Sinais_e_Sistemas_-_Teoria_e_Exercicios

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Licenciatura em Engenharia Electrónica e Telecomunicações 
 3ºano, 2º semestre 
2009/2010 
 
Sinais e Sistemas 
 
 
 
Exercícios resolvidos dos exercícios 
propostos pelo docente da cadeira 
 
 
 
 
 
Discente: Jorge Rodrigues Valente, 2087406 
Docente: Prof. Joaquim Amândio Rodrigues Azevedo 
 
Julho de 2010 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 1/388 
Sugestões: jrvalente@netmadeira.com Sinais e Sistemas – Teórico-prática 
 
Índice 
 
Recordar ............................................................................................................................................................... 3 
Teoria – Sinal Contínuo .................................................................................................................................... 4 
Teoria – Sinal Discreto ...................................................................................................................................... 4 
Função de distribuição (ou generalizada) ........................................................................................................ 7 
Exercícios do capítulo 1 ...................................................................................................................................... 12 
Cálculo da Energia .......................................................................................................................................... 14 
Exercícios do capítulo 2 ...................................................................................................................................... 18 
Exercícios do capítulo 3 ...................................................................................................................................... 30 
Exercícios do capítulo 4 ...................................................................................................................................... 64 
Teoria – Par e Impar ....................................................................................................................................... 64 
Exercícios do capítulo 5 ...................................................................................................................................... 73 
Teoria Correlação e Convulação ..................................................................................................................... 73 
Capitulo 6, pagina 7 ........................................................................................................................................ 85 
Capitulo 6, pagina 20, exercício 6.5.7b .......................................................................................................... 93 
Capitulo 6, pagina 20, exercício 6.5.7e......................................................................................................... 101 
Series e Transformada de Fourier .................................................................................................................... 106 
Recordar ....................................................................................................................................................... 106 
Exercícios Práticos 7 - Serie de Fourier ............................................................................................................ 114 
Serie Trigonométrica da Primeira Forma ................................................................................................. 120 
Serie Trigonométrica da Segunda Forma ................................................................................................. 125 
Exercícios Práticos 8 - Transformada de Fourier .............................................................................................. 137 
Pagina 10, do capítulo 8 ........................................................................................................................... 148 
Exercícios Práticos 9 - Transformada de Laplace ............................................................................................ 168 
Exercícios Práticos 9 - Transformada de Z ....................................................................................................... 214 
Introdução ao capítulo 11 - Análise de Sistemas de Controlo .......................................................................... 226 
Exercícios do capítulo 11 - Análise de Sistemas de Controlo .......................................................................... 240 
Modelos matemáticos .................................................................................................................................. 257 
Exercícios do capítulo 12 - Análise de Sistemas no Domínio dos Tempos ..................................................... 266 
Exercícios do capítulo 13 - Análise de Sistemas no Domínio das Frequências ............................................... 273 
Exercícios do capítulo 14 - Análise de Sistemas por Espaços de Estado ......................................................... 300 
10 Janeiro 2005 – 3º Mini Teste ....................................................................................................................... 301 
24 Maio 2007 – 2º Mini Teste .......................................................................................................................... 303 
17 Março 2009 – 1º Mini Teste ........................................................................................................................ 339 
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21 Abril 2009 – 2º Mini Teste ........................................................................................................................... 344 
19 Maio 2009 – 2º Mini Teste .......................................................................................................................... 356 
12 Abril 2010 – 1º Mini Teste ........................................................................................................................... 360 
24 Maio 2010 – 2º Mini Teste .......................................................................................................................... 368 
31 Janeiro 2005 – Exame Normal ..................................................................................................................... 370 
4 Março 2005 – Exame Recurso ....................................................................................................................... 371 
26 Abril 2007 – Exame Normal ......................................................................................................................... 374 
12 Junho 2009 – Exame Normal ....................................................................................................................... 380 
 
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Recordar 
 
Derivadas 
( )2 25 ' 10t te e= 3 31
3
t te dt e=∫ 
( )3 37 ' 21t te e= 
 
 
3 31 '
3
t te e
 
= 
 
 
 
 8 81
8
t te dt e− −= −∫ 
5 54 ' 4
5
t te e
 
= 
 
 
 2 21
2
t te dt eα α
α
− −= −∫ 
 
 
Os complexos: 
( ) ( )cos sinje jθ θ θ= + 
( ) ( ) ( )5 5cos 5 sin 5 1 0 5je jπ π π= + = − + = − 
3 1 3cos sin
3 3 2 2
j
e j j
π π π   
= + = +   
    
 
 
 
Integração:
 
( ) ( ) ( ) ( )sin s2 ' 2cos 2 2 2
2 2
.
2
. int
d
t tt
t
 
⇔ ⇔ 
 
∫ Como não tenho o “2”, multiplico 
por ½: 
( ) ( ) ( )sinc 2 '1 1
2
os 2 2
2 22
.dt
tt t 
⇔ ⇔ 
 
∫ 
( ) ( ) ( )sin 2. sin 2
. .
2 4
21
2
t t
⇔ ⇔ (não CORTA!). 
Outro exemplo a ter cuidado, ( )
( )
030
2
1 1
3 1
3 1 ERRADO!
3
t
tt d
−
−
+
⇔+∫
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 10
2
1
' 3 1 3 1
1
3
1
1
' 3
n n
dt
n
a t
t
a t
n
+ +
−
 
⇔ ⇔ ⇔ 
+ + 
+

+
+∫
( )
3
3
3
1t +
0
1
ERRADO!
− 
 
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O correcto é assim: 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
01 1 3 30
2
1 1
' 3 1
1 1 3
3 1 3' 31 1
3
3
3
1
1
3
3 1
n n
dt
n n
a t
t
a t t t
+ +
−
−
 
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ + +

+
+ +  
+∫
 
( )
( )
( ) ( )( )
3 00
2 3
11
3 1
3 1
1 1 1 2
. . 0 3 1 .2
3 9 9
3 1 1
1
3 9 9
dt
t
tt
−−
 ⇔ ⇔ ⇔ − +
+
⇔+ − ⇔+∫ 
 
 
 
 
 
 
Teoria – Sinal Contínuo 
 
Representação: o sinal continuo representa se por ( )u t , em que t +∈� . 
 
( )
( ) ( ) ( )
( ) [ ] ( ) ( ) ; 
lim -
Valor médio de um sinal 
lim para um intervalo de "a" a 
 
"b"
1
2
1
a
a
a
b
a b a
a
u t
u t
u t dt para t
u t
u t dt
a
b a
→+∞
−
→+∞

< > = ∞ < < +∞
−




< > =

∫
∫
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
lim -
Energia de um sinal 
lim para um intervalo de "a" 
 
a "b"
a
a
a
b
a
a
W dt para t
u t
W
u t
dtu t
→+∞
−
→+∞

= ∞ < < +∞




 =

∫
∫
 
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2
2
lim
Potência de um sinal
 
 
1
2
 
l
1
im
a
a
a
b
a
a
f tP p t dt
u t
P p t df t
a
b a
t
→+∞
−
→+∞

= < > =




 = < > =
 −
∫
∫
 
 
 
Teoria – Sinal Discreto 
 
O sinal DISCRETO representa se por ( )u n , em que n∈� . 
 
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( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 lim para T=1
Valor médio
1
1
 de um sinal 
lim para T
2
2
1
1
1
a
n a
a
n a
a
a
u n u n
u n
T T
a
n
a
u u n
=−
=−
→+∞
→+∞

< > =



< >
 +
= ≠

+
∑
∑ 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
 lim lim para T=1
Energia de um sinal 
lim lim para T 1
a
n a n
a
n
a
a a
a n
a
W u n u n
u n
W u n Tu nT
+∞
∞
+∞
→+∞ →+∞
→
=− =−
=− =−
+ ∞
∞
∞ →+

= =



 = = ≠

∑ ∑
∑ ∑ 
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
lim para T=1
Potência de um sinal 
lim pa
1
1
1
2
1
2
ra T 1
a
a
a
n a
a
n a
P p n u n
u n
P p n u
a
nT
a
T
→+∞
→
=−
=
+∞
−

= < > =



 = <
+
> = ≠
 +
∑
∑
 
 
Função Rampa: 
 
 
 
( )
0 t < 0
 t 0
se
f t
t se

= 
≥
 
Derivada da Função de Heaviside: 
 
 
 
( ) ( )
( )
( )
0 ' 0 t < 0
'
' 1 t > 0
H
se
h t f t
t se
=
= = 
= 
 
 
 
Função degrau de 
Heaviside 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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( )
0 t < 0
1 t > 0H
se
h t
se

= 

 
 
 
 
 
 
 
Não está definido no 
zero. 
 
( )
0
0 n 
1 n H
se
h n
se +
∈
= 
∈
�
�
 
 
 
 
 
( )
{ }
{ }
0 n ...; 2 ;
1 n 0; ;2 ;...
H
se T T
h nT
se T T
∈ − −
= 
∈
 
 
 
 
 
 
Função 
 
 
 
Gráfico de distribuição (generalizada) 
 
 
 
A distribuição está representada a verde. 
 
DIRAC (ou Impulso de DIRAC): 
 
 
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( ) ( ) ( )
0 t 0
''
1 t = 0H
se
t h t f t
se
δ
≠
= = = 
 
Propriedades - ( ) 1t dtδ
+∞
−∞
=∫ 
 
Consequência - ( ) ( )
7 23
4 7
0 1t dt t dtδ δ
−
= ∧ =∫ ∫ 
 
 
 
 
Função de distribuição (ou generalizada) 
 
 
 
( ) ( )
Integral Improprio
1
2
lim
a
a
a
x t
a
x t dt
→+∞
−
< > = =∫
�������
 
 
Se for para fazer apenas entre o zero e o 2, tira se o limite! 
Se for para fazer as três função, do menos infinito até zero, de zero a dois e de dois a mais infinito, 
mantém se o limite. 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0 0
Integral Improprio Constante Constante
lim x 
1 1
2
lim x 
2
0 0
a
a a
a
x t dt dt dt
a
x t x t x t
a→+∞ →+∞
−
< > = = = =∫ ∫ ∫
������� ����� �����
 
 
 
Quando for um sinal periódico: 
 
 
( ) ( ) ( )
11 2
0 0 0
Integral Improprio
1
lim
2 2
1 1 1
2 1
a T
a
a
t
x x t x tt dt dt
a
dtt
T→+∞
−
 
< > = = = = = 
 
∫ ∫ ∫
�������
 
 
Nota: como o impulso de Dirac só toma o valor diferente de zero em m = n, a expressão anterior 
tem a forma 
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( )
2
lim
a
a
n a
W v nT
=
+∞
−
→
= ∑ �(2.48) 
 
ou seja, a energia é infinita, como era de esperar, uma vez que o impulso de Dirac é um sinal de 
potência. No entanto, a representação de sinais discretos por impulsos de Dirac serve para 
representar sinais de energia ou potência em pontos discretos da variável independente. A energia 
só é infinita pelo facto de representarmos o sinal pelos impulsos de Dirac que tem uma energia 
infinita. 
 
