05. Transformada de Laplace - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

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EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 05 (Aline) v1.0 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 19/01/14 – pág. 1/13 
1. Trace a região de convergência, se esta existir, para os sinais a seguir: 
(a) 𝑥(𝑡) = 𝑒−8𝑡𝑢(𝑡) 
(b) 𝑥(𝑡) = 𝑒3𝑡 cos(20𝜋𝑡) 𝑢(−𝑡) 
(c) 𝑥(𝑡) = 𝑒2𝑡𝑢(−𝑡)𝑒−5𝑡𝑢(𝑡) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 A região de convergência é definida para onde a transformada de Laplace existe. Logo, temos: 
(a) ℒ[𝑥(𝑡)] = 𝑋(𝑠) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ 𝑒−8𝑡𝑢(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
=
1
8 + 𝑠
 desde que 8 + 𝑠 > 0, ou Re(𝑠) > −8 
(b) ℒ[𝑥(𝑡)] = ∫ 𝑒3𝑡 cos(20𝜋𝑡) 𝑢(−𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ cos(20𝜋𝑡) 𝑒(3−𝑠)𝑡𝑑𝑡
0
−∞
 converge desde que Re(𝑠) < 3 
(b) ℒ[𝑥(𝑡)] = ∫ 𝑒2𝑡𝑢(−𝑡)𝑒−5𝑡𝑢(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝑒−(3+𝑠)·0 = 1 não precisa de uma região de convergência 
 
 
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2. Através da integração direta, determina as transformadas de Laplace unilateral das seguintes funções. 
(a) 𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1) 
(b) 𝑡𝑒−𝑡𝑢(𝑡) 
(c) 𝑡 cos 𝜔0𝑡 𝑢(𝑡) 
(d) (𝑒2𝑡 − 2𝑒−𝑡)𝑢(𝑡) 
(e) cos 𝜔1𝑡 cos 𝜔2𝑡 𝑢(𝑡) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) ℒ[𝑥(𝑡)] = ∫ [𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1)]𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
1
0
 
 =
1
𝑠
(1 − 𝑒−𝑠) 
(b) ℒ[𝑥(𝑡)] = ∫ 𝑡𝑒−𝑡𝑢(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ 𝑡𝑒−(1+𝑠)𝑡𝑑𝑡
∞
0
= (
1
(1 + 𝑠)2
−
1
1 + 𝑠
𝑡) 𝑒−(1+𝑠)𝑡|
0
∞
 
 =
1
(1 + 𝑠)2
 , Re(𝑠) > −1 
(c) ℒ[𝑥(𝑡)] = ∫ 𝑡 cos 𝜔0𝑡 𝑢(𝑡)𝑒
−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
=
1
2
∫ (𝑡𝑒(−𝑠+𝑗𝜔0)𝑡 + 𝑡𝑒(−𝑠−𝑗𝜔0)𝑡)𝑑𝑡
∞
0
 
 =
1
2
[
1
(𝑠 − 𝑗𝜔0)2
+
1
(𝑠 + 𝑗𝜔0)2
] , Re(𝑠) > 0 
(d) ℒ[𝑥(𝑡)] = ∫ (𝑒2𝑡 − 2𝑒−𝑡)𝑢(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
= ∫ (𝑒(2−𝑠)𝑡 − 2𝑒−(1+𝑠)𝑡)𝑑𝑡
∞
0
 
 
=
1
𝑠 − 2
−
2
1 + 𝑠
 , Re(𝑠) > 2 
(e) ℒ[𝑥(𝑡)] = ∫ cos 𝜔1𝑡 cos 𝜔2𝑡 𝑢(𝑡)𝑒
−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
=
1
4
∫ 𝑡(𝑒(−𝑠+𝑗𝜔1)𝑡 + 𝑒(−𝑠−𝑗𝜔1)𝑡)(𝑒(−𝑠+𝑗𝜔2)𝑡 + 𝑒(−𝑠−𝑗𝜔2)𝑡)𝑑𝑡
∞
0
 
