Apostila - Algebra Linear - 02
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Apostila - Algebra Linear - 02


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,tais que

' ' ' ,au bv cw a u b v c w com

' ', ' , ' .a a b c c

1.18.Sejam E uma espaço vetorial e

,u v E

. O segmento de reta de

extremidades
,u v

é, por definição , o

conjunto

, {(1 ) ;0 1}.u v t u tv t

Um conjunto

X E

chama-se

convexo quando
, , .u v X u v X

(Ou seja: o segmento de reta que liga

dois pontos quaisquer de X está

contido em X .) prove :

(a) A interseção
1 .... mX X

 de

conjuntos convexos

1,..., mX X E

É um conjunto convexo.

(b) Dados
, ,a b c \uf0a1

 o conjunto X=

2{( , ) ; }x y ax by c\uf0a1
é

convexo em 2\uf0a1 .

(c) O conjunto Y

3{( , , ) ; , }x y z a x b c y d\uf0a1

é convexo em 3\uf0a1 .

(d) Seja X E convexo . Se r,s,t são

números reais 0 tais que r+s+t

= 1

então u,v,w X ru+sv+...+
k kt v

,onde

1 1,..., 0 ... 1k kt t são et t

chama se uma combinação

convexa dos vetores
1,..., kv v X

ainda pertence a X.

1.19. Prove que disco

2 2 2{( , ) ; 1}D x y x y\uf0a1
é um

conjunto convexo.

1.20. um subconjunto C do espaço vetorial

E chama-se um cone quando, para

todo
0,v Cetodot tem setv C

.

Prove

(a) O conjunto dos vetores
nv \uf0a1

que tem exatamente k

coordenadas positivas

(0 )k n

é um cone.

(b) O o conjunto das funções

: nf X \uf0a1
 que assumem

valores negativos em todos os

pontos de um subconjunto

fixado
Y X

e um cone em

F(X;
\uf0a1

).

(c) Um cone
C E

e um conjunto

convexo se, e somente se,

, ,u v C u v C

.

(d) A interseção e a reunião de uma

família qualquer de cones são

ainda cones.

1.21. Dado um subconjunto X no espaço

vetorial E,seja C(X) o conjunto das

combinações convexas

1 1 1... ( 0, 1)k kt v t v t ti

dos

elementos de X. Prove que C(X) é

um conjunto convexo, que

( )X C X

e que se
'C

é qualquer

subconjunto convexo de E contendo

X então
' ( )C C X

. (Por esse

motivo, diz se que C(X) é o menor

subconjunto convexo de E que

contem X. C(X) chama se a

envoltório convexa do conjunto X.)

Exercício \u2013 ÁLGEBRA LINEAR

153

Seção 2 Subespaços

Subespaço e subespaço gerado

Definição 4. Um subespaço vetorial F de um espaço vetorial E é um

subconjunto não-vazio de E que também é um espaço vetorial.

Comentário 5. seja F E não-vazio. Então F e um subespaço de E

se, e somente se F for fechado com a relação da adição de vetores e

multiplicação por escalares. Em outras palavras, mostrar que um

subconjunto

F é subespaço de E é equivalente a mostrar que

0

,

,

F

v w F v w F

v F v F

\uf072

Exemplo 6. Os únicos subespaços de 2\uf0a1 são {0}, retas passando

pela origem e o 2\uf0a1 todos. Os únicos subespaços de 3\uf0a1 são{0},

retas passando pela origem, planos passando pela origem e o 3\uf0a1
todo.

Exemplo 7. O primeiro quadrante em 2\uf0a1 não e um subespaço pois

não é fechado em relação com a adição.

Definição 8. dado X E, o conjunto S(X) das combinações lineares

dos vetores de X, isto é,

1

( ) I ,{ }n
i

S X civi ci vi X\uf0a1

é um sub espaço de E, denominado o subespaço gerado por X.

Soma:

Definição 9. dados X,Y E, definimos a soma de X e Y por

{ , }X Y v w I v X w Y

Propriedade 10. Se 1F e 2F são sub espaço de E, então

S( 1F 2F ) = 1F + 2F

Definição 11. Dizemos que a soma de dois subespaço vetoriais 1F e

2F
 e direta quando 1F 2F = {0}.Neste caso, escrevemos

1 2F F
 ao invés de 1F + 2F .

Exercício \u2013 ÁLGEBRA LINEAR

154

Variedade Afim

Definição 12. Dizemos que V E é uma variedade afim quando a

Reta unindo quaisquer dois pontos de V está em V , isto é
, y V ; t

\uf0a1 (1 )t t y V

Propriedade 13. Todos variedade afim V E não-vazia é um sub-

Espaço F transladado, isto é

0 0{ }V v F v v v F

onde
0v

é um vetor fixo qualquer de V .