 
 
 
 
 
 
Regra que ajuda, a rapidamente saber qual é a função da recta: 
 
 
 
 
 
 
Regra geral: 
( )
�
( )
�
( )
0
0 0
y y
v t v t m t t− = − 
 
( )
Recta: 1
v tt
a b
+ = 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: 
 
( )
( )Recta: 1 1
2 1 2
v tt t
v t+ = ⇔ − = − ⇔
−
 
 
( )
�
1
2
y
t
v t = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Nota: se somar estes dois sinais 
 
 
 
 
Quando ∆ se aproxima de zero, 
1
∆
 fica igual a ∞ . Logo é um DIRAC, o seu integral (ou seja a sua 
área) é 1. 
 
 
 
( )
2
1
1 porque passa no zero.t dtδ
−
=∫ ( )
2
0
1.t dtδ =∫ 
( )
3
2
0 porque não passa no zero.t dtδ =∫ ( )
0
3
1.t dtδ
−
=∫ 
 
 
Quando: 
 
1 tem uma área.∆ = 
1
tem metade da área.
2
∆ = 
0 tem um sinal que tende para o degrau de Heaviside.∆ → 
E a respectiva derivada tende para a função DIRAC. 
 
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Exercícios do capítulo 1 
 
 
 
 
Exercício 1.1.1- Determine o valor médio do degrau de Heaviside, ( ).Hh t 
 
 
 
Resolução 1.1.1: 
 
 
Função degrau de Heaviside 
 
 
( )
0 t < 0
1 t > 0H
se
h t
se

= 

 
 
Qualquer função é um sinal. E é em função do tempo ( ) .h t   
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
Integral Improprio
1 1
l m
2
i lim
2
a a
a
H
a
H H
a a
h t dt dt dth t h t h
a
t
a→+∞ →+∞
− −
 
< > = = + 
 
∫ ∫ ∫
���������
 
Porque é que é 
1
2a
? 
 
 
( )
1 1
2a a a
=
− −
 
 
 
Pelo gráfico, sei que do infinito até zero (eixo) a função é zero, e do eixo até ao mais infinito é 1, 
assim sendo fica (e porque é CONTINUO!): 
 
( ) ( )
�
( )
�
0 0
0 0
Conforme está definido pela funç !
0 1
ão
0li
1 1
2 2
lim 1m
a a
a a
a
H
a
Hh t dt dt dt dha a
tt h t
= =
→+∞ →+∞
− −
 
   
 < > = + = + = 
   
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
���������
 
 
( ) [ ] [ ]0lim 0 li
1 1 1
2
i
2
m
2
0 l m
a
a a aa a
t t a
a
h
→+∞ →+∞ →+∞
 < > = + = − =
 
a
1
2
= 
 
 
Nota: se a função fosse DISCRETA, teria que se calcular uma serie (e não um integral). 
 
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Exercício 1.1.2 - Determine o valor médio da seguinte função: 
 
 
 
 
 
( ) [ ]
3 t < 4
 no intervalo 1 ; 7
2 t > 4
se
f t
se

= −
 
 
 
 
Resolução 1.1.2 – Intuitivamente é: 
� � � �
�
5 x 3 3 x 2
5 x 3 3 x 2 21
5 3 5 3 8
yx y x
x
+
+
= =
+ +
. Mas usando a integração: 
 
( ) [ ] ( ) ( )
( ) ( )
�
( )
�
7 4 7
1 ; 7
1 1 4
Integral Improprio Como está limitado por "-1" e "7", lim deixa de fazer sentido. 
3 2
1 1 1
2 7
m
1
l
8
i
a
a
a
a
Hf t dt dh t f t ft dt ta
dt tf
→+∞
=
− →+∞
− − − =
 
 < > = = = + =
 
− −
∫ ∫ ∫ ∫
��������� ���������������������
 
( ) [ ] [ ] [ ]
4 7
4 7
1 ; 7 1 4
1 4
1 1
8
33 2
8
2f t dt dt t t
− −
−
 
 < > = + = + =   
 
∫ ∫ 
( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] [ ]( )1 ; 7 3 4 3 1 2 7 2 4 12 3 14 8
1 1
8 8
f t
−
< > = − − + − = + + − =       
( ) [ ] ( )1 ; 7
1
8
21
15 6
8
f t
−
< > = + = 
 
Assim, o valor médio (é uma aérea) é de 
21
8
. 
 
Nota: quando a energia é infinita, é porque é um sinal de Potência. Quando finita, tem se um sinal 
de Energia. 
 
 
Resumo: O valor médio do sinal (continuo) ( )f t no intervalo [ ] ; a b é dado por: 
( ) [ ] ( ) ; lim
1 b
a b a
a
f t d
a
t t
b
f
→+∞ −
< > = ∫ 
 
Mas se em vez de ser num intervalo limitado fosse em � ( ) , −∞ + ∞ , é dado por 
( )
� ( )�
( )lim
1
a
b
a
f t dtf t
∞
→+∞
−∞
+∞ − −∞
< > = ∫ 
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E pela regras dadas em Calculo I – Modulo II: 
( ) ( )
Continuo!
Integral Improprio
lim
1
2
a
a
a
f t df t t
a→+∞
−
< > = ∫�����
�������
 
 
Nota: usa se a variável “t” para função contínua, e variável “n” para funções discretas: ( )
Discreta!
f n< >
�����
. 
Também se usa a seguinte notação: ( )Fdf n , em que o “d” denuncia o discreto. 
 
 
 
 
 
Cálculo da Energia 
 
 
Agora vai se estudar o cálculo da energia, mas a definição da energia e da potência. 
A energia dissipada do sinal ( )f t em [ ] ; a b é dado por (não se divide por 1
T



. 
[ ] ( ) 
2
; 
b
T a b
a
fW tW dt= = ∫ 
 
A energia dissipada do sinal ( )f t em � ( ) , −∞ + ∞ é dado por 
( )
2
 lim
a
a
a
fW dtt
→∞
−
= ∫ 
 
Aqui não se devide o integral pelo período (T). Não confundir com a potência do sinal. 
Pode parecer desnecessário ter o módulo e o expoente ao quadrado ao mesmo tempo, mas este 
módulo é para os números COMPLEXOS. 
 
 
 
Exercício 1.2 - Calcule a energia dos sinais: 
1.2.1 – ( ) ( ).Hv t h t= 
1.2.2 – ( ) ( ) , com 0Hv t e h t
α α−= >
 
1.2.3 – 
 
1.2.4 – 
 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 15/388 
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Resolução - 1.2.1 – ( ) ( ).Hv t h t= Aqui não é num intervalo de tempo! Logo é a 2ª fórmula: 
( )
2
 lim
a
a
a
fW dtt
→∞
−
= ∫ 
 
Assim, ( ) ( ) ( ) ( )
0
2 2 2
0
2
 lim lim lim + H
a a a
a a a
a
H
a
H
a
W dt dt dt dv t h t h t h t t
→∞ →∞ →∞
− − −
 
= = = = 
 
∫ ∫ ∫ ∫ 
[ ]( ) ( )
0
0
2
0
2
 lim + lim 0+ lim0 1 0 +
a
a
a a a
a
W dt dt t a
→∞ →∞ →∞
−
 
= = = − = ∞ 
 
∫ ∫
 
 
 
 
 
Resolução - 1.2.2 – ( ) ( ) , com 0Hv t e h t
α α−= > . Aqui não é num intervalo de tempo! Logo é a 2ª 
fórmula: 
 
( )
2
 lim
a
a
a
fW dtt
→∞
−
= ∫ 
 
Assim, 
( ) ( ) ( )
�
( )
�
0 1
 Para decorar, pois é sempre assim. A função é sempre zero de 
"-A a 0" e 1 de "0 a A". Funciona como "on/off
2 2
2
0
0
2
 lim lim lim +H
a a a
a a a
a a
H H
a
e hW dt t e h t e hdt dt dt tv t α α α
→∞ →∞ →∞
−
− −
=−
−
− =
 
 = = =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
" de um circuito.
 =
�����������������
 
 
( ) ( )
2 2 2 2
0
0 0 0
 lim + lim 0+ l 0 1 im
a a a
a a a
a
W dt dte e e edt dtα α α α
→∞ →∞
−
−
→
−
∞
− −
     
= = = =     
     
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
Agora cuidado com esta integração: 
 
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( ) ( )( ) 2 
00
2 2 2 0
2
1 1
 lim lim lim 
2
aa
a
a
t
a a
W e d e e et α αα α
α α
− −− −
→∞ →∞ →∞
   
= = = − − =   −  
∫ 
( ) ( ) 0 1 1 1 - - 0 1 
2 2 2
W e e
α α α
−∞= − = − = 
 
 
Não esquecer de que estes integrais são designados por impróprios. 
 
Não esquecer de colocar o “t” na integração de 2e tdα−∫ para 
2 
2
1 te α
α
−
−
. 
 