 =
1
4
∫ (𝑡𝑒[−2𝑠+𝑗(𝜔1+𝜔2)]𝑡 + 𝑡𝑒[−2𝑠+𝑗(𝜔1−𝜔2)]𝑡 + 𝑡𝑒[−2𝑠−𝑗(𝜔1+𝜔2)]𝑡 + 𝑡𝑒[−2𝑠−𝑗(𝜔1−𝜔2)]𝑡)𝑑𝑡
∞
0
 
 =
1
4
[
1
[2𝑠 − 𝑗(𝜔1 + 𝜔2)]2
+
1
[2𝑠 − 𝑗(𝜔1 − 𝜔2)]2
+
1
[2𝑠 + 𝑗(𝜔1 + 𝜔2)]2
+
1
[2𝑠 + 𝑗(𝜔1 − 𝜔2)]2
] , Re(𝑠) > 0 
 
 
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3. Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções: 
(a) 
2𝑠 + 5
𝑠2 + 5𝑠 + 6
 
(b) 
3𝑠 + 5
𝑠2 + 4𝑠 + 13
 
(c) 
(𝑠 + 1)2
𝑠2 − 𝑠 − 6
 
(d) 
5
𝑠2(𝑠 + 2)
 
(e) 
2𝑠 + 1
(𝑠 + 1)(𝑠2 + 2𝑠 + 2)
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) ℒ−1 [
2𝑠 + 5
𝑠2 + 5𝑠 + 6
] 
 = ℒ−1 [
2𝑠 + 5
(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
] 
 = ℒ−1 [
1
𝑠 + 2
+
1
𝑠 + 3
] 
 
= (𝑒−2𝑡 + 𝑒−3𝑡)𝑢(𝑡) 
(b) ℒ−1 [
3𝑠 + 5
𝑠2 + 4𝑠 + 13
] 
 = ℒ−1 [
3𝑠 + 5
(𝑠 + 2 + 𝑗3)(𝑠 + 2 − 𝑗3)
] 
 = ℒ−1 [
3(𝑠 + 2) − 1
(𝑠 + 2)2 + 32
] 
 = ℒ−1 [3 ·
𝑠 + 2
(𝑠 + 2)2 + 32
−
1
3
·
3
(𝑠 + 2)2 + 32
] 
 = [3 cos(3𝑡) −
1
3
sen(3𝑡)] 𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) 
 = √32 + (
1
3
)
2
 𝑒−2𝑡 cos (3𝑡 + tan−1 (−
− 1 3⁄
3
)) 𝑢(𝑡) 
 ≈
√82
3
 𝑒−2𝑡 cos(3𝑡 + 6,34°) 𝑢(𝑡) 
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(c) ℒ−1 [
(𝑠 + 1)2
𝑠2 − 𝑠 − 6
] 
 = ℒ−1 [
𝑠2 + 2𝑠 + 1
𝑠2 − 𝑠 − 6
] 
 = ℒ−1 [
(𝑠2 − 𝑠 − 6) + (3𝑠 + 7)
𝑠2 − 𝑠 − 6
] 
 = ℒ−1 [1 +
3𝑠 + 7
(𝑠 + 2)(𝑠 − 3)
] 
 = ℒ−1 [1 −
1
5
·
1
𝑠 + 2
+
16
5
·
1
𝑠 − 3
] 
 = 𝛿(𝑡) +
1
5
(16𝑒3𝑡 − 𝑒−2𝑡)𝑢(𝑡) 
(d) ℒ−1 [
5
𝑠2(𝑠 + 2)
] 
 = ℒ−1 [
5
2
·
1
𝑠2
−
5
4
·
1
𝑠
+
5
4
·
1
𝑠 + 2
] 
 =
5
4
[2𝑡 − 1 + 𝑒−2𝑡]𝑢(𝑡) 
(e) ℒ−1 [
2𝑠 + 1
(𝑠 + 1)(𝑠2 + 2𝑠 + 2)
] 
 = ℒ−1 [
2𝑠 + 1
(𝑠 + 1)(𝑠 + 1 + 𝑗)(𝑠 + 1 − 𝑗)
] 
 = ℒ−1 [
2𝑠 + 1
(𝑠 + 1)[(𝑠 + 1)2 + 12]
] 
 
