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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática Disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica Professor Paulo Winterle DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Sejam n21 v..., , v,v vetores em V e a equação vetorial 0...2211 =+++ nnvavava (1) Obviamente o vetor zero sempre pode ser escrito “trivialmente” como CL de n1 v..., ,v pois a afirmação 0.0....0.0 21 =+++ nvvv é sempre verdadeira para quaisquer que sejam os vetores dados. A solução 0...21 ==== naaa é chamada solução trivial de (1). A respeito desta equação o interesse está na resposta à pergunta “A solução trivial de (1) é única? Se a resposta for a) Sim, então n21 v..., , v,v são linearmente independentes (LI) ou o conjunto { }n21 v..., , v,v é LI b) Não, então n21 v..., , v,v são linearmente dependentes (LD) ou o conjunto { }n21 v..., , v,v é LD, e neste caso, a equação (1) admite soluções não triviais ( )0≠ia Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1 – Os vetores unitários canônicos de 4R ( )0,0,0,11 =e ( )0,0,1,02 =e ( )0,1,0,03 =e ( )1,0,0,04 =e são LI pois a equação 044332211 =+++ eaeaeaea ou ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0,01,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,1 4321 =+++ aaaa se reduz a ( ) ( )0,0,0,0,,, 4321 =aaaa e portanto, possui somente a solução trivial 04321 ==== aaaa Exemplo 2 – Os vetores ( )1,0,0v1 = , ( )2,1,0v2 = e ( )1,-1,1v3 = são LI, pois a equação 0332211 =++ vavava ou o sistema correspondente ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 0 0 0 1 1 1 0 1 2 0 0 1 só admite a solução trivial 0321 === aaa . Exemplo 3 – Os vetores ( )1,0,0v1 = , ( )2,1,2v2 = e ( )1,2,4v3 = são LD pois além de ser verdade que 0.0.0.0 321 =++ vvv também é verdadeira a afirmação 023 321 =+− vvv (verifique) isto é, a igualdade 0332211 =++ vavava admite soluções ( )0≠ia (não triviais). Professor Paulo Winterle 2 Observação Importante Todo sistema homogêneo no qual ocorre número de equações < número de variáveis é indeterminado, ou seja, admite soluções não triviais ( )0≠ . Este fato permite identificar de imediato alguns conjuntos LD. No intuito de simplificar, tomemos o espaço vetorial 3R e observemos dois detalhes importantes: a) como neste conjunto cada vetor tem 3 componentes, o sistema homogêneo correspondente à equação (1) terá sempre 3 equações, independente do número de vetores. b) na igualdade (1) o número de variáveis ( )ia coincide com o número de vetores ( )iv . Com base nestas duas observações, conclui-se: em 3R , 4 ou mais vetores (são 3 equações contra 4 ou mais variáveis) sempre serão LD. Em outras palavras: No 3R o número máximo de vetores LI é 3. Com raciocínio análogo, infere-se que o número máximo de vetores LI em nR é n ( 1+n vetores ou mais são LD) Exemplos: 1) os vetores ( )1,0e1 = , ( )0,1e2 = e ( )2,5v = são LD, pois sendo vetores do 2R , o número máximo de vetores LI é 2; 2) os vetores ( )1,0,0e1 = , ( )0,1,0e2 = , ( )0,0,1e3 = e ( )2,3,4v = são LD e dentre eles encontramos no máximo 3 vetores LI; 3) quaisquer 5 ou mais vetores do 4R são LD. No entanto, muito cuidado precisamos ter quando, no nR , tivermos vetores em número n≤ . Exemplo 4 – Verificar se são LI ou LD os vetores ( )1,-1,1v1 = , ( )2,1,5v2 = e ( )1,4,2-v3 = . Solução: Examinemos a igualdade 0332211 =++ vavava (2) ou o sistema homogêneo ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 0 0 0 2 4 1 5 1 2 1 1 1 Escalonando o sistema,vem ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 0 0 0 0 3 1 0 3 2 0 0 1 e, portanto, existem soluções não triviais ( )0≠ia . Logo, os vetores dados são LD. Observação: Resolvendo o sistema obtém-se 31 3a a= e 32 aa −= . e, portanto, a equação (2) fica ( ) ( ) 0a3 332313 =+−+ vavva (3) para Ra ∈∀ 3 . E para cada valor de ( )03 ≠a , a igualdade (3) se escreve com soluções não triviais. Dividindo (3) por ( )03 ≠a , vem 03 321 =+− vvv Professor Paulo Winterle 3 e daí 321 3 1 3 1 vvv −= ( 1v é CL de 2v e 3v ) ou 312 3 vvv += ( 2v é CL de 1v e 3v ) ou 213 3 vvv +−= ( 3v é CL de 1v e 2v ) (Estas combinações lineares mostram que “um vetor depende dos outros” Por isso são dependentes (LD)). Conclusão: sempre que um conjunto de vetores é LD, existe vetor no conjunto que é CL dos outros. A recíproca também é verdadeira, isto é, se um vetor é CL dos outros, o conjunto deles é LD. De fato, independente dos vetores, seja 22113 vavav += ou de modo equivalente 032211 =−+ vvava , e a igualdade (2) admite soluções ( )0≠ (no caso: 13 −=a ). Por isso a Propriedade – Um conjunto de vetores é LD se, e somente se, existir no conjunto um vetor que é CL dos outros. Propriedade – Todo conjunto que contém o vetor nulo é LD. De fato, o conjunto { }nvvA ,...,0,...,1= é LD pois a igualdade 0.0...0.5...0 1 =++++ nvv se verifica para coeficientes não todos nulos. Um só vetor é LI ou LD? Depende. Todo vetor 0≠v é LI pois 0. =va só admite a solução trivial 0=a . O vetor nulo, no entanto, é LD porque 00. =a tem soluções não triviais. Dois vetores são LI ou LD? Depende. Se um é múltiplo escalar do outro, então eles são LD. Por exemplo, o vetor ( )2,4,-6v2 = é múltiplo de ( )1,2,-3v1 = pois 12 2v v= , e, portanto, 02v- 21 =+ v , o que prova serem LD. Conseqüentemente, se 12 vv α≠ , para todo R∈α , então { }21,vv é LI. Os gráficos a seguir apresentam a interpretação geométrica da dependência linear de 2 vetores no 3R (é a mesma no 2R ). { }21,vv é LD { }21,vv é LI z y V1 V2 z y V1 V2 x x Professor Paulo Winterle 4 Três vetores no 3R Sabe-se que dois vetores 1v e 2v não paralelos geram um plano pela origem. Se um terceiro vetor 3v estiver neste plano, isto é, [ ]213 ,vvv ∈ , o conjunto { }321 ,, vvv é LD. Logo, três vetores no 3R são LD caso sejam coplanares. Em caso contrário, o conjunto { }321 ,, vvv é LI. Os gráficos dão a interpretação geométrica para este caso. { }321 ,, vvv é LD { }321 ,, vvv é LI Uma outra maneira de verificar se 3 vetores 1v , 2v e 3v do 3R são LI ou LD, é calcular o determinante da matriz ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ||| ||| 221 vvvA com os vetores dispostos em colunas. Se acontecer det 0≠A então os 3 vetores são LI. Em caso contrário, os vetores são LD. Por exemplo, são LI os vetores ( )1,0,0v1 = , ( )1,2,0v2 = e ( )1,1,6v3 = pois det 012 600 120 111 ≠= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ O mesmo raciocínio vale para o 2R quando a matriz A é quadrada de ordem 2, para o 4R onde A é 4x4 e, assim por diante. No 2R , por exemplo, os vetores ( )1,2v1 = e ( )2,4v2 = são LD pois det 0 42 21 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ z y V3 V2 V1 x z y V3 V2 V1 x
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