 
Resolução - 1.2.3 – 
 
 
1º tenho que definir a função: 
 
( )
1 2 3
1 1 2
2 0 1
0 0
se t
se t
v t
se t
se t
− < <
 < <
= 
< <
 <
 
 
 
 
 
Assim (muito cuidado com a função, pois está a potencia dois): 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
0 1 2 3
0 1 2
 lim 
a
a
a
W dt dtv t f t f t fdt dt tt f t d
→∞
− −∞
= = + + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( )
2 2
0 1 2
2 2
0 1
2
3
2
 lim 0 2 1 1
a
a
a
W dt dt dt dt dtv t
→∞
− −∞
+ −= = + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( )
2
1 2
1
2 2 2
3
0 2
 lim 2 1 1 
a
a
a
W v t dt dt dt dt
→∞
−
= = + + − =∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
0 1 2
2
 lim 4 4 41 0 2 1 3 2 
a
a
a
t tW v t d tt
→∞
−
= = + + = + + =         − − −∫ 
( ) ( )
2
 lim 4 1 1 6
a
a
a
W v t dt J
→∞
−
= = + + =∫
 
 
 
 
Resolução - 1.2.4 – 
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1º tenho que definir a função: 
 
( )
0 t < -1 2
A recta necessita de um calculo auxiliar.
se t
f t
∨ >
= 

 
 
 
 
Recta inclinada: � �
0 0
1 ; 0
t y
A
 
−  
 
, � �2 ; 3
t y
B
 
 
 
. 
( )3 ; 3v =
	
 e 1
y
m
x
= = 
( ) ( )( )0 0 0 1 1 1y y t ym t y tt− = − ⇔ − = ⇔ =−− + 
 
Assim: 
( )
0 t < -1 2
1 1 2
se t
f t
t se t
∨ >
= 
+ − < < 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 2
1
2 2 2 2
2 1
2
00
 lim lim 
a a
a a
a a
W dt dt dt dtf t f t f t f t dtf t
−
→∞ →∞
− − − −
==
 
   
   
   
= =+ + =

 
=∫ ∫ ∫ ∫ ∫
����������
 
 
( )
( ) ( )
( )
2
1
A constante 
2
2
sa
2 231
23
1 1
í
1
1 1
1 1
2
1
 
3 3
 
1
 W dt
t t
t t
−
−
+
−
−
   
           
 
 
+
= = = =
+
+ + =

+

∫
�������
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )
3 3 3 3
3 3
1 1 1
 27 2 1 1
3
1 0 3 9W J+ − − + −= = = =   
   
 
 
( )f t é o sinal. 
( )
2
f t é a potência instantânea. 
( )
2
f t dt∫ é a energia total (energia infinitesimal) 
 
 x 
E
P E P t
t
= ⇔ = 
 
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Exercícios do capítulo 2 
 
 
Exercício 2 - Para os sinais seguintes calcule: 
 
a) O valor médio. 
b) Potência média. 
c) Valor eficaz. 
 
 
 
2.1 ( ) ( )1 sinv t t= 
2.2 
 
 
2.3 
 
 
2.4 
 
 
 
 
Nota: cada alínea tem três perguntas, que são a a) O valor médio, b) Potência média e c) Valor 
eficaz! 
 
 
 
 
Resolução 2.1a) – ( ) ( )1 sinv t t= . Quando não se diz o conjunto/intervalo é porque é .� 
 
O sinal é dado pela função ( )1v t . 
( ) ( ) ( )1
Integral Improprio
1 1
2
lim lims
2
in cos
a
a
aa a
a
tv t dt t
a a −→+∞ →+∞
−
   
   
  
< > = = =−  ∫
���������
 
 
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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1
1 1
2 2
lim cos cos lim cos cos
a a
v t a a a
a a
a
→+∞ →+∞
 
− − − < > = − = − =  
 
   
  
− −
 
 
 
Cuidado que o sinal negativo da função cosseno não vem para fora! 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1 1
2
lim cos cos lim cos s
2
co
a a
v t a a a
a
a
a→+∞ →+∞
 
− −< > =
 
   
 
− = =      
 
− − 
 
 
( ) [ ]1 lim 0 0
1
2a
v t
a→+∞
 
=

< − 

> =
 
 
 
( )1 0v t< > = . Graficamente dá para se perceber que a média é zero. 
 
 
Também se pode chegar a mesma conclusão por esta ser periódica ( )2 :π 
 
( ) ( ) ( )
2
1 0 0
1 1
sin sin 0
2
T
v t t dt t dt
T
π
π
< > = = =∫ ∫
 
 
 
( ) ( ) ( )
Esta passagem s possivel porque sei que a fun o 
 um sinal periódico, com um periodo igual a T. 
Não é preciso calc
0
Continuo!
Integral Improprio
1
: lim siRes o
1
n
2
um
ó é çã
é
a
T
a
a
f t dt t dt
T
f
a
t
→+∞
−
< > = =∫ ∫�����
�������
( )
ular em , pois basta o periodo T.
2
0
1
sin 0
2
t dt
π
π
= =∫
�
��������������
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 2.1b) – ( ) ( )1 sinv t t= . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1
Pot ncia instant nea
sin
ê â
p t v t t p t p t= = ∧ ≠ < >=
�����������
 
 
 
Nota: pretende se a media. Uma função ao quadrado é sempre uma função. Logo para calcular a 
potência instantânea é igual a calcular como se fosse um sinal. 
 
( )p t é a potência instantânea, e P é a potência média. 
 
 
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( ) ( ) ( ) ( )
 Valor m dio da 
pot ncia instant nea.
Continuo!
Integral Im
2 2
1
proprio
lim lim li
1 1 1
2 2 2
sinm
é
ê â
a a a
a a a
a a a
p tP
a
p t dt dt dtv
a
t
a
t
→+∞ →+∞ →+∞
− − −
= < > = = = =∫ ∫ ∫
����
�����
�������
 
 
 
Nota: ( )p t é periódico? 
É porque as funções trigonométricas são 
periódicas. 
 
 
( ) ( ) ( )2
0
2
0
limsin n
1
si
1T
a
t tP p t dt
T
dt
π
π→+∞
= < > = = =∫ ∫ 
 
 
 
Recordar: ( )
( )2 1 cos 2sin
2
t
t
−
= . Assim: 
 
 
( ) ( ) ( )
( )
0
0
2 2
0
1 cos 2
sin sin
1 1
2
1T
T
P p t dt dt dt t
t
t
π π
π π
= < > = = =
−
=∫ ∫ ∫ 
 
 
Para integrar, é mais fácil separar os termos: 
 
( ) ( ) ( )
0 0 0 0
1 cos 2 cos 2 cos 21 1
2 2 2 2 2
dt dt t
t
d
t
t
t
d
π π π π−     
−    
 
−

= =
  
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
( )
( ) ( )
00 0 0
cos 2 sin 21
2 2
1
2
1 1
4
P p t dt d
t t
tt
πππ π
π π
      = < > = − = − =      
  
  
       
∫ ∫ 
 
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )sin 2 sin 2 01 1
0
2
1
2
1
4 4
P p t
π
π π
π
   
 = < > = − =        
− −
π 0 0
2 4 4
   
−     
−
 
=  
 
 
 
( )
1
2
P W= 
 
 
 
Cuidado com a regra de derivação: 
 
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( ) ( ) ( ) ( )sin s2 ' 2cos 2 2 2
2 2
.
2
. int
d
t t t
t
 
⇔ ⇔ 
 
∫ Como não tenho o “2”, multiplico 
por ½: 
( ) ( ) ( )sinc 2 '1 1
2
os 2 2
2 22
.dt
tt t 
⇔ ⇔ 
 
∫ 
( ) ( ) ( )sin 2. sin 2
. .
2 4
21
2
t t
⇔ ⇔ (não CORTA!). 
 
 
Resolução – 2.1c) ( ) ( )1 sinv t t= . 
1 2 2
( )
2 4 2ef
v P W RMS= = = = . 
 
 
 
 
Resolução 2.2a) – Aqui a função é periódica (T)! 
 
 
 
 
 
Por isso vou calcular para apenas o período T. 
 
 
 
 
Ou seja ] [0 ; t T∈ . Vou ter que analisar o comportamento da função: 
 
( )2
Para 0 < , a recta necessita de um calculo auxiliar.
2
 < 
2
T
t
v t
T
A se t T

<
= 
− <

 
 
 
 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 22/388 
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Calculo auxiliar - a inclinação da recta é: � �
0 0
0 ; 0
t y
A
 
  
 
, 
�
� ; 2 y
t
T
B A
 
 
 
 
 
. 
2
y A
m
Tx
= = 
 
( ) ( )( )0 0
2
0 0
2
y y t y
A A
m
T
t tyt
T
− = − ⇔ − = − ⇔ = 
 
 
 
( )2
 0 < 
2
 < 
2
2 T
se t
v t
T
A
e t
t
T
T
A s

<
= 
− <
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
0 0 0
2 2Integral Impropr
2
i
2 2
o
1 1 21
T T
T T T
T T
A
v t v t vv t dt tdt dt dt Adt
T TT
t
T
   
   
< > = = + = + − =   
      
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
�����
 
 
( )2
21
v t
T
< > =
2
A
[ ] ( ) ( )
0
2
22
2
2
0
1
2 2
T
T
T
T T
T
A A
A A A
T TT
t t
T
         + = + =                
   
− −  − − 
     
− 
 
( )
2
2
1 1
4
0
2
A A
A
T
v t
T T
T
T T    
< > = + =       
 
−
 
− + 

AT
4
TA−
TA
+
2
 
= 
 
 
 
 
 
( )2
4 2 3 4
4 2 4 4 4
A A AA A
A
A A A
v t
− + −
< > = = = = −− + 
 
 
 
Nota: era de se esperar um valor negativo, pois como é uma média, a área negativa é superior a 
área positiva. 
 
 
 
 
 
 
 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 23/388 
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Resolução 2.2b) – Tenho que ter em atenção de que o período não é uniforme. O período é 2 .π 
 
( )p t é a potência instantânea, e P é a potência média. 
 