= ℒ−1 [−
1
𝑠 + 1
+
𝐴𝑠 + 𝐵
(𝑠 + 1)2 + 12
] 
× 𝑠, 𝑠 → ∞ ⇒ 0 = −1 + 𝐴 ⇒ 𝐴 = 1 
𝑠 = 0 ⇒ 
1
2
= −1 +
𝐵
2
 ⇒ 𝐵 = 3 
 = ℒ−1 [−
1
𝑠 + 1
+
𝑠 + 3
(𝑠 + 1)2 + 12
] 
 = ℒ−1 [−
1
𝑠 + 1
+
𝑠 + 1
(𝑠 + 1)2 + 12
+ 2 ·
1
(𝑠 + 1)2 + 12
] 
 = [2 sen(𝑡) + cos(𝑡) − 1]𝑒−𝑡𝑢(𝑡) 
 = [√22 + 12 cos (𝑡 + tan−1 (−
2
1
)) − 1] 𝑒−𝑡𝑢(𝑡) 
 ≈ [√5 cos(𝑡 − 63,4°) − 1]𝑒−𝑡𝑢(𝑡) 
 
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4. Utilizando, quando necessário, as propriedades da transformada de Laplace, obtenha as transformadas inversas 
dos seguintes sinais: 
(a) 
(2𝑠 + 5)𝑒−2𝑠
𝑠2 + 5𝑠 + 6
 
(b) 
𝑠𝑒−3𝑠 + 2
𝑠2 + 2𝑠 + 2
 
(c) 
𝑒−(𝑠−1) + 3
𝑠2 − 2𝑠 + 5
 
(d) 
𝑒−𝑠 + 𝑒−2𝑠 + 1
𝑠2 + 3𝑠 + 2
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) ℒ−1 [
(2𝑠 + 5)𝑒−2𝑠
𝑠2 + 5𝑠 + 6
] 
 = ℒ−1 [
2𝑠 + 5
(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
𝑒−2𝑠] 
 = ℒ−1 [(
1
𝑠 + 2
+
1
𝑠 + 3
) 𝑒−2𝑠] 
 
= (𝑒−2(𝑡−2) + 𝑒−3(𝑡−2))𝑢(𝑡 − 2) 
(b) ℒ−1 [
𝑠𝑒−3𝑠 + 2
𝑠2 + 2𝑠 + 2
] 
 = ℒ−1 [
𝑠
𝑠2 + 2𝑠 + 2
𝑒−3𝑠 +
2
𝑠2 + 2𝑠 + 2
] 
 = ℒ−1 [
𝑠 + (1 − 1)
(𝑠 + 1)2 + 12
𝑒−3𝑠 +
2
(𝑠 + 1)2 + 12
] 
 = ℒ−1 [
𝑠 + 1
(𝑠 + 1)2 + 12
𝑒−3𝑠 −
1
(𝑠 + 1)2 + 12
𝑒−3𝑠 +
2
(𝑠 + 1)2 + 12
] 
 = [cos(𝑡 − 3) − sen(𝑡 − 3)]𝑒−(𝑡−3)𝑢(𝑡 − 3) + 2𝑒−𝑡 sen(𝑡) 𝑢(𝑡) 
 = √12 + 12 𝑒−(𝑡−3) cos (𝑡 − 3 + tan−1 (−
−1
1
)) 𝑢(𝑡 − 3) + 2𝑒−𝑡 sen(𝑡) 𝑢(𝑡) 
 = [√2 𝑒3 cos (𝑡 −
12 − 𝜋
4
) 𝑢(𝑡 − 3) + 2 sen(𝑡)] 𝑒−𝑡𝑢(𝑡) 
(c) ℒ−1 [
𝑒−(𝑠−1) + 3
𝑠2 − 2𝑠 + 5
] 
 = ℒ−1 [
1
(𝑠 − 1 + 2𝑖)(𝑠 − 1 − 2𝑖)
𝑒−(𝑠−1) +
3
(𝑠 − 1 + 2𝑖)(𝑠 − 1 − 2𝑖)
] 
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 = ℒ−1 [
1
(𝑠 − 1)2 + 22
𝑒−(𝑠−1) +
3
(𝑠 − 1)2 + 22
] 
 = ℒ−1 [
𝑒
2
·
2
(𝑠 − 1)2 + 22
𝑒−𝑠 +
3
2
·
2
(𝑠 − 1)2 + 22
] 
 =
𝑒
2
𝑒𝑡−1 sen(2(𝑡 − 1)) 𝑢(𝑡 − 1) +
3
2
𝑒𝑡 sen(2𝑡) 𝑢(𝑡) 
 = [sen(2(𝑡 − 1)) 𝑢(𝑡 − 1) + 3 sen(2𝑡)]
1
2
𝑒𝑡𝑢(𝑡) 
(d) ℒ−1 [
𝑒−𝑠 + 𝑒−2𝑠 + 1
𝑠2 + 3𝑠 + 2
] 
 = ℒ−1 [
1
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
(𝑒−𝑠 + 𝑒−2𝑠 + 1)] 
 = ℒ−1 [(
1
𝑠 + 1
−
1
𝑠 + 2
) (𝑒−𝑠 + 𝑒−2𝑠 + 1)] 
 = (𝑒−(𝑡−1) − 𝑒−2(𝑡−1))𝑢(𝑡 − 1) + (𝑒−(𝑡−2) − 𝑒−2(𝑡−2))𝑢(𝑡 − 2) + (𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡)𝑢(𝑡) 
 = [(𝑒 − 𝑒2)𝑢(𝑡 − 1) + (𝑒2 − 𝑒4)𝑢(𝑡 − 2) + 1](𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡)𝑢(𝑡) 
 = [(𝑒 − 𝑒2)𝑢(𝑡 − 1) − 𝑒4𝑢(𝑡 − 2) + 1](𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡)𝑢(𝑡) 
 
