Combinações lineares de vetores têm diversas aplicações em álgebra linear. Utilize seus conhecimentos sobre independência e dependência linear para...

Para determinar se uma tripla de vetores forma um conjunto linearmente independente, podemos utilizar o conceito de dependência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única maneira de obter a combinação linear nula (todos os coeficientes iguais a zero) é fazendo com que todos os coeficientes sejam zero. Analisando as triplas de vetores fornecidas: 1) 5 3 15 ; 5 0 15 ; 0 1 0 Para verificar se essa tripla é linearmente independente, podemos montar a seguinte equação: a * (5 3 15) + b * (5 0 15) + c * (0 1 0) = (0 0 0) Resolvendo essa equação, obtemos o seguinte sistema: 5a + 5b = 0 3a = 0 15a + 15b + c = 0 A partir do segundo termo, podemos ver que a = 0. Substituindo esse valor nas outras equações, temos: 5b = 0 c = 0 Portanto, a única solução é a = b = c = 0. Isso significa que essa tripla de vetores é linearmente independente. 2) 1 2 3 ; 1 0 0 ; 0 2 3 Montando a equação: a * (1 2 3) + b * (1 0 0) + c * (0 2 3) = (0 0 0) Resolvendo o sistema, temos: a + b = 0 2a + 2c = 0 3a + 3b + 3c = 0 Podemos ver que a primeira equação já implica que a = -b. Substituindo esse valor nas outras equações, temos: 2c = 0 3a + 3c = 0 A partir da primeira equação, podemos ver que c = 0. Substituindo esse valor na segunda equação, temos: 3a = 0 Portanto, a única solução é a = b = c = 0. Isso significa que essa tripla de vetores é linearmente independente. 3) 0 1 1 ; 1 0 1 ; 1 1 0 Montando a equação: a * (0 1 1) + b * (1 0 1) + c * (1 1 0) = (0 0 0) Resolvendo o sistema, temos: b + c = 0 a + c = 0 a + b = 0 Podemos ver que a primeira equação já implica que b = -c. Substituindo esse valor nas outras equações, temos: a + c = 0 a - c = 0 Somando as duas equações, temos: 2a = 0 Portanto, a única solução é a = b = c = 0. Isso significa que essa tripla de vetores é linearmente independente. 4) 1 1 1 ; 1 0 1 ; 0 1 0 Montando a equação: a * (1 1 1) + b * (1 0 1) + c * (0 1 0) = (0 0 0) Resolvendo o sistema, temos: a + b = 0 a + c = 0 a + b = 0 Podemos ver que a primeira e a terceira equações já implicam que a + b = 0. Portanto, não é possível encontrar valores diferentes de zero para a, b e c que satisfaçam todas as equações. Isso significa que essa tripla de vetores é linearmente dependente. Portanto, as triplas de vetores que formam conjuntos linearmente independentes são: 1) 5 3 15 ; 5 0 15 ; 0 1 0 2) 1 2 3 ; 1 0 0 ; 0 2 3 3) 0 1 1 ; 1 0 1 ; 1 1 0 A tripla de vetores 1 1 1 ; 1 0 1 ; 0 1 0 forma um conjunto linearmente dependente.