 
( )
 Valor m dio da 
pot ncia instant nea.
Continuo!
?
é
ê â
P p t= < > =
����
�����
 
 
 
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1º tenho que definir a função: 
 
( ) ( )
2
2
2
2
22
22
 0 < 0 < 
22
 < < 22
A TA T
se ts tt e t
TTp t v t
TT A se t TA set T
 
<<  
= = = 
  <<  
 
 
 
O gráfico da função (da potência) é: 
 
 
 
 
Agora já posso fazer o cálculo do valor médio: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 Valor m dio da 
pot ncia 
2 2 2
2 2
instant nea.
2
0 0Continuo!
2Integral Impr
2
oprio
1 1 1
2
lim
é Tê â
a T T
a
Ta
P p t dp t v t v t v tt dt dt d
a
t
T T→+∞
−
 
 
= < > = = = + = 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
����
�����
�������
 
 
( ) ( )
2 2 2
0 0 0
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 21 1 12 2 2 1
T T T
T T T
T T T
P dt dt dt d
A A A
A A A
T
t t
T
t dt dt
T T
t
TT
  
     
     
= + = + = + =     
     
    

   
 

 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
[ ]
( )
( )
2
20
2
2 2
3
332 021 1
3 3 3
2 2
2
T
T
T
T
T
T
A A
A A
T
t
P t
T TT
  
         

    
     = + = − + −

=   

   
   
      
   


 
 

 
 
 
Cuidado que a integração NÃO é assim: ( )
3
2
2 2
0 0
3
T T
t
tt d
  
=   
   
∫ 
 
 
1 2
P
TT
A
=
32 T 
 
 
( )23
2 2
2 2 24 2
1
2
1
.3 T
T T T
A A A
T
   
   
   
 +

= + =        
24A
T 2
24
T
A+
2
 
= 
 
 
 
2 2 2 2
2 23 4 2
6 2 6 6 3
A A A A
P A A
+
= + = = = 
 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 25/388 
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Resolução 2.2c) – 2
2 2
.
3 3ef
v P A A= = =
 
 
 
 
 
Resolução 2.3a) – Aqui a função é periódica (T)! 
 
 
 
 
Por isso vou calcular para apenas o período T. 
 
 
 
 
Ou seja ] [0 ; 1t ∈ . Vou ter que analisar o comportamento da função: 
 
( )3
Para 0 < 0,5, a recta necessita de um calculo auxiliar 1.
Para 0,5 < 1, a recta necessita de um calculo auxiliar 2.
t
v t
t
<
= 
<
 
 
 
 
Calculo auxiliar 1 - a inclinação da recta é: � �
0 0
0 ; 0
t y
A
 
  
 
, � �0,5 ; 
yt
B A
 
  
 
. 
0
2
0,5 0
y A
m A
x
−
= = =
−
 
 
( ) ( )( )0 0 0 2 20y y m tt y t y AtA− = − ⇔ − = − ⇔ = 
 
 
 
Calculo auxiliar 2 - a inclinação da recta é: � �
00
0,5 ; 
yt
A A
 
 
 
 
, � �1 ; 0
t y
B
 
 
 
. 
0
2
1 0,5
y A
m A
x
−
= = = −
−
 
 
( ) ( )( ) ( )00 10 2 1 2y y t y t ytm A tA− −− = − ⇔ − = − ⇔ = − 
 
 
 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 26/388 
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( )
( )
3
1
 0 < 
2
2
2
1
 < 1
2
1
A
A
se t
v t
se
t
tt

<
−

= 
− <
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
�
( )
( )
�
1
12
3
10 0
2Integral I
3
m
3 3 3
2
propri
12
o
1 1
lim
1
12
A A t
a
a
a t
T
v t vv t dt dt dtt v t dv t
T
t
a→+∞
− −−
 
   
< > = = = + =   
    
∫ ∫ ∫ ∫
���������
 
 
( ) ( )
1
12
3
10
2
12 2v At dt dt tA t< > = + −− =∫ ∫ 
 
 
As constantes saem do integral para simplificar: 
 
( ) ( ) [ ]
1 1
112 2 1
13
1 210 0
22
2 2
12 2 2
2
2
2
t
v t dt dt tA A
t
tA At
   
< > = − = − −

=  

 −
   
 
  
∫ ∫ 
 
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
3 2 22 2 2 2
1 1
0 1 12 2
1
2
Av t A
    
         
   
   
    < > = − − − − − =      
   

 
   
 
 


 
 
( )3
1 1 1
8
1
1
2 8
2
2
2v A At
     
< > = − − − − =         
 
 
 
 
 
 
( )3
4 2
8
1 3 1 1 1 1
4 8 4 4 4 4
2 2
4 2
A A
v A A A A A At
           
     < > = − − =      
          
= =

− − + = 
 
 
 
 
 
 
Resolução 2.3b) – ( )p t é a potência instantânea, e P é a potência média. 
 
( )
 Valor m dio da 
pot ncia instant nea.
Continuo!
?
é
ê â
P p t= < > =
����
�����
 
 
 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 27/388 
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1º tenho que definir a função, calculados nos cálculos auxiliar na alínea a): 
 
( ) ( )
( ) ( )
2 22
2
2
3
22
1
4 0 < 
2
1
4 1 
2
 < 112
2
A
A
A t se t
p t v t
t A t
t
se t

⇔ <
= = 
 − − ⇔ − <

 
 
 
Agora já posso fazer o cálculo do valor médio: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
 Valor m dio da 1pot ncia instant ne
2
a.
1 12
10 0Continuo!
2Integral Impropri
2
3
o
21 1
1
2
m 2 2li
1
é
ê â
a
a
a
t tP p t dt dt dt dv tt t A A
a
p
→+∞
−
= < > = = = + − =−∫ ∫ ∫ ∫
����
�����
�������
 
 
( ) ( )
( )
33
2
1 1 1 1
1 12 2 2
1 1
2 2 2 2
10 0 0
22
2 2
2
2
1
3
4 4 41 1
3
4
tt
t t tP tA dt d At t At dA d
  
    
= + = + = + =  
   
−
−

  
   
  

−

∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
( ) ( )( )
33
332 1 1 1 10 1
3 2 3 2
14 1P A
  
= − + −
    
− −    
    
= 

 
   

  
 
 
 
 
 
 
2 2 2 2
3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 2 4
. .
3 2 3 2 3 8 3 8 2
4 4
4
4
12
A A AP A
     
          
   
= + − − = + = = = 
   
   
 
 
       
 
 
2
3
A
P = 
 
 
 
 
Resolução 2.3c) –
2 3
3 33
ef
A A A
v P= = = = 
 
 
 
Resolução 2.4a) – Aqui a função é periódica (T)! 
 
 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 28/388 
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Por isso vou calcular para apenas o período T. 
 
 
 
Ou seja ] [1 ; 2t ∈ − . Vou ter que analisar o comportamento da função: 
 
 
Calculo auxiliar 1 - a inclinação da recta é: � �
0 0
1 ; 0
t y
A
 
−  
 
, � �2 ; 3
t y
B
 
 
 
. 
 
( )
( )
( )( )0
0
3 3
1
0
1
32
y y
t t
y
m
x
= = =
−−
=
−
−
=
−
 
 
( ) ( )( )0 0 0 1 1 1y y t ym t yt t− = − ⇔ − = ⇔ =− +− 
 
 
 
( )4 -1 < 21v t se tt= <+ 
 
 
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
4
1
Integral Impropri
4 4
o
1 1
l 1im
1
2
a b
a
a a
v t dt dt dtv t v t
T b a
t
a→+∞
− −
   
< > = = = =   
−  
+
 
∫ ∫ ∫
���������
 
 
 
( ) ( ) ( ) [ ] [ ]
22 2 2
22 22
4 1 11
1 1 1
1 1 1 1
3 3 2 3 2
1
t
v t dt dt t t tt
− −−
− − −
        < > = + = + = + =             
∫ ∫ 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]
2 2
4
1 1 1 1
2 1 2 1 4 1 2 1
3 2 3 2
v t
    < > = − − + − − = − + + =         
 
 
 
( )4
1 3 1 3
3 1
3 2 2 2
v t
 
< > = + = + = 
 
 
 
 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 29/388 
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Resolução 2.4b) – ( )p t é a potência instantânea, e P é a potência média. 
 
( )
 Valor m dio da 
pot ncia instant nea.
Continuo!
?
é
ê â
P p t= < > =
����
�����
 
 
 
1º tenho que definir a função, calculados nos cálculos auxiliar na alínea a): 
 
( ) ( ) ( )
22
4 -1 < 1 2p t v t se tt += = < 
 
 
Agora já posso fazer o cálculo do valor médio: 
 
 
( ) ( ) ( )
( )
( )
 Valor m dio da 
pot ncia instant nea.
2 2
1 1Continuo!
Integral 
2 2
4
Improprio
li
1 1 1
2 2
m
1
1
é
ê â
a
a
a
P p t dt dt dt tp t v t
a T→+∞
− − −
+= < > = =
−
=
−
=∫ ∫ ∫
����
�����
�������
 
 
 
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2 3 3 3 3
1
3
3
1
1
1
1 1
3 3
1 1 1
. 2 1 1 1 3 0
3 3 9 9
tP
t
−
−
 
    = = = + − − + = − =        
+
+ 
 
2
1
3
P = 23.3 ()3 W  = 
 
 
 
 
 
Resolução 2.4c) – 3 ( )efv P W RMS= = 
 
 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 30/388 
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Exercícios do capítulo 3 
 
 
Exercício 3.1 - Calcule a energia e a potência média do sinal ( ) :u t 
 
( )
0 3
3 3 1
3 1 1 0
1 0 1
3 1 3
0 3
t
t t
t t
u t
t t
t t
t
< −
− − − ≤ < −
 + − ≤ <
= 
+ ≤ <
− + ≤ <

≥
 
 
 
 
Resolução 3.1) – Não é pedido, mas vou calcular na mesma. 
 