 
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5. Usando a tabela e as propriedades da transformada de Laplace, determine a transformada das seguintes funções:
(a) 𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1) 
(b) 𝑒−(𝑡−𝜏)𝑢(𝑡 − 𝜏) 
(c) 𝑒−(𝑡−𝜏)𝑢(𝑡) 
(d) 𝑒−𝑡𝑢(𝑡 − 𝜏) 
(e) 𝑡𝑒−𝑡𝑢(𝑡 − 𝜏) 
(f) sen[𝜔0(𝑡 − 𝜏)] 𝑢(𝑡 − 𝜏) 
(g) sen[𝜔0(𝑡 − 𝜏)] 𝑢(𝑡) 
(h) sen 𝜔0𝑡 𝑢(𝑡− 𝜏) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) ℒ[𝑢(𝑡) − 𝑢(𝑡 − 1)] = ℒ[𝑢(𝑡)] − ℒ[𝑢(𝑡 − 1)] =
1
𝑠
−
1
𝑠
𝑒−𝑠 =
1
𝑠
(1 − 𝑒−𝑠) 
(b) ℒ[𝑒−(𝑡−𝜏)𝑢(𝑡 − 𝜏)] =
1
𝑠 + 1
𝑒−𝑠𝜏 
(c) ℒ[𝑒−(𝑡−𝜏)𝑢(𝑡)] = 𝑒𝜏 ℒ[𝑒−𝑡𝑢(𝑡)] =
1
𝑠 + 1
𝑒𝜏 
(d) ℒ[𝑒−𝑡𝑢(𝑡 − 𝜏)] = 𝑒−𝜏 ℒ[𝑒−(𝑡−𝜏)𝑢(𝑡 − 𝜏)] =
1
𝑠 + 1
𝑒−(𝑠+1)𝜏 
(e) ℒ[𝑡𝑒−𝑡𝑢(𝑡 − 𝜏)] = 𝑒−𝜏 ℒ[(𝑡 − 𝜏)𝑒−(𝑡−𝜏)𝑢(𝑡 − 𝜏) + 𝜏𝑒−(𝑡−𝜏)𝑢(𝑡 − 𝜏)] = [
1
(𝑠 + 1)2
+
𝜏
𝑠 + 1
] 𝑒−(𝑠+1)𝜏 
(f) ℒ[sen[𝜔0(𝑡 − 𝜏)] 𝑢(𝑡 − 𝜏)] =
𝜔0
𝑠2 + 𝜔0
2 𝑒
−𝑠𝜏 
(g) ℒ[sen[𝜔0(𝑡 − 𝜏)] 𝑢(𝑡)] = ℒ[[sen(𝜔0𝑡) cos(𝜔0𝜏) − sen(𝜔0𝜏) cos(𝜔0𝑡)]𝑢(𝑡)] =
𝜔0 cos(𝜔0𝜏) − 𝑠 sen(𝜔0𝜏)
𝑠2 + 𝜔0
2 
(h) ℒ[sen(𝜔0𝑡) 𝑢(𝑡 − 𝜏)] = ℒ[sen[𝜔0(𝑡 − 𝜏 + 𝜏)] 𝑢(𝑡 − 𝜏)] 
 = ℒ[[sen[𝜔0(𝑡 − 𝜏)] cos(𝜔0𝜏) + sen(𝜔0𝜏) cos[𝜔0(𝑡 − 𝜏)]]𝑢(𝑡 − 𝜏)] 
 = cos(𝜔0𝜏) ℒ[sen[𝜔0(𝑡 − 𝜏)] 𝑢(𝑡 − 𝜏)] + sen(𝜔0𝜏) ℒ[cos[𝜔0(𝑡 − 𝜏)] 𝑢(𝑡 − 𝜏)] 
 = [𝜔0 cos(𝜔0𝜏) + 𝑠 sen(𝜔0𝜏)]
𝑒−𝑠𝜏
𝑠2 + 𝜔0
2 
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6. Utilizando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais: 
(a) (𝐷2 + 3𝐷 + 2)𝑦(𝑡) = 𝐷𝑓(𝑡) 𝑠𝑒 𝑦(0−) = �̇�(0−) = 0 𝑒 𝑓(𝑡) = 𝑢(𝑡) 
(b) (𝐷2 + 4𝐷 + 4)𝑦(𝑡) = (𝐷 + 1)𝑓(𝑡) 𝑠𝑒 𝑦(0−) = 2, �̇�(0−) = 1 𝑒 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑡𝑢(𝑡) 
(c) (𝐷2 + 6𝐷 + 25)𝑦(𝑡) = (𝐷 + 2)𝑓(𝑡) 𝑠𝑒 𝑦(0−) = �̇�(0−) = 1 𝑒 𝑓(𝑡) = 25𝑢(𝑡) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Atribuindo 𝐷 como o operador diferencial, tal que: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝐷𝑦(𝑡) 
e sua transformada de Laplace seja: 
𝐷𝑛𝑦(𝑡) ⇔ 𝑠𝑛𝑌(𝑠) − ∑ 𝑠𝑛−𝑘𝑦(𝑘−1)(0−)
𝑛
𝑘=1
 
