
Disciplina: Probabilidade I
Modelos Probabil´ısticos Discretos
Trabalho (07/10/2014)
Dia e hora de entrega: Sem previsa˜o no momento
Trabalho: Encontre (apresentar as demonstrac¸o˜es), para cada uma das seguintes distribuic¸o˜es de pro-
babilidade, a esperanc¸a matema´tica, a variaˆncia, a func¸a˜o geradora de momentos (fgm) e a func¸a˜o de
distribuic¸a˜o acumulada (fda). Na˜o e´ necessa´rio calcular a fda e a fgm da distribuic¸a˜o Hipergeome´trica.
1. Modelo Uniforme Discreto.
• Notac¸a˜o: X ∼ U({1, 2, 3, . . . , n}).
• Func¸a˜o de probabilidade: P(X = x) = 1
n
I{1,2,3,...,n}(x).
2. Distribuic¸a˜o Bernoulli
• Notac¸a˜o: X ∼ Ber(p).
• Func¸a˜o de probabilidade: P(X = x) = px(1− p)1−x I{0,1}(x), p ∈ (0, 1).
3. Distribuic¸a˜o Binomial
• Notac¸a˜o: X ∼ Bin(n, p).
• Func¸a˜o de probabilidade: P(X = x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x I{0,1,2,...,n}(x), n ≥ 1, p ∈ (0, 1).
4. Distribuic¸a˜o Geome´trica
• Notac¸a˜o: X ∼ Geo(p).
• Func¸a˜o de probabilidade: P(X = x) = p(1− p)x I{0,1,2,...}(x), p ∈ (0, 1).
5. Distribuic¸a˜o Binomial Negativa (Pascal)
• Notac¸a˜o: X ∼ BN(r, p).
• Func¸a˜o de probabilidade: P(X = x) =
(
x+ r − 1
r − 1
)
pr(1− p)x I{0,1,2,...}(x), r ≥ 1, p ∈ (0, 1).
6. Distribuic¸a˜o Hipergeome´trica
• Notac¸a˜o: X ∼ Hgeo(M,N, r).
• Func¸a˜o de probabilidade: P(X = x) =
(
M
x
)(
N
r − x
)
/
(
M +N
r
)
,
em que max{0, r −N} ≤ x ≤ min{r,M} e N,M, r > 0.
7. Distribuic¸a˜o Poisson
• Notac¸a˜o: X ∼ Poi(λ).
• Func¸a˜o de probabilidade: P(X = x) = e
−λλx
x!
I{0,1,2,...}(x), λ > 0,.
8. Distribuic¸a˜o Multinomial
• Notac¸a˜o: X = (X1, X2, . . . , Xk) ∼Mult(n, p1, p2, . . . , pk).
• Func¸a˜o de probabilidade:
P(X = x) = P(X1 = x1, X2 = x2, . . . , Xk = xk) =
n!
x1!x2! · · ·xk!p
x1px2 · · · pxkk ,
em que pi ∈ (0, 1) para k = 1, 2, . . . , k,
∑k
i=1 pi = 1, ou seja pk = 1 − p1 − p2 − · · · − pk−1, e∑k
i=1 xi = n.
1