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
3
3
Integral Improprio
1 1
lim
3
1
2 3
a b
a
a a
u t dt dt dt
T
u u t
a
u t t
→+∞
− −
   
< > = = = =   
− −   
∫ ∫ ∫
�������
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1 3
3 1 0 1
3
1
3 1 3
6
1u t dt dt dt dt t tt t
−
− −
 
< > = +− − + + −+ + = +
 
∫ ∫ ∫ ∫
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 0 0 1 1 3 3
3 3 1 1 0 0 1 1
3 3 1 1 3
1
6
u t dt dt dt dtt t dt dt d tt t dt
− −
− − − −
 
< > = + + + + + + +− − − = 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 32 2
3 1
12
0
02
1
1
0
1 3
113
0 1
2
3
1 1
26 2 2
3
3
1
t ttt tt ttu t
−
−−
− −−
− +
 
< > = + = 

++ −

− +
 
 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 .1 1 3 3 0 1 ...
26
.
1
2
3 1 3u t − − − −− < > = − − − − ++

− 
 
( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 0 1..... 3 1
2
30 1 3
2
1
1
1 0+ − + − − − + − = 

+

− −
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
8
1
3 2 3 2
1
1 1 8
2 26 2
3
2
11u t +− + < > = + + 

− − −−

+
 
 
( )
1
6
4u t< > = 6−
1
22
41 1
3
− ++ −+ 6+ ( )
1 1
1 2
6 6
 
= − + = 
  
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 31/388 
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Resolução 3.1a) – Vou calcular a Energia do sinal: 
 
( ) ( )
Integral Improprio
2 2
lim
a b
a
a a
E du t ut dtt
→+∞
−
 
= = = 
 
∫ ∫
�������
 
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 1 3
3 1 0 1
2 2 2 2
3 3 1 1 3t t tE dt dt d dttt
−
− −
− − + + −
 
= + + + =

+

∫ ∫ ∫ ∫
 
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
1 0 1 3
3 1
2 22
0 1
2
3 3 1 1 3E dt dtt t t dtdt t
−
− −
− + + + − −= + + + =∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3 3 31 1
2 0 1 2 2 1 0 2
3 3
E
        = − + − − + − + − − =         
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 8 1 26
8 0 8 1 0 8 8 3 7 8
3 3 3 3
E J
 +  
= − + + − − − = + + + =  
  
 
 
 
 
 
Nota: ( )
( ) ( ) ( )
2 1 2'
2
0
1
1
3 1 33 1 3 1
1
1
2
3
3
t t
t d
t
t
−
+ +
+
⇔
+
⇔
+ +
+∫ . Falta o 3 , logo tenho que 
acrescentar 
1
3
 antes do integral. 
 
 
 
 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 32/388 
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3.1b) – como a energia é um valor finito, a potência é zero. 
 
( ) ( ) ( )
 Valor m dio da 
pot ncia instant nea.
Continuo!
Integral Impropri
2
o
lim
1 1
2
0
é
ê â
a
a
a
P p t dt dt
a
p t u t
∞
→+∞
− −∞
= < > = =
∞
=∫ ∫
����
�����
�������
 
 
 
 
 
 
Exercício 3.2 - Para o sinal ( )1u t da figura, calcule o período, o valor médio e a potência média. 
 
 
 
 
Resolução 3.2 - Aqui a função é periódica, com T = 3s. 
 
 
Por isso vou calcular para apenas o período T. 
 
Ou seja ] [1 ; 2t ∈ − . Vou ter que analisar o comportamento da função: 
 
( )1
1 -1 < 0
2 0 < 1
? 1 < 2 É preciso calcular.
se t
u t se t
se t
<

= <
 < 
 
 
Calculo auxiliar 1 - a inclinação da recta é: � �
0 0
1 ; 1
t y
A
 
 
 
, � �2 ; 0
t y
B
 
 
 
. 
( )
( )
( )( )0
0
0 1
1
1
1
12
y y
t t
y
m
x
= = =
−
=
− −
−
= −
−
 
 
( ) ( )( )0 0 0 2 21y y t yt tt ym− = − ⇔ − = − ⇔ = − +− 
 
 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa 09-10-2011 33/388 
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( )1
1 -1 < 0
2 0 < 1
 1 < 22
se t
u t se t
se tt
<

= <

 +− <
 
 
( )1u t< > = Valor médio do sinal 1u : 
 
( ) ( ) ( )
( )
( )1
Integral Improprio
1 1
1 1
l m
1
i 2
2
a b b
a
a a a
u t dt dt dt
T b a
u t
a
u t t
→+∞
−
   
< > = = = =   
−  
− +

∫ ∫ ∫
���������
 
( )
( )( )
( ) ( )
2 0 1 2
1
1 1 0 1
2 1
1 1
32
2 2
1
t tu t dt dt dt dt
− −
− + −
  
< > = = + + =  +
− −    
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( ) ( ) ( ) [ ] [ ]
( )
[ ]
220 1 2 2
0 1 2
1 1 0 1
1 0 1 1 1
1 1
3 3 2
1 2 2 2 2u t dt dt dt
t
t dt t t t
−
−
     < > = + + + = + + − + =         
−∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1
2 11
0 1 2 1 2 0 2 2 2 1
3 2 2
u t
   
  < > = − − + − + − − − + −                  
 
( ) [ ]1
1 1 1
1 2 2 4 2 3 2
3 2 3
u t
  
< > = + + − + + − = −    
1
2
2
+ +
1 7 7
3 2 6
   
= =   
    
 
 
 
 
 
 
Resolução 3.2c) – ( )p t é a potência instantânea, e P é a potência média. 
 
1º tenho que definir a função, calculados nos cálculos auxiliar na alínea a): 
 
( ) ( )
( )
2
2
2
2
1
1 -1 < 0
2 0 < 1
 1 1 < 2
se t
p t u t se t
se tt
 <

= = <
− +

 <
 
 
 
Agora já posso fazer o cálculo do valor da potência média: 
 
 
( ) ( ) ( )
( )
( )
 Valor m dio da 
pot ncia instant nea.
2
1Co
2 2
1 1
ntinuo!
Integral Improprio
lim
1 1 1
2 2 1
é
ê â
a
a
a
P p p t u tt dt dt dt
a
u
T
t
→+∞
− −
= < = = = =
− −
> ∫ ∫ ∫
����
�����
�������
 
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[ ] [ ] ( )2 2
0 1 2 2
0 1
1 0
1 0 1
2 2
1
1 1
3 3
1 442 2 4t t tP dt dt dt t t dt
−
−
   
= + + = + + =  
 
− +

+

−∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1
2
1 1
1
3
0 1 4 4 40P dt d dt t t t
 
= − − + − + + + =      
 
− ∫ ∫ ∫ 
 
[ ]
2 23 2
2
1
1 1
4
1 4 4
3 2
1
3
t t
P t
    −
 = + + + + =        
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 21
5 2 1 2 2 1 1
3
4
3
1
2P     = + − + − − + − =       
 
 
[ ] ( )[ ] [ ]
1 7
5 8 1 2 4 1 4 2 1
1 1
3
5 6 4
3 33
P    = + − + − − + − = + − + =   
   
 
 
( )
16
9
P W= 
 
 
A energia do sinal é ( )
2
1lim
a
a
a
u tW dt
→+∞
−
= = ∞∫ . Num sinal PERIODICO a sua energia é sempre 
infinita. Em 90% dos sinais, a respectiva energia é infinita. 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 de cálculo de um integral (1): 
 
 
 
 
 
Vou separar o integral pela descontinuidade. 
 
 
 
Se ( ) ( ) ( ) ( )3 00
t t
f t v dt f t d f tτ τ τ
−∞ −∞
→ = ⇔< = ⇔− =∫ ∫ 
 
 
 
 
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Se ( ) ( ) ( )
3
3
3 0 21
t t
f t v d f t dt dτ τ τ τ
−
−∞ −∞ −
→− < =< ⇔ = + ⇔∫ ∫ ∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( )30 2 2 22. 3 6
t
f tf t f t t tτ
−
⇔ = + ⇔ = − =⇔ +−
 
 
 
Se ( ) ( ) ( )
3 1
3 1
01 2 0
t t
f t v d f t dt d dτ τ τ τ τ
−
−∞ −∞ −
→ = ⇔> = + + ⇔∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
3
0 2 0 2. 1 2 3 8f t t f f tt
−
⇔ = + + ⇔ = − − =⇔ 
 
 
 
 
 
Graficamentefica (para ser mais simples, primeiro 
referencio os pontos, depois uno por uma linha): 
 
 
 
 
 
No eixo, em que: 
 
( ) 2 60 f t tt =→ += ⇔ 
 
( ) ( )0 2 0 6f⇔ = + ⇔ 
 
( )0 6f⇔ = 
 
 
 
 
Vou confirmar: 
 
( ) ( ) 0 Não é preciso fazer mais nada, é de facto zero' ' .0f t = = 
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 6 2 6 2 0' ' ' ' ' 2' 'f t t f t t f t f t= + = + ⇔= +⇔ =⇔
( ) ( ) 0 Não é preciso fazer mais nada, é de facto zer' ' o8f t = = 
 
 
 
Graficamente: 
 c.q.d. 
 