temos: 
(a) (𝐷2 + 3𝐷 + 2)𝑦(𝑡) ⇔ [𝑠2𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0−) − �̇�(0−)] + 3[𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0−)] + 2𝑌(𝑠) 
 = (𝑠2 + 3𝑠 + 2)𝑌(𝑠) − (𝑠 + 3)𝑦(0−) − �̇�(0−) = (𝑠2 + 3𝑠 + 2)𝑌(𝑠) 
 𝐷𝑓(𝑡) = 𝐷𝑢(𝑡) ⇔ 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0−) = 𝑠 · (
1
𝑠
) − 𝑢(0−) = 1 
 𝑦(𝑡) = ℒ−1[𝑌(𝑠)] = ℒ−1 [
1
𝑠2 + 3𝑠 + 2
] = ℒ−1 [
1
𝑠 + 1
−
1
𝑠 + 2
] = (𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡)𝑢(𝑡) 
(b) (𝐷2 + 4𝐷 + 4)𝑦(𝑡) ⇔ (𝑠2 + 4𝑠 + 4)𝑌(𝑠) − (𝑠 + 4)2 − 1 = (𝑠2 + 4𝑠 + 4)𝑌(𝑠) − 2𝑠 − 9 
 (𝐷 + 1)𝑒−𝑡𝑢(𝑡) ⇔ (𝑠 + 1) (
1
𝑠 + 1
) − 𝑒0𝑢(0−) = 1 
 𝑦(𝑡) = ℒ−1 [
2𝑠 + 9 + 1
𝑠2 + 4𝑠 + 4
] = ℒ−1 [
6
(𝑠 + 2)2
+
2
𝑠 + 2
] = (6𝑡 + 2)𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) 
(c) (𝐷2 + 6𝐷 + 25)𝑦(𝑡) ⇔ (𝑠2 + 6𝑠 + 25)𝑌(𝑠) − (𝑠 + 6) − 1 = (𝑠2 + 6𝑠 + 25)𝑌(𝑠) − 𝑠 − 7 
 (𝐷 + 2) 25𝑢(𝑡) ⇔ 25 [(𝑠 + 2) (
1
𝑠
) − 𝑢(0−)] =
1
𝑠
(25𝑠 + 50) 
 𝑦(𝑡) = ℒ−1 [
𝑠2 + 32𝑠 + 50
𝑠(𝑠2 + 6𝑠 + 25)
] = ℒ−1 [
2
𝑠
+
23 − (𝑠 + 3)
(𝑠 + 3)2 + 42
] = [2 + [
23
4
sen(4𝑡) − cos(4𝑡)] 𝑒−3𝑡] 𝑢(𝑡) 
 ≈ [2 +
√545
4
𝑒−3𝑡 cos(4𝑡 + 99,9°)] 𝑢(𝑡) 
 