Exercícios da seção 2

2.1. Seja
(00)\uf0a1

 o subconjunto de
(00)\uf0a1

formado pelas seqüências

1 2( , ,... ,...)nv x x x

 que têm apenas

um número finito de termos
nx

diferentes de zero. Mostre que (00)\uf0a1

é um subespaço vetorial de (00)\uf0a1 e

que as seqüências que têm um único

termo não-nulo constituem um

conjunto de geradores para (00)\uf0a1 .

2.2. Use o índice deste livro para

localizar a definição de matriz trian-

gular. Mostre que o conjunto
1F

 das

matrizes triangulares inferiores e o

conjunto
2F

 das matrizes

triangulares superiores são

subespaço vetoriais de
( )M n n

,que
1 2( )M n n F F

 e que não se

tem
1 2( )M n n F F

.

2.3. Seja
( ; ).\uf0a1 \uf0a1E F

Para
X \uf0a1

qualquer, ponhamos

( ) { ; ( ) 0N X E x

 para todo

}x X

. Prove:

(a) para todo X
\uf0a1

,N(X) é um

subespaço vetorial de E

(b) X Y N(Y) N(X)
(c) N(X Y) = (N(X) N (Y)

(d) N(X) = {0} X =
\uf0a1

(e) N(X Y) = N(X)+N(Y)

(f) N(X) N(Y) = E Y=
\uf0a1

-X.

2.4. No espaço vetorial E =
\uf06d

(
\uf0a1

;
\uf0a1

)

sejam:

1F
 = conjunto das funções f :

\uf0a1

\uf0a1
 que se anulam em todos os

pontos do intervalo [0,1]

2F
= conjunto das funções g:

\uf0a1

\uf0a1
que se anulam em todos os

pontos do intervalo [2,3]

Mostre que
1F

e
2F

são subespaços

vetoriais de E, que E =
1F

+
2F

 e que

não tem E =
1F

2F

.

2.5 Considere os subespaços
1F

,
2F

3\uf0a1
assim definidos:

1F

 é o conjunto

de todos os vetores v = (x,x,x)que

tem as três coordenadas iguais e
2F

é o conjunto de todos os vetores w =

Exercício \u2013 ÁLGEBRA LINEAR

155

(x,y,0)que tem a ultima coordenada

igual a zero. Mostre que 3\uf0a1 =
1F

2F

.

2.6 Dados u = (1,2) e v = (-1,2) sejam
1F

e
2F

 respectivamente as retas que

passam pela origem em 2\uf0a1 e contem

u e v. Mostre que 2\uf0a1 =
1F

2F

.

2.7. Sejam
1F

 = S
1 1 2 2 2( , ) ( , )u v eF S u v

os subespaços de 3\uf0a1 gerados pelos

vetores
1 1 2

2

(0,1, 2), (1,1,1),

( 1,0,3) (2, 1,0)

u v u

ev

.Ache números
1 1 1 2 2 2, , , ,a b c ea b c

tais

que se tenha:

3

1 1 1 1{( , , ) ; 0}F x y z a x b y c z\uf0a1

3

2 2 2 2{( , , ) ; 0}F x y z a x b y c z\uf0a1

2.8. No exercício anterior, mostre que
2u

1F

e que
1F

+
2F

 = 3\uf0a1 . Exiba um

vetor não nulo w
1 2F F

 e conclua

que não se tem
3

1 2 .F F\uf0a1

2.9. Prove que
( )S X

 é a interseção de

todos os subespaços vetoriais que

contém o conjunto
X E

.

2.10. Exiba três vetores
3, ,u v w \uf0a1

 com

as seguintes propriedades: nenhum

deles é múltiplo do outro, nenhuma

das coordenadas é igual a zero e 3\uf0a1

não é gerado por eles .

2.11. Seja F o subespaço de 3\uf0a1 gerado

pelos vetores
(1,1,1)u

 e

(1, 1, 1)v

 . Ache números a,b,c

com a seguinte propriedade: um

vetor
( , , )w x y z

 pertence a F se , e

somente se,
0.ax by cz

2.12. Exprime o vetor (1,-3,10) como

combinação linear dos vetores

(1,0,0), (1,1,0) (2 3,5).u v e w

2.13. Mostre que a matriz d =
4 4

6 16

pode ser escrita como com- binação

linear das matrizes

a =
1 2

3 4

 ,

b =
1 2

3 4

 e

c =
1 2

3 4

.

2.14. Assinale V(erdadeiro) ou F (also) :

( ) O vetor
(1, 1,2)w

 pertence

ao subespaço gerado por u =

(1,2,3) e
(3, 2,1).v

( ) Qualquer vetor em 3\uf0a1 pode

ser expresso como combinação

linear dos vetores

( 5,3,2) (3, 1,3).u ev

( ) Se
X Y

 então

( ) ( )S X S Y

( ) Se
( )
Jennifer
Jennifer fez um comentário
Marcelo você pode me enviar esta apostila por e-mail?
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Jennifer
Jennifer fez um comentário
Oi Marcelo, tudo bem?
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Erisson
Erisson fez um comentário
Você tem as respostas dos últimos exercícios?
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