 
 
 
Exemplo 2 de cálculo de um integral (2): 
 
 
 
 
 
Declive é 
( )
3 0
1
1 2
b a
b a
y y
m
x x
− −
= = =
− − −
 
 
( ) ( )0 2 2y m t t y t y t= − ⇔ = − − ⇔ = + 
 
 
 
Se ( ) ( ) ( ) ( )2 00
t t
f t v dt f t d f tτ τ τ
−∞ −∞
→ = ⇔< = ⇔− =∫ ∫ 
 
 
 
Se ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
02 21
t t
f t v d f t d dt τ τ τ τ τ
−
−∞ −∞ −
→− = = +< ⇔ +< ⇔∫ ∫ ∫ 
 
( ) ( )
( )
( )( )
22 2
2
2
0 2 2 2 2
2 2 2
t
t
f t f t t
τ
τ
−
 −   
⇔ = + + ⇔ = + − + − ⇔           
 
 
( ) ( ) ( )
2
22 2 4
1
2
2 2
2
f t
t
f t t t t⇔ − − ⇔ += = ++
 
 
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Se ( ) ( ) ( ) ( )
2 1
2 1
01 2 0
t t
f t v d f t d d dt τ τ τ τ τ τ
−
−∞ −∞ −
> → = ⇔ = + + + ⇔∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1
1 2 22
2
2
1 1 1
0 2 0 1 2 2 1 2 2
2 2 2
f t f tτ τ
−
−
 
⇔ = + + + ⇔ = − − + − − ⇔ 
  
 
( ) ( ) ( ) ( )
91 4 3
2 4 6
2 2 2 2
f t f tt f ⇔ = − + + ⇔ = − + ⇔  =
  
 
 
 
Graficamente fica (para ser mais simples, 
primeiro referencio os pontos, depois uno por 
uma linha): 
 
 
 
 
Sei que para ( )2 0t f t→< − = , e que para ( )
9
1
2
t f t =→> . Fica: 
 
 
 
 
E que para ( ) 2
1
2 1 2 2
2
t f t t t− < < = + +→ . É uma parábola (!) e que quando 
( )0 0 2t f= → = . Fica: 
 
 
Cópia Original 
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A área a partir de 1t > é sempre 
9
2
. 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3.3 – Determine a média do seguinte sinal discreto: 
 
 
 
 
 
 
Resolução 3.3) – sei que 1T = e ( )8 pois repete-se de 8 em 8 .N = 
 
( ) ( )
( )
( )Valor médio de um sinal para T 1 é .
1
 li
1
m
b
n
b
a
u n u n u n
b a→ =+∞ +
=
−
= < > ∑ 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )
8
1 11
1 1 1
8 1 8
Nb
n a n n
u n u n u n u n
N= = =
 
 < > = = = =− + 
∑ ∑ ∑ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3 4 5 6 8
8
7
1
u u u u u u u u= + + + + + + + = 
 
 
Vou agora socorrer do gráfico para saber o valor das imagens: 
 
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( ) ( )( )
4 1
2 2 2 1 0 0 1 2
8 2
1
8
= + + − + − + + + + = = 
 
 
 
 
Exercício 3.4 - Para os seguintes sinais discretos calcule a energia: 
 
3.4.1 – ( ) ( )5nT Hv nT e h nT
−=
 
 
3.4.2 – 
 
3.4.3 – 
 
 
 
Resolução 3.4.1) 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
22 5 5 5
 que é zero para 0 e 1 par
0
0
Recordar a fun
0
ação
1
 1
lim
H
a
n a n n n
nT nT nT
H H H
a
h nT t t
W v nT e h nT e h nT e h nT
+∞ +∞
∞
− − −
=− =− =−∞
→+∞
< >
=
= =
+= = = =∑ ∑ ∑ ∑����� ��
������������ �
��
����
�
 
 
 
Recordar que 
0n=
+∞
∑ é uma serie geométrica, da razão, neste exercício de ( )
5 10 x 2 .T Te e− −= 
 
 
( ) ( ) ( )
0 0
2 5 105 2
0
10
1
0 1
1
T TT
n n n
n
T
nnW e e e
e= =
+∞ +∞ +∞
=
− −−= = = =
−
+∑ ∑ ∑
 
 
 
 
0
1
 1
1n
nr se r
r=
+∞
= <
−
∑
 
 
 
( ) 10nTu n e−= 
 
 
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( )
( )
( ) ( )110 10
10
1
n
T Tn
T
nu n e e
r
u n e
− + −
−
+
= = =
( )110
10
T
Tn
e
e
−
−
10Te−=
 
 
 
 
 
 
Resolução 3.4.2) - Estudar o capítulo 2, pagina 22 do manual do professor. 
 
 
 
 
( )
2
lim
a
a
n a
W v nT
=
+∞
−
→
= ∑ , para sinais discretos. 
 
 
 
Em que o “n” é a escala (step) e o “T” é o período. 
 
 
Nota: na posição “T” a área é 2. A ideia é imaginar que na realidade a recta para cima representa um 
rectângulo, e por conseguinte existe uma área. Usa se seta em vez de bola, pois é para indicar que a 
energia é infinita (não é engano, o limite inferior é igual ao limite superior). 
 
( ) 2
T
T
tv dt =∫ 
 
( ) ( ) ( )0 2v v T v T< > = + ∞ < > = + ∞ < > = + ∞ 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 0 2 3
0 2
0 1 2 1 4
T T T T
T T T T
dt dtv t v t v t v t v tdt dt dt
− −
= + + + = + + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 
 
Recordando a formula 2.48 da pagina 22, do capítulo 2, que é utilizada nas distribuições com pelo 
menos um impulso de DIRAC: 
 
( ) ( ) ( )
2
0
n
W x nT Jδ
+∞
=−∞
= ∑ 
 
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Volto ao exercício, utilizando o gráfico: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
Para cada uma das situações validas 
 
2
0
(de 0 a 2T)
0 20 0 0
n n
T
W v nT v nT v v T v Tδ δ δ
+∞
=−∞ =
= = = + + = + ∞∑ ∑
���������
 
 
 
 
 
Resolução 3.4.3) 
 
 
( ) ( )
2 2
n n
nTW x x n
+∞ +∞
=−∞ =−∞
= = =∑ ∑ 
 
Pois T é 1 (escala). 
( ) ( ) ( )
2
5
2
2 2
n n n
W x nT x n x n
+∞ +∞
=−∞ =−∞ =−
= = = =∑ ∑ ∑ 
 
( )
�
( )
�
( )
�
( )
�
( )
�
( )
�
( )
�
( )
�
2 2 2 2 2 2 2 2
0 1 2 2 2 2 1 0
2 1 0 1 2 3 4 5
y y y y y y y y
W x x x x x x x x
= = = = = =− =− =
= − + − + + + + + + 
 
 
( ) ( ) ( )
2 22 2 2 20 1 2 2 2 2 1 0 18W J= + + + + + − + − + = 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3.5 - Dado o sinal ( )u t representado na seguinte 
figura: 
 
 
 
 
 
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Represente graficamente os sinais: 
 
3.5.1 - ( )2u t − 
3.5.2 - ( )1u t− 
3.5.3 - ( )2 2u t + 
3.5.4 - ( ) ( ) ( )2 Hu t u t h t+ −   
3.5.5 2
3
t
u  − − 
 
 
 
 
 
Resolução 3.5 – Este gráfico não representa uma função, mas sim uma distribuição (ou função 
generalizada). Ou seja uma função pode ser uma função generalizada, mas uma função generalizada 
pode não ser uma função, pois pode ser uma distribuição. 
 
 
 
Quando: 
( )
( )
( )
( )
( )
1 0
 0 1
 1 2
 2 1
 3 0
t u t
t u t
t u t
t u t
t u t
= − → =
= → =
= → =
= → = −
= → =
 
Resolução 3.5.1 – vou baptizar ( )2t − por 0.t Assim 0 02 2 .t t t t= − ⇔ = + 
 
 
t ( )u t 2t + ( )2u t − 
-1 0 21 1− + = 0 
0 1 0 22+ = 1 
1 1 1 32+ = 1 
1 2 1 32+ = 2 
2 2 2 42+ = 2 
2 -1 2 42+ = -1 
3 0 3 52+ = 0 
 
 
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Esta é mais fácil, é só deslocar para a direita o gráfico original de duas posições. É uma translação 
no tempo (com atraso de duas unidades). 
 
 
 
 
 
Resolução 3.5.2 – Cuidado com este, pois é ( ) ( )1 1t t− = − − 
 
Vou baptizar ( )1 t− por 0.t Assim 0 01 1 .t t t t= − ⇔ = − 
Como é o simétrico de “t” as setas também rodam no mesmo eixo. Só as subidas e descidas se 
mantém. 
 
Graficamente - é feito uma inversão no eixo dos “y” …. 
 
 
 
… e um deslocamento para a direita de uma unidade: 
 
t ( )u t 1t− + ( )2u t − 
-1 0 ( ) 211− − + = 0 
0 1 0 11+ = 1 
1 1 11 0− + = 1 
1 2 11 0− + = 2 
2 2 12 1− + = − 2 
2 -1 12 1− + = − -1 
3 0 13 2− + = − 0 
 
 
Resolução 3.5.3 – vou baptizar ( )2 2t + por 0.t Assim 00 2 2 1.2
t
t t t= + ⇔ = −
 
 
Multiplicar por dois, é na realidade dividir por 2 o tempo 0
2
t
t
 
= 
 
: 
 
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Agora é só deslocar para a direita uma unidade, e não duas como poderia se pensar - ( )2 1t + : 
 
t ( )u t 1
2
t
− ( )2u t − 
-1 0 
1
1
2
3
2
−
−
= − 
0 
0 1 0
2
11− = − 
1 
1 1 1
2 2
1
1
− = − 
1 
1 2 1
2 2
1
1
− = − 
2 
2 2 2
2
01− = 
2 
2 -1 2
2
01− = 
-1 
3 0 3
2
1
1
2
− = 
0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 3.5.4 – vou fazer por parte, pois fica mais fácil perceber. 
 
 
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Assim ( ) � ( )
0
0 0 02 2 2 2
t
a t u t u t t t t t
 
= − = ⇔ − = − ⇔ = −  
 
 
 
t ( )u t 2t− + ( )2u t − 
-1 0 ( ) 321− − + = 0 
0 1 0 22+ = 1 
1 1 21 1− + = 1 
1 2 21 1− + = 2 
2 2 22 0− + = 2 
2 -1 22 0− + = -1 
3 0 23 1− + = − 0 
 
 
 
 
 
Posso também fazer assim: 
 
 
 
Agora tenho: 
 
( ) ( )02u t u t− = 
 
0 | 
1| 3
 0| 2
 1| 1
 2| 0
 3| 1
t t
−
−
 
 
Vou socorrer me do original e fazendo ponto a ponto: 
 
 
 
 
Utilizando a tabela, sei que o 1− é 3: 
 
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Utilizando a tabela, sei que o 3 é 1− : 
 
 
 
 
Utilizando a tabela, sei que o 2 é 0: 
 
 
 
No final fica assim: 
 
 
 
 
 
 
 
Ou posso também fazer assim: 
 
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Como é o simétrico de “t” as setas também rodam no mesmo eixo. Só as subidas e descidas se 
mantém. Graficamente - é feito uma inversão no eixo dos “y” …. 
 