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7. Para cada sistema descrito a seguir, encontre a função de transferência: 
(a) 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 11
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 24𝑦(𝑡) = 5
𝑑𝑓
𝑑𝑡
+ 3𝑓(𝑡) 
(b) 
𝑑3𝑦
𝑑𝑡3
+ 6
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
− 11
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 6𝑦(𝑡) = 3
𝑑2𝑓
𝑑𝑡2
+ 7
𝑑𝑡
𝑑𝑡
+ 5𝑓(𝑡) 
(c) 
𝑑4𝑦
𝑑𝑡4
+ 4
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3
𝑑𝑓
𝑑𝑡
+ 2𝑓(𝑡) 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 11
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 24𝑦(𝑡) ⇔ (𝑠2 + 11𝑠 + 24)𝑌(𝑠) − (𝑠 + 11)𝑦(0−) − �̇�(0−) 
 5
𝑑𝑓
𝑑𝑡
+ 3𝑓(𝑡) ⇔ (5𝑠 + 3)𝐹(𝑠) − 5𝑠𝑓(0−) 
 𝑌(𝑠) = 𝑌0(𝑠) + 𝐻(𝑠)𝐹(𝑠) + 𝐹0(𝑠) =
(𝑠 + 11)𝑦(0−) + �̇�(0−) + (5𝑠 + 3)𝐹(𝑠) − 5𝑠𝑓(0−)
𝑠2 + 11𝑠 + 24
 
 𝐻(𝑠) =
5𝑠 + 3
𝑠2 + 11𝑠 + 24
 
(b) 𝐻(𝑠) =
3𝑠2 + 7𝑠 + 5
𝑠3 + 6𝑠2 − 11𝑠 + 6
 
(c) 𝐻(𝑠) =
3𝑠 + 2
𝑠4 + 4𝑠
 
 
 
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8. Usando a transformada de Laplace, obtenha o gráfico da resposta 𝑦(𝑡) no domínio do tempo para os sistemas 
com funções de transferência dadas a seguir, considerando o sinal de entrada 𝑥(𝑡) = cos(10𝜋𝑡) 𝑢(𝑡). 
(a) 𝐻(𝑠) =
1
𝑠 + 1
 
(b) 𝐻(𝑠) =
𝑠 − 2
(𝑠 − 2)2 + 16
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Uma resposta do estado nulo é tal que 𝑌0(𝑠) = 0 em: 
𝑌(𝑠) = 𝑌0(𝑠) + 𝐻(𝑠)𝐹(𝑠) + 𝐹0(𝑠) 
das funções de transferência dos sistemas dadas, sabendo que: 
ℒ[cos(10𝜋𝑡) 𝑢(𝑡)] =
𝑠
𝑠2 + 100𝜋2
=
𝑠
(𝑠 + 10𝜋)(𝑠 − 10𝜋)
 
(a) 𝑦(𝑡) = ℒ−1[𝑌(𝑠)] = ℒ−1 [
𝑠
(𝑠 + 1)(𝑠 + 10𝜋)(𝑠 − 10𝜋)
] 
 = ℒ−1 [(
1
100𝜋2 − 1
)
1
𝑠 + 1
+ (
1
2 − 20𝜋
)
1
𝑠 + 10𝜋
+ (
1
2 + 20𝜋
)
1
𝑠 − 10𝜋
] 
 = [
𝑒−𝑡
100𝜋2 − 1
+
𝑒−10𝜋𝑡
2 − 20𝜋
+
𝑒10𝜋𝑡
2 + 20𝜋
] 𝑢(𝑡) 
(a) 𝑦(𝑡) = ℒ−1 [
𝑠 − 2
[(𝑠 − 2)2 + 42](𝑠 + 10𝜋)(𝑠 − 10𝜋)
] = ℒ−1 [
𝛾(𝑠 − 2) + 4𝜇
(𝑠 − 2)2 + 42
+
𝛼
𝑠 + 10𝜋
+
𝛽
𝑠 − 10𝜋
] 
 = [[𝛾 cos(4𝑡) + 𝜇 cos(4𝑡)]𝑒2𝑡 + 𝛼𝑒−10𝜋𝑡 + 𝛽𝑒10𝜋𝑡]𝑢(𝑡) 
 𝛼 =
5𝜋 + 1
1000𝜋3 + 400𝜋2 + 200𝜋
, 𝛽 =
5𝜋 − 1
1000𝜋3 − 400𝜋2 + 200𝜋
, 𝛾 = −(𝛼 + 𝛽), 𝜇 =
𝛾
2
+
1 − 100𝜋(𝛼 − 𝛽)
200𝜋2
 
 
EN2607: Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares UFABC Resolução Lista 05 (Aline) v1.0 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 19/01/14 – pág. 11/13 
9. Classifique cada uma das respostas em frequência a seguir como passa-baixa, passa-alta, passa-faixa ou corta-
faixa: 
(a) 𝐻(𝑗𝜔) =
1
1 + 𝑗𝜔
 
(b) 𝐻(𝑗𝜔) =
𝑗𝜔
1 + 𝑗𝜔
 
(c) 𝐻(𝑗𝜔) =
𝑗10𝜔
100 − 𝜔2 + 𝑗10𝜔
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
(a) |𝐻(𝑗𝜔)| =
√1 − 𝜔2
1 + 𝜔2
 
 { 
lim
𝜔→0
|𝐻(𝑗𝜔)| = 1
 
lim
𝜔→∞
|𝐻(𝑗𝜔)| = 0
 Filtro passa-baixa 
(b) |𝐻(𝑗𝜔)| =
√𝜔4 + 𝜔2 
|1 − 𝜔2|
 
 { 
lim
𝜔→0
|𝐻(𝑗𝜔)| = 0
 
lim
𝜔→∞
|𝐻(𝑗𝜔)| = 1
 Filtro passa-alta 
(c) |𝐻(𝑗𝜔)| =
√10000𝜔4 + (1000𝜔 − 10𝜔3)2
(100 − 𝜔2)2 + 100𝜔2
 
 { 
lim
𝜔→0
|𝐻(𝑗𝜔)| = 0
 
lim
𝜔→∞
|𝐻(𝑗𝜔)| = 0
 , |𝐻(𝑗𝜔)| = 1 ⇒ 𝜔 = ±10 rad/s Filtro passa-faixa 
 
 
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Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 19/01/14 – pág. 12/13 
10. Obtenha os diagramas de Bode para as seguintes funções: 
(a) 
𝑠(𝑠 + 100)
(𝑠 + 2)(𝑠 + 20)
 
(b) 
(𝑠 + 10)(𝑠 + 20)
𝑠2(𝑠 + 100)
 
(c) 
(𝑠 + 10)(𝑠 + 200)
(𝑠 + 20)2(𝑠 + 1000)
 