 
 
 
 
… e um deslocamento para a direita de duas unidade: 
 
 
Mas ainda não acabou! Pois só fiz um dos dois termos:
 
( ) ( )2u t u t−+   
 
 
A roxo o ( )2u t− e a verde o ( )u t
 
As área simétricas (a amarelo) anulam se e 
fica: 
 
 
0 1 0
2 1 3 0 1
1 2 3 1 2
0 2 3
t t se t
se t
se t
t t se t
− + = − < <
+ = < <
+ = < <
− = < <
 
 
 
Agora falta o produto:
 
( ) ( ) ( )2 Ht tu hu t+ −   
 
Multiplicar os pontos do gráfico anterior por este: 
 
 
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Por acaso dá igual (!). 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 3.5.5 – ( )0 02 2 3 23 3
t t
u t t t − → = − ⇔ = − − 
 
 
 
t ( )u t ( )03 2t− − ( )2u t − 
-1 0 ( )( ) 93 21− − − = 0 
0 1 ( )( )3 20 6− − = 1 
1 1 ( )( )3 21 3− − = 1 
1 2 ( )( )3 21 3− − = 2 
2 2 ( )( )3 22 0− − = 2 
2 -1 ( )( )3 22 0− − = -1 
3 0 ( )( )3 23 3− − = − 0 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 3.6 - Para o sinal da figura seguinte, represente graficamente ( )2 :u n− 
 
 
 
� ( )
0
0 0 02 2 2
n
u n u n n n n n
 
− = ⇔ − = ⇔ = −  
 
 
 
 
t ( )u t 02 n− ( )2u t − 
-1 0 ( )2 1 3− − = 0 
0 2 ( )2 20− = 2 
1 -1 ( )2 11− = -1 
2 2 ( )2 02− = 2 
3 2 ( )2 13− = − 2 
4 1 ( )2 24− = − 1 
5 0 ( )2 35− = − 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DECOMPOSIÇÃO BINÁRIA DE SINAIS 
 
 
 
3.6 EXERCÍCIOS 
 
3.6.1 Para os sinais das figuras seguintes encontre: 
a) As componentes pares e ímpares. 
b) A energia do sinal. 
 
3.6.1.1 
 
 
Sei que a componente par é igual a: ( )
( ) ( )
2p
v t v t
v t
+ −
= 
 
 
E sei que a componente ímpar é igual a: ( )
( ) ( )
2i
v t v t
v t
− −
= 
Assim ( )v t− é a função que roda no eixo dos “y”: 
 
 
 
 
 
E a função ( )v t− − é a função que roda no eixo dos “y” e dos “x”: 
 
 
 
 
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Assim, ( )
( ) ( )
2p
v t v t
v t
+ −
= é 
 
 
 
 
 
Entre -1 e zero a função é ( )[ ] ( )[ ]1;0 1;0 2v t t v t t− −= ∧ − = − 
 
 
 
Como é uma função par, era de se esperar que o gráfico foi “espelhado” no eixo dos “y”. 
 
( )[ ] ( )[ ]0;1 0;1 2v t t v t t= ∧ − = 
 
 
E, é ( )[ ] ( )[ ]1;0 0;1
2 2 2 2
1 1
2 2i i
t t
v t t v t t
−
+ − +
= = + ∧ = = − +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como é a dividir por dois, é o eixo dos “y” que reduz. 
 
 
 
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Por ter ido utilizando uma tabela: 
 
 
 ( )v t t− ( )v t− ( )v t− − p
v
 i
v
 
-1 0 1 0 0 0 0 
-1 2 1 2 2− 2 0 
0 2 0 0 0 1 1 
0 0 0 2 2− 1 -1 
1 2 1− 2 2− 2 0 
1 0 1− 0 0 0 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3.7 – Verifique a periodicidade dos seguintes sinais (n inteiro):
 
 
3.7.1 cos
12
nπ 
−  
  
2
33.7.2 e
n
j
π
−
 
3
3.7.3 cos
2
n 
−  
  
 
 
 
 
Resolução 3.7.1 – ( ) cos .
12
n
u n
π 
=  
 
 Quero determinar N ∈� tal que: 
 
( ) ( )u n N u n+ = , porque é periódico. 
 
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( ) ( )v t v t T= + 
 
Ou seja, se não estiver na origem não interessa. 
O período da função cosseno é ( )2 , 4 ,6 ,8 ,...π ππ π . 
A função identidade é ( ) ( )cos cos , com 2 .K Kα α π+ = = 
Assim: 
( )
Este é o objectico, fazer esta igualdade!
cos cos cos cos
12 12 12 12
n n N nN nπ π π π π  +     
= ⇔ = ⇔       
     
+

�������������
 
 
cos cos 2 24
12 12 12 12
n N n N
N
π π π π
π
   
⇔ + = → ∴ = ⇔ =   
   
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 3.7.2 – ( )
2
3 2e , em que .
3
n
j n
v n
π π
α= = Quero que ( ) ( )v n N v n+ = : 
 
( ) 2 22 2 2
3 33 3 3
Este é o objectico, fazer esta igualdade!
2
e e e e 2 3
3
n Nn N n njj j j N
N
π ππ π π π
π
 
+ 

+
= ⇔ = → ∴ = ⇔ =������� 
 
 
 
 
 
 
Resolução 3.7.3 – ( )
3
cos .
2
n
w n  =  
 
 Quero que ( ) ( )w n N w n+ = : 
 
( )
Este é o objectico, fazer esta igualdade!
3 3 3 3 3 3 4
cos cos cos cos 2 .
2 2 2 2 2 2 3
n n n N n N
N
N
π π
       
= ⇔ + = → ∴ = ⇔ =       
      
+
�����������
 
 
 
Como 
4
,
3
π ∉� então ( )w n não é periódico. 
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Agora vou fazer um raciocínio de forma a poder resolver estes três exercícios de uma forma mais 
intuitiva: 
 
 
( ) ( )sin .u t At B= + Quero que ( ) ( ).u t T u t+ = Fica: 
 
( )( ) ( ) ( ) ( )sin sin sin sinA t T B At B At AT B At B+ + = + ⇔ + + = + ⇔ 
 
2
2AT T
A
π
π∴ = ⇔ = 
 
 
Agora vou resolver os exercícios de novo, utilizando esta nova fórmula: 
 
 
Resolução 3.7.1.2 – 
 
2
24.
12
N
π
π
= = 
 
Resolução 3.7.2.2 – 
 
2
3.
2
3
N
π
π
= = 
 
Resolução 3.7.3.2 – 
 
2 4
.
3 3
2
N
π
π= = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercicio 3.8 – Para o sinal da figura: 
 
 
Determine: 
 ( )
( )
3.8.1 '
dv t
v t
dt
− =
 
 ( ) ( )3.8.2 
t
f t v dτ τ
−∞
− = ∫ 
 
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Resolução 3.8.1 – 
 
 
Obtém se três impulsos de DIRAC. 
 
Agora como saber se se deve subir ou descer, e qual o seu tamanho: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 3.8.2 – ( ) ( )
t
f t v dτ τ
−∞
= ∫ 
 
At ao ponto 1, a sua integra o zero. Agora de 1 0.é çã é t− − < <
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
�
( )
1
1
0
t t
f t v d f t v d v dτ τ τ τ τ τ
−
−∞ −∞ −
=
= ⇔ = + ⇔∫ ∫ ∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( )110 1 0 1
t t
f t d f t f t tτ τ
−−
⇔ = + ⇔ = + ⇔ = − − ⇔∫ 
 
( ) 1f t t= + 
 
 
 
 
Agora de 0 1.t< <
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
�
( ) ( )
1 0
1 0
0
t t
f t v d f t v d v d v dτ τ τ τ τ τ τ τ
−
−∞ −∞ −
=
= ⇔ = + + ⇔∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( ) ( ) ( ) ( )000 1 1 1 1
t t
f t d f t f t tτ τ⇔ = + + − ⇔ = − ⇔ = −∫ 
 
 
 
 
Agora de 1 .t< < +∞
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
�
( ) ( ) ( )
1 0 1
1 0 1
0
t t
f t v d f t v d v d v d v dτ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
−
−∞ −∞ −
=
= ⇔ = + + + ⇔∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( ) ( ) ( )
1
0 1 1 0 0
t
f t d f tτ⇔ = + + − + ⇔ =∫ 
 
 
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Exercicio 3.9 – Para o sinal da figura: 
 
 
Determine: 
 
( )
3.9.1
dv t
dt 
 ( ) ( )3.9.2 'v t v t+ 
( ) ( )3.9.3 . 'v t v t
 
( ) ( )3.9.4 'v t v t−
 
( ) ( )3.9.5 '
t
v v dτ τ τ
−∞
−  ∫ 
 
 
 
 
Resolução – 1º vou “descobrir” as funções que esboçam este gráfico: 
 
 
 
( )
2 2 1
1 1 1
1 3
1 3
2 2
t se t
v t se t
t se t

 + − < < −

= − < <

− + < <

 
 
 
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Resolução 3.9.1 - 
( )dv t
dt
, ou seja é a derivada da função em ordem a “t”: 
 
 
 
( )
( )
( )
2 ' 1 2 1
' 1 ' 0 1 1
1 3 1
' 1 3
2 2 2
t se t
v t se t
t se t

 + = − < < −

= = − < <

  − + = − < < 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 3.9.2 - ( ) ( ) ,'v t v t+ ou seja é a função somada a derivada da função em ordem a “t”: 
 
 
 
 
 2 1: . Entre a declive do original t− − =
 
y t b= +
 
 
( )0 2 2f b b= − + ⇔ = 
 
2y t= +
 
 
Agora substituindo os valores: 
 
 
 
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Graficamente: 
 
 
 
 
 
Resultado: 
 
 
( ) ( )Resolução 3.9.3 . 'v t v t 
 
( )
2 2 1
1 1 1
1 3
1 3
2 2
t se t
v t se t
t se t

 + − < < −

= − < <

− + < <

 ( )
( )
( )
2 ' 1 2 1
' 1 ' 0 1 1
1 3 1
' 1 3
2 2 2
t se t
v t se t
t se t

 + = − < < −

= = − < <

  − + = − < < 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )Resolução 3.9.4 'v t v t− 
 
 
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Sobrepondo: 
 
 
 
 
 
Resulta em: 
 
 
 
( ) ( )Resolução 3.9.5 '
t
v v dτ τ τ
−∞
−  ∫ 
 
Resolução: o que se pretende é calcular a AREA do exercício 3.9.4 
 
 
( )
2 2 1
1 1 1
1 3
1 3
2 2
t se t
v t se t
t se t

 + − < < −

= − < <

− + < <

 ( )
( )
( )
2 ' 1 2 1
' 1 ' 0 1 1
1 3 1
' 1 3
2 2 2
t se t
v t se t
t se t

 + = − < < −

= = − < <

  − + = − < < 
 
 
 
 
E que graficamente é 
 
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Para o intervalo 2 :t < −
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
2
' ' 0
t
v v d v v dτ τ τ τ τ τ
−
−∞ −∞
− = − =      ∫ ∫ 
 
 
 
Para o intervalo 2 1:t− < < −
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
2
2 2
' ' ' 0 1
t t t
v v d v v d v v d dτ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
−
−∞ −∞ − −
− = − + − = + + =          ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
( )
( ) ( )
22 2
2 2
2
2 1 1
2 0
2 2 2 2 2
t
t
t t t t t
τ
τ
−
 −   
= + = + − + − = + − = +          
 
 
 
É um polinómio do 2º grau e o coeficiente “a” é positivo, logo é uma parábola com a concavidade 
voltada para cima. 
 
Graficamnete: 
 
Agora de 1 1.t− < <
 
 
( ) ( )'
t
v v dτ τ τ
−∞
− ⇔  ∫
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1
2 1
' ' ' '
t t
v v d v v d v v d v v dτ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
− −
−∞ −∞ − −
− = − + − + − =              ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
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[ ]
( )
( )
( )
( ) ( )
1 2 21 2
1
2 1 2
1 2
0 1 1 1 2 1
2 2 2
t
t
d d t
τ
τ τ τ τ τ
−−
−
− − −
    − −
 = + + + = + + = + − − + − + − − =              
∫ ∫ 
 
[ ]
1 4 1 11
1 2 1 0 1 1
2 2 2 2 2
t t t t
        
= − − − + + = − − + + = − + + = +        
         
 
É um polinómio do 1º grau , logo é uma recta. Vou calcular o 1º ponto para t=-1 e para t=1, e une os 
dois pontos com a recta. 
 
 
 
 
 
Agora de 1 3.t< <
 
 
( ) ( )'
t
v v dτ τ τ
−∞
− ⇔  ∫
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1
2 1 1
' ' ' '
t
v v d v v d v v d v v dτ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ
− −
−∞ − −
= − + − + − + − =              ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
[ ]
11 1
1
1
2 1 1
2 2
2 1
0 1
1 1
1 2 2
2 22 2
tt
d d d
τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ
−−
−
− − −
  
= + + + + + = + + + +− − =  
   
∫ ∫ ∫ 
 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 22 2
1 2 1
1 2 1 1 2
2
1 1
1
2 2 2
2
2 2
t
t
          − −
   = + − − + − + − − + + − + =                          
−
 
−

 
 
( ) [ ]
21 1
1 2 2 1 1 2 2
2 4 4
t
t
    
= − − − + + + − + + − =    
     
 
 
2 2
21 7 3 7 1 12 2 2 2
2 4 4 2 4 4 4 4
t t
t t t t
 
= − + + − + − = − + − = − + − 
  
 
 
 
É um polinómio do 2º grau , logo é uma recta. Vou calcular o 1º ponto para t=1 e para t=3, e une os 
dois pontos com uma parábola voltada para baixo (pois o coeficiente “a” é negativo). 
 
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( ) ( ) ( )
21 1 1 8 1 6 3
1 1 2 1
4 4 4 4 2
v
− + −
= − + − = = =
 
 
( ) ( ) ( )
21 1 9 24 1 14 7
3 3 2 3
4 4 4 4 2
v
− + −
= − + − = = =
 
 
 
 
 
 
Agora de 3.t >
 
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( )' com ' ....
t
v v d v vτ τ τ τ τ
−∞
− ⇔ − =      ∫
 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
2 1 1 3
2 1 1 3
.... .... .... .... ....
t
d d d d dτ τ τ τ τ
− −
−∞ − −
= + + + + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
[ ] [ ]
311 1 3
1
1
2 1 1 2
2
1
21
0 1 1 2 0
1
2
2
22 2
d d d
τ τ
τ τ τ τ τ τ τ τ
−−
−
− − −
  
= + + + + − + + = + + + + =   
−
 
∫ ∫ ∫
 
( )
( )
2
31 7 3 9 7 3 7
2 2 3 6 4 6
2 4 222 4 2
1
2 4
  
 = − + + + − = − + − = − + = 
    
−
 
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Exercícios do capítulo 4
 
 
 
Teoria – Par e Impar 
 
 
 
Todas as função se subdividem em funções par e impares. 
 
 
( )
( ) ( )
2p
v t v t
v t
+ −
= , ou seja para se obter a função par, é só somar as funções simétricas e dividir 
por 2. A função simétrica obtém se rodando o eixo dos “y”. 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( ) ( )
2i
v t v t
v t
− −
= , ou seja para se obter a função impar, é só subtrair as funções simétricas e 
dividir por 2. A função impar obtém se rodando tanto no eixo do “y” com o dos “x”. 
 
 
 
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2.6.2 Sistemas com e sem Memória 
 
Um sistema diz-se sem memória se, para cada valor de entrada, a saída depender apenas da entrada 
nesse instante de tempo. Caso contrário, diz-se com memória. Um exemplo de sistema sem memória 
é ( ) ( )y t Kx t= (um amplificador), e um exemplo de sistema com memória é o acumulador num 
computador. Notar que um sistema com memória necessita de algum mecanismo que permita 
armazenar a informação acerca dos valores das entradas passadas. 
 
 
 
 
2.6.3 Causalidade 
 
Um sistema diz-se causal se a saída só depender dos valores actuais da entrada e dos seus valores 
passados. Tal sistema não antecipa valores futuros. Um exemplo de sistema causal é um em que a 
saída dependa da entrada segundo a expressão ( ) ( )1 .y t Kx t= − 
Um exemplo de sistema não causal é um em que a saída dependa da entrada segundo a expressão 
( ) ( )1 .y n Kx n= + 
 
 
 
 
2.6.4 Estabilidade 
 
Em geral, um sistema é projectado para ser estável. Um sistema estável é aquele que para pequenas 
entradas a saída não diverge ou, mais concretamente, que para entradas limitadas em amplitude a 
saída também é limitada. Um exemplo de sistema estável é o circuito RLC, cuja resposta a um 
impulso de Dirac é apresentada na figura 2.35. Um exemplo de sistema instável é uma reacção 
atómica em cadeia. 
 
 
Fig. 2.35 – Resposta de um circuito RLC em regime de oscilatório. 
 
 
 
 
2.6.5 Invariância 
 
Um sistema é invariante, na variável independente, se uma variação na posição do sinal de entrada, 
nessa variável independente, conduzir à mesma variação na posição do sinal de saída. 
 
( ) ( )x t y t→ 
( ) ( )0 0x t t y t t− → − 
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Um exemplo de sistema invariante é aquele em que a saída depende da entrada segundo a expressão 
( ) ( )[ ],y t sin x t= e um exemplo de sistema variante no tempo é o sistema discreto em que a saída 
depende da entrada segundo a expressão ( ) ( ).y n nx n= 
 
 
 
2.6.6 Linearidade 
 
Um sistema é linear se se verificar o teorema da sobreposição, ou seja, se a entrada consistir numa 
soma pesada de vários sinais, a saída também será caracterizada por uma soma pesadas das respostas 
a cada uma das entradas. 
Analiticamente, se ( )1 y t é a saída referente a ( )1 , x t x1(t), e se ( )2 y t é a saída referente a ( )2 , x t
então 
( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2
x t y t
x t y t
→
→
 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2ax t bx t ay t by t+ → + 
 
em que a, b são constantes que podem ser complexas. 
Como exemplo de sistema linear tem-se ( ) ( )2 ,y n x n= e como exemplo de não linear tem-se 
( ) ( )
2
y t x t= . 
 
 
( ) �
( )
Processo de transformação
Processo com memória: x tx t e→
 
( ) � ( )
22
1 1
Processo de transformação
Processo com memória: tx t t y t e= → =
 
 
 
( ) �
( )3
Processo de transformação
Processo sem memória: 3 xx e→
 
 
( ) �
( )4
Processo de transformação
Processo sem memória: 4 xx e→
 
 
 
 
( ) ( )
4
2
Processo com memoria: 
n
k n
y n x k
+
= −
= ∑ 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�
( ) ( ) ( ) ( )
3 4 7
3 2 1
Pr
3 1 2 3 4 5 6 7
k k
esentePassado Futuro
y x k x k x x x x x x x
+
= − =
= = = + + + + + +∑ ∑ ����� ����������� 
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Exercício 4.2 – Verifique se os sistemas apresentados obedecem ou não ás seguintes propriedades: 
 
 
( ) ( )x ty t e= ( ) ( ) ( )
sin .y t t x t=
 ( ) ( )siny t x t=    ( ) ( )
4
2
n
k n
y n x k
+
= −
= ∑ 
( ) ( ) ( )1 . 1y t x t x t= − + ( ) ( )y n x n= − ( ) ( )Rey t x t=    
 
 
 
4.2.1 – Sem memória. 
4.2.2 – Invariância no tempo. 
4.2.3 – Linearidade. 
4.2.4 – Causalidade. 
 
 
 
Resolução 4.2.1 – 
 
Sem memória são: 
 
( ) ( )x ty t e= ( ) ( ) ( )
sin .y t t x t=
 ( ) ( )siny t x t=    ( ) ( )Rey t x t=    
 
 
Com memória são: 
 
( ) ( )
4
2
n
k n
y n x k
+
= −
= ∑ 
( ) ( ) ( )1 . 1y t x t x t= − + 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 4.2.2 – Invariância 
 
 
 
 
Portanto o sistema é invariante no tempo. 
 
 
 
Portanto o sistema não é invariante no tempo. 
 
De facto 
Jorge Rodrigues Valente – 2087406 UMa