(d) 
𝑠2
(𝑠 + 1)(𝑠2 + 4𝑠 + 16)
 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 Um diagrama de Bode é um gráfico que mostra o ganho de amplitude da resposta em frequência de um 
filtro onde ganho em decibéis em função de um valor referencial 𝑦0 = 1 é dado pela escala logarítmica: 
𝑦𝑑𝐵 = 10 log10 (
𝑦
𝑦0
) = 10 log10 𝑦 
(a) 𝐻𝑑𝐵(𝜔) = 10 log10 |
𝑗𝜔(𝑗𝜔 + 100)
(𝑗𝜔 + 2)(𝑗𝜔 + 20)
| = 10 log10 (
√𝜔2 √𝜔2 + 10000
√𝜔2 + 4 √𝜔2 + 400
) 
(b) 𝐻𝑑𝐵(𝜔) = 10 log10 |
(𝑗𝜔 + 10)(𝑗𝜔 + 20)
(𝑗𝜔)2(𝑗𝜔 + 100)
| = 10 log10 (
√𝜔2 + 100 √𝜔2 + 400
𝜔2 √𝜔2 + 10000
) 
(c) 𝐻𝑑𝐵(𝑗𝜔) = 10 log10 |
(𝑗𝜔 + 10)(𝑗𝜔 + 200)
(𝑗𝜔 + 20)2(𝑗𝜔 + 1000)
| = 10 log10 (
√𝜔2 + 100 √𝜔2 + 40000
(𝜔2 + 400) √𝜔2 + 1000000
) 
(d) 𝐻𝑑𝐵(𝜔) = 10 log10 |
(𝑗𝜔)2
(𝑗𝜔 + 1)[(𝑗𝜔)2 + 𝑗4𝜔 + 16]
| = 10 log10 (
𝜔2
√𝜔2 + 1 √16𝜔2 + (16 − 𝜔2)2
) 
 
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Fernando Freitas Alvesfernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 19/01/14 – pág. 13/13 
11. O sistema LIT descrito por 𝐻(𝑠) = (𝑠 − 1)/(𝑠 + 1) possui resposta em amplitude unitária |𝐻(𝑗𝜔)| = 1. Patrícia 
afirma que a saída 𝑦(𝑡) deste sistema é igual a entrada 𝑥(𝑡), pois o sistema é passa-tudo (filtro sem distorção). 
Cíntia não concorda com esta afirmação. Quem tem razão? Justifique sua resposta. 
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 
 A resposta em amplitude de um sinal não deve ser o único parâmetro analisado em um sistema. De fato a 
resposta em amplitude unitária não corta nenhuma frequência do sinal de entrada. No entanto, se analisarmos 
a resposta em fase do sistema: 
∠𝐻(𝜔) = tan−1 (
2𝜔
1 − 𝜔2
) ⇒ { 
 lim
𝜔→0
 ∠𝐻(𝜔) = 0 
 
lim
𝜔→±∞
∠𝐻(𝜔) = ±
𝜋
2
 
verificamos que quanto maior a frequência angular do sinal de entrada, maior a defasagem do sinal de saída até 
um limite de 𝜋/2. 
 Logo, Cíntia tem razão, o sistema é passa-tudo, no entanto o sinal de saída 𝑦(𝑡) não é igual ao sinal de 
entrada 𝑥(𝑡). 
	1. Trace a região de convergência, se esta existir, para os sinais a seguir:
	2. Através da integração direta, determina as transformadas de Laplace unilateral das seguintes funções.
	3. Determine a transformada inversa de Laplace das seguintes funções:
	4. Utilizando, quando necessário, as propriedades da transformada de Laplace, obtenha as transformadas inversas dos seguintes sinais:
	5. Usando a tabela e as propriedades da transformada de Laplace, determine a transformada das seguintes funções:
	6. Utilizando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais:
	7. Para cada sistema descrito a seguir, encontre a função de transferência:
	8. Usando a transformada de Laplace, obtenha o gráfico da resposta 𝑦,𝑡. no domínio do tempo para os sistemas com funções de transferência dadas a seguir, considerando o sinal de entrada 𝑥,𝑡.=,cos-,10𝜋𝑡..𝑢,𝑡..
	9. Classifique cada uma das respostas em frequência a seguir como passa-baixa, passa-alta, passa-faixa ou corta-faixa:
	10. Obtenha os diagramas de Bode para as seguintes funções:
	11. O sistema LIT descrito por 𝐻(𝑠)=,𝑠−1./,𝑠+1. possui resposta em amplitude unitária ,𝐻,𝑗𝜔..=1. Patrícia afirma que a saída 𝑦,𝑡. deste sistema é igual a entrada 𝑥,𝑡., pois o sistema é passa-tudo (filtro sem distorção). Cíntia não